Dokumen tersebut membahas tentang penerapan matematika, khususnya himpunan, fungsi, dan aritmatika modulo untuk melakukan transposisi akord dan nada pada lagu. Secara matematis, transposisi dilakukan dengan mengubah nada dasar menjadi bilangan bulat modulo 12, lalu menentukan nada dasar baru dan melakukan transposisi dengan rumus tertentu sehingga didapat nada-nada penyusun lagu baru hasil transposisi.

1. 1
PENERAPAN MATEMATIKA PADA FUNGSI TRANSPOSISI
AKORD DAN NADA
Agatha Indy Candra Dewi
06111008037
agatha.indy@yahoo.com
Abstrak
Matematika merupakan ilmu yang sangat penting bagi kehidupan
dan memiliki peranan penting di bidang-bidang lain. Salah satunya
adalah di bidang musik. Dengan berlandaskan materi himpunan, fungsi,
dan aritmatika modulo, seorang penyanyi bisa melakukan transposisi
akord dan nada pada sebuah lagu. Hal ini bertujuan supaya penyanyi
dapat menyanyikan lagu sesuai dengan karakter suaranya. Sebelum
melakukan transposisi, nada-nada dasar yang berjumlah 12 diubah ke
dalam bentuk bilangan bulat modulo 12 yang disebut dengan Integer
Model Of Pitch. Kemudian, menentukan nada dasar baru yang
diinginkan dan melakukan transposisi dengan rumus ( ) = +
( 12). Maka akan diperoleh nada-nada penyusun lagu yang baru
hasil dari transposisi tersebut.
Kata Kunci: Musik, Himpunan, Fungsi, Aritmatika Modulo, Transposisi,
Integer Model of Pitch, Akord, Nada.

2. 2
I. PENDAHULUAN
Matematika merupakan salah satu ilmu yang sangat penting dalam
kehidupan sehari-hari. Banyak kejadian atau hal-hal yang berkaitan erat dengan
matematika seperti bentuk dan ruang (geometri), melakukan jual-beli (SPLDV),
kecepatan benda (limit), dan lain-lain. Matematika juga sangat berperan di bidang
lain seperti fisika, kimia, komputer, dan juga di bidang seni khususnya seni musik.
Phytagoras dan pengikutnya membagi matematika menjadi empat divisi
yaitu, angka mutlak (aritmatika, yang sekarang disebut dengan teori bilangan),
aplikasi bilangan (musik), geometri, dan astronomi
(http://www.robertnowlan.com/pdfs/Pythagoras.pdf). Lewin (1993) menyatakan
bahwa matematika memberikan kerangka yang cocok pada ahli-ahli teori musik
untuk memberitahukan cara yang paling baik untuk mendengarkan sebuah karya
musik. Dalam hal ini, musik dan matematika mempunyai kaitan yang erat antara
satu dengan yang lainnya.
Dalam bernyanyi, faktor jenis suara sangat berpengaruh. Lagu akan lebih
enak didengar apabila penyanyi menyanyikan lagu dengan tingkat (tinggi-rendah)
nada yang sesuai dengan karakter suaranya. Menyesuaikan nada dengan karakter
suara penyanyi dapat dilakukan dengan mentransposisi akord penyusun lagu
tersebut dari nada dasar asli menjadi nada dasar yang dapat dijangkau oleh
penyanyi.
Proses untuk melakukan transposisi akord tersebut dapat dilakukan dengan
cara matematis, yaitu dengan menggunakan rumus fungsi transposisi akord.
Fungsi transposisi akord di sini berfungsi untuk mengubah kunci dan nada
penyusun lagu menjadi kunci dan nada yang sesuai dengan suara penyanyi
sehingga enak didengar.
Berdasarkan uraian di atas, dalam makalah ini penulis akan membahas
mengenai cara melakukan transposisi secara matematis. Di sini, penulis ingin
memaparkan mengenai keterkaitan antara ilmu matematika dengan ilmu musik.

3. 3
II. MATERI PENDUKUNG
2.1. Himpunan
Secara intuitif, himpunan adalah setiap daftar, kumpulan atau kelas objek-
objek yang didefinisikan secara jelas (Seymour Lipschutz, 1964). Objek-
objek dari himpunan disebut elemen atau anggota himpunan.
Himpunan-himpunan dinotasikan dengan huruf-huruf besar
, , , , , , …
Objek atau elemen himpunan dinyatakan dengan huruf-huruf kecil
, , , , , …
Elemen-elemen tersebut ditulis di antara kurung kurawal dan dipisahkan
dengan tanda koma. Berikut beberapa contoh himpunan,
1. Himpunan bilangan asli
= {1,2,3, … }
2. Himpunan bilangan bulat
= {… , −2, −1, 0, 1,2, … }
3. Himpunan bilangan bulat positif
= { 1,2,3, … }
Cara lain menyajikan himpunan adalah dengan notasi pembentuk himpunan
(set builder). Dengan cara penyajian ini, himpunan dinyatakan dengan
menyertakan syarat yang harus dipenuhi oleh anggota himpunan.
Notasi: { | ℎ ℎ ℎ }
Thomas M. Fiore menyatakan, dua himpunan dikatakan sama jika mereka
mempunyai anggota-anggota yang sama. Sebagai contoh, himpunan {0,4,7}
adalah himpunan yang terdiri atas bilangan 0, 4, 7 dan tidak ada yang lain.
{0,4,7} = {4,0,7} = {7,0,4, }
Himpunan {0,4,7} dan {3,7,10} tidak sama karena mereka tidak mempunyai
elemen yang sama.

4. 4
2.2. Fungsi
Fungsi merupakan relasi khusus. Suatu relasi antara A dan B disebut fungsi
apabila setiap unsur (anggota) himpunan A dipasangkan tepat satu unsur
(anggota) himpunan B (Negoro, B.Harahap, 1982: 112). Biasanya dinotasikan
dengan
: →
Simbol di atas dibaca “ memetakan A ke B”. Dalam situasi ini, himpunan A
disebut daerah asal atau domain dari fungsi dan B disebut daerah kawan
atau kodomain fungsi .
Sebagai contoh,
1. Misalkan fungsi : {1,2,3} → {4,5,6} didefinisikan dengan
(1) = 4
(2) = 5
(3) = 5
Di sini domainnya adalah himpunan = {1,2,3} dan rangenya adalah
himpunan = {4,5,6}. Tiga persamaan di atas menunjukkan bahwa
masing-masing anggota domain berpasangan tepat pada satu anggota
kodomain.
2. Misalkan = {1,2,3} dan = {5,7}.
(1) = 5
(1) = 7
(2) = 7
(3) = 5
Maka, bukan merupakan fungsi karena 1 memiliki dua pasang
kodomain yaitu 5 dan 7.
2.3. Aritmatika Modulo
Definisi: Jika suatu bilangan positif maka kongruen dengan modulo
(ditulis = ( )) bila dan hanya bila membagi ( − ). Jika
tidak membagi( − ) maka dikatan tidak kongruen dengan (ditulis
≠ ).

5. 5
(Sukarman, Herry, 1993: 147)
Definisi di atas dapat ditulis bahwa jika > 0 maka |( − ) bila dan
hanya bila = ( ). |( − ) ada bilangan bulat k sehingga
( − ) = . Sehingga = ( ) bila hanya bila ( − ) =
untuk suatu bilangan bulat k. Tetapi karena ( − ) = sama artinya
dengan = + , sehingga = ( ) bila dan hanya bila = +
.
2.4. Istilah-istilah dalam Musik
Berikut ini beberapa istilah yang berhubungan dengan musik.
1. Transposisi
Transposisi mengubah rangkaian nada menjadi naik (lebih tinggi) atau turun
(lebih rendah) (Thomas M. Fiore, 2009). Ketika penyanyi memutuskan untuk
bernyanyi dengan nada yang lebih tinggi, mereka melakukan ini dengan
melakukan transposisi melodi.
2. Tangga Nada
Tangga nada berisikan kumpulan nada-nada yang harmonis.
Keharmonisannya terjadi karena ada “aturan” dibalik itu semua.
a. Tangga nada kromatik
Merupakan kumpulan dari semua nada dalam musik. Karena nada
selalu berulang tiap oktaf yang ada, maka istilah “tangga nada
kromatik” sering dipakai untuk ke-12 nada tiap oktaf.
Tabel 2.1. Tangga nada kromatik dalam musik
C C ♯
D♭
D D ♯
E♭
E F F ♯
G♭
G G ♯
A♭
A A ♯
B♭
B C
Meskipun ada 12 nada dalam satu oktaf, tapi hanya 7 huruf pertama
dari abjad yang dipakai untuk memberi nama pada nada, yaitu dari A
sampai dengan G. Kelima nada yang lain diberi nama dengan
memberi tanda kres (♯) atau mol (♭) setelah notasi nada.

6. 6
b. Tangga Nada Mayor
Tangga nada mayor adalah tangga nada yang sangat umum yang biasa
kita kenal dengan istilah: do-re-mi-fa-so-la-si-do. Tangga nada ini
disusun berdasarkan kombinasi interval semiton antara nada-nada
yang ada. Aturannya adalah:
2 (tone) – 2 (tone) – 1 (semitone) – 2 (tone) – 2 (tone) – 2(tone) –
1(semitone)
Jarak 2 nada berdekatan disebut semitone, dan dua buah semitone
disebut tone. Ada juga yang menuliskan seperti di bawah ini, sebagai
contoh tangga nada C.
Tabel 2.2. Tangga Nada Mayor
1 2 3 4 5 6 7 8
C D E F G A B C
C ♯ D ♯ F F ♯ G ♯ A ♯ C C ♯
D E F ♯ G A B C ♯ D
D ♯ F G G ♯ A ♯ C D D ♯
E F ♯ G ♯ A B C ♯ D ♯ E
F G A A ♯ C D E F
F ♯ G ♯ A ♯ B C ♯ D ♯ F F ♯
G A B C D E F ♯ G
G ♯ A ♯ C C ♯ D ♯ F G G ♯
A B C ♯ D E F ♯ G ♯ A
A ♯ C D D ♯ F G A A ♯
B C ♯ D ♯ E F ♯ G ♯ A ♯ B
3. Penyusunan Akord (Chord)
Contoh akord yang sederhana adalah tipe akord triad (trinada), yaitu
chord yang terdiri dari tiga nada yang memberi suara harmonis. Akord-

7. 7
akord yang lain merupakan kelanjutan dari tipe triad ini. Yang paling
dasar adalah tipe triad mayor. Yaitu penyusunan akord mayor dengan 3
nada penyusun. Triad mayor terdiri dari nada pada tingkat 1, 3, dan 5.
Beberapa akord tipe triad lainnya dapat dilihat pada tabel-tabel berikut ini.
Tabel 2.3. Kombinasi triad lainnya
(http://yoyokpm.files.wordpress.com/2008/04/teori_musik1.pdf)
Dari tabel di atas, misalkan ingin menyusun chord c minor, maka dari
tangga nada C mayor:
Nada : C – D – E – F – G – A – B – C
Tingkat: 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8
Sesuai rumus di tabel, akord c minor adalah dengan memainkan nada C –
E♭ – G.
Penyusunan akord tidak hanya 3 nada (triad). Dengan menambahkan
beberapa nada lainnya maka akord yang dimainkan kedengaran lebih
enak. Berikut ini akan diberikan beberapa rumus untuk menyusun chord
dengan nada lebih dari tiga.
Tabel 2.4. Akord lanjutan dari triad mayor

8. 8
Tabel 2.5. Akord lanjutan dengan kombinasi antara triad mayor dan tingkat lain
Tabel 2.6. Akord lanjutan dari triad minor
Tabel 2.7. Akord lanjutan dengan kombinasi antara triad minor dan tingkat lain
Tabel 2.8. Akord diminis untuk nada mayor

9. 9
Tabel 2.9. Akord diminis untuk nada mayor
(http://yoyokpm.files.wordpress.com/2008/04/teori_musik1.pdf)
III. MATERI POKOK
3.1. Integer Model of Pitch
Pada transposisi akord dan nada, ke-12 nada-nada yang ada harus diubah ke
dalam bentuk bilangan bulat modulo 12 yang disebut dengan integer model of
pitch seperti di bawah ini.
C = 0
C ♯ = D♭ = 1
D = 2
D ♯ = E♭ = 3
E = 4
F = 5
F ♯ = G♭ = 6
G = 7
G ♯ = A♭ = 8
A = 9
A ♯ = B♭ = 10
B = 11

10. 10
Gambar 1: The musical Clock
(Thomas M. Fiore, 2009)
Sesuai dengan bentuk di atas, akord C mayor yang terdiri dari nada-nada
{C,E,G} diubah ke dalam bentuk bilangan bulat pada nada (integer model of
pitch) menjadi {0,4,7}. Hal ini juga berlaku untuk akord yang lain.
Tabel 3.1. Akord Triad Mayor
Nada Mayor dalam musik Nada Mayor dalam matematika
C = {C,E,G} C = {0,4,7}
C ♯ = D♭ = {C ♯, F, G ♯} C ♯ = D♭ = {1, 5, 8}
D = {D, F ♯, A} D = {2, 6, 9}
D# = E♭ = {D ♯, G, A ♯} D ♯ = E♭ = {3, 7, 10}
E = {E, G ♯, B} E = {4, 8, 11}
F = {F, A, C} F = {5, 9, 0}
F ♯ = G♭ = {F ♯, A ♯, C ♯} F ♯ = G♭ = {6, 10, 1}

11. 11
G = {G, B, D} G = {7, 11, 2}
G ♯ = A♭ = {G ♯, C, D ♯} G ♯ = A♭ = {8, 0, 3}
A = {A, C ♯, E} A = {9, 1, 4}
A ♯ = B♭ = {A ♯, D, F} A ♯ = B♭ = {10, 2,5}
B = {B, D ♯, F ♯} B = {11, 3, 6}
Tabel 3.1. Akord Triad Minor
Nada minor dalam musik Nada minor dalam matematika
c = {C,E ♭,G} c = {0, 3, 7}
c ♯ = d♭ = {C ♯, E, G ♯} c ♯ = d♭ = {1, 4, 8}
d = {D, F, A} d = {2, 5, 9}
d ♯ =e♭ = {D ♯, Gb, A ♯} d ♯ = e♭ = {3, 6, 10}
e = {E, G, B} e = {4, 7, 11}
f = {F, Ab, C} f = {5, 8, 0}
f ♯ = g♭ = {F ♯, A, C ♯} f ♯ = g♭ = {6, 9, 1}
g = {G, Bb, D} g = {7, 10, 2}
g ♯ = a♭ = {G ♯, B, D ♯} g ♯ = a♭ = {8, 11, 3}
a = {A, C, E} a = {9, 0, 4}

12. 12
a ♯ = b♭ = {A ♯, Db, F} a ♯ = b♭ = {10, 1, 5}
b = {B, D, F ♯} b = {11, 2, 6}
Bentuk penerapannya pada piano diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
C mayor G mayor
3.2. Fungsi Transposisi
Definisi: Transposisi dengan n bilangan bulat mod 12 adalah fungsi : →
, ( ) = + ( 12).
(Thomas M. Fiore, 2009)
Keterangan: n = 0, 1, 2, 3, ..., 11 (searah jarum jam pada the musical clock)
x = anggota himpunan nada
Berdasarkan definisi di atas, jelas bahwa fungsi transposisi merupakan
fungsi yang memetakan ke . Berikut penjabaran rumus fungsi
transposisi untuk setiap n.
( ) = + 0( 12)
( ) = + 1( 12)
( ) = + 2( 12)
( ) = + 3( 12)
( ) = + 4( 12)
( ) = + 5( 12)
( ) = + 6( 12)
( ) = + 7( 12)
( ) = + 8( 12)
0 4 7 2 7 11

13. 13
( ) = + 9( 12)
( ) = + 10( 12)
( ) = + 11( 12)
3.3. Penggunaan Fungsi Transposisi pada Akord Triad
Untuk melakukan transposisi pada akord triad, dapat dilakukan dengan
melakukan transposisi pada tiap-tiap nada penyusunnya. Berikut ini contoh
Transposisi pada akord triad mayor dengan nada dasar C mayor {0,4,7} .
1. Nada dasar C ke C , maka n = 0
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(0) = 0 + 0( 12) (4) = 4 + 0( 12)
= 0( 12) = 4( 12)
( ) = + ( 12)
(7) = 7 + 0( 12)
= 7( 12) C = {0,4,7} menjadi C = {0,4,7}
2. Nada dasar C ke C ♯ , maka n = 1
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(0) = 0 + 1( 12) (4) = 4 + 1( 12)
= 1( 12) = 5( 12)
( ) = + ( 12)
(7) = 7 + 1( 12)
= 8( 12) C = {0,4,7} menjadi C# = {1,5,8}
3. Nada dasar C ke D, maka n = 2
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(0) = 0 + 2( 12) (4) = 4 + 2( 12)
= 2( 12) = 6( 12)

14. 14
( ) = + ( 12)
(7) = 7 + 2( 12)
= 9( 12) C = {0,4,7} menjadi D = {2,6,9}
4. Nada dasar C ke D ♯, maka n = 3
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(0) = 0 + 3( 12) (4) = 4 + 3( 12)
= 2( 12) = 7( 12)
( ) = + ( 12)
(7) = 7 + 3( 12)
= 10( 12) C = {0,4,7} menjadi D# = {3,7,10}
5. Nada dasar C ke E, maka n = 4
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(0) = 0 + 4( 12) (4) = 4 + 4( 12)
= 4( 12) = 8( 12)
( ) = + ( 12)
(7) = 7 + 4( 12)
= 11( 12) C = {0,4,7} menjadi E = {4,8,11}
6. Nada dasar C ke F, maka n = 5
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(0) = 0 + 5( 12) (4) = 4 + 5( 12)
= 5( 12) = 9( 12)
( ) = + ( 12)
(7) = 7 + 5( 12)
= 0( 12) C = {0,4,7} menjadi F = {5,9,0}
7. Nada dasar C ke F ♯, maka n = 6

15. 15
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(0) = 0 + 6( 12) (4) = 4 + 6( 12)
= 6( 12) = 10( 12)
( ) = + ( 12)
(7) = 7 + 6( 12)
= 1( 12) C = {0,4,7} menjadi F# = {6,10,1}
8. Nada dasar C ke G, maka n = 7
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(0) = 0 + 7( 12) (4) = 4 + 7( 12)
= 7( 12) = 11( 12)
( ) = + ( 12)
(7) = 7 + 7( 12)
= 2( 12) C = {0,4,7} menjadi G = {7,11,2}
9. Nada dasar C ke G ♯, maka n = 8
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(0) = 0 + 8( 12) (4) = 4 + 8( 12)
= 8( 12) = 0( 12)
( ) = + ( 12)
(7) = 7 + 8( 12)
= 3( 12) C = {0,4,7} menjadi G# = {8,0,3}
10. Nada dasar C ke A, maka n = 9
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(0) = 0 + 9( 12) (4) = 4 + 9( 12)
= 9( 12) = 1( 12)
( ) = + ( 12)
(7) = 7 + 9( 12)

16. 16
= 4( 12) C = {0,4,7} menjadi A = {9,1,4}
11. Nada dasar C ke A ♯, maka n = 10
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(0) = 0 + 10( 12) (4) = 4 + 10( 12)
= 10( 12) = 2( 12)
( ) = + ( 12)
(7) = 7 + 10( 12)
= 5( 12) C = {0,4,7} menjadi A# = {10,2,5}
12. Nada dasar C ke B, maka n = 11
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(0) = 0 + 11( 12) (4) = 4 + 11( 12)
= 11( 12) = 3( 12)
( ) = + ( 12)
(7) = 7 + 11( 12)
= 6( 12) C = {0,4,7} menjadi B = {11,3,6}
Contoh transposisi nada dasar F menjadi G pada not balok
Nada dasar F
Transposisi ke G
3.4. Penerapan pada Lagu
Rumus fungsi transposisi akord dan nada dapat digunakan untuk
mentransposisi lagu. Sebagai contoh, akan dilakukan transposisi pada lagu

17. 17
“Semangat Baru” yang dipopulerkan oleh Ello, Ipank, Berry, dan Lala,
dengan akord dan syair sebagai berikut:
[intro] C Dm F C 2x
C Dm F C
hello teman semua ayo kita sambut, hari baru telah tiba
C Dm F C
apa yang kurasakan ku ingin engkau tahu dan berbagi bersama
[chorus]
C Dm
buka kita buka hari yang baru sebagai semangat langkah ke depan
F C
jadi pribadi baru
C Dm
buka kita buka jalan yang baru tebarkan senyum wajah gembira
F G C
dalam suasana baru
Susunan akord-akord pada lagu Semangat Baru adalah sebagai berikut.
C - Dm - F – C
Lagu tersebut memiliki nada dasar C mayor. Andaikan saja, seorang penyanyi
merasa bahwa nada dasar C mayor ini tidak sesuai untuk jenis dan tingkat
suaranya, maka perlu dilakukan transposisi pada akord-akord penyusun lagu
tersebut. Misalkan orang tersebut ingin mengubah nada dasar C mayor
menjadi G mayor, maka transposisinya sebagai berikut.
1. Perpindahan nada dasar C menjadi G
Perpindahan dari nada dasar C ke G adalah sebanyak 7 langkah (step),
maka n = 7.
a. Akord C = {0, 4, 7}
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(0) = 0 + 7( 12) (4) = 4 + 7( 12)

18. 18
= 7( 12) = 11( 12)
( ) = + ( 12)
(7) = 7 + 7( 12)
= 2( 12) Akord C = {0,4,7} menjadi G = {7,11,2}
b. Akord Dm = {2, 5, 9}
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(2) = 2 + 7( 12) (5) = 5 + 7( 12)
= 9( 12) = 0( 12)
( ) = + ( 12)
(9) = 9 + 7( 12)
= 4( 12) Akord Dm = {2, 5, 9} menjadi Am = {9, 0, 4}
c. Akord F = {5, 9, 0}
( ) = + ( 12) ( ) = + ( 12)
(5) = 5 + 7( 12) (9) = 9 + 7( 12)
= 0( 12) = 4( 12)
( ) = + ( 12)
(0) = 0 + 7( 12)
= 7( 12)
Akord F = {5, 9, 0} menjadi C = {0, 4, 7}
Dengan demikian, susunan akord-akord yang baru dengan nada dasar
G mayor adalah,
Akord dasar : C – Dm – F – C
Hasil Transposisi : G – Am – C – G

19. 19
IV. PENUTUP
4.1. Kesimpulan
Berdasarkan uraian dan penjelasan di atas, penerapan matematika dalam
bidang musik khususnya dalam melakukan transposisi akord dan nada sangat
membantu. Kita dapat mengubah nada dasar dan akord penyusun lagu,
dengan menggunakan rumus fungsi transposisi ( ) = + ( 12).
DAFTAR PUSTAKA
Crans, Alissa, Thomas M Fiore, dan Satyendra. 2009. Musical Action of Dihedral
Group.
https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Hasse/Cran
s2011.pdf Diakses pada tanggal 6 Desember 2013.
Fiore, Thomas. Music and Mathematics. fioreth@umich.edu diakses pada tanggal
15 Februari 2014.
Gloria, Soli Deo, Jimmi Hasugian. Teori Musik.
http://yoyokpm.files.wordpress.com/2008/04/teori_musik1.pdf. Diakses
pada tanggal 24 Oktober 2013.
Lipschut, Seymour. 1989. Teori Himpunan (Set Theory). Diterjemahkan oleh
Fantur Silaban. Jakarta: Erlangga.
Munir, Rinaldi. 2003. Matematika Diskrit. Edisi kedua. Bandung: Informatika.
Negoro, B.Harahap. 1982. Ensiklopedia Matematika. Edisi kelima. Jakarta:
Ghalia Indonesia.
Suaefrizal. 2011. Aplikasi Matematika pada Transposisi Tangga Nada Musik.
Skripsi. Medan: Universitas Sumatera Utara.

20. 20
Sukarman, Herry. 1993. Materi Pokok Teori Bilangan. Jakarta: Universitas
Terbuka, Depdikbud.
. Phytagoras. http://www.robertnowlan.com/pdfs/Pythagoras.pdf
diakses pada tanggal 15 Februari 2014.