Dokumen tersebut membahas tentang konsep-konsep matematika dasar dimensi tiga seperti titik, garis, bidang, jarak, proyeksi, sudut, volume dan luas permukaan bangun ruang seperti kubus, balok, prisma tegak, limas, silinder, kerucut dan bola beserta contoh soalnya.

1. DIMENSI
TIGA
MATEMATIKA WAJIB
DiwantiAulia Hasanah
Suci Kurniati
Taqiyyuddin Hammam Afiify

2. DIMENSI TIGA
MATEMATIKA WAJIB | 1
A. TITIK, GARIS, DAN BIDANG
1. Titik
Dalam “dunia menulis” titik merupakan tanda yang digunakan untuk
mengakhiri sebuah kalimat, sedangkan dalam “dunia matematika” titik
merupakan sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran.
Sama seperti dalam dunia menulis, dalam dunia matematika titik
direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”. Hanya saja dalam dunia
matematika titik diber nama dengan menggunakan huruf kapital seperti A,
B, atau C, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua
buah titik, yaitu titik B dan titik Q.
2. Garis
Garis adalah himpunan titik-titik yang anggotanya terdiri dari lebih
dari satu buah titik. Titik-titik tersebut berderet ke kedua arah yang
berlawanan sampai jauh tak terhingga. Model atau representasi suatu garis
misalnya seperti seutas benang atau tali lurus yang dapat diperpanjang
kedua arah yang berlawanan sampai jauh tak terhingga. Garis hanya
mempunyai ukuran panjang. Berbeda dengan titik yang diberi nama
menggunakan satu buah huruf kapital, sedangkan garis diberi nama
dengan menggunakan huruf kecil seperti g, h, k, dan seterusnya, atau dua
buah huruf kapital seperti AB, AC, BC, dan seterusnya. Pada gambar di
bawah ini diperlihatkan dua buah garis, yaitu garis h dan garis AC.
3. Bidang
Bidang adalah himpunan garis-garis yang anggotanya terdiri dari lebih
dari satu buah garis. Jadi, pada sebuah bidang, terdiri dari banyak sekali
garis. Model sebuah bidang adalah permukaan sebuah kertas yang dapat
diperlebar ke semua arah. Bidang mempunyai ukuran panjang dan lebar
serta diberi nama dengan menyebutkan titik-titik sudut dari bidang
tersebut atau memakai huruf α, β, γ , dan seterusnya. Pada gambar di
bawah ini diperlihatkan dua buah bidang, yaitu bidang α dan bidang
ABCD.

3. DIMENSI TIGA
MATEMATIKA WAJIB | 2
B. Jarak
1) Garis Tegak Lurus
Bidang
Sebuah garis tegak
lurus pada sebuah
bidang jika garis itu
tegak lurus pada setiap
garis di bidang itu.
2) Jarak Titik dan Garis
Jarak titik A dan garis g
adalah panjang ruas
garis AA’, dengan titik
A’ merupakan proyeksi
A pada g.
3) Jarak titik dan bidang
Jarak antara titik A dan
bidang adalah panjang
ruas garis AA’ dengan
titik A’ merupakan
proyeksi titik A pada
bidang.
4) Jarak Antara Dua Garis
Sejajar
Menentukan jarak dua
garis sejajar adalah
dengan membuat garis
yang tegak lurus
dengankeduanya.Jarak
kedua titik potong
merupakan jarak kedua
garis tersebut.
5) Jarak Garis dan Bidang
yang Sejajar
Menentukanjarak garis
dan bidang adalah
dengan
memproyeksikan garis
pada bidang. Jarak
antara garis dan
bayangannya
merupakan jarak garis
terhadap bidang.

4. DIMENSI TIGA
MATEMATIKA WAJIB | 3
6) Jarak Antar titik sudut pada kubus
Contoh 1:
CATATAN PENTING
Pada saat menentukan jarak, hal pertama yang harus dilakukan adalah membuat garis–
garis bantu sehingga terbentuk sebuah segitiga sehingga jarak yang ditanyakan akan
dapat dengan mudah dicari.
1. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 12 cm. Titik P adalah
perpotongan diagonal bidang ABCD. Tentukan jarak titik P ke titik G!
2. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm, jarak titik B ke
diagonal ruang AG adalah...
Penyelesaian:
1.
AC panjangnya 12√2, sementara PC adalah setengah dari AC. Sehingga PC =
6√2 cm. CG = 12 cm.

5. DIMENSI TIGA
MATEMATIKA WAJIB | 4
C. PROYEKSI DAN
SUDUT
1. Sudut Antara Garis dan Bidang
Sudut antara garis dan bidang merupakan sudut antara garis dan
bayangannya bila garis tersebut diproyeksikan pada bidang.
2. Sudut Antara Dua Bidang
Sudut antara dua bidang adalah
sudut yang dibentuk oleh dua
garis yang tegak lurus garis potong
pada bidang  dan 
2. Misalkan jaraknya adalah BP, dimana BP dengan AG harus tegak lurus.
Ambil segitiga ABG sebagai acuan perhitungan. Jika AB dijadikan alas
segitiga, maka BG menjadi tingginya. Jika AG yang dijadikan alas, maka
tinggi segitiganya adalah BP, dimana BP itulah yang hendak dicari.
alas1 x tinggi1 = alas2 x tinggi2

6. DIMENSI TIGA
MATEMATIKA WAJIB | 5
Contoh 2:
CATATAN PENTING
Pada saat menentukansudut,hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan titik
potong antara dua obyek yang akan dicari sudutnya, kemudian buat garis-garis bantu
sehingga terbentuk sebuah segitiga.
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Panjang proyeksi DE
pada BDHF adalah...
2. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang
memiliki panjang AB = 4 cm dan TA = 6 cm. Jarak titik C ke garis AT
=...
Penyelesaian:
1.
Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah DD':
DH = 8
D’H = ½ FH
= ½ . 8
= 4
2.
T
CA
6
6
4
O

7. DIMENSI TIGA
MATEMATIKA WAJIB | 6
D. Volume dan Luas Permukaan Benda-Benda Ruang
1. Kubus
Misalkan sisi kubus = a
Volume kubus = 𝑎3
dan
Luas permukaan kubus = 6𝑎2
2. Balok
Misalkan panjang balok = 𝑝,
Lebar balok = 𝑙, dan
Tinggi balok = 𝑡, maka
Volume balok = 𝑝𝑙𝑡, dan
Luas permukaan balok = 2(𝑝𝑙 + 𝑙𝑡 + 𝑝𝑡)
3. Prisma Tegak
Pada prisma tegak berlaku,
Volume prisma tegak = luas bidang alas × panjang sisi tegak (tinggi)
prisma atau
Luas permukaan prisma tegak = 2 × luas bidang alas (atau luas bidang
atas) × luas selubung.
Pada prisma tegak, luas bidang atas = luas bidang alas
4. Limas
Pada limas segi-n beraturan berlaku,
Volume limas =
1
3
× 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖
Luas permukaan limas = 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 + 𝑛 × 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘
5. Silinder (tabung)
Pada silinder berlaku,
Volume tabung = 𝜋𝑟2
𝑡 dan
Luas permukaan tabung = 𝜋𝑟(𝑟 + 𝑡)
6. Kerucut
Pada kerucut berlaku,
Volume kerucut =
1
3
𝜋𝑟2
𝑡 dan
Luas permukaan kerucut = 𝜋𝑟(𝑟 + 𝑠)
7. Bola
Pada bola berlaku,
Volume bola =
4
3
𝜋𝑟3
dan
Luas permukaan bola = 4𝜋𝑟2
AC = 4
cos 𝑇 =
(4 )
2
− (62
− 62)
− .6.6
=
40
7
𝑇 = 56°
𝑂𝐶
sin 56
=
6
sin 90
→ 𝑂𝐶 = 𝑆𝑖𝑛 56.6 = 4,9 𝑐𝑚

8. DIMENSI TIGA
MATEMATIKA WAJIB | 7
Contoh 3:
E. Menggambar Bangun Ruang
Pengertian dasar dalam menggambar bangun ruang
1. Bidang gambar, yaitu bidang datar tempat kita akan menggambar.
Misalkan kertas, papan tulis, dan sebagainya.
2. Bidang frontal, yaitu bidang pada gambar yang akan digambar sejajar
dengan bidang gambar. Pada gambar (i) bidang frontalnya ABFE.
3. Bidang ortogonal, adalah bidang yang tegak lurus bidang frontal. Pada
gambar disamping, bidang ortogonalnya adalah ADHE, BCGF, ABCD,
AFGH.
4. Garis frontal, yaitu garis-garis yang membentuk bidang frontal.
Garis frontal terdiri atas garis frontal vertikal, contohnya BF, atau AE
pada gambar disamping, dan gairs horizontal, contohnya AB atau EF
pada gambar disamping.
5. Garis ortogonal, yaitu garis-garis yang tegak lurus pada bidang frontal.
Pada gambar disamping, gairs ortogonalnya adalah EH, FG, AD, dan
BC.
6. Sudut surut atau sudut menyisi, yaitu sudut yang dibentuk antara garis
frontal horizotal ke kanan dengan garis ortogonal ke belakang. Sudut
surut menggambarkan seberapa jauh kemiringan garis ortogonal
terhadap garis frontal horizontal. Pada gambar diatas, sudut surutnya
𝛼.
7. Perbandingan proyeksi (perbandingan ortogonal), yaitu perbandingan
antara panjang garis ortagonal dalam gambar dengan panjang garis
ortogonal sebenarnya. Kecuali dinyatakan dengan perbandingan
tertentu, perbandingan ortogonal adalah sin𝜃 = 1.
1. Tentukan volume sebuah bola berjari-jari 4 cm!
2. Sebuah kerucut mempunyai jari-jari bidang alasnya 8
cm dan tingginya 15 cm. Hitunglah volume kerucut
tersebut (𝜋 = 3,14)!
Penyelesaian:
1. 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3
=
4
3
𝜋43
=
56
3
𝜋
Jadi, volume bola tersebut adalah
256
3
𝜋𝑐𝑚3
2. Volume kerucut =
1
3
𝜋𝑟2
𝑡
=
1
3
(3,14).82
. 15
=
1
3
(3014,4)
= 1004,8
Jadi, volume bola tersebut adalah 1004,8 𝑐𝑚3

9. DIMENSI TIGA
MATEMATIKA WAJIB | 8
Contoh 4:
1. Gambarkan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm,
bidang frontal ABFE, garis frontal horizontal ABC, susut surut 60°,
dan perbandingan orthogonal 1:2.
2. Gambarkan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 20 cm,
skala 1 : 5, bidang frontal ACGE, garis frontal horizontal AC, sudut
surut 120°, dan perbandingan proyeksi
3
4
.
Penyelesaian:
1. AE = 4 cm
AD = 4 cm
Karena AD merupakan garis
orthogonal dengan perbandingan
orthogonal 1:2, maka panjang AD
pada gambar =
1
2
× 4 = 𝑐𝑚.
Sudut surut, ⦟BAD = 60°.
2. Panjang rusuk =
1
5
× 0 = 4 𝑐𝑚.
Panjang AC = 4 cm.
Titik p terletak di tengah AC
sehingga panjang PB = PD =
Panjang PD dan PB pada gambar:
=
3
4
×
=
3
2
cm
Sudut surut, ⦟CPD = 120°.
A B
C
D
60°
60°E
H G
F
A
B
C
D
E
H
G
F
120°
P

10. DIMENSI TIGA
MATEMATIKA WAJIB | 9
Latihan soal
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dan panjang rusuk-rusuknya a cm,
pernyataan berikut benar, kecuali...
(A) Bidang –bidang diagonalnya kongruen
(B) Jumlah bidang sisi dan bidang diagonal 12 buah
(C) Sudut antara garis AE dan bidang alas 45°
(D) Panjang diagonal sisi 𝑎 cm
(E) Panjang garis diagonal ruang 𝑎 3
2. Panjang diagonal ruang suatu kubus adalah 48 cm, maka panjang rusuk
tersebut adalah... cm
(A) 16
(B) 9
(C) 8
(D) 7
(E) 4
3. Pada kubus ABCD.EFGH, diketahui panjang rusuk 10 cm. Luas segitiga
ACH adalah...cm2
(A) 25
(B) 25
(C) 25 3
(D) 50
(E) 50 3
4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 6 cm. Volume limas C.AHF
adalah...
(A) 144 cm3
(B) 72 cm3
(C) 36 cm3
(D) 32 cm3
(E) 26 cm3
5. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a. Jarak A ke diagonal HB
adalah...
(A)
𝑎
2
6
(B)
𝑎
3
6
(C)
𝑎
4
6
(D)
𝑎
5
6
(E)
𝑎
6
6
6. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuknya a cm, jarak antara F ke bidang
ABG adalah...
(A) a

11. DIMENSI TIGA
MATEMATIKA WAJIB | 10
(B)
1
2
𝑎
(C)
1
3
𝑎
(D)
1
2
𝑎
(E) tidak ada yang benar
7. Pernyataan yang salah tentang kedudukan garis dengan bidang adalah...
(A) Garis memotong bidang
(B) Garis terletak pada bidang
(C) Garis sejajar bidang
(D) Garis bersilang dengan bidang
(E) Garis menembus bidang
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH. besar sudut ABG adalah...
(A) 30°
(B) 45°
(C) 60°
(D) 75°
(E) 90°
9. Pada kubus ABCD.EFGH. dengan M dan N merupakan titik-titik
perpotongan antara diagonal-diagonal sisi alas dan atas, maka garis yang
sejajar dengan MH adalah...
(A) BN
(B) AB
(C) BF
(D) AE
(E) CG
10. Pada kubus ABCD.EFGH, bidang ACH membagi kubus atas dua bagian
dengan perbandingan volume...
(A) 1 : 2
(B) 3 : 1
(C) 1 : 6
(D) 1 : 5
(E) 1 : 4