Presentación inversa de una matriz y determintes

1. Clase # 3
Inversa de una matriz
Determinantes

2. Introducción
 Si es una matriz cuadrada, se llama matriz inversa de A
y se denota A-1 a una matriz del mismo orden que A
que verifica la siguiente igualdad:
(Siendo I la matriz identidad
de igual orden que A)
 Si una matriz posee inversa se dice que es invertible en
caso contrario se llama singular, debido a que no todas
las matrices cuadradas pueden tener inversa.
Matriz inversa:
1 1
. .A A A A I 
 

3. Determinante de una matríz

4. Ejemplo:
1
.A A I

Multiplico los elementos de
las filas de la primer matriz
por los elementos de las
columnas de la segunda y
sumo los productos:
Para la fila 1, columna 1:
2.a+(-1).c=2.a-c
Para la fila 1, columna 2:
2.b+(-1).d=2.b-d
Para la fila 2, columna 1:
1.a+1.c=a+c
Para la fila 2, columna 2:
1.b+a.d=b+d
Ahora a partir de esto puedo armar un sistema de ecuaciones que me permita hallar A-1
2 1 1 0
.
1 1 0 1
a b
c d
     
     
     
Sea A= , hallar si es posible A-1
2 1
1 1
 
 
 
2 2 1 0
0 1
a c b d
a c b d
    
       

5. Sea A= , hallar si es posible A-1
2 1
1 1
 
 
 
2 2 1 0
0 1
a c b d
a c b d
    
       
2 1
0
3 0 1
3 1
1/ 3
1/ 3
a c
a c
a c
a
a
c a
c
 

 
 


 
 
2 0
1
b d
b d
 

 
2 1
0
a c
a c
 

 
2 0
1
3 0 1
3 1
1/ 3
1
1 1/ 3
2 / 3
b d
b d
b d
b
b
d b
d
d
 

 
 


 
 

A partir de esta igualdad podemos
deducir las siguientes ecuaciones:
2.a-c=1 2b-d=0
a+c=0 b+d=1
 Armar estos sistemas de ecuaciones…
…Y resolverlos por alguno de los métodos vistos
(suma, resta, igualación, sustitución, etc…)
En este caso fue resuelto por la suma de
las ecuaciones del sistema y el posterior
despeje de las incógnitas….
Ejemplo:

6. Ejemplo:
1
.A A I

Sea A= , hallar si es posible A-1
2 1
1 1
 
 
 
2 1
.
1 1
a b
c d
   
   
   
Ahora que se el valor de mis incógnitas las ubico en la matriz y verifico que sea la
matriz inversa de A
1 1
2 1 3 3
.
1 1 1 2
3 3
 
    
    
    
  
Para la fila 1, columna 1:
2.(1/3)+(-1).(-1/3)= 1
Para la fila 1, columna 2:
2.(1/3)+(-1).(2/3)=0
Para la fila 2, columna 1:
1.a+1.c=a+c
Para la fila 2, columna 2:
1.b+a.d=b+d
1
1
0
0
 El resultado coincide con
los valores de la identidad…

7. Ejemplo: Sea A= , hallar si es posible A-1
2 1
1 1
 
 
 
… lo que significa que hemos encontrado la matriz inversa de A
1
1 1
3 3
1 2
3 3
A
 
 
  
 
  

8. Otra forma de encontrar la inversa
de una matriz de 2x2 es la
siguiente:
Veamos:

9. Matrices no invertibles

10.  El método recién explicado resulta sencillo con una
matriz de 2x2 pero al querer aplicarlo en matrices mas
grandes se hace mas complicado el despeje de las
incógnitas….
… es por ello que veremos el método Gauss Jordan.

11. Inversa de una matriz de 3x3

15. Ejercicios

16. Determinantes

17. Ejemplo