1. TUGAS TELAAH MATEMATIKA II
BARISAN DAN DERET
DISUSUN OLEH :
Aditin Putria (06111008028)
Agatha Indy Candra Dewi (06111008037)
Meta Apriani (06111008030)
Dosen Pengasuh :
Drs. Budi Santoso, M.Si.
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2012/2013
2. Daftar Isi
Daftar Isi……………………………………………………….............................. 1
Peta Konsep…………………………………………..........................…………… 2
Glosarium………………………………………….........................…………….... 3
Bab I Pendahuluan
A. Deskripsi................................................................................................. 4
B. Prasyarat.................................................................................................. 4
C. Standar Kompetensi................................................................................ 4
D. Kompetensi Dasar................................................................................... 4
E. Indikator Hasil belajar..............................................................................4
Bab II Materi Pembelajaran
A. Materi Dasar Pola Bilangan......................................................................4
B. Barisan dan Deret..................................................................................... 6
1. Barisan Bilangan.................................................................................. 6
2. Barisan dan Deret Aritmatika.............................................................. 10
3. Barisan dan Deret Geometri................................................................. 12
Bab III Latihan dan Pengayaan
A. Soal Latihan dan Pengayaan.....................................................................14
B. Kunci Jawaban Pengayaan........................................................................15
Daftar Pustaka......................................................................................................... 16
3. GLOSARIUM
Tentu saja dalam Modul ini Anda akan menemukan simbol-simbol yang belum Anda
dapatkan sebelumnya. Oleh karena itu Anda harus
memperhatikan dengan seksama glosarium ini.
n : suku
Un : Suku ke - n
Sn : Jumlah suku ke - n
b : beda
r : rasio
4. BAB I
Pendahuluan
A. DESKRIPSI
Modul ini terdiri atas 3 bagian proses pembelajaran sesuai dengan sub kompetensinya,
yaitu :
1. Membahas tentang pengertian barisan dan menentukan
rumus suku ke – n suatu barisan bilangan
2. Bagaimana menentukan rumus suku ke – n dan rumus jumlah suku ke – n deret
aritmetika
3. Bagaimana mencari suku tengah dan sisipan
4. Bagaimana menentukan rumus suku ke – n dan rumus jumlah suku ke – n deret
geometri
B. PRASYARAT
1. Mengetahui Pola Bilangan
2. Terampil dalam operasi pada bentuk aljabar
3. Memahami konsep sigma
C. STANDAR KOMPETENSI
Setelah mempelajari modul ini diharapkan siswa dapat:
Siswa dapat menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.
D. KOMPETENSI DASAR
Siswa dapat menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan
geometri
E. TUJUAN AKHIR (INDIKATOR HASIL BELAJAR)
1. Siswa dapat memahami pengertian barisan bilangan
2. Siswa dapat menjelaskan rumus suku ke-n deret aritmetika dan geometri
3. Siswa dapat menjelaskan suku tengah dan sisipan
4. Siswa dapat menjelaskan rumus jumlah suku ke – n deret aritmetika dan geometri
5. Bab II
Materi Pembelajaran
A. Pola Bilangan
Gambar di samping adalah gedung pertunjukan
yang mempunyai 40 tempat duduk pada barisan
paling depan. Setiap baris tempat duduk tersebut
4 kursi lebih banyak daripada baris di depannya.
Apabila kamu tuliskan banyaknya tempat duduk
pada setiap baris,diperoleh tabel sebagai berikut.
1 2 3 4 5 ... 20
40 44 48 52 56 ... 116
Amati bilangan-bilangan 40, 44, 48, 52, 56, ..., 116. Bilangan-bilangan tersebut membentuk
suatu kumpulan (himpunan) bilangan dengan pola tertentu, yang setiap suku berikutnya
diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 4
1. Pengertian Pola Bilangan
Jika kamu amati, anggota-anggota himpunan bilangan yang telah dipelajari, diurutkan
dengan suatu aturan tertentu sehingga bilangan-bilangan pada himpunan tersebut
membentuk suatu barisan. Suatu barisan bilangan dapat ditunjukkan dengan pola-pola.
Untuk itu, pelajarilah barisan bilangan berikut ini.
Barisan 1, 3, 5, 7, 9 ... disebut barisan bilangan ganjil.
Barisan 2, 4, 6, 8, ....Barisan ini disebut barisan bilangan asli genap
Pola tersebut dapat disusun dengan barisan bilangan berikut.
1=1
3=1+2
6=1+2+3
10 1 + 2 + 3 + 4
Pola bilangan tersebut adalah salah satu contoh barisan bilangan segitiga.
6. Amati pola bilangan pada Gambar di bawah ini
Pola bilangan pada Gambar di atas disebut pola bilangan persegi. Mengapa?
Diskusikan dengan temanmu.
Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut.
1 = 1 atau 12 = 1
4 = 1 + 3 atau 22 = 1 + 3
9 = 1 + 3 + 5 atau 32= 1 + 3 + 5
16 = 1 + 3 + 5 + 7 atau 42 = 1 + 3 + 5 + 7
Pola bilangan persegi panjang di antaranya dapat kamu lihat pada Gambar di bawah
ini
Pola tersebut dapat disusun dari barisan bilangan berikut.
2 = 1 × 2 12 = 3 × 4
6 = 2 × 3 20 = 4 × 5
Mengapa barisan tersebut dinamakan barisan persegipanjang? Coba kamu jelaskan.
7. B. Barisan dan Deret
1. Barisan Bilangan
a. Mengenal pengertian barisan suatu bilangan
Perhatikan ilustrasi berikut! Seorang karyawan pada awalnya memperoleh gaji
sebesar Rp.600.000,00. Selanjutnya, setiap bulan berikutnya gaji yang diperoleh
bertambah Rp.5.000,00. jika kita susun gaji karyawan itu mulai bulan pertama
adalah sebagai berikut.
Rp.600.000,00, Rp.605.000,00, Rp.610.000,00, Rp.615.000,00,........
Susunan yang demikian dinamakan barisan. Bilangan pertama disebut suku
pertama (U1),bilangan kedua disebut suku kedua (U2), dan seterusnya.Suku ke-n
dari suatu barisan bilangan dinotasikan dengan Un.
Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.
Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan dengan aturan
atau pola tertentu.
Suku dari barisan bilangan adalah setiap bilangan pada barisan bilangan
tersebut.
b. Menentukan dan menghitung suku ke-n suatu barisan bilangan.
Seperti yang telah kalian ketahui bahwa suatu barisan selalu memiliki pola yang
teratur sehingga suku ke-n dapat ditentukan. Jika pola barisan bilangan telah
diketahui kalian dapat dengan mudah menentukan suku ke-n barisan tersebut.
Perhatikan contoh berikut!
1. Manakah suku yang harus diganti dari barisan di bawah ini?
2,3,5,7,9,13,17,19,23,29,...........
Jawab:
Jika dipandang sekilas tampaknya suku pertama yang harus diganti sebab bukan bilangan
ganjil. Namun, dengan mengganti suku pertama ternyata belum menjadi barisan yang benar
(lihat suku ke-6,ke-7, ke-8, ke-9,dan ke-10). Jadi, manakah yang harus kita ganti? Ternyata
semua bilangan pada barisan di atas adalah bilangan prima, kecuali suku ke-5 sehingga suku
ke-5 itulah yang harus diganti dengan 11.
8. 1. Jika Un = n 2 -1, tentukan suku-suku dari barisan itu dan bentuklah barisannya!
Jawab:
Un = n2 - 1
U1 = 12 - 1 = 1-1 = 0
U2 = 22 - 1 = 4-1 = 3
U3 = 32 - 1 = 9-1 = 8
U4 = 42 - 1 = 16-1=15
U5 = 52 - 1 = 25-1=24, dan seterusnya.
Jadi barisan bilangan tersebut adalah 0, 3, 8, 15, 24,..........
2. Jika Un = 5n - 3, tentukan suku-suku dari barisan itu dan bentuklah barisannya!
Jawab:
Un= 5n - 3
U1= 5(1) - 3= 5-1=2
U2= 5(2) - 3= 10-1=7
U3= 5(3) - 3= 15-1=12
U4= 5(4) - 3= 20-1=19
U5= 5(5) - 3= 25-1=24, dan seterusnya.
Jadi barisan bilangan tersebut adalah 2, 7, 12, 17, 22,..........
Jika bilangan – bilangan diurutkan dengan aturan tertentu, maka akan diperoleh
suatu barisan bilangan. Tiap-tiap bilangan yang terdapat pada barisan bilangan disebut
suku dari barisan itu. Jika aturan suatu barisan telah diketahui, maka suku berikutnya dari
barisan tersebut dapat ditentukan.
Contoh 1 :
1. 2, 6, 10, 14, . . .
+4 +4 +4
Aturan pembentukannya adalah “ditambah 4” Dua suku berikutnya adalah 18 dan 22
2. 1, 2, 5, 10, . . .
+1 +3 +5
9. Aturan pembentukannya adalah “ditambah bilangan ganjil berurutan” Dua suku
berikutnya adalah 17 dan 26
3. 1, 1, 2, 3, 5, ...
Aturan pembentukannya adalah “suku berikutnya adalah dengan menjumlahkan
dua suku di depannya”. Dua suku berikutnya adalah 3 + 5 = 8 dan 5 + 8 = 13
Barisan bilangan 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... disebut barisan Fibonacci. Suku ke-n dari suatu
barisan bilangan dapat di tulis Un . Dengan demikian suku ke-1 dapat di tulis U1 dan
suku ke-100 dapat ditulis U100 .
a. Barisan dengan aturan di tambah bilangan yang sama. Jika aturan suatu barisan di
tambah b, maka suku ke-n akan memuat
b x n yaitu U n = b x n + .....atau U n = b x n -....
Contoh 2:
1) 5, 8, 11, 14,....
Karena aturannya di tambah 3, maka rumus suku ke-n memuat 3n, yaitu
U1 = 5 = 3 x 1 + 2 ditentukan sendiri agar hasilnya sama dengan yang
dimaksud
U2 = 8 = 3 x 2 + 2 .
Jadi Un = 3 x n + 2
= 3n + 2
2) 3, 6, 9, 12, . . .
+3 +3 +3
U1 = 3 = 3 x 1 U3 = 9 = 3 x 3
U2 = 6 = 3 x 2 U4 = 12 = 3 x 4
Jadi suku ke-n = Un = 3 x n = 3n
3) 4, 8, 12 16, . . .
+3 +3 +3
U1 = 4 = 4 x 1 U3 = 12 = 4 x 3
U2 = 8 = 4 x 2 U4 = 16 = 4 x 4
Jadi suku ke-n = Un = 3 x n = 3n
10. Dari contoh 2 dan 3 di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.
(i) jika aturan barisan ditambah dengan 3, maka rumus suku ke-n memuat 3 x n
(ii) jika aturan barisan ditambah dengan 4, maka rumus suku ke-n memuat 4 x n
Jika aturan suatu barisan ditambah dengan b, maka suku ke-n
akan memuat b x n yaitu Un = b x n + ... atau Un = b x n - ...
Contoh 3:
1) 5, 8, 11, 14,...
+3 +3 +3
karena aturannya ditambah 3, maka rumus suku ke-n memuat 3n, yaitu
U1 = 5 = 3 x 1 + 2 ditentukan sendiri agar hasilnya sama seperti
barisan yang dimaksud
U2 = 8 = 3 x 2 + 2
Jadi, Un = 3 x n + 2
= 3n + 2
Gunakan rumus di atas untuk mengecek suku ke-4, maka:
Un = 3n + 2
U4 = 3 x 4 + 2 = 14 sesuai dengan suku ke-4 pada barisan di atas
b. Barisan dengan aturan dikali atau di pangkatkan
Untuk menentukan suku ke-n barisan seperti ini, maka harus di tentukan hubungan
antara masing-masing suku dengan bentuk bilangan berpangkat.
Contoh 4:
1) 2, 4, 8, 16,....
U1 = 2 = 21 U2 = 4 = 22 , U3 = 8 = 23 , U4 = 16 = 24
Bilangan pokok selalu 2 dan pangkat sesuai dengan urutan suku, maka Un = 2n.
11. 2. Barisan dan Deret Aritmatika
Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah n suku pertama Barisan aritmatika
adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki selisih yang konstan. a, a + b, a
+ 2b, a + 3b ⋅⋅⋅ adalah barisan aritmatika dengan suku pertama = a dan beda = b.
Suku ke-n, Un, dirumuskan dengan : Un = a + (n − 1)b
Jumlah n bilangan pertama, Sn, dirumuskan dengan
Sn = (2a + (n − 1)b) = (a + Un)
Contoh 5 :
Diketahui barisan 2, 5, 8, 11, ⋅⋅⋅. Tentukan suku ke-10 dan jumlah 4 suku pertama.
Solusi : 2, 5, 8, 11, ⋅⋅⋅ adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 2 dan beda 3.
Suku ke-10, U10 = 2 + (10 − 1) ⋅ 3 = 29
Jumlah 4 suku pertama = (2(2) +(4-1)3) = 26
Contoh 6:
2
Sebuah barisan jumlah n buah suku pertama dirumuskan dengan Sn = 3n − 15n, maka U3 =⋅⋅⋅⋅
Solusi : Perhatikan bahwa jika kita mengurangkan jumlah n suku pertama, Sn dengan jumlah
n − 1 suku pertama, Sn-1, maka akan didapatkan suku ke-n, Un.
Jadi, Un = Sn − Sn-1.
2 2
Un = (3n − 15n) − (3(n − 1) − 15(n − 1))
2 2
Un = 3n − 15n − 3n + 6n − 3 + 15n − 15 = 6n − 18
Maka U3 = 6(3) − 18 = 0
Cara lain adalah dengan langsung menghitung U3 = S3 − S2.
12. Suku Tengah
Misalkan Ut menyatakan suku tengah dari suatu barisan aritmatika maka :
Ut =
dengan n merupakan bilangan ganjil
Contoh 7 :
Diketahui 3, ⋅⋅⋅, 13, 15, ⋅⋅⋅ adalah barisan aritmatika. Tentukan suku tengah barisan
tersebut.
Solusi :
3, ⋅⋅⋅, 13, 15 adalah barisan aritmatika. Maka U1 = a = 3 dan Un = 15.
Maka suku tengah, Ut = 21(3 + 15) = 9
Sisipan
Misalkan setiap dua bilangan berurutan pada barisan aritmatika disisipi k buah bilangan
namun tetap membentuk barisan aritmatika. Maka beda barisan tersebut akan memiliki
perubahan dengan suku pertama tetap.
Misalkan bB = beda barisan yang baru dan bL = beda barisan yang lama. Hubungan
keduanya adalah
bB =
Contoh 8:
Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 12, 22, 32, 42. ⋅⋅⋅⋅ disisipi
sebanyak 4 bilangan. Tentukan suku ke-100 dari barisan yang baru.
Solusi :
Beda barisan yang baru adalah bB = =2
Suku pertama, a = 2.
U100 = a + 99bB = 2 + 99 ⋅ 2 = 200
Suku ke-100 = 200.
Jadi, suku ke-100 barisan tersebut adalah 200.
13. 3. Barisan dan Deret Geometri
a. Pengertian, rumus suku ke-n dan rumus Jumlah n suku pertama
Barisan geometri adalah barisan yang setiap dua suku berurutan memiliki
perbandingan yang konstan. Misalkan a, ar, ar, ⋅⋅⋅ adalah barisan geometri dengan
suku pertama = a dan rasio = r maka : Suku ke-n, Un, dirumuskan dengan :
Un = a ⋅ rn-1
Jumlah n bilangan pertama, Sn, dirumuskan dengan :
Sn =
Contoh 9 :
Diketahui barisan 2,6,18,54,... Tentukan suku ke-5 dan jumlah 4 suku pertama
barisan tersebut.
Solusi :
2, 6, 18, 54,
Suku ke-5, U5 = 2 ⋅ 35-1 = 162
Jumlah 4 suku pertama = = 80
Contoh 10 :
Pada barisan geometri diketahui U8 = 36 dan S7 = 52, maka S8 = ⋅⋅⋅⋅⋅
Solusi :
U8 = 36 dan S7 = 52
Pada barisan aritmatika maupun geometri berlaku Sn − Sn−1 = Un.
S8 − S7 = U8 S8 = 52 + 36 = 88.
Suku Tengah
Misalkan Ut menyatakan suku tengah dari suatu barisan geometri maka : Ut 2 = U1.Un
dengan n merupakan bilangan ganjil
Contoh 11: Diketahui 2, 6, 18, 54, 162, ⋅⋅⋅⋅ adalah barisan geometri. Tentukan suku
14. tengah dari barisan tersebut.
Solusi : 2, 6, 18, 54, 162 adalah barisan geometri. Maka U1 = a = 2 dan Un = 162.
Maka suku tengah,
= 18
Sisipan
Misalkan setiap dua bilangan berurutan pada barisan geometri disisipi k buah bilangan
namun tetap membentuk barisan geometri. Maka rasio barisan tersebut akan memiliki
perubahan dengan suku pertama tetap. Misalkan rB = rasio barisan yang baru dan rL =
rasio barisan yang lama. Hubungan keduanya adalah
rB =
Contoh 12 : Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 32, 512, 8192, ⋅⋅⋅⋅
disisipi sebanyak 3 bilangan. Tentukan suku ke-7 dari barisan yang baru.
rB = =2
Suku pertama, a=2
6 6
U7 = ar = (2)(2 ) = 128
Suku ke-7 = 128.
4. Barisan dan Deret Lainnya serta Bentuk Tak Hingga
Suatu barisan tidak harus masuk ke dalam salah satu dari dua bentuk di atas. Sebagai
contoh adalah arisan yang berbentuk 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ⋅⋅⋅ yang merupakan
penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya. Untuk menyelesaikan persoalan yang
ditanyakan memerlukan pengetahuan terhadap pola dari barisan tersebut.
2 2 2 2
Beberapa contoh rumus deret lainnya : 1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n =
3 3 3 3
1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n = ( )2
15. BAB III
Latihan dan Pengayaan
Soal Latihan :
1. Jika Un = 7n - 5, tentukan suku-suku dari barisan itu dan bentuklah barisannya!
2
2. Sebuah barisan jumlah n buah suku pertama dirumuskan dengan Sn = 2n − 7n, maka
U5 =⋅⋅⋅⋅
3. Diketahui 7, ⋅⋅⋅, 28, 35, ⋅⋅⋅ adalah barisan aritmatika. Tentukan suku tengah barisan
tersebut!
4. Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 2, 8, 14, 20, 26. ⋅⋅⋅⋅ disisipi sebanyak
3 bilangan. Tentukan suku ke-99 dari barisan yang baru!
5. Diketahui barisan 3,9,27,81,... Tentukan suku ke-7 dan jumlah 5 suku pertama barisan
tersebut.
6. Diketahui 4, 8, 16, 32, 64, ⋅⋅⋅⋅ adalah barisan geometri. Tentukan suku tengah dari
barisan tersebut.
7. Pada setiap dua bilangan berurutan dari barisan 7,28, 112, 448, ⋅⋅⋅⋅disisipi sebanyak 3
bilangan. Tentukan suku ke-8 dari barisan yang baru.
Soal Pengayaan :
1. (OSK 2006) Pada sebuah barisan aritmatika, nilai suku ke-25 tiga kali nilai suku ke-5.
Suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama adalah suku ke ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2. Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmatika. Jika sisi hipotenusa
sama dengan 20, maka keliling segitiga tersebut adalah ⋅⋅⋅⋅
16. 2.Kunci Jawaban Soal Pengayaan :
1. u25 = 3(u5), maka a + 24b = 3(a + 4b) sehingga a = 6b
un = a + (n − 1)b = 2u1 = 2a
6b + (n − 1)b = 2(6b)
n=7
Suku tersebut adalah suku ke-7
2. Karena sisi terpanjang segitiga sama dengan 20 dan membentuk barisan aritmatika
maka sisi-sisi segitiga tersebut dapat dimisalkan dengan 20, 20 − x dan 20 − 2x
dengan x adalah bilangan positif. Karena ketiga sisi membentuk segitiga siku-siku
maka
2 2 2
(20 − 2x) + (20 − x) = 20
2 2
400 − 80x + 4x + 400 − 40x + x = 400
2
5x − 120x + 400 = 0
(x − 4)(x − 20) = 0
x = 4 atau x = 20
Jika x = 20 maka sisi-sisi segitiga tersebut adalah 20, 0 dan −20 yang tidak
mungkin merupakan sisi-sisi segitiga.
Jika x = 4 maka sisi-sisi segitiga tersebut adalah 20, 16 dan 12 yang membentuk
sisi-sisi segitiga siku-siku.
Jadi, keliling segitiga tersebut = 20 + 16 + 12 = 48.
17. Daftar Pustaka
Cholik. M, A. 2002. Matematika untuk SMA kelas 3. Jakarta : Erlangga
Tim Penyusun Matematika. 1996. Matematika untuk SMU Kelas 3. Surabaya : Kendang Sari
Hermanto, Eddy. Diktat Pembinaan Olimpiade Matematika Tahun Pelajaran 2010-2011.
Bengkulu : SMA Negeri 5 Bengkulu
