Notes de cours d'ordonnancement

Chapitre I : Introduction
Chapitre II : Complexit´ des probl`mes d’ordonnancement
e
e
Chapitre III : M´thodes de R´solution
e
e
Les algorithmes approch´s
e
Chapitre IV : Ordonnancement sur machines parall`les
e

Cours d’ordonnancement
Adel ESSAFI

December 7, 2013

Adel ESSAFI


e
e
e
e
e
e

PLAN
1


2

e
e

3

e
e
Crit`re de performance
e
m´thodes Exactes
e

4

e

5

e

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e

Introduction : un ordonnancement c’est quoi?

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e
e
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e

D´finition
e

D´finition
e
Le probl`me d’ordonnancement consiste ` organiser dans le temps
e
a
la rálisation d’un ensemble de tˆches, compte tenu de contraintes
e
a
temporelles (d´lais, contraintes d’enchainements, ...) et de
e
contraintes portant sur l’utilisation et la disponibilit´ des ressources
e
requises.

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e
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e

Donnés d’un probl`me d’ordonnancement
e
e

Les tˆches : Un ensemble de tˆches avec eventuellement des
a
a
contraintes ou de carat´riques spćiales.
e
e
Ressources : Un environnement de ressources pour effectuer
les tˆches
a
Fonction Objectif : Un crit`re d’optimisation
e
Objectif : D´terminer les ressources sur lesquelles les tˆches vont
e
a
s’exćuter ainsi que les dates de d´but d’exćution
e
e
e

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e

Exemple : Gestion des projets

Grands Projets
Chantiers de constructions
...........................

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e
e
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e

Exemple : Ateliers

Ateliers simples (menuisier avec une seule machine )
Ateliers complexes (plusieurs ´tages s´quentiel / Parall`les )
e
e
e
...........................

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Exemple : Administration

Gestions des ressources humaines
Emploi de temps
Gestions des pauses dans les centres d’appels
...........................

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e

Exemple : Informatique

Partage des ressources (processeur) entre les processus
Partage des coeurs entre les processus
Gestion des ressources partag´s
e
Ordonnancement sur les plateformes de calcul distribu´s
e
(machines parall`les, grilles, cloud ...)
e

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e

Tˆches : propri´t´s
a
ee

Duré : d´pends des ressources / environnement
e
e
Ready date (date de d´but au plus tˆt) : c’est la date avant
e
o
laquelle la tˆche ne peut pas ˆtre exćutés.
a
e
e e
Due date: c’est la date buttoire (imposé par des intervenants
e
externes : contrainte ` respecter).
a
Nature de la tˆche : tˆche simple (s’exćute sur une
a
a
e
ressources unique), tˆches avec queue .....
a
D´pendances : Relation de prć´dence entre les tˆches
e
e e
a

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e

Tˆches : Illustration
a

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e

Tˆches : d´pendance
a
e

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e

Ressources

Machines qui ex´cutent les tˆches
e
a
Une ou plusieurs machines
Organisation : parall`le / s´rie (ordre de passage des tˆches )
e
e
a
Une ressource ex´cute une seule tˆche ` la fois
e
a
a

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e
e
e

Objectifs
Quelle est la fonction ` optimiser ?
a
Exemples (minimiser le temps):
Temps d’attente devant une chaisse (social?)
Nombre de tˆches en retards / retard maximal
a
La date de fin de la derni`re tˆche exćuté
e a
e e
Moyenne des dates de fin d’exćution des tˆches
e
a
Exemples (minimiser l’utilisation des ressources):
Ordonnancement economique : utiliser le nombre minimal de
ressources
R´seau: Optimiser l’utilisation de la bande passante
e
Probl`me de transport : minimiser les distances parcourues.
e
....................
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e

Notations et D´finition
e
Graphe de tˆches G = (V , E )
a
V : ensemble de tˆches (instruction selon la granularit´)
a
e
E : ensemble d’arrˆtes (repr´sentent les liens entre ces tˆches
e
e
a
(associ´s au volume des donnés ` transf´rer).
e
e a
e
Statique : Structures et volume connus a priori Dynamique : le
volule des donnés est connu au fur et ` mesure du d´roulement
e
a
e
l’exćution
e
relation de prć´dence : relation d’ordre partiel
e e
Vi

Vj

La tˆche Vi doit s’exćuter enti`rement avant de commencer
a
e
e
l’exćutuion de Vj
e
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e

Notations et D´finition
e

Definition
Ordonnancer un syst`me de tˆches, c’est d´terminer les deux
e
a
e
applications π et σ o` π associe un processeur ` chaque tˆche et σ
u
a
a
leur associe un temps de d´but d’exćution.
e
e

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e

Notations

rj : release date
dj : due date
wj : poid de la tˆche Cj = σ(j) + pj : date de ﬁn d’ex´cution
a
e
Lj = max(dj − Cj ) : retard Ui : date de retard

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e

Ordonnancement rálisable
e

Un ordonnancement est rálisable ssi
e
σ(j) ≥ σ(i) + pi + λ(i, j)
et ce pour tout (i, j) telque i j
λ(i, j) : temps nćessaire au transfert de donné de Vi ` Vj
e
e
a

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e
e
e
e

Notation ` 3 champs
a

Le sch´ma de classiﬁcation propos´ par (Graham et al, 1979).
e
e
Classiﬁcation ` trois champs α|β|γ
a
α : environnement des machines β : les caract´ristiques des tˆches
e
a
γ : crit`re(s) ` optimiser
e
a

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e
e
e
e

Le champs α

Carat´rise les ressources
e
Compos´ de deux sous champs α1α2
e
Une seule machine ⇒ α1 = et α2 = 1
Machines parall`les : α1 ∈ {P, Q, R} et α2=nombre de
e
machines
Ateliers α1 ∈ {F , J, O}

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e
e
e
e

Le champs β

Carat´rise les tˆches
e
a
β = β1β2β3β4....
β1 = pmtn si la prémption des tˆches est autorisé, sinon β1
e
a
e
est absent
S’il y a des contraintes de prć´dence entre les tˆches alors
e e
a
β2 ∈ {prec, chain, in − tree, out − tree}, sinon β2 est vide
β3 = rj si les dates de d´but au plus tˆt rj (ou dates de
e
o
disponibilit´) des tˆches ne sont pas forc´ment identiques
e
a
e
..................

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e

Le champs γ

fonction objectif : crit`re de performance
e
Cmax : Makespan
Lmax : Retard maximal
Wj Cj : Somme pond´r´es des dates de ﬁn
ee
UJ : Nombre de tˆches en retards
a

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e
e
e

Introduction

Ordonnancement (pb combinatoire ) : complexit´ est une
e
question importante
Probl`me complexe : recherche d’un algorithme eﬃcace
e
(optimal)
Dans le cas contraire, il est pratique de montrer que ce
probl`me est NP-diﬃcile
e

Adel ESSAFI


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e
e
e
e
e

Probl`me de calcul
e

Ordonnancement (pb combinatoire ) : complexit´ est une
e
question importante
Probl`me complexe : recherche d’un algorithme eﬃcace
e
(optimal)
Dans le cas contraire, il est pratique de montrer que ce
probl`me est NP-diﬃcile
e

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e
e
e

Probl`me de calcul
e
Fonction h qui transforme toute entré x de taille |x| en une
e
sortie h(x).
Mesure d’efficacit´ : nombre d’instruction pour effectuer cette
e
transformation
Nombre d’instruction d´pend de la taille de x
e
Taille de l’entré : taille de la plus grande valeur en
e
repr´sentation binaire
e
Exemple : un entier a est represent´ sur log2 a bits
e
Exemple : un tableau de taille m est represent´ sur mlog2 a
e
bits o` a est le plus grand entier pr´sent
u
e
Objectif : D´terminer T (n) : Nombre d’instructions de h au pire
e
des cas.
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e

R`gles de calcul
e

Blocks cons´cutifs : on retient la complexit´ du plus grand
e
e
block
Brachement : On retient la complexit´ du plus grand block
e
parmis les blocks alernatifs
Voir cours complexit´ des algorithmes
e

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e

Notation en O

on note f = O(g ) ssi
∃C > 0 , ∃n0 telque ∀n > n0 , |f (n)| ≤ cg (n)

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e

Classes d’algorithmes

Polynomial
Pseudo-polynomial

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e

Probl`me de dćision
e
e

Un probl`me de dćision est d´fini par:
e
e
e
un nom
des param`tres gń´riques (Instance)
e
e e
une question.

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e
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e

Probl`me de d´cision : Exemples
e
e

Probl`me PARTITION:
e
Instance:
A = a1 , ....., an
Question: Existe t-il un sous ensemble B de A telque
ai =
i∈B

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i∈A {B}ai


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e
e

Probl`me de d´cision : Exemples
e
e
Vertex Cover (Couvrant):
Instance:
Un Graphe G=(V,E)
Un Entier k Question: Existe t-il un un sous ensemble V de V de
taile k telque chaque arrete de E soit adjacente au moins ` un
a
´l´ment de V .
ee
Vertex Cover:

Minimum Vertex Cover:

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e

D´finition des certificats
e

Etant donn´ un ńonc´ I de longueur n, on se pose la question:
e
e
e
A partir de quelle information sur I , de longueur polynomiale en n,
peut-on v´rifier que I est ` r´ponse ”oui”?
e
a e
On appelle alors certificats de I les informations susceptibles de
permettre cette v´rification.
e
En anglais, si une instance a une reponse oui , elle est noté
e
yes-instance.

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e

D´finition de l’algorithme de v´rification
e
e

On construit un algorithme de v´rification V , dont les donnés
e
e
sont les couples (I , c) o` c est une instance de I, tel que :
u
si I est une entré valide du probl`me, alors, il existe un
e
e
certificat c tel que V r´pond oui pour la donné (I,c)
e
e
si I n’est une entré valide du probl`me, V r´pond non pour
e
e
e
toute donné (I,c)
e
V est de complexit´ polynomiale la taille de I
e

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R´duction de KARP
e

Soient L1 et L2 deux langages sur un alphabet Σ.
Une fonction τ de Σ ∗ vers Σ ∗ est une r´duction de L1 vers L2 ssi:
e
∀x ∈ Σ ∗ , x ∈ L1 ⇔ τ (x) ∈ L2
τ est une transformation polynomiale

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e

R´duction de probl`mes
e
e

Soient π et π deux probl`me
e
π se reduit ` π , not´ π ∝ π ssi :
a
e
τ transforme toute instance positive de π en un instance positive
de π et transforme toute instance n´gative de π en un instance
e
n´gative de π .
e
⇒ : π est au moins aussi diﬃcile que π.
La r´duction est une relation d’ordre entre les probl`mes
e
e

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e
m´thodes Exactes
e

Ratio d’approximation

Le rapport d’approximation d’un algorithme A pour un probl`me
e
de minimisation :
ρA = inf {r ≥ 1 tel que ρA(I ) ≤ r }
pour toutes les instances I
wA (I )
: rapport de la valeur de l’objectif de A ` l’optimal
a
ρA(I ) = ∗
w (A)
pour l’instance I

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e
m´thodes Exactes
e

Programmation lináire
e
Probl`me d’affectation des tˆches aux ressources:
e
a
Objectif :
min(maxk

aik pi )
i

Variables d’affectation
aik =

1 si la tˆche i est affecté ` la machine k
a
e a
0 sinon.

Contraintes d’affectation : ∀i k aik = 1
Une tˆche est affecté exactement ` 1 machine
a
e
a
Date de fin sur la machine k : i pi aik
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e
m´thodes Exactes
e

Branch and Bound

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e

Algorithmes de liste

Priorit´ sur les tˆches : liste L
e
a
S´quencement glouton des tˆches
e
a
Si la ressource est libre, s´quencer la premi`re tˆche disponible
e
e a
de la liste
Principe glouton:ne pas laisser la ressource inoccup´e si des
e
tˆches sont disponibles
a
La liste sert ` arbitrer lorsque plusieurs tˆches sont disponibles
a
a
en mˆme temps
e

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Listes optimales

1||Ci : Liste SPT
1||Tmax : Liste EDD
1|ri |Cmax :∀ liste L

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Algorithme de Liste

1
Tout algorithme de liste a une garantie 2 − m pour Pm||Cmax
Borne atteinte avec SPT pour l’instance suivante :

m(m − 1) tˆches de dur´e 1
a
e
1 tˆche de dur´e m
a
e
Nous avons alors
Cmax (SPT ) = 2m − 1
∗
Cmax = m

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Algorithme LPT
Placer d’abord les tˆches les plus longues
a
Liste LPT (Largest Processing Time) : s´quence des taches par
e
dur´e d´croissante
e e
L’algorithme de liste LPT a une garantie 4/3 − 1/3m pour
Pm||Cmax et cette borne est atteinte
Instance limite:
m machines
2m + 1 tˆches de tailles
a
(2m − 1, 2m − 1, 2m − 2, 2m − 2, ...., m, m, m)
Pour cette instance nous avons,
Cmax (LPT ) = 4m − 1
∗
Cmax = 3m
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