1. Universidad Peruana Unión
Rivera Cervantes Abel

2. LAS MATEMÁTICAS EN LA
INGENIERÍA
El objeto formal de la ingeniería es la mejora de la calidad de vida
de la humanidad, su objeto material es la naturaleza. El término
naturaleza es muy amplio, un primer acercamiento a su significado
lo encontramos en el orden semántico que los diccionarios
explican como el “conjunto de seres y cosas que forman el
universo y en los que no ha intervenido el hombre”.

3. CÁLCULO EN LA INGENIERÍA
El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito
calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que
considerándolos formados por un número infinito de secciones de
grosor infinitesimal (infinitamente pequeño).

4. EUDOXO Y ARQUÍMEDES
Utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un
círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos
inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números
irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular
una teoría sistemática del cálculo.

5. DERIVADAS PARCIALES
Las Derivadas Parciales son utilizadas en ingeniería para
determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función de
varias variables respecto a una de sus variables independientes,
es decir, la derivada de una función de dos variables, mide la
rapidez de cambio de una de ellas llamada “variable dependiente”
en relación con la denominada “variable independiente”.

6. POR EJEMPLO
Si z = 푥2 - xy + 3푦2 se tiene que
휕푧
휕푥
= 2x – y . Y que
휕푧
휕푦
= -x + 6y.
Geométricamente, una ecuación z = f(x, y) define una
superficie en un espacio tridimensional; si los ejes x e y son
horizontales y el eje z es vertical, entonces
휕푧
휕푥
y
휕푧
휕푦
representan
los gradientes de dicha superficie en el punto (x, y, z) en la
dirección de los ejes x e y, respectivamente.

7. Las derivadas parciales también se pueden calcular para
funciones con más de dos variables, considerando que todas las
variables menos una son constantes y derivando con respecto a
ésta. Utilizando este procedimiento es posible calcular derivadas
parciales de orden superior. Las derivadas parciales son
importantes en las matemáticas aplicadas, pues existen funciones
que dependen de diversas variables, como el espacio y el tiempo.

8. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
PARCIALES
En matemática, una
derivada parcial de una
función de diversas
variables, es su derivada
respecto a una de esas
variables manteniendo las
otras como constantes.
Las derivadas parciales
son útiles en cálculo
vectorial y geometría
diferencial.

9. La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se
representa con cualquiera de las siguientes notaciones
equivalentes:
df/dx = dxf = f’x
Donde ∂ es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.
Cuando una magnitud A es función de diversas variables (x,y,z,...),
es decir:
A = f (x, y, z,…)

10. Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite
obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función A en un
punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la
incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z.
Analíticamente el gradiente de una función es la máxima
pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras
visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica
hacia donde hay mayor variación en la función.

11. APLICACIÓN EN LA FÍSICA
MATEMÁTICA
Algunos ejemplos típicos de ecuaciones en derivadas parciales
son:
Ecuación de Difusión del Calor:
Es la clásica ecuación unidimensional de difusión del calor, de
segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes.
휕푢
휕푡
= 푐2 ∗
휕2푢
휕푥2

12. ECUACIÓN DE ONDA
Es la clásica ecuación de onda unidimensional, que describe
fenómenos de tipo oscilatorios y es también de segundo orden,
lineal, homogénea y de coeficientes constantes.
휕2푢
휕푡2 = 푐2 ∗
휕2푢
휕푥2

13. ECUACIÓN DE LAPLACE
Esta es una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal,
homogénea y de coeficientes constantes, describiendo potenciales
eléctricos o gravitatorios o procesos de difusión en los que se ha
alcanzado un equilibrio térmico.
휕2 푢
휕푥2 +
휕2푢
휕푦2 = 0

14. ECUACIÓN DE POISSON
Es también una ecuación bidimensional, de segundo orden, lineal,
de coeficientes constantes, pero no homogénea.
휕2푢
휕푥2 +
휕2푢
휕푦2 = 푓 (푥, 푦)

15. APLICACIONES DE LAS
INTEGRALES MÚLTIPLES
Acá se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como
geométricas de las integrales múltiples como específicamente para
integrales dobles y las integrales triples.

16. APLICACIONES EN LAS
INTEGRALES DOBLES
• Tienen muchas aplicaciones: una de las que más aplicadas es la
Transformada de Fourier, que se utiliza para el tratamiento digital
de señales: con eso se hacen las barritas que se ven que bajan y
suben en los equipos de sonido y los reproductores de música.
• Para hallar volúmenes en ingeniería civil (aunque hay equipos
para hacerlo), áreas en ingeniería textil. (También hay equipos
para hacerlo), para hallar la catenaria de un cable en ingeniería
eléctrica (también hay software para hacerlo).
• Puede que se utilicen en el diseño de líneas de transmisión,
eléctrica o electrónica, antenas, puentes colgantes.

17. DENSIDAD Y MASA
Conociendo las integrales dobles, podemos considerar una lámina
con densidad variable. Supongamos que la lámina ocupa una
región D del plano xy y su densidad (en unidades de masa por
área unitaria) en un punto (x,y) en D está dada por ρ(x,y), donde ρ
es una función continua en D. Esto significa que:

18. DENSIDAD Y MASA
Conociendo las integrales dobles, podemos considerar una lámina
con densidad variable. Supongamos que la lámina ocupa una
región D del plano xy y su densidad (en unidades de masa por
área unitaria) en un punto (x,y) en D está dada por ρ(x,y), donde ρ
es una función continua en D. Esto significa que:
휌 푥, 푦 ≈ 퐿푖푚
Δ푚
Δ퐴

19. Donde Δ푚 푦 Δ퐴 son la masa y el área de un pequeño rectángulo
que contiene a 푥, 푦 y el límite se toma cuando las dimensiones
del rectángulo se aproximan a 0. Para hallara la masa total 푚 de la
lámina, dividimos el rectángulo R que contiene a D, en sub-rectángulos
Rij del mismo tamaño y consideramos que ρ(x,y) es 0
fuera de D. Si escogemos un punto (푥∗푖푗, 푦∗푖푗) de Rij, entonces la
masa de la parte de la lámina que ocupa Rij es aproximadamente
휌(푥∗푖푗, 푦∗푖푗)Δ퐴, donde Δ퐴 es el área de R (푥∗푖푗, 푦∗푖푗). Si sumamos
todas estas masas, obtenemos una aproximación a la masa total:

20. 푚 =
푘
푖=푗
푗
푗=1
휌(푥∗푖푗 , 푦∗푖푗)Δ퐴
Si ahora aumentamos el número de sub-rectángulos, obtenemos
la masa total m de la lámina como el límite del valor de las
aproximaciones.

21. Los físicos también consideran otros tipos de densidad que se
pueden tratar en la misma manera. Por ejemplo, si una carga
eléctrica se distribuye sobre una región D y la densidad de carga
(en unidades de carga por área unitaria) está dada por σ(x,y) en
un punto (x,y) en D, entonces la carga total Q está dada por:
푄 = 휎 푥, 푦 푑퐴
D

22. RADIO Y ROTACIÓN
Su concepto implica al punto en el que la masa se concentra sin
que los momentos respecto de los ejes cambien. Su nomenclatura
obedece al orden del momento involucrado, su cálculo se hace en
consideración del momento cruzado al eje respectivo, así,
podemos decir que:
(푿 , 풀 )
(푿 ) =
푰풚
풎
(풀 ) =
푰풙
풎

23. APLICACIONES DEL CÁLCULO EN LA
INGINIERIA AMBIENTAL
• En la práctica profesional de la ingeniería ambiental, en
muchos casos, se hace necesario conocer el caudal de un
río, que es la velocidad que lleva el agua y que es función
de los meses del año, ya que ésta información permite
conocer con buena precisión el balance hidrológico que
tiene ésta corriente de agua, además que son datos
básicos para la construcción de obras hidráulicas como
presas o acueductos, y para determinar las causas de
incremento o disminución extremos en el caudal del río.

24. EJERCICIO APLICATIVO
Si se sabe que la cantidad de agua que pasa por un río en un
periodo de tiempo es igual al área encerrada por el eje x y la curva
en el intervalo de tiempo correspondiente, ¿Cuál es la cantidad de
agua en hectolitros que pasa por un río en un año?, teniendo en
cuenta que la función que mide el caudal en función de los meses
del año está dada por:
F(x) = 3 + 2 cos πx/6

25. Entonces:
Volumen = ∫_0^12〖(3+2 cos〖πx/6) dx〗〗
V = 3x+ 12/π sen πx/6
F (12) = 36, F
Estas son algunas de las aplicaciones tanto físicas como
geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las
integrales dobles por ende que se utiliza en la ingeniería.

26. EJEMPLOS APLICADOS A NUESTRO
ENTORNO
1) Una compañía planea gastar 10.000 dólares en publicidad. Cuesta 3.000
dólares un minuto de publicidad en la televisión y 1.000 dólares un minuto de
publicidad en la radio. Si la empresa compra x minutos de comerciales en la
televisión e y minutos de comerciales en la radio, su ingreso en miles de
dólares, está dado por:
f(x,y) = -2x2 – y2 + xy + 8x + 3y
¿Cómo puede la empresa maximizar su ingreso?

27. Solución:
Se tiene el programa no lineal siguiente:
Max z = -2x2 – y2 + xy + 8x + 3y
s.a 3x + y = 10
Entonces: L (x, y, λ) = -2x2 – y2 + xy + 8x + 3y + λ (10 - 3x - y)
Hacemos
휕L
휕x
=
휕L
휕y
=
휕L
휕훌
= ퟎ
휕L
휕x
= −ퟒ풙 + 풚 + ퟖ − ퟑ훌 = ퟎ (Ec. 1)
휕L
휕y
= −ퟐ풚 + 풙 + ퟑ − 훌 = ퟎ (Ec. 2)
휕L
휕훌
= −ퟏퟎ − ퟑ풙 − 풚 = ퟎ (Ec. 3)
Obsérvese que 10 - 3x -y = 0 se convierte en la restricción 3x + y = 10. La ecuación (1)
da y = 3λ – 8 + 4x y la ecuación (2) da y x = λ – 3 + 2y. Así, y= 3λ – 8 + 4(λ – 3 + 2y) =
7λ – 20 + 8y, 푦 =
20
7
− 훌 (Ec. 4), 푥 = 훌 − 3 + 2
20
7
− 훌 =
19
7
− 훌 (Ec. 5)

28. Sustituyendo (4) y (5) en la (3), obtenemos, 4 λ - 1 = 0 ⇒ λ =
1
4
.
Entonces (4) y (5) nos dan
푦 =
20
7
−
1
4
=
73
28
; 푥 =
19
7
−
1
4
=
69
28
El hessiano f (x,y) es H 푥, 푦 =
−4 1
1 −2
= 7
Ya que cada mejor principal de primer orden es negativo, y H2 푥, 푦 =
7 > 푂, f(x, y) es una función cóncava. La restricción es lineal y, por lo
tanto da la solución óptima para el programa no lineal.
Así, la empresa tendría que comprar 69/28 minutos de tiempo en
televisión y 73/28 minutos de tiempo en la radio. Ya que l = ¼, el gasto
de un D extra (en miles) (para un D pequeño) aumentaría los ingresos
de la empresa en aproximadamente 0.25 D dólares (en miles).

29. En general, si la empresa tiene a dólares para gastar en la
publicidad, se puede demostrar que λ=(11-a)/4 . Vemos
que si gasta más dinero en la publicidad, el incremento en
el ingreso porcada dólar adicional para la publicidad se
hace más pequeño.

30. EJEMPLO 2.
• Tres estudiantes de ingeniería comercial se asocian para importar dos tipos de bebidas energéticas.
Cuentan con U$8.000 para realizar la importación de bebidas.
• Si x son las unidades de bebidas energéticas importadas desde Holanda, estiman que venderán
12푥
푥−6
unidades de esta bebida, a un precio de U$200. Cada una.
• Si y son las unidades de bebidas energéticas importadas desde Alemania, estiman que venderán
24푦
푥+3
unidades a un precio de U$200. Cada una.
• Si el costo por unidad vendida de cada bebida es de U$50.
a) Determinar cuántas unidades de cada bebida energética deben importar para maximizar su
utilidad.
b) Determinar la utilidad máxima.

31. SOLUCIÓN:
a) 푈 푥, 푦 = 퐼 푥 − 퐶 푥 =
12푥
푥+6
200 +
24푦
푦+3
200 −
12푥
푥+6
50 +
24푦
푦+3
50
s.a. 50푥 + 50푦 = 8000
퐿 푥, 푦, λ =
12푥
푥+6
150 +
24푦
푦+3
150 + λ 50푥 + 50푦 − 8000
푑퐿
푑푥
=
108000
(푥+6)2 + 50λ = 0
푑퐿
푑푦
=
108000
(푦+3)2 + 50λ = 0 => 푠푒 표푏푡푖푒푛푒 푦 = 81,5 ; 푥 = 78,5
푑퐿
푑λ
= 50푥 + 50푦 − 8000 = 0
b) 푈 78,5; 81,5 =
12 . 78,5
78,5+6
150
24 . 81,5
81,5+3
150 = 5144,7 Dólares.