1. Matematika Diskrit

2. PENGERTIAN FUNGSI
Definisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong.
Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap
anggota A dengan tepat satu anggota B.
ATURAN :
setiap anggota A harus habis terpasang dengan
anggota B.
tidak boleh membentuk cabang seperti ini.
A
B

3. ILUSTRASI FUNGSI
A
f
Input
Kotak hitam
B
Output
Ditulis f : A → B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain,
B disebut kodomain. Elemen a ε A disebut argumen dan f(a) εB disebut bayangan(image) dari a.
Himpunan Rf:= { y ε B : y = f(x) untuk suatu x ε A } disebut daerah
jelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S ε A maka himpunan
f(S) := { f(s) : s ε S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.

4. B
A
ILUSTRASI FUNGSI (LANJ)
Fungsi
Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang
mempunyai 2 kawan.
Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang
tidak mempunyai kawan.

5. GRAFIK FUNGSI
Misalkan f: A  B. Grafik fungsi f adalah
himpunan pasangan terurut {(a,f(a) | a ∈ A}
Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2},
fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka
grafik fungsi f dapat digambarkan sbb:
B
A

6. CONTOH FUNGSI
1. Fungsi kuadrat f : R → R, dimana f(x) := x2+x+1.
 x
f ( x) := 
2. Fungsi nilai mutlak f : R → R+ , dimana
jika x ≥ 0
 − x jika x < 0
fungsi ini ditulis juga f(x) := |x|.
3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua
kota di dunia, f : A → B dimana f(x) := ibukota negara x. Bila x = Malaysia
maka f(x) = Kuala Lumpur, f(Inggris) = London.
4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan
perintah “diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b
tsb”. Ini mendef. fungsi f : A → Z+ dimana f(x) = banyak koma yang ada
pada buku x.
5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif
Fungsi f : A  B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S.
Bila S = (1001101) maka f(S) = 4.
6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ?

7. FUNGSI FLOORING dan CEILING
1.
Fungsi flooring f : R → Z, dimana f(x):= bil bulat terbesar yang
kurang dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = ⌊ x ⌋.
2.
Fungsi ceiling f : R → Z, dimana f(x):= bil bulat terkecil yang lebih
dari atau sama dengan x. Ditulis juga f(x) = ⌈ x ⌉.
CONTOH : Beberapa nilai fungsi flooring dan fungsi ceiling:
⌊0.5⌋ = 0, ⌈0.5⌉ = 1,
⌊-0.5⌋ = -1,
⌈-0.5⌉ = 0
[3.1⌋ = 3, ⌈3.1⌉ = 4,
⌊ 6 ⌋ = 6,
⌈ 6 ⌉ = 6.
Grafik flooring
Grafik ceiling

8. SIFAT-SIFAT FUNGSI FLOORING DAN FUNGSI
CEILING
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
⌊x⌋ = n bila n ≤ x < n+1
⌈x⌉ = n bila n-1< x < n
⌊x⌋ = n bila x-1 < n ≤ x
⌈x⌉ = n bila x ≤ n < x+1
x-1 < ⌊x⌋ ≤ x ≤ ⌈x⌉ < x+1
⌈-x⌉ = - ⌊x⌋
⌊-x⌋ = -⌈x⌉
⌊x+n⌋ = ⌊x⌋+n
⌈x+n⌉ = ⌊x⌋ + n

9. ⌊3.0⌋ = 3 (n)
⌊3.999⌋ = 3
⌊4.0⌋ = 4
Sifat-1
⌊x⌋ = n bila n ≤ x < n+1
⌈3.0⌉ = 3
⌈3.001⌉ =
⌈3.999⌉ =
⌈4.0⌉ =
⌈4.001⌉ =
4
4
4
5
Sifat-2 :
⌈x⌉ = n bila n-1< x ≤ n

10.  CONTOH: Data yang disimpan pada komputer biasanya dinayatakan dalam
suatu string byte. Tiap byte tersusun atas 8 bit. Berapa byte yang
dibutuhkan untuk menyimpan data dengan 100 bit.
PENYELESIAN: Karena satuan byte bilangan bulat maka harus dibulatkan
ke atas, yaitu dibuthkan ⌈100/8⌉ = ⌈12.5⌉ = 13 byte.
 CONTOH: Pada protokol komunikasi menggunakan backbone network,
data disusun dalam sel ATM yang terdiri dari 53 byte. Berapa sel ATM data
yang dapat ditransmisikan dalam waktu 1 menit jika dengan kecepatan
rata-rata 500 kilobyte per detik.
PENYELESAIAN: Dalam 1 menit dapat ditransmisikan data sebesar
500,000 * 60 = 30,000,000 bit. Padahal tiap ATM memuat 53 byte, masingmasing ATM memuat 53 * 8 = 424 bit. Jadi banyak ATM yang dapat
ditransmisikan harus dibulatkan ke bawah, yaitu
⌊300,000,000/424⌋ = 70,754 ATM.

11. OPERASI ALJABAR FUNGSI
Misalkan f, g : A → B maka fungsi f + g , cf dan f g
didefinisikan oleh :
(f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x).
Contoh: misalkan f, g : R → R dimana f(x) = x 2 dan
g(x) := x – x2. Diperoleh (f+g)(x) = x, (fg)(x) = x3-x4.
Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan
kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x
dalam domainnya.
Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x2-4)/(x+2) sama ?

12. FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF)
 Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila
[f(x) = f(y) → x = y ], atau [x  y → f(x)  f(y)].
 Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE:
∀x ∀y [f(x) = f(y)  x = y] atau ∀x ∀y [x  y → f(x)  f(y)]
maka fungsi f disimpulkan satu-satu.
 Namun, bila ada x dan y dengan x  y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak
satu-satu.
A
B
satu-satu
A
B
tidak satu-satu

13.  CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan
f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?
PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai
pasangan ganda pada A mk fungsi ini injektif.
 CONTOH: Apakah fungsi f: R  R dengan f(x) = x2 satu-satu ?
PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1.
Jadi ada x, y dengan x ≠ y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini
tidak satu-satu.
 CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?
PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x ≠ y , diperoleh
x + 5 ≠ y + 5  g(x)≠ fgy). Jadi g injektif.

14. FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF)
 Fungsi f : A → B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y ∈ B
terdapat x ∈A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis
terpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan
kebenaran kuantor berikut:
∀y∈ B ∃x∈ A sehingga y = f(x)
maka f surjektif. Namun, bila ada y∈ B sehingga setiap x∈A, f(x)≠ y
maka f tidak surjektif.
A
B
kepada
A
B
tidak kepada

15.  CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x2 dari R ke R surjektif ?
PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk
setiap bilangan real x, berlaku x2 = f(x)≠ y. Jadi, f tidak surjektif.
 CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif?
PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, maka
y = x-3  x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi h surjektif.

16. FUNGSI BIJEKTIF
 Fungsi f : A → B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada
fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra-bayangan
di A.
A
B
fungsi bijektif
 CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d} {1,2,3,4} dengan f(a)=4,
f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif.
PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satusatu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif.
Jadi fungsi ini bijektif.

17. INVERS FUNGSI
 Misalkan f : A → B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang
mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen
pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana
f -1 : B → A. DKL,
y = f(x) ↔ x = f -1 (y)
f (b)=a
-1
A
f(a)
f -1(b)
b=f(a)
B
 Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.

18. CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3}
dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f
invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.
PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibel
dengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.
CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2.
Apakah f invertibel.
PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun
bijektif
maka ia tidak invertibel. Jadi inversnya tidak ada.

19. KOMPOSISI FUNGSI
 Misalkan g: A  B dan f: B  C. Komposisi fungsi f dan g,
dinotasikan f ◦ g adalah fungsi f ◦ g: A  C dengan (f ◦ g)(x):= f(g(x)).
 Bila f: A  B dan g: D  E maka fungsi komposisi
f ◦ g terdefinisi hanya bila f(A) ⊂ D.
g
A
f
B
f◦g
C

20. Latihan….
Misalkan R={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4),(3,1)} dan S adalah
relasi {(2,1),(3,1),(3,2),(4,2),(4,2)}. Tentukan S º R dan
RºS.