Guía repaso examen mat330

Vicerrectoría Académica
Dirección de Servicios Académicos
Subdirección de Servicios a Escuelas
GUÍA REPASO EXAMEN
1) Un proyectil se lanza directamente hacia arriba desde el suelo. Después de
transcurridos t segundos, su distancia en metros por encima del suelo está dada
por la función:
2
18198)( tttd −= .
a) ¿A cuántos metros del suelo se encuentra el proyectil a los 3 segundos?
b) ¿Después de cuántos segundos estará el proyectil a 324 metros del suelo?
2) Un fabricante determina que las ventas en euros, obtenida por la producción y
venta de x televisores, está dado por la función:
2
2,0280)( xxxV −= .
a) ¿A Cuánto ascienden las ventas si se venden 250 telvisores?
b) Determine la cantidad de televisores vendidos para que las ventas sean de
90.000 euros.
3) Un negocio de venta de artículos de aseo determina que el costo (en $), al
producir x artículos de un nuevo producto es: ( ) 200.1850 += xxC , y los
ingresos por venta (en $) están dados por la función: ( ) xxI 150.3= . Se pide:
a) ¿Cuántos artículos del nuevo producto se fabricaron, si el costo fue de $247.700?
b) ¿Cuál es la utilidad al vender 562 artículos del nuevo producto?
4) Un negocio de venta de artículos de aseo determina que el precio unitario de venta
de cada artículo es de $ 3.150 .Los costos fijos son $ 1.200 y los costos variables
son $850
a) Determine la utilidad al producir y vender 50 artículos de aseo
b) Determine la cantidad de artículos producidos y vendidos para obtener una
utilidad de $56.300
5) Durante el verano, un grupo de estudiantes construyen Kayac en una cochera
acondicionada. El arriendo de la cochera es de 1.800 dólares durante el verano y
el costo de los materiales necesarios para construir un Kayac es de 165 dólares.
Determine:
a) Una función de Costo Total al producir x Kayac durante el verano.
b) ¿Cuál es el Costo Total al producir 26 Kayac?
c) ¿Cuántos Kayac fabricaron los estudiantes, si el Costo Total fue de 7.080 dólares?
1

6) Un fabricante determina que el número total de unidades de producción por día, es
una función del número de trabajadores m , que viene dada por ( )
8
60 2
mm
mQ
−
=
. Además el ingreso total (en dólares) que recibe por la venta de q unidades, está
dado por la función ( ) qqI ⋅= 95 . Determine:
a) El ingreso total en función del número trabajadores.
b) ¿Cuál es el ingreso total, si la producción de 50 trabajadores es vendida?
7) Cuesta ( ) 575 += xxC miles de euros producir x unidades de un artículo. La
función costo medio de este producto está dada por la expresión: ( ) ( )
x
xC
xA = ,
para 0>x . ¿A cuánto se aproxima el costo medio, cuando la producción es muy
grande? Fundamente matemáticamente.
8) Los estudios del departamento de publicidad de una empresa, determinaron que la
utilidad por la venta de un nuevo producto, está relacionada con el gasto x en
publicidad, mediante la función:
( )
10
2670
+
+
=
x
x
xU , con ( )xU y x en miles de dólares.
¿A cuánto se aproxima la utilidad, cuando el gasto en publicidad es muy grande?
Fundamente matemáticamente.
2

9) Los estudios del departamento de publicidad de una empresa, determinaron que la
utilidad por la venta de un nuevo producto, está relacionada con el gasto x en
publicidad, mediante la función:
( )
2000105,2
2670
4
24
−+
+
=
xx
xx
xU , con ( )xU y x en miles de dólares.
¿A cuánto se aproxima la utilidad, cuando el gasto en publicidad es muy grande?
Fundamente matemáticamente.
10) El costo total, en cientos de pesos, por producir x cámaras fotográficas, se
determina por la función: 800.32120)( += xxC . Además el ingreso total, en
cientos de pesos, por la venta de x cámaras fotográficas es:
( ) xxxI 8502,0 2
+−= . Determine:
a) La utilidad total al producir y vender 98 cámaras fotográficas.
b) La utilidad marginal por la producción y venta de 120 cámaras.
11) Un industrial determina que el ingreso por venta de x unidades de cierto
producto, expresado en dólares, esta dado por la siguiente función:
( ) xxxI 8502,0 2
+−= .
Determinar el ingreso marginal al vender 20 unidades
12) Un bus se mueve a lo largo de una carretera en línea recta, de tal manera que su
posición en el instante t desde el punto de partida, está determinada por
( ) ttttd 1172 23
+−= . La distancia se mide metros y el tiempo en segundos. Se
pide:
a) ¿Cuál es la rapidez instantánea, cuando han transcurrido 10 segundos?
b) ¿Cuál es la aceleración instantánea, cuando han transcurrido 15 segundos?
13) La cantidad de clientes que se observan en una venta nocturna, de una conocida
multitienda varía según el horario de acuerdo a la función ( ) 600123 2
+−= tttP
donde P es el número de clientes y t son las horas transcurridas desde la
medianoche. Considerando solo horario de madrugada, desde las 0 a las 5 am, o
bien [ ]5,0∈t responda:
a) ¿A qué hora se observa la mínima cantidad de clientes?
b) ¿Cuál es la cantidad mínima de clientes?
3

14) El rendimiento, ( )tf , en un examen que dura cuatro horas en función del tiempo
t , viene dado por:
( ) 61456 2
+−= tttf , donde 40 ≤≤ t
De acuerdo a esta información, ¿cuándo el rendimiento es máximo?
15) En una jornada de 8 horas el número de etiquetas que coloca un trabajador en una
hora es: ttttR 21627)( 23
+−= , donde 80 ≤≤ t
a) ¿cuándo el rendimiento es máximo?
b) ¿Cuál es el rendimiento máximo?
16) La función de demanda para linternas, esta dada por:
( ) 000.43,001,0 2
+−−= xxxD pesos por unidad.
Hallar el excedente de los consumidores cuando el nivel de venta es de 250
linternas.
17) La función de oferta para impresoras Epson Stylus Office T45, esta dada por:
( ) 1205,002,0 2
+−= xxxO dólares por unidad.
Hallar el excedente de los productores cuando el nivel de venta es de 110
impresoras.
18) Un fabricante estima que el ingreso marginal es 60209)( 2
+−= xxxIM dólares
por unidad cuando se venden x jugueras.
a) ¿Cuál es la función de ingreso?
b) Si el ingreso al vender 10 jugueras es de 2.582 dólares ¿cuál es el ingreso al
vender 25 jugueras?
19) Un fabricante determina que el costo marginal es 350206)( 2
+−= qqqCM dólares
por unidad cuando se producen q unidades. El costo total de producción de las
primeras 4unidades es 750 dólares. ¿Cuál es el costo total de producción de las
primeras 6 unidades?
4

SOLUCIONES
GUÍA REPASO EXAMEN
1) a)
( )
⇒



=
=
?
3
td
t
4323183198)3( 2
=⋅−⋅=d
Respuesta: A los 3 segundos el proyectil estará a 432 metros del suelo.
b)
( )
⇒



=
=
324
?
td
t
32418198 2
=− tt
( ) ( ) 92092
01811
18032419818
21
2
2
=∧=⇒=−⋅−
=+−
÷=+−
tttt
tt
tt /
Observación: recuerda que también puedes resolver la ecuación de segundo
grado, utilizando la fórmula, claro que debes tener presente la
forma de una ecuación cuadrática, para luego aplicar la fórmula.
FORMA: 02
=++ cbxax
FÓRMULA:
a
cabb
x
⋅
⋅⋅−±−
=
2
42
Respuesta: En 2 y 9 segundos el proyectil estará a 324 metros del suelo.
2) a)
( )
⇒



=
=
?
250
xV
x
500.572502,0250280)250( 2
=⋅−⋅=V
Respuesta: Al vender 250 televisores las ventas son de 57.500 euros.
b)
( )
⇒



=
=
000.90
?
xV
x
000.902,0280 2
=− xx
5

( ) ( ) 9005000900500
0000.450400.1
2,00000.902802,0
21
2
2
=∧=⇒=−⋅−
=+−
÷=+−
xxxx
xx
xx /
Respuesta: Se deben vender 500 o 900 televisores, para que las ventas sean de
90.000 euros.
3) a)
( )
⇒



=
=
700.247
?
xC
x
700.247200.1850 =+x
290
850500.246850
=
÷=
x
x /
Respuesta: Se fabricaron 290 artículos del nuevo producto.
b)
( )
⇒



=
=
562
?
x
xU
( ) ( ) ( )xCxIxU −=
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 400.291.1200.1562300.2562200.1300.2
200.1850150.3
=−⋅=⇒−=
+−=
UxxU
xxxU
Respuesta: La utilidad al vender 562 artículos del nuevo producto es de
$1.291.400.
4) a) xxI 150.3)( = xxC 850200.1)( +=
)850200.1(150.3)( xxxU +−=
200.1300.2)( −= xxU ⇒ 800.113200.150300.2)50( =−⋅=U
Respuesta: La utilidad es de $ 113.800.
b) 300.56200.1300.2 =−x ⇒ 25
300.2
200.1300.56
=
+
=x
Respuesta: Se deben vender 25 artículos.
5) CF = Costo Fijo ; CV = Costo Variable
CF = 1.800 dólares.
CV = 165 dólares.
a) ( ) CFxCVxC +⋅=
( ) 1.800165 +⋅= xxC (Función Costo Total, en dólares)
6

b)
( )
⇒



=
=
26
?
x
xC
( ) ( ) 090.6800.12616526 =+⋅=C
Respuesta: El costo total por producir 26 kayac es de 6.090 dólares.
c)
( )
⇒



=
=
080.7
?
xC
x
080.7800.1165 =+x
32
165280.5165
=
÷=
x
x /
Respuesta: Se fabricaron 32 kayac.
6) a) 2
2
875,115,712
8
60
95))(())(( mm
mm
mQImQI −=
−
⋅==
b) ( ) ( ) 5,937.550875,11505,712)50)((
2
=⋅−⋅=QI 
O bien
( ) ( ) ( ) ( ) 5,62
8
505060
50
8
60
22
=
−⋅
=⇒
−
= Q
mm
mQ
( ) ( ) ( ) 5,937.55,62955,6295 =⋅=⇒⋅= IqqI
Respuesta: El ingreso total es de 5.937,5 dólares, si la producción de 50
trabajadores es vendida.
7) ( )
x
x
xA
xx
575
limlim
+
=
∞→∞→
(dividimos por la mayor potencia de x )
5
1
05
1
57
5
575
limlim =
+
=
+
=
+
∞→∞→
x
x
x
x
x
xx
7

Respuesta: Cuando la producción es muy grande, el costo medio tiende (o se
aproxima) a 5 miles de euros o bien a 5.000 euros.
8) ( )
10
2670
limlim
+
+
=
∞→∞→ x
x
xU
xx
(dividimos por la mayor potencia de x )
70
01
070
10
1
26
70
10
2670
limlim =
+
+
=
+
+
=
+
+
∞→∞→
x
x
x
x
x
x
xx
Respuesta: Cuando el gasto en publicidad es muy grande, la utilidad tiende (o se
aproxima) a 70 miles de dólares o bien a 70.000 dólares.
9) 28
005,2
070
000.2105,2
2670
000.2105,2
2670
444
4
4
2
4
4
4
24
limlim =
−+
+
=
−+
+
=
−+
+
∞→∞→
xx
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
Respuesta: Al aumentar el gasto en publicidad las utilidades se acercan a
28.000dólares.
10) a) La función de utilidad total, aplicando álgebra de funciones, sería:
( ) ( ) )(xCxIxU −= (Ingreso total menos costo total)
( ) ( ) 800.327302,0800.321208502,0 22
−+−=+−+−= xxxxxxU
Al producir y vender 98 cámaras fotográficas, la utilidad total, sería:
( ) ( ) ( ) 2,819.36800.3298730982,09898
2
=−⋅+⋅−=⇒= Ux
Respuesta: La utilidad total es de 36.819,2 cientos de pesos, por la producción
y venta de 98 cámaras fotográficas, o bien $3.681.920.
b) La función utilidad marginal es la primera derivada de la función utilidad total,
esto es:
8

( ) ( ) ( ) 7304,0800.327302,0)( 2
+−=
′
−
′
+
′
−= xxxxUM
Por la producción y venta de 120 cámaras fotográficas la utilidad marginal,
sería:
( ) 6827301204,0)120(120 =+⋅−=⇒= UMx
Respuesta: La utilidad marginal por la producción y venta de 120 cámaras
fotográficas es de 682 cientos de pesos o bien $68.200.
11) ( ) xxxI 8502,0 2
+−= ⇒ ( ) 8504,0 +−= xxIM
( ) 842850204,020 =+⋅−=IM
Respuesta: El ingreso marginal al vender 20 unidades es de 842 dólares.
12) a) La rapidez instantánea es la primera derivada de la función distancia recorrida,
esto es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 111461172 223
+−=
′
+
′
−
′
=′= ttttttdtv
A los 10 segundos de haber partido, tenemos que:
( ) ( ) ( ) ( ) 4711110141061010
2
=+⋅−⋅=′= dv
Respuesta: La rapidez instantánea del bus a los 10 segundos es de
s
m
471 .
b) La aceleración instantánea es la razón de cambio de la rapidez con respecto al
tiempo, y se determina con la segunda derivada de la función distancia recorrida,
esto es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 111461172 223
+−=
′
+
′
−
′
=′= ttttttdtv
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 141211146 2
−=
′
+
′
−
′
=′′= ttttdta
Transcurridos 15 segundos, tenemos que:
( ) ( ) ( ) 1661415121515 =−⋅=′′= da
Respuesta: La aceleración instantánea del bus transcurridos 15 segundos es de
2
166
s
m
.
13) a) ¿A qué hora se observa la mínima cantidad de clientes?
( ) 600123 2
+−= tttP
( ) 126 −=′ ttP
[ ]5,0200126 ∈==− tt
9

( ) 600600012030 2
=+⋅−⋅=P
( ) 588600212232 2
=+⋅−⋅=P
( ) 615600512535 2
=+⋅−⋅=P
Respuesta: el mínimo número de clientes se observa a las 02:00 hrs.
b) ¿Cuál es la cantidad mínima de clientes?
Respuesta: el mínimo número de clientes es 588.
14) ( ) ⇒=′ 0xf Encuentro puntos críticos.
( ) ( ) ( ) ( ) ttttf 285661456 2
−=
′
+
′
−
′
=′
2
28
56
02856
=⇒=
=−
tt
t
0=t 2=t 4=t
( ) 60 =f ( ) 622 =f ( ) 64 =f
Mínimo Máximo Mínimo
Respuesta: El rendimiento máximo se alcanza a las 2 horas de trabajo.
15) ttttR 21627)( 23
+−= , 80 ≤≤ t ⇒ 216543)(' 2
+−= tttR
0216543 2
=+− tt ⇒ 612 21 == tt
[ ]8,012 ∉ [ ]8,06 ∈
002160270)0( 23
=⋅+⋅−=R
51282168278)8( 23
=⋅+⋅−=R
54062166276)6( 23
=⋅+⋅−=R
a) Respuesta: El rendimiento es máximo a las 6 horas.
b) Respuesta: El rendimiento máximo es de 540 etiquetas.
10

16) Para ( ) ( ) ( ) 300.3000.42503,025001,0250250
2
=+⋅−⋅−=⇒= Dx
( ) 300.3250000.43,001,0
250
0
2
⋅−+−−=∫ dxxxEC
000.825000.4
2
3,0
3
01,0
250
0
23
| −





+⋅−⋅−= x
xx
EC
000.825000.4
20
3
300
1
250
0
23
| −





+−−= xxxEC
( ) 6,541.113
3
625.340
000.8250
3
625.815.2
==−−





=EC
Respuesta: El excedente de los consumidores es de aprox. $113.542.
17) Para ( ) ( ) ( ) 3071201105,011002,0110110
2
=+⋅−⋅=⇒= Ox
( )dxxxEP ∫ +−−⋅=
110
0
2
1205,002,0307110
110
0
23
|120
2
5,0
3
02,0770.33 





+⋅−⋅−= x
xx
EP
110
0
23
|120
4
1
150
1
770.33 





+−−= xxxEP
( ) 6,721.14
3
165.44
0
3
145.57
770.33 ==





−





−=EP
Respuesta: El excedente de los productores es de aprox. 14.721,67 dólares.
11

18)
a) ¿Cuál es la función de ingreso?
60209)( 2
+−= xxxIM ⇒
( )∫ ++⋅−⋅=+−= Cx
xx
dxxxxI 60
2
20
3
960209)(
23
2
CxxxxI ++−= 60103)( 23
Respuesta: La función ingreso es: CxxxxI ++−= 60103)( 23
b) Si el ingreso al vender 10 jugueras es de 2.582 dólares ¿cuál es el ingreso al
vender 25 jugueras?
CxxxxI ++−= 60103)( 23
e 582.2)10( =I ⇒
C+⋅+⋅−⋅= 10601010103582.2 23
C+= 600.2582.2 ⇒ C=−18 1860103)( 23
−+−= xxxxI ⇒
107.421825602510253)25( 23
=−⋅+⋅−⋅=I
Respuesta: El ingreso al vender 25 jugueras es de 42.107 dólares.
19)
cqqqdqqqdqqCMqC ++−=+−== ∫∫ 350102)350206()()( 232
cqqqqC ++−= 350102)( 23
618750435041042)4( 23
−==>=+⋅+⋅−⋅= ccC
618350102)( 23
−+−= qqqqC
554.1618635061062)6( 23
=−⋅+⋅−⋅=C
Respuesta: El costo de producir 6 unidades es de 1.554 dólares.
12

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