ラムダ計算入門

ラムダ計算入門
yingtai

自己紹介

• 67回生
• twitter: @_yingtai
• 部誌でラムダ計算のこと書いた
• Haskellerワナビ

LTの動機

• ラムダ計算が人口に膾炙していない
• 部誌書いたのに...
• ※部誌の内容は信用しちゃだめです

流れ

• ラムダ計算入門
• データ型の表現

ラムダ計算とは

• 「関数」をより抽象的に扱う

関数
• 「箱」(ブラックボックス)
• 入力(引数)があって、出力(結果)がある

f(x)

要するに

• λ[入力].[出力]
• なぜ「抽象的」と言えるのか？
• = どこがええのんや

抽象化①
• 無名関数
• いちいち名前を付けない

λx. x+2

抽象化②

• 高階関数
• 関数そのものを入力 / 出力できる

例えば、
• f(x, y) = x を考える (図はイメージ)
• ラムダ記法では?

f

λx. (λy.x)

•Pythonコード
•f1 と f2 は同じ

カリー化

• f(x, y) = x → f(x)(y) = x
• これをカリー化と言います

ラムダ記法では

• カリー化した関数を簡潔に表せる
• λx.(λy.x) で事足りる

でっていう

• カリー化して何が嬉しいのか
• めんどいだけなのでは...

嬉しいです
• f(x, y) = x

• … x と y の両方を渡す必要がある
• f(x)(y) = x
• … x だけ渡す、という操作が可能
• この操作を部分適用と言う

ついでに

• λx. (λy. x) は λx. λy. x と表せる
• どこがどの関数か自明
• λx. λy. x は λxy. x と表せる
• ただの省略記法

SKIコンビネータ

• S = λx y z. x z (y z)
• K = λx y. x
• I = λx. x

I コンビネータ

• λx. x
• Identity combinator (恒等関数)
• 取ったのをそのまま返すだけ

Kコンビネータ

• λx y. x
• Constant combinator
• Konstant (独)
• 定数関数

Sコンビネータ
• λx y z. x z (y z)
• Sharing combinator
• z をシェアする
• S (λa. M) (λb. N) = λz. M N
• ただし M = M[a:=z], N = N[b:=z]

基本的な考え方

• Turing: 関数をデータで表現する
• → 手続き型
• Church: データを関数で表現する
• → 関数型

Church encoding

• データ型をラムダ計算でエンコード
• 自然数、真偽値、コンテナ、...etc.

自然数 (Church)

• いわゆるチャーチ数
• ペアノの公理系に基づいて構成
• 1 := suc(0), 2 := suc(suc(0)), ...

具体的には
• 0 := λs z. z
• 1 := λs z. s z
• 2 := λs z. s (s z)
• 3 := λs z. s (s (s z))
• ...

Boolean

• True := λt f. t
• False := λt f. f
• if t1 then t2 else t3 := t1 t2 t3

Tuple

• (t1, t2) := λx. x t1 t2
• fst := λt. t (λf s. f)
• snd := λt. t (λf s. s)

List (Church)

• cons と nil で表現
• [x,y,z]
• = (cons x (cons y (cons z nil)))

List (Church)

• Nil := λc n. n
• Cons := λh t c n. c h (t c n)

List (Church)
• [x,y,z]
• =λc n. c x(λc n. c y(λc n. c z n))
• cons が foldr 的に振る舞う！
• foldr = λn c l. l c n
• tail = λl. l (λx xs. xs) Nil

Scott encoding

• もう一つのエンコーディング
• Lazy Kのリストは Scott encoding

自然数 (Scott)
• 0 := λz s. z
• 1 := λz s. s 0
• 2 := λz s. s 1
• 3 := λz s. s 2
• ...

List (Scott)

• Nil = λf g. f
• Cons = λx xs f g. g x xs

List (Scott)

• [x,y,z]
• = λc. c x (λc. c y (λc. (c z) Nil))
• consはパターンマッチ的！

まとめ
• Scott encoding
• プログラミングが簡単
• パターンマッチ
• Church encoding
• 再帰が簡単、計算量

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