Presentació amb diapositives sobre el nombre auri.

1. WebQuest sobre el nombre d’or, on introduïm
també conceptes relacionats amb la sèrie de
Fibonacci.
Clàudia Peña
Elisabeth Rodríguez
Marc Pérez
Mehwish Mughal
El nombre auri

2. 1. Introducció
2. Què és el nombre auri?
3. Nombres relacionats
4. Successió de Fibonacci
5. Relació amb l’ésser humà
6. Relació amb la naturalesa
7. Relació amb l’art
8. Relació amb els objectes quotidians
9. Conclusió
Índex

3. 1. Introducció
 El nombre d’or es representa amb la lletra grega φ.
 El nombre diví està relacionat amb:
 Art
 Objectes Quotidians
 Ésser humà
 Naturalesa

5. 2. Què és el nombre auri?
 Descobert a l’época clàssica.
 El primer document sobre el nombre Phi s’estableix en els Elements de
Geometria d’Euclides.
“Dize se ser dividida una línea recta con razón extrema y media quando fuere que
como se ha toda a la mayor parte, assi la major a la menor”.
Traduït al català actual:
Es diu que una recta està dividida en mitja i extrema raó quan la longitud de la
línea total és a la de la part major, com la d’aquesta part major és a la menor.

6.  Classificació de Phi en el conjunt de nombres reals:
2. Què és el nombre auri?

7. 2.1 Maneres de calcular-lo
 Tot sorgeix d’una equació de segon grau:
1
𝑥 − 1
=
𝑥
1
𝑥 · 𝑥 − 1 = 1 · 1
𝑥2
−x − 1 = 0
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→ 𝑥 =
1 ± 12 − 4 · 1 · (−1)
2 · 1

8. 3. Nombres relacionats
 El nombre Pi  3,141592
 El nombre e (1 +
1
𝑛
) 𝑛
2,71828
SEMBLANCES DIFERÈNCIES
 Els tres nombres tenen infinites
xifres decimals.
 Aquestes xifres no són periò-
diques.
 Gràcies a aquestes carac-
terístiques, tots tres nombres
són irracionals.
 El nombre Pi, i el nombre e no
són solució de cap equació
polinòmica(nombres
transcendents).
 El nombre d’or en canvi, si que és
solució de una equació de segon
grau:

10. 4.1 Successió de Fibonacci
 Leonardo Pisano Fibonacci (1170-1250)
 Introducció dels nombres aràbics en la nostra cultura.
 Creador de la successió de Fibonacci i del Liber Abaci.

11. 4.2 Què és la sèrie de
Fibonacci?
Els nombres que la componen són el resultat de la suma dels dos nombres que
els precedeix.
1
1= 1+0
2= 1+1
3= 2+1
5= 3+2
8= 5+3
13= 8+5
21= 13+8
34= 13+21
55= 34+21
89= 55+34
144= 55+89
233= 144+89
377= 233+144
610= 377+233
987= 610+377
1597= 987+610
∞

12. 4.3 El Liber Abaci
Quantes parelles de conills tindrem al cap d’un any si comencem amb una parella
que produeix cada mes una altra parella que procrea al seu cop als dos mesos de
vida?

13. 4.4 Relació amb el nombre auri
Divisió de 2 nombres consecutius de la sèrie de Fibonacci entre ells (sempre el
major entre el menor) donen com a resultat una aproximació al nombre auri. Com
més grans siguin els nombres dividits (dividend i divisor) més exacta serà
l’aproximació.
1/1= 1
2/1= 2
3/2= 1.5
5/3= 1.66666
8/5= 1.6
13/8= 1.625
21/13= 1.61538461538
34/21= 1.61904761905
55/34= 1.61764705882
89/55= 1.61818181818
144/89= 1.6179775281
233/144= 1.618055556
377/233= 1.618025751
610/377= 1.618037135
987/610= 1.618032786
1597/987= 1.61803447
∞
Phi=1.6180339887498948482045868343656381177203091798057628621354486

14. Relació amb
l’ésser humà

15. 5.1 Marcos Vitruvius Pollio
 Va viure durant l’època de Juli Cèsar i August.
 La fama de Vitruvi es deu al tractat De Architectura.

16. 5.2 Estudis de Vitruvi
Vitruvi va inscriure el cos d’un home amb els braços i les cames en posicions
sobreposades en un cercle que al seu cop estava inscrit també en un

17.  Agafem un pentàgon regular i fem les diagonals.
 Obtindrem, llavors, diferents triangles isòsceles.
5.3 El triangle i el pentàgon auri

18.  En el triangle isòsceles es compleix que:
𝐸𝐵
𝐸𝐷
=
𝐸𝐷
𝐸𝐹
ED=FD=FB=1 i EF=EB-1
𝐸𝐵
1
=
1
𝐸𝐵 − 1
𝐸𝐵2
− 𝐸𝐵 = 1
𝐸𝐵2
− 𝐸𝐵 − 1 = 0
𝐸𝐵 =
1 + 5
2
= 𝑃ℎ𝑖
5.3 El triangle i el pentàgon
auri

19. 5.4 Proporcions àuries humanes
 En el cos humà trobem diferents proporcions que podem considerar com
perfectes.
𝑙𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎
= 1,618 …

20.  Podem trobar relacions àuries en els llocs més insospitats del cos humà com
per exemple les dents i les mans.
5.4 Proporcions àuries humanes

21. 5.5 El modulor

22. 5.5 El modulor
 Va ser establert per Le Corbusier.
 Es divideix en dues sèries
Sèrie blava
Sèrie vermella
𝒏 +
𝒏
𝑷𝒉𝒊
+
𝒏
𝟐𝑷𝒉𝒊
= 𝟐𝒏
 Sèrie blava: 9,57; 5,92; 3,66; 2,26; 1,40; 0,86; 0,53; 0,33; 0,20...
 Sèrie vermella: 4,79; 2,96; 1,83; 1,13; 0,70; 0,43; 0,26; 0,16; 0,10…

24. 6.1 La filotaxis
 Significa ordenació de les fulles al voltant d’una tija.
 La filotaxis està estretament relacionada amb la successió de Fibonacci.

25. 6.2 Flors i pètals
3
5
21
8

26. 6.3 Espiral logarítmica àuria
 Tot sorgeix a partir d’un rectangle auri.

27.  Podem trobar l’espiral logarítmica en alguns exemples de la natura.
 En el nautilus
 En les galàxies
6.3 Espiral logarítmica
àuria

29. 7.1 Relació amb la pintura
La última cena de Da Vinci:

30. Las meninas de Velázquez:
7.1 Relació amb la pintura
La Gioconda de Da Vinci:

31. El naixement de Venus de Botticelli:
7.1 Relació amb la pintura

32. La piràmide de Keops:
7.2 Relació amb l’arquitectura

33. Catedral de Notre-Dame:
7.2 Relació amb l’arquitectura
Universitat de Salamanca:

34. Porta del Sol de Tiwanaku:
7.2 Relació amb l’arquitectura
Panteó:

36. 8.1 Logotips
Logotip de National Geographic: Logotip de Toyota:

37. Logotip BP:
8.1 Logotips
Logotip de Pepsi:

38. Logotip d’Apple:
8.1 Logotips

39. Logotip del grup boticari:
8.1 Logotips

40. 8.2 Objectes quotidians

41.  Phi és un nombre de vital importància per el desenvolupament tant
artístic com biològic.
 La presència del nombre d’or en alguns elements concrets i reals té una
gran repercussió en la manera de veure’ls i percebre’ls.
 Naturalesa Desenvolupament i creixement.
 Art Disseny de les obres.
 Objectes quotidians Mercantilització de productes.
9. Conclusió

42. Vosaltres què opineu sobre el nombre
auri? Creieu que rep tanta importancia
com la què es mereix? Què passaria si no
existís aquest gran nombre?...
ESPEREM QUE HAGUEU
GAUDIT D’AQUESTA
EXPOSICIÓ.
I PER FINALITZAR…