Cojuntos, numeros reales y valor absoluto

1. CONJUNTOS, NÚMEROS
REALESYVALOR ABSOLUTO
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ANDRÉS ELOY BLANCO ( UPTAEB).
BARQUISIMETO-ESTADO LARA.
Nombre. Yolisbel Colmenarez. C.I:25.148.169
Sección: 0303.
Unida II: Números Reales y Plano Numérico.
Programa Nacional de Formación en
Administración.
Marzo de 2021.

2. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
• Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que
guardan una serie de propiedades estructurales. Por ejemplo el
sistema mas usual en aritmética natural esta formado por el
conjunto de los números naturales, con la suma, la multiplicación y
las relaciones usuales de orden aditivo.
• En su forma más genérica se refiere a los grandes conjuntos de
números como: naturales, enteros, fraccionarios, racionales,
irracionales, reales, imaginarios y complejos.

3. 1) Conjunto de los Números Naturales (N).
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}
El conjunto de los números naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque:
• Tiene un número infinito de elementos
• Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
• El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).
2) Conjunto de los Números Cardinales (N*).
N* = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....} Al Conjunto de los números naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.
3) Conjunto de los números fraccionarios (Q+)
Q+ = { 0, ½ , 2, 3/4 3, 9/7,.....}
Este conjunto surge por la necesidad de dar solución a la división en el conjunto de los números naturales, cuando el dividendo es múltiplo del
divisor y distinto de cero esta operación no tiene solución dicho conjunto.
Los números fraccionarios son aquellos que se expresan de las forma o como una expresión decimal periódica.
4) Conjunto de los Números Enteros (Z).
Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
El Conjunto de los números enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el
minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?).
Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un
punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a
la izquierda de él).

4. 5) Conjunto de los Números Racionales Q.
Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}
El conjunto de los números racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los números
naturales, números cardinales y números enteros.
Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los números enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para
solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la formaa/b. Esta fracción en la cual el
numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.
El conjunto de los números racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los números enteros (Z).
6) Conjunto de Números Irracionales (I).
I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos.
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos sepueden citar a
las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no
pueden transformarse en una fracción. Ejemplos: 1,4142135...., 0,10200300004000005....
7) Conjunto de Números Reales (R).
R = {....- 10, -1, - ¾, - ½, - ¼, 0, ¼ , √2, 5 , .....}
Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se denotan por R. R= {Q U irracionales}.
8) Conjunto de Números Imaginarios (i)
Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por i. La unidad de los números
imaginarios es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por i, así que: i = √-1.
Debes tener en cuenta:
i2 = -1, i 3 = - i, i 4 = 1.
9) Conjunto de Números Complejos (C)
La unión de los números reales con los imaginarios da origen a los números complejos denotados por C.

5. OPERACIONES CON CONJUNTOS
Con los conjuntos se pueden realizar las operaciones siguientes:
1) Unión: la unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos de los dos conjuntos. O sea, los elementos que
pertenecen al conjunto A o al conjunto B, o a ambos.
2) Intersección: la intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, o sea
los elementos comunes. Es decir, los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.

6. 3) Diferencia:Sean dos conjuntos A y B cualesquiera, su diferencia es el conjunto que se forma con los elementos que pertenecen al
conjunto A, pero que no pertenecen al conjunto B.
Al igual que la operación aritmética que llamamos sustracción, la diferencia entre dos conjuntos no es conmutativa, o
sea A B no es lo mismo que B A.
Nota: Denotamos la diferencia entre conjuntos como A – B o A B.
4) Complemento de un conjunto: si consideramos U como el conjunto universo y a un conjunto A que es subconjunto de U,
el complemento de A lo podemos definir como el conjunto formado por los elementos que están en U y que no son elementos del
conjunto A.

7. NUMEROS REALES
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .
Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo, y la
división por cero.

8. La recta real:
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.
Representación de los números reales:
Los números reales pueden ser representados en la recta con tanta aproximación como queramos,
pero hay casos en los que podemos representarlos de forma exacta.
Operaciones de números reales:
La suma:
1. Interna :El resultado de sumar dos números reales es otro número real.
Es decir, si a y b pertenecen a los números reales, en lenguaje matemático esto mismo se expresa:
Entonces la suma resultara un numero real también.

9. 2.Asociativa:
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.
3.Comutativa:
El orden de los sumandos no varía la suma.
4.Elemento neutro:
El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número
sumado con él da el mismo número.
5.Elemento opuesto:
Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el
elemento neutro, en este caso, cero.
Al opuesto de un número a se le denota como -a. Entonces,
a-a=0
El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.
-(-a)=a

10. Diferencia de números reales
La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.
Producto de números reales
Propiedades:
1.Interna:el resultado de multiplicar dos números reales es otro
número real.
2 .Asociativa: el modo de agrupar los factores no varia el resultado. Si a,b y c son números reales
cualesquiera, se cumple que:
Ejemplo:
3 .Comutativa: el orden de los factores no varia el
producto.
Ejemplo:
4 .Elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el
mismo número.
5 . Elemento opuesto: un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento
unidad.
Ejemplo:

11. 6 .Distributiva: el producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho
número por cada uno de los sumandos.
7.Sacar factor común: es el proceso inverso a la propiedad distributiva.
Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo
dicho factor.
Ejemplo:
División de números reales
La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

12. DESIGUALDADES
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son
distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor,
mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con
diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según su naturaleza.
Signos de desigualdad matemática:
•Desigual a: ≠
•Menor que: <
•Menor o igual que: ≤
•Mayor que: >
•Mayor o igual que: ≥
Propiedad de suma y resta de la desigualdad:
si a>b, entonces a+c>b+c
si a>b, entonces a-c>b-c

13. DEFINICION DEVALOR ABSOLUTO
El valor absoluto representa la distancia desde el origen o cero de una recta numérica hasta un número o
un punto. Geométricamente los valores absolutos de |x| son números reales de x y es un valor geométrico
sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 5 es el valor absoluto de
+5 y de -5. Los valores absolutos están representados por dos líneas verticales, tales como |x| (el cual se
lee como módulo de x). El valor absoluto se define como:
•|x| = x si x ≥ 0
•|x| = -x si x < 0
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL:
Para todos los números reales los valores absolutos “x” satisfacen las siguientes condiciones:
•|x| = x ; si x ≥ 0
•|x| = -x ; si x < 0
En una recta numérica, las representaciones de los valores absolutos de un número real es la
distancia entre número y el cero u origen. Por ejemplo, |3| es la distancia de tres unidades al cero.
Tanto 3 y -3 son las distancias de dos unidades desde el cero.
|3| = |-3| = 3. En matemática, la medición de cualquier distancia
siempre es un valor no negativo.

14. DESIGUALDADES CONVALOR ABSOLUTO
Resolver Desigualdades con Valor Absoluto:
x puede ser una variable o una expresión algebraica.

15. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Cinesoft. Empresa de informática y medios audiovisuales. Matemáticas, conjuntos relaciones y operaciones (Fecha
de Consulta: 12/03/2021). Disponible en:
http://matematica.cubaeduca.cu/media/matematica.cubaeduca.cu/medias/interactividades/piu/11Conjuntos/co/Conjun
tos_2.html
EcuRed contributors. Conjuntos numéricos. Fecha de la última revisión: 1 agosto 2019.(Fecha de Consulta:
12/03/2021). Disponible en:
https://www.ecured.cu/index.php?title=Especial:Citar&page=Conjuntos_num%C3%A9ricos&id=3485634
Marta (2019). Superprof Material didáctico.Propiedades de las operaciones entre números reales.
.(Fecha de Consulta: 12/03/2021). Disponible en:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/reales/operaciones-con-numeros-
reales.html#tema_diferencia-de-numeros-reales
Universidad de Antioquia. Facultad de ciencias exactas y naturales. Desigualdades y valor absoluto.
Fecha de la última actualización: 30 de julio 2018.(Fecha de Consulta: 12/03/2021). Disponible en:
https://www.matematicasudea.co/basicas/docs/Diapositiva8.pdf