Aplicaciones de la derivada

1. Aplicar Derivadas en el Cálculo de Velocidad y Aceleración de un Objeto que se Mueve en Línea
Recta
Una función f es derivable en a si f'(a) existe. Es derivable en un intervalo abierto (a, b) (o
[a,∞) o (-∞,a), (-∞,∞)) si es derivable en todo número del intervalo.
Ejemplo 1. Un objeto tiene una ecuación de posición dada por
Encuentra la ecuación que da cuenta de su velocidad y la ecuación para su aceleración.
Solución: Como nos piden la velocidad, necesitamos calcular la derivada. Revisando la función
observamos que se trata de una función polinomial, por lo que necesitamos utilizar las reglas de
derivación 1) y 2) para potencias y constantes. Por lo tanto aplicando las reglas:
Para obtener la aceleración, recordemos que se trata de la razón de cambio de la velocidad por lo que
debemos de derivar la ecuación de velocidad obtenida:
Derivación Implícita
Al considerar la función con ecuación f(x) = 2x²-6x+5, es posible determinar f’(x) con los
teoremas de las derivadas, ya que f es una función dada explícitamente en términos de la variable
independiente x. Sin embargo, existen funciones que son definidas de forma implícita por medio de
una relación de x e y como 3x²y²-5xy³+x = 5.
Para obtener la derivada de una función implícita se emplean las mismas fórmulas dy/dx y las
reglas de derivación, en donde debe tenerse solamente el cuidado de tratar a la variable dependiente y

2. exactamente como una variable. Dicho de otra forma, la variable dependiente y ocupará el lugar de la u
en las fórmulas.
Ejemplo:
Cálculo de la Derivada en un Punto de la Circunferencia
Considere que y es una función de x definida por la siguiente ecuación: x2
+ y2
= 16
Determinar y' y encontrar su valor en el punto (3,7). Solución Vamos a derivar a ambos lados de la
ecuación, pero teniendo el cuidado de recordar que y es función de x: x2
+ y2
=16
(x2
+y2
)' = (16)' (vamos a derivar ambos miembros)
2x+2y·y'= 0 aplicamos la regla ([f(x)]n
)'=n[f(x)]n-1
·f'(x))
2y·y'=-2x y'=-2x/2y y'=-x/y
Ahora, en el punto (3,7) tenemos x=3, y=7. Por lo tanto, aquí se tiene y'=-3/7.
Derivada de orden superior
Muchas veces, interesa el caso, en el cual la función derivada f’, se puede derivar nuevamente
en un intervalo I, es decir, si existe, lim f’ (x+h) – f’(x). En este caso se le denomina segunda derivada
x 0
de la función f, ó también, la derivada de segundo orden y se denotará por cualquiera de los símbolos:
f’’ (x), f² ó d²f/dx².
Siguiendo este proceso, se puede preguntar por la existencia o no, de la derivada n-ésima o la
derivada de orden n de f, la cual se denotará por: fⁿ o dⁿf/dxⁿ.
Funciones crecientes y decrecientes
Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y
( x2, f(x2) ) con x1 < x2 se tiene que f(x1) < f(x2)

3. Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y
( x2, f(x2) ) con x1 > x2 se tiene que f(x1) > f(x2)
Ejemplo:
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Dominio:
(x-1)² = 0, x=1, D = R–{1}
f’(x) = x³-3x²
(x-1)³
x³-3x²
(x-1)³
x = 0, x = 3
x (∞,0) (0,1) (1,3) (3,∞)
f(x) + + - +
creciente creciente decreciente creciente

4. Creciente: (∞,0) U (0,1) U (3,∞)
Decreciente: (1,3)
Máximos relativos y mínimos relativos.
Sea f(x) una función y xo un punto del dominio.
Definición:
La función f(x) presenta un máximo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:
f(x) < f(xo); x Є E(xo), x ≠ xo
La función f(x) presenta un mínimo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:
f(x) > f(xo); x Є E(xo), x ≠ xo
Son puntos que se distinguen por ser aquellos cuya imagen es la mayor o la menor (máximo -
mínimo) de todas las imágenes “de los alrededores”. No se excluye que haya otros puntos "alejados" de
xo cuya imagen sea mayor o menor que f(xo).
A los máximos y mínimos relativos se los llama extremos relativos o simplemente extremos.
Ejemplo:
Considera la función: f (x) = 2x³ + 9x² + 12x + 1
Halla sus máximos y mínimos.
Solución:
f '(x) = 6x² + 18x + 12
f '(x) = 0 → 6 (x² + 3x + 2) = 0
x = -3± √ 9-8 = -3±1 x = -1
2 2 x = -2

5. Signo de f '(x)
x (∞,-2) (-2,-1) (-1,+∞)
f(x) + - +
creciente decreciente creciente
f (x) es creciente en (-∞, -2) ∪ (-1, +∞); es decreciente en (-2, -1). Tiene un máximo en (-2, -3) y un
mínimo en (-1, -4)
Criterio de la Primera Derivada para Extremos Relativos.
Teorema. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto
(a,b):
1. Si f´( x)>0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b].
2. Si f´( x)<0 para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b]
Teorema. Criterio de la Primera Derivada para extremos relativos
Sea f (x) continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b),
excepto posiblemente en el punto crítico c.
Si f´( x)>0 para a<x<c y f’(x)<0 para c<x<b entonces f(c) es un máximo relativo.
Si f´( x)<0 para a<x<c y f’(x)>0 para c<x<b entonces f(c) es un mínimo relativo.
Máximos y mínimos relativos.
Definición:
Decimos que f(xo) es el valor máximo (absoluto) de una función f, en un a intervalo I que
contiene a xo si f(xo) ≥ f (x) x Є I. En este caso diremos que f alcanza su máximo en xo.
Definición:

6. Decimos que f(xo) es el valor mínimo (absoluto) de una función f, en un a intervalo I que
contiene a xo si f(xo) ≤ f (x) x Є I. En este caso diremos que f alcanza su mínimo en xo.
Definición:
A los valores máximos y mínimos se les llaman valores extremos.
Puntos críticos:
Un punto crítico de una función se define como aquellos puntos en donde su derivada se anula o
no está definida. En un gráfico, estos puntos críticos suelen corresponder con áreas de valores máximos
o mínimos, o un punto de inflexión. Puedes hallar la primera derivada utilizando el procedimiento dado
por el análisis matemático. Una vez que conozcas la derivada primera, es sólo cuestión de hallar los
valores de "x" en los que se anula o no está definida.
Definición:
Un punto crítico de una función f es un punto c de su dominio tal que:
i)f´(c)=0
ii). f´(c) no existe
Ejemplo: Hallar los puntos críticos de la función f(x)= x³
Bien, un punto crítico de una función es un punto cuya recta tangente tiene de pendiente 0.
La derivada de una función en un punto nos da la pendiente de la recta tangente a dicho punto. Por
tanto, como la derivada es la pendiente de la recta, y sabemos que la pendiente en un punto crítico es 0,
sólo debemos igualara la derivada a cero:
f(x)= x³ f’(x) = 3x² = 0
despejamos x:
3x² = 0 x = 0
Sustituimos en nuestra función inicial
f(0) = 3.0² = 0
Por tanto, el punto crítico de la función f(x)= x³, es P(0,0)

7. Concavidad y puntos de inflexión
Definición:
Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto (a,b) entonces:
1. Si f’’ (x)>0, x Є (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).
2. Si f’’ (x)<0, x Є (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b).
Definición. Un punto (c,f(c)) en donde cambia la concavidad de la gráfica de una función f, se
denomina punto de inflexión de la gráfica de f.
Teorema. Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f y si existe f’’(c), entonces
f’’(c)=0.
Ejemplo:
Determinar los intervalos abiertos en los cuales la gráfica de f(x) = 6 / x²+3 es cóncava hacia arriba o
hacia abajo.
f’(x) = -12x/(x²+3)²
f’’(x) = 36(x²-1)/(x²+3)³
Como ƒ’’(x) = 0 cuando x ± 1 y ƒ’’(x) se define en toda la recta real, se debe probar ƒ’’ en los
intervalos (-∞, -1), (-1, 1) y (1, ∞).

8. Intervalo (-∞, -1) (-1, 1) (1, ∞)
Valor de x x = -2 x = 0 x = 2
Signo de f’’(x) f’’(-2) > 0 f’’(0) < 0 f’’(2) > 0
Conclusión Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba
Problemas de máximos y mínimos.
Un fabricante de cajas de estaño desea emplear piezas de 8 x 15 pulgadas, cortando cuadrados
iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados. Calcule la longitud necesaria del lado del cuadrado
por cortar si se desea obtener de cada pieza de estaño una caja sin tapa del máximo volumen posible.
Solución:
Sea V(x): volumen de la caja.
V(x) = (8-2x) (15-2x) x
V(x) = 4x³-46x²+120x
El dominio de V es domV= [0,4], porque x no puede ser negativo ni menor que 4.
V es una función polinómica y por lo tanto V es contínua en R, y por ende en el intervalo [0,4].
Por el teorema del valor extremo, V tiene un valor máximo absoluto en [0,4].
V’(x) = 12x² - 92x + 120 = 4 (x-6) (3x-5)
V’ existe para todo x.
V’ = 0 cuando x = 6, ó x = 5/3, pero 6 ∉ [0,4] y 5/3 Є [0,4]. Así 5/3 es un punto crítico de V en el
intervalo [0,4].
Ahora:
V (0) = 0
V (5/3) ≈ 90.74
V (4) = 0
Por lo tanto el valor máximo absoluto de V en [0,4] ocurre en x = 5/3
Respuesta: la longitud x del lado por cortar ha de ser 5/3 pulgadas.

9. Límites indeterminados.
En muchas ocasiones se presenta el cálculo de límites de cocientes, diferencias y productos de
funciones en los que al reemplazar la variable por el valor al cual tiende se generan indeterminaciones
del tipo 0/0, ∞/∞, 0.∞, ∞-∞. El resultado de estos límites no puede anticiparse y el mismo puede ser
cero, ∞ , -∞ , un número finito diferente de cero, o bien puede no existir. Para resolverlos, se realizan
procedimientos algebraicos adecuados que permitan salvar la indeterminación.
La indeterminación 0/0
Para salvar indeterminaciones de este tipo, es posible reducir el cociente planteado a otro cuyo
denominador no sea cero factorizando el numerador y/o el denominador, cancelando luego los factores
comunes. En otras ocasiones, es posible crear un factor común multiplicando el numerador y el
denominador por la expresión conjugada de la que se presenta en uno de ellos.
Ejemplo: halle lim x²-9/x-3
x 3
Al sustituir la x por el valor , resulta lim (x²-9) = 0 y lim x-3 = 0, lo que genera una indeterminación
de
x 3 x 3
la forma 0/0.
Resolvamos por factorización para romper la indeterminación.
x² - 9/x-3 = (x+3)(x-3)/(x-3) = x+3
Luego:
lim x²-9/x-3= lim x+3 = 6
x 3 x 3
La indeterminación ∞/∞
Se analizará el límite del cociente de dos funciones polinomiales en el que la variable crece o
decrece indefinidamente. Se debe tener en cuenta que el límite de una función polinomial de grado
n ≥ 1 cuando x tiende a +∞ ó a -∞ es +∞ ó -∞ . Para resolver límites de este tipo, se dividen el
numerador y el denominador de la función dada por xⁿ, siendo n el mayor de los grados de las
funciones polinomiales. Luego se aplican las propiedades de los límites.
Ejemplo: halle el lim 3x²+2x-3/x4
+5x³+4x.
x 3

10. Para resolver se dividen el numerador y el denominador entre x4
lim 3x²+2x-3/x4
+5x³+4=
x 3
3x²+2x- 3
= lim x4
x4
x4
= 0/1= 0
x 3 x4
+5x³+4
x4
x4
x4
En este ejemplo, el grado de la función polinomiales del numerador es menor que el de la del
denominador y se obtuvo como resultado cero.
La indeterminación ∞-∞:
Si la forma indeterminada es ∞-∞. En este caso se hacen transformaciones algebraicas de tal manera
que se pueda expresar como
0 / 0; ∞ / ∞.