Definición de conjuntos

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto-Lara.
Alumnas: Yemali Mogollón
C.I: V-28.127.770
PNF: Contaduría Publica
Sección: 0202
Profesora: Mayra Ramírez.

2. Definición de Conjuntos
El conjunto de los números reales (denotado por ℜ) Incluye tanto a los números
racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en
otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes
(1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con
denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como
√5, π, o el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el
siglo XVIII.
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas
simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de
matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo
matemático formal.
Operaciones con conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos,
nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto.
De las operaciones con conjuntos veremos los siguientes unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica y complemento.
Números Reales
Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros,
racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ.
La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que
es igual a la raíz cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se usa para simplificar la
interpretación matemática de efectos como los fenómenos eléctricos.
Todos los números reales tienen un orden:
1 >2 > 3 > 4 > 5…
… - 5 < - 4 < - 3 < - 2 < - 1 < 0 …

3. Desigualdades
Las desigualdades son declaraciones matemáticas que definen un rango de
valores. Son fácilmente reconocibles porque contienen los símbolos <, ≤, >, o
≥.Las desigualdades sin distintas a las ecuaciones, aunque puedes aplicar lo que
sabes de ecuaciones para ayudarte a entender desigualdades. Las desigualdades
y las ecuaciones son ambas declaraciones matemáticas que comparan dos
valores.
Una ecuación contiene el símbolo =, que liga dos expresiones que tienen el mismo
valor. Ya estas familiarizado con ecuaciones como estas:
26 = 21 + 5
y = 3x + b
5t = 2(t + 3)
Incluso sin resolverlas, sabes que la cantidad de lado izquierdo del signo igual
tiene el mismo valor que la cantidad del lado derecho.
Las desigualdades son distintas. En una desigualdad, un lado de la desigualdad
puede ser mayor o menor que la cantidad del otro lado. Los símbolos matemáticos
<, ≤, >, y ≥ proveen información sobre los tamaños relativos de las dos
expresiones.
Definición de Valor Absoluto
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para
nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que
el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud
numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para
nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que
el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud
numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.

4. Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor
absoluto tanto de +5 (5 positivo) como de -5 (5
negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo
en el número positivo y en el número negativo: en este
caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe
entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la
notación correcta es |5|
Desigualdades con Valor Absoluto
Desigualdades con un solo valor absoluto y la variable sólo en el argumento del
valor absoluto
Ejemplos
| 3x+2 | >5
| 5x-4 | ≤ 7
Estas desigualdades o inecuaciones son resueltas de manera muy sencilla al
aplicar las siguientes propiedades del valor absoluto. Ellas las recordamos de
la interpretación geométrica del valor absoluto.
Proposición Para c>0 tenemos
1 |expresio´n|<c es equivalente a −c<expresio´n<c.
2 |expresio´n|>c es equivalente a expresio´n<−c o expresio´n>c
Se tiene una proposición similar para desigualdades con valor absoluto no
estrictas, ≤ y ≥ .
Así que para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado izquierdo y una
constante positiva en el otro miembro, solo hay que identificar con alguna de las
dos formas, aplicar la equivalencia, resolver las desigualdades de la equivalencia

5. para pasar a determinar el conjunto solución de la desigualdad en base a la
condición de la equivalencia.
Plano Numérico
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano,
a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se
cortan en un punto llamado origen o punto cero.
Distancia Punto Medio
Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de
otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Más
generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a la
misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos,
rectas.
Representación grafica de las cónicas
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas
resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho
plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas.
Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
Circunferencia
Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la
distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

6. Ecuación analítica de la circunferencia: si hacemos coincidir el centro con el
origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia
(x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema
de Pitágoras: r2 = x2 + y2. Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno
cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r
tendremos que: r2 = (x – a)2 + (y – b)2 Llamada canónica podemos desarrollarla
resolviendo los cuadrados (trinomio cuadrado perfecto) y obtenemos
x2 + y2 – 2ax –2by – r2 = 0.
Si reemplazamos – 2a = D; – 2b = E; F = a2 + b2 – r2 tendremos que:
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Ejemplo: Si tenemos la ecuación x2 + y2 + 6x – 8y – 11 = 0
Entonces tenemos que: D = 6 Þ 6 = – 2a Þ a = – 3
E = – 8 Þ – 8 = – 2b Þ b = 4
El centro de la circunferencia es (– 3, 4). Hallemos el radio
F = (– 3)2 + 42 – r2 Þ – 11 = (– 3)2 + 42 – r2 Þ r = 6
La ecuación de la circunferencia queda: (x + 3)2 + (y – 4)2 = 36
Parabola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo
llamado foco y de una recta fija llamada directriz .

7. Ecuación analítica de la parábola: Supongamos que el foco esté situado en el
punto (0,c) y la directriz es la recta y = – c, por lo tanto el vértice está en su punto
medio (0,0), si tomamos un punto cualquiera P = (x , y) de la parábola y un punto
Q = (x, – c) de la recta debe de cumplirse que: PF = PQ
Elevando al cuadrado ambos miembros: x2 = 4cy
Si la parábola no tiene su vértice en (0,0) si no en (p, q) entonces la ecuación
sería: (x– p)2 = 4c(y – q)
desarrollando la ecuación tendremos: x2 + p2 – 2xp – 4cy + 4cq = 0
Si hacemos D = – 2p
E = – 4c
F = p2 + 4cq
obtendremos que es: x2 + Dx + Ey + F = 0, en la que podemos observar que falta
el término de y2.
Observación: es de destacar que el término x y no aparece, la razón es que se ha
supuesto que los ejes de simetría de las cónicas son paralelos a los ejes de
coordenadas; en caso contrario aparecería este término, que como es lógico
dependerá del ángulo de inclinación de los ejes.

8. Elipse
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.
Ecuación analítica de la elipse: para simplificar la explicación ubiquemos a los
focos sobre el eje de las x, situados en los puntos F (c,0) y F' (– c,0). Tomemos
un punto cualquiera P de la elipse cuyas coordenadas son (x, y). En el caso de la
elipse la suma de las distancias entre PF y PF' es igual al doble del radio sobre el
eje x. Entonces: PF + PF' = 2a. Aplicando Pitágoras tenemos que:
Elevamos al cuadrado ambos miembros para sacar las raíces y desarrollamos los
cuadrados, queda finalmente:
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación debería
de ser:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 + a2y2 – 2xpb2 – 2yqa2 +
p2b2 + q2a2 – a2b2 = 0
Si hacemos: A = b2

9. B = a2
C = – 2pb2
D = – 2qa2
E = p2b2 + q2a2 – a2b2
tendremos la ecuación: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar
que es igual que la de la circunferencia excepto que los términos A y B no tienen
porqué ser iguales.
Ejemplo: Si tenemos la ecuación 4x2 + 9y2 + 24x – 8y + 81 = 0
Entonces tenemos que: A = 4 Þ 4 = b2 Þ b = 2; B = 9 Þ 9 = a2 Þ a = 3
Los radios de la elipse son: sobre el eje x = a = 3; sobre el eje y = b = 2. Hallemos
en centro (p, q).
C = 24 Þ 24 = – 2pb2 Þ p = – 3
D = – 54 Þ – 54 = – 2qa2 Þ q = 3
El centro es, entonces, (p, q) = (– 3, 3). Para verificar que se trate de una elipse
calculemos E que debe tener el valor de 81. E = p2b2 + q2a2 – a2b2 = 81
La ecuación de la elipse queda:
Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre
dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la
hipérbola

10. Ecuación analítica de la hipérbola: nuevamente ubiquemos los focos sobre el
eje x, F = (c,0) y F' = (– c,0), y tomemos un punto cualquiera P = (x, y) de la
hipérbola. En este caso, la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual al
doble de la distancia que hay entre el centro de coordenadas y la intersección de
la hipérbola con el eje x. Entonces tendremos que: PF – PF' = 2a
Elevando al cuadrado ambos miembros y procediendo matemáticamente podemos
llegar a esta expresión: (c2 – a2). x2 – a2y2 – (c2 – a2) a2 = 0 (los cálculos los dejo
por tu cuenta pero puedes guiarte con el desarrollo que hicimos para la elipse).
Nuevamente a partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 =
a2 + b2 y por lo tanto la ecuación nos queda: b2x2 – a2y2 = a2b2. Dividiendo cada
término por a2b2 obtenemos:
Si la hipérbola estuviese centrada en un punto cualquiera (p, q) la ecuación
debería de ser:
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que: b2x2 – a2y2 – 2xpb2 + 2yqa2 +
p2b2 – q2a2 – a2b2 = 0
Si hacemos: A = b2
B = – a2
C = – 2pb2
D = 2qa2
E = p2b2 – q2a2 – a2b2

11. tendremos la ecuación: Ax2 – By2 + Cx + Dy + E = 0, donde podemos comprobar
que es igual que la de la circunferencia, o una elipse, excepto que los términos A y
B no tienen porqué ser iguales.
Asíntotas: son rectas que jamás cortan a la hipérbola, aunque se acercan lo más
posible a ella. Ambas deben pasar por el "centro" (p, q)
Las ecuaciones de las asíntotas son: