Presentación grupal, Algebra Lineal

1. MATRICES Y
SISTEMA DE
ECUACIONES
Grupo: 551111_14
Integrantes:
María Alejandra Gaviria
Yeferson Arley Perdomo Cardoso
Miguel Ángel Medina
Gerardo López Ruiz
Ángel Daniel Chazatar

2. ¿Qué es una matriz?
• En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números. Dado que
puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad
se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una
letra mayúscula (A,B, …) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b, …),
con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la
que pertenece. Por ejemplo:

3. OPERACIONES
DE MATRICES

4. Composición de las matrices
• Para poder multiplicar dos matrices, es necesario que el número de columnas de la
primera matriz se igual al número de filas de la segunda matriz.
Si no se cumple esta condición no se podrá realizar ninguna operación entre matrices

5. Como se resuelven las matrices
• El elemento que se encuentra en la fila
A columna B de la matriz C, se
obtiene multiplicando los elementos
de la fila B por la columna de B y
sumando sus resultados.

6. MATRIZ
TRASPUESTA

7. Matriz Traspuesta, concepto
• Una matriz traspuesta es el resultado de reorganizar la matriz original mediante el
cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz
Dada una matriz 𝐴 con n filas y m columnas, podemos construir la matriz traspuesta
𝐴𝑡
, que tendrá m filas y n columnas
𝐴𝑛×𝑚 =
𝑎11 𝑎1𝑚
𝑎𝑛1 𝑎𝑛𝑚
→ 𝐴𝑚×𝑛
𝑡
=
𝑎11 𝑎1𝑛
𝑎𝑚1 𝑎𝑚×𝑛

8. Propiedades de la Matriz Traspuesta
• la traspuesta de una matriz traspuesta es la matriz original.
𝐴𝑡 𝑡
= 𝐴
• La suma traspuesta de matrices es igual a la suma de las matrices traspuestas.
𝐴 + 𝐵 𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡
• El producto traspuesto de una constante h por una matriz es igual al producto de la constante h
por la matriz traspuesta.
ℎ × 𝐴 𝑡
= ℎ × 𝐴𝑡
• El producto traspuesto de la multiplicación de matrices es igual al producto de la multiplicación de
matrices traspuestas.
𝐴 × 𝐵 𝑡
= 𝐴𝑡
× 𝐵𝑡

9. Ejemplo:
Hallar la matriz 𝐴 sabiendo que 𝐴𝑡
=
2 −3
−3 −8
10 −9
Aplicando la propiedad de la matriz traspuesta tenemos:
𝐴 = 𝐴𝑡 𝑡
𝐴𝑡 𝑡
=
2 −3 10
−3 −8 −9
Por lo tanto:
𝐴 =
2 −3 10
−3 −8 −9

10. MATRIZ
INVERSA

11. Matriz inversa
• Llamamos matriz invertible a una matriz, cuando existe otra matriz que puede ser considera
su inversa. Es decir, que una matriz es invertible si se puede calcular su inversa, de forma
que la matriz por su inversa de lugar a una matriz identidad. Esto significa que A x A-1 = I.
Matriz Inicial: 𝐴 =
1 3
2 4
Su matriz inversa: 𝐴−1
=
−2 3/2
1 −1/2

12. Matriz Identidad método Gauss Jordan
• Para convertir la matriz en una matriz inversa, es necesario usando el método de
Gauss Jordan, anexar a esta matriz su matriz identidad
1 3
2 4
1 0
0 1

13. Pasos para realizar la matriz inversa
• Convertir en ceros los números que no hacen parte de la diagonal de la matriz
−2 0
0 −2
4 −3
−2 1
• Convertir en unos la diagonal de la matriz
1 0
0 1
−2 3/2
1 −1/2

14. Matriz invertida
Matriz original con su identidad:
1 3
2 4
1 0
0 1
Inversa de la matriz dada:
1 0
0 1
−2 3/2
1 −1/2
El lado izquierdo se convirtió en la matriz identidad, ahora el lado derecho será la inversa de la
matriz dada
𝐴−1
=
−2 3/2
1 −1/2

15. SISTEMA DE
ECUACIONES,
MÉTODO GAUSS
JORDAN.

16. Sistema de ecuaciones lineales:
• Un sistema de ecuaciones lineales puede describirse de la siguiente manera:
• donde todos los 𝒂𝒊𝒋 se denominan coeficientes, los 𝒙𝒊 se denominan incógnitas o variables y los 𝒃
𝒋 se llaman términos independientes m ecuaciones n incógnitas

17. Método de Gauss Jordan
Resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en determinar los valores de las
incógnitas que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones.
El método de eliminación de Gauss – Jordan da cuenta del uso de las matrices para
hallar estos valores. Para esto, se siguen estos pasos
1. Organizar las ecuaciones y construir la matriz ampliada A | B
2. Convertir esta matriz en su forma escalonada reducida, usando operaciones
elementales entre filas
3. De la matriz resultante, obtener la solución

18. Ejemplo:

19. Paso 2:
• Son 3 Intercambiar filas
Multiplicar
todos los
elementos de
una fila por una
constante
diferente de
cero
Sumar a los
elementos de
una fila , los
elementos de
otra
multiplicados
por una
constante

21. •Resultado
𝑥 1
𝑦 −1
𝑧 2