1. PR HAMMOUCHA YASSINE
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Sommaire
Chapitre 1 – Les intérêts simples.
A – Principes de calcul.
B – L’escompte.
C – L’équivalence.
D – La gestion des comptes courants et d’intérêts.
Applications
Chapitre 2 – Les intérêts composés.
A – Principes de calcul.
B – Taux proportionnels, taux équivalents.
C – L’équivalence.
Applications
Chapitre 3 – Les annuités.
A – Evaluation d’une suite d’annuités constantes.
B – Evaluation d’une suite à variabilité arithmétique ou géométrique.
Applications
Chapitre 4 – Les emprunts indivis.
A – Théorie générale.
B – La vie d’un emprunt.
Chapitre 5 – Actualisation des cash-flows
A- Définition
B- Méthode de la VAN
C- Méthode du TIR
D- Méthode du délai de récupération
E- Projets avec plusieurs cash-flows
Exercices
2. PR HAMMOUCHA YASSINE
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Chapitre 1 : Les intérêts simples
Toutes les questions traitées dans ce chapitre concernent majoritairement les opérations
financières à court terme (moins d’un an). Ces opérations affectent en majorité la trésorerie des
entreprises, tel que la gestion des comptes courants, l’escompte commerciale, les emprunts à
court terme…
A – Principes de calculs.
1. Définitions.
Un intérêt est dit simple lorsqu’il est directement proportionnel au taux, au temps et au
montant monétaire.
Intérêt
Capital
Taux pour 100 dhs par an
La durée (en jours)
L’année bancaire est de 360 jours (36000 ).
Application A.1 : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.2 : VOIR FIN ED CHAPITRE.
2. La notion de valeur acquise.
La valeur acquise est la somme du capital initial et des intérêts qu’il a généré au terme de sa
durée de placement.
Application A.3 : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.4 : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.5 : VOIR FIN ED CHAPITRE
3. Le taux moyen de placement.
On envisage différents capitaux :
Placés à des durées différentes :
Et à des taux différents :
On appellera t le taux qui, appliqué à différents capitaux et à leur durée correspondante,
produira le même intérêt global que celui à partir des taux initiaux respectifs.
3. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 3 -
Application A.6 : VOIR FIN ED CHAPITRE
B – L’escompte.
1. La notion d’escompte commercial.
L’entreprise cliente reçoit de sa banque le montant de l’effet diminué de l’agio. L’agio
comprend l’intérêt (appelé escompte), des commissions diverses et de la TVA. L’escompte est
calculé selon le principe de l’intérêt simple.
Valeur nominale
Taux d’escompte
Durée en jours
Escompte
Valeur actuelle commerciale
Le taux d’escompte varie selon la qualité du client. L’escompte n’est jamais soumis à la TVA.
2. La pratique de l’escompte.
Diverses commissions sont appliquées par les banques :
a. Commission ENDOS (endossement), qui sert à rémunérer le service rendu par la banque.
Cette commission est calculée prorata temporis (en fonction du temps), et elle n’est pas
soumise à la TVA. Cette commission est systématique.
b. Les commissions de service ou de manipulation : ces commissions sont variables selon les
établissements financiers et selon la nature de l’effet.
Ces commissions sont généralement forfaitaires et soumises à la TVA. Le coût réel de
l’escompte sera représenté par l’agio hors taxe, puisque la TVA est récupérable.
La notion de taux réel de l’opération d’escompte : calculer ce taux consiste à rechercher le
taux d’un emprunt qui aurait le même montant, la même durée et le même coût que le crédit
d’escompte (pour calculer ce taux, on se base sur l’année de 365 jours). La durée réelle est
obtenue par comparaison entre l’escompte et l’encaissement, en retenant les deux dates extrêmes.
Ce taux réel est très fréquemment bien supérieur au taux annoncé, du fait notamment des
commissions forfaitaires qui pénalisent les opérations de faible montant, du fait également de
conditions bancaires particulières, qui pénalisent les effets dit brûlants (ceux dont l’échéance est
proche) en appliquant un nombre de jours minimum (souvent, ce nombre est de 10).
Application B.7 : VOIR FIN ED CHAPITRE
C – L’équivalence a intérêts simples.
1) Définition.
Deux capitaux (effets) sont équivalents si à une date donnée, au même taux leur valeur
actuelles commerciales sont identiques.
4. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 4 -
2) Applications.
Application C.8 : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application C.9 : VOIR FIN ED CHAPITRE
Problème d’échéance commune : il s’agit de rechercher les conditions, la valeur nominale d’un
paiement unique remplaçant plusieurs autres, soit de déterminer sa date d’échéance.
Application C.11 : VOIR FIN ED CHAPITRE
Problème d’échéance moyenne : cas particulier d’une d’échéance commune ou la valeur
nominale de l’effet unique est égal à somme des valeurs nominales des effets initiaux.
Exemple : Le 1
er
octobre on remplace deux effets : l’un de 7 500 € à échéance du 11 octobre,
l’autre de 5 000 € à échéance du 5 novembre, par un effet unique de 12 500 €.
Taux : 10 %.
Quelle sera l’échéance de ce nouvel effet ?
(Soit le 21/10).
Reprenons cet exemple en considérant que le taux d’intérêt et la date d’équivalence ne sont pas
connus.
Soit x la période entre la date d’équivalence et la date d’échéance.
Soit n la période entre la première échéances et la date d’équivalence.
(Soit le 21/10).
On remarque que la date d’échéance moyenne est indépendante du taux d’escompte retenu, ainsi
que la date d’équivalence.
D – La gestion des comptes courants et d’intérêts.
Lorsqu’il s’agit d’un compte bancaire, ce qui importe n’est pas la date d’opération mais la
date de valeur (négociée avec votre banquier). Il faut savoir comment fonctionnent les comptes
bancaires notamment les cas de découverts. Deux sortes de commissions sont appliquées en cas
de découvert :
1. La commission de risque (Commission de Plus Fort Découvert : CPFD), 0,05% du plus
fort découvert du mois (il n’y a pas de TVA sur cette commission).
2. Les commissions de services qui correspondent aux commissions de comptes ou de
mouvements. Le taux de cette commission est en général de 0.025% calculé sur les mouvements
débiteurs.
Application D.13 : VOIR FIN ED CHAPITRE
5. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 5 -
Applications complément du cours : les intérêts simples
A - les intérêts simples
Solutions
Application A.1
Application A.2
Application A.3
Application A.4
Application A.5
6. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 6 -
Application A.6
D’abord calculons C pour chaque placement :
B – L’escompte.
Solution
1. Etablir le bordereau d’escompte.
Bordereau d’escompte (remise du 12/08)
7. PR HAMMOUCHA YASSINE
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Somme des intérêts 40
Commission 6 (2 fois 3)
Agio HT 46 €
TVA à 20 % 1,2
Agio TTC 47,2
Montant net 5 652,80
2. Quel est le taux réel du crédit de l’opération d’escompte ?
C – L’équivalence a intérêts simples.
Solutions
Application C.8
8. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 8 -
Application C.9
Application C.10 :
Application C.11
Application C.12
D – La gestion des comptes courants et d’intérêts.
10. PR HAMMOUCHA YASSINE
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Chapitre 2 : Les intérêts composés.
Les intérêts composés concernent les opérations financières à moyen et long terme, celle
dont l’échéance est supérieure à 12 mois.
A – Principe de calcul.
1. Définition.
Les intérêts sont dits composés lorsqu’en fin de période, appelée période de capitalisation, il
s’ajoute au capital de sorte que l’ensemble ainsi formé génère à son tour des intérêts au cours de
la période suivante.
2. Valeur acquise par un capital.
Le capital placé
La valeur acquise
L’intérêt pour 1 dhs pour une période
Le nombre de période
K placé I Valeur acquise
1
2
3 … … …
… … … …
Application A.1. : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.2. : VOIR FIN ED CHAPITRE
3. Valeur actuelle d’un capital.
L’actualisation est le processus inverse de la capitalisation.
Application A.3. : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.4. : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.5. : VOIR FIN ED CHAPITRE
B – Taux proportionnels et taux équivalents.
1. Définition.
11. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 11 -
a. Taux proportionnel.
Un taux est dit proportionnels lorsqu’il varie de façon linéaire par rapport au temps.
b. Taux équivalents.
Deux taux sont dits équivalents si par application à un capital il génère la même valeur acquise ou
actuelle.
Intérêt simple :
Calculer la valeur acquise de deux façons différentes (5% annuel, taux trimestriel proportionnel à
5%) :
a. Taux annuel de 5%.
b. Taux trimestriel proportionnel à 5% soit 1,25 %.
A intérêt simple deux taux proportionnels sont équivalents puisqu’ils conduisent à des valeurs
acquises identiques.
Intérêts composés:
Calculer la valeur acquise de deux façons différentes (5% annuel, taux trimestriel proportionnel à
5%) :
c. Taux annuel de 5%.
d. Taux trimestriel proportionnel à 5% soit 1,25 %.
On constate qu’à intérêt composé deux taux proportionnel ne sont pas équivalents, il est
nécessaire de calculer le taux équivalent à la période de capitalisation constaté.
2. Démonstration.
Le capital placé
L’intérêt pour 1 Dhs pour 1 an
La période k fois plus petite de l’année
12. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 12 -
Application B.6. : VOIR FIN ED CHAPITRE
C – L’équivalence à intérêts composés.
1. Définition.
Deux capitaux sont équivalents à une date donnée au même taux si leur valeur acquise ou
actuelle sont identiques. Si deux capitaux sont équivalents à une date donnée, ils le sont
également à n’importe quelles autres dates (c’est un phénomène permanent).
2. Applications.
Application C.7. : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application C.8. : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application C.9. : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application C.10. : VOIR FIN ED CHAPITRE
13. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 13 -
Applications complément du cours : les intérêts composés
A - les intérêts composés
Solutions
Application A.1.
Application A.2.
Application A.3.
Application A.4.
Application A.5.
B – Taux proportionnels et taux équivalents.
15. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 15 -
Chapitre 3 : Les annuités.
Définition : c’est un terme général qui est applicable quelque soit la périodicité.
A – Evaluation d’une suite d’annuités constantes.
1. Valeur acquise par une suite d’annuités constantes.
Définition : il s’agit de la somme des valeurs acquises par chaque annuité immédiatement après
le dernier versement.
a Montant de l’annuité
i Intérêt pour 1 Dhs pour une période
n Nombre d’annuités
Vn Valeur acquise
Ici, le premier terme est a, de raison , avec n termes.
Application A.1. : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.2. : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.3. : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.4. : VOIR FIN ED CHAPITRE
2. Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes.
Définition : somme des valeurs actuelles de chacune des annuités, une période avant le 1
er
versement.
16. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 16 -
Application A.5. : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.6. : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.7. : VOIR FIN ED CHAPITRE
Application A.8. : VOIR FIN ED CHAPITRE
B – Les annuités en progression arithmétique ou géométrique.
Les annuités en progression arithmétique :
La valeur acquise :
On va voir la formule complète :
Reprenons l’expression intégrale de V :
La valeur actuelle : V
23. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 23 -
Chapitre 4 : Les emprunts indivis.
Un emprunt indivis est un emprunt avec un seul prêteur (à la différence des emprunts
obligataires, multi prêteur).
A – Théorie générale.
Tableau d’amortissement
Périodes
Dette en
début de
période
Intérêt
de la
période
Amortissement
de la période
Annuité de fin de
période
Dette non encore
remboursée à la fin
de la période
1
2
3
… … … … … …
… … … … … …
Amortissement : remboursement d’une fraction du capital au cours d’une période.
Annuité : total formé de l’intérêt et le capital remboursé (l’amortissement).
1. La loi des amortissements.
Si on appelle le montant de la dette initial et , et les amortissements successifs alors :
La somme des amortissements est égale au montant de l’emprunt.
2. La loi des annuités.
A l’époque 0, il y a équivalence entre le capital emprunté et la valeur actuelle des annuités
de remboursement.
Ces deux loi sont valables quelque soit les modalités de l’emprunt.
B – La vie d’un emprunt.
1. Les emprunts à annuités constantes.
Loi des annuités :
24. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 24 -
Loi des amortissements :
Pour chaque emprunt dont les caractéristiques suivent, présenter le tableau d’amortissement.
1. Remboursement par annuités constantes :
• Montant : 200 000
• Taux annuel : 6,5 %.
• Remboursement par 5 annuités constantes, la première dans un an.
K restant dû Intérêt Amortissement Annuité
1 200 000 13 000 35 126,91 48 126,91
2 164 873,09 10 716,75 37 410,16 48 126,91
3 127 462,93 8 285,09 39 841,82 48 126,91
4 87 621,11 5 695,37 42 431,53 48 126,91
5 45 189,58 2 937,32 45 189,50 48 126,91
2. Remboursement par amortissements constants :
Chaque amortissement sont donc égal à .
25. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 25 -
Lorsque les emprunts sont amortissables grâce à l’amortissement constant, les annuités
successives forment une progression arithmétique décroissante de raison −.
• Montant : 200 000
• Taux annuel : 6,5 %.
• Remboursement par 5 amortissements constants, le premier dans un an.
K restant dû Intérêt Amortissement Annuité
1 200 000 13 000 40 000 53 000
2 160 000 10 480 40 000 50 400
3 120 000 7 800 40 000 47 800
4 80 000 5 200 40 000 45 200
5 40 000 2 600 40 000 42 600
3. Remboursement in fine :
Le capital est intégralement remboursé à la fin de l’emprunt (remboursement unique en fin de
période). Il existe deux types de remboursement in fine :
- Absolue : aucun versement durant la vie de l’emprunt, l’intérêt et le capital sont versé à la
fin de l’emprunt.
- Relatif : il y a versement des intérêts chaque période, seule le remboursement du capital est
poussé à la fin de l’emprunt.
• Montant : 200 000
• Taux : 6,5 %.
• Remboursement en totalité dans 5 ans.
• Paiement annuel des intérêts.
K restant dû Intérêt Amortissement Annuité
1 200 000 13 000 0 13 000
2 200 000 13 000 0 13 000
3 200 000 13 000 0 13 000
4 200 000 13 000 0 13 000
5 200 000 13 000 200 000 213 000
4. Emprunt à modalité particulière : Le différé d’amortissement
On ne rembourse pas de fraction du capital, mais il y a paiement des intérêts.
• Montant : 700 000 .
28. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 28 -
Chapitre 5 : Actualisation des cash-flows
A- Définition.
Un cash-flow est le résultat monétaire dégagé par un actif.
Il est différent du résultat comptable, car ce dernier intègre les amortissements et les provisions,
qui sont les éléments non monétaires.
B- Méthode de la VAN
Exemple
29. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 29 -
C- Méthode du TIR
Exemple
Remarques
D- Méthode du délai de récupération
33. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 33 -
Exercices série I
Solutions
Application 1
1. Calculer le taux moyen résultant de l’ensemble des placements.
34. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 34 -
2. Une banque propose de placer 135 000 au taux moyen pendant la durée moyenne de
placement, l’entreprise doit elle accepter ?
3. Pendant combien de temps faut il placer 135 000 au taux moyen pour obtenir la même
somme globale d’intérêts que précédemment ?
Application 2
1. Quel doit être le montant de chaque mensualité ?
35. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 35 -
2. Quelle serait la somme constante à verser chaque semaine ?
3. Le 1er juillet le taux d’intérêt passe à 6 %, quelle est la nouvelle valeur acquise en fin d’année
? NB : On supposera que les intérêts des 6 premiers mois seront replacés avec le capital pour les
6 derniers mois.
4. En apprenant l’augmentation du taux d’intérêt (le 1er juillet), cette personne décide de réduire
ses versements de façon à obtenir une valeur acquise de 12 000 . Quel est le montant de la
nouvelle mensualité ?
Application 3
Application 4
36. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 36 -
Application 5
1. Calculer la valeur nominale de chaque mensualité.
2. Déterminer l’échéance moyenne des quinze versements.
48. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 48 -
Exercices série V
Solutions
Application 1
Les deux premières années l’emprunteur versera à la fin de chaque année 19 800 l’an au titre
d’intérêt (180 000 x 0,11 = 19 800). Pour les deux dernières années l’intérêt annuel n’est plus que
9900 en effet juste après le versement du 2ème
terme. La dette initiale est réduite de moitié.
D’où le tableau d’amortissement :
Période CDP I Amor. Annuité CFP
1
2
3
4
180 000
180 000
90 000
90 000
19 800
19 800
9 900
9 900
0
9 900
0
9 900
19 800
109 800
9 900
99 900
180 000
90 000
90 000
0
Application 2
On calcule d’abord le taux d’intérêt TTC :
I= 0,11 x 1,07 = 0,1177 soit 11,77% l’an
L’annuité s’écrit donc : a= 420 000 x (0 ,1177 / 1-1,1177-5
) = 115 848,95
Ce qui permet de construire le tableau d’amortissement :
Période CDP I TVA Amort. Annuité CPF
1
2
3
4
5
420 000
353 585,05
279 353,06
196 383,97
103 649,41
46 200
38 849,36
30 728,84
21 602,24
11 604,44
3 234
2 722,60
2 151,02
1 512,16
798,10
66 414,95
74 231,99
82 969,09
92 734,56
103 649,41
115 848,95
115 848,95
115 848,95
115 848,95
115 848,95
353 585,05
279 353,06
196 383,97
103 649,41
0
L’amortissement s’écrit = 420 000/5 = 84 000
D’où le tableau d’amortissement :
Application 1
Un particulier emprunte une somme de 180 000 et s’engage à verser pendant 4 ans à la fin de chaque
année de l’emprunt l’intérêt de la dette. Sachant que l’amortissement se fait en deux temps, une moitié
à la fin de la 4ème année, construire le tableau d’amortissement de cet emprunt. Taux 11%.
Application 2
Un emprunt de 420 000 est remboursable en 5 annuités constantes immédiates. Taux 11% l’an, TVA
7% sur les intérêts. Construire le tableau d’amortissement de cet emprunt :
Amortissement constant
Annuités constantes
Application 3
Un emprunt de 500 000 est remboursable par le versement de 6 annuités constantes avec un différé de
2 ans pendant lesquelles l’emprunteur ne verse aucune somme d’argent à l’organisme prêteur. Taux
d’intérêt 12%.
Construire le tableau d’amortissement de l’emprunt.
Application 4
Dans le cadre de crédit jeune promoteur, une personne emprunte un capital de 375 000 au taux de 9%,
TVA 7% des intérêts. Cet emprunt est remboursable par le versement de 5 annuités constantes avec un
différé de 2 ans pendant lequel l’emprunteur ne verse que l’intérêt de la dette (TVA comprise).
Construire le tableau d’amortissement.
49. PR HAMMOUCHA YASSINE
- 49 -
Période CDP I TVA Amort. Annuité CFP
1
2
3
4
5
420 000
336 000
252 000
168 000
84 000
46 200
36 960
27 720
18 480
9 240
3 234
2 587
1 940,40
1 293,60
646,80
84 000
84 000
84 000
84 000
84 000
133 434
123 547,20
113 660,40
103 773,60
93 886,80
336 000
252 000
168 000
84 000
0
Application 3
Pour le calcul de l’annuité il y a lieu de tenir en compte du différé de 2 ans , en effet quand on se
situe un an avant le 1er
versement, le capital n’est plus de 500 00 mais 627 200 (500 000 x 1,122
)
d’où l’annuité :
A= 627 200 (0,12/1-1,12-6
) = 152 551,17
D’où le tableau d’amortissement :
Période CDP I Amort. Annuité CFP
1
2
3
4
5
6
7
8
500 000
560 000
627 200
549 912,83
463 351,20
366 402,17
257 819,26
136 206,40
75 264,00
65 989,54
55 602,14
43 968,26
30 938,31
16 344,77
77 287,17
86 561,63
96 949,03
108 582,91
121 612,86
136 206,40
152 551,17
152 551,17
152 551,17
152 551,17
152 551,17
152 551,17
560 000
627 200
549 912,83
463 351,20
366 402,17
257 819,26
136 206,40
0
Remarque :
1. Le capital à amortir n’est plus de 500 000 mais de 627 200. En effet il y a lieu ici de tenir
en compte des intérêts de 2 ans qui se sont accumulés.
2. L’introduction de la TVA est une complication dans la mesure où le capital à amortir est
partagé entre l’organisme de crédit de l’Etat.
Application 4
Ici le problème se pose différemment par rapport au cas précédant. En effet, le capital n’est pas
augmenté puisque les intérêts sont versés à la fin de chaque année.
Les 2 premières années ne contiennent que les intérêts de l’année. A partir de la troisième année
l’annuité sera :
A = 375 000 (0,0963/1-1,0963-5)
Ici on a : i = 0,09 x 1,07 = 0,0963
A = 97 990,75
D’où le tableau d’amortissement :
Période CDP I TVA Amort Annuité CFP
1
2
3
4
5
6
7
375 000
375 000
375 000
313 121,75
245 284,63
170 914,80
89 383,15
33 750
33 750
33 750
28 180,96
22 075,62
15 382,33
8 004,48
2 362,50
2 362,50
2 362,50
1 972,67
1 545,29
1 076,76
563,11
0,00
0,00
61 878,25
67 837,12
74 269,84
81 531,65
89 383,15
36 112,50
36 112,50
97 990,75
97 990,75
97 990,75
97 990,75
97 990,75
375 000
375 000
313 121,75
245 284,63
170 914,80
89 383,15
0
Remarque :
Dans la pratique, le remboursement s’effectue à l’aide de mensualités. Cela ne semble pas poser
50. PR HAMMOUCHA YASSINE
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de problèmes particuliers, il suffit de se rappeler que les organismes de crédit utilisent
généralement, pour ce type de situation, les taux proportionnels.
Ici le taux mensuel sera im = (0,09/12) 1,07 = 0,008025 TTC. Soit 0,8025% par mois TTC.
51. PR HAMMOUCHA YASSINE
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Exercices série VI
Application 1
Deux projets d’investissement sont en concurrence au sein de l’entreprise Alpha. Les flux nets des deux
projets sont résumés dans le tableau ci-après :
Application 2
Une entreprise dispose d’un budget de 100 000 euros, 3 projets d’investissement sont possibles.
Le taux d’intérêt est de 10% par an. Les coûts et bénéfices des différents projets sont résumés
dans le tableau suivant. Quel projet choisiriez-vous si vous étiez le chef de cette entreprise ?
52. PR HAMMOUCHA YASSINE
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Solutions
Application 1
Lorsque les flux sont constants on utilise la formule suivante pour déterminer la valeur actualisée:
