1. Teorema translasi pertama dan kedua menjelaskan bagaimana transformasi Laplace dari suatu fungsi akan berubah jika ada translasi pada sumbu waktu (t) atau frekuensi (s).
2. Teorema translasi pertama menyatakan bahwa jika terjadi translasi pada sumbu s, grafik transformasi Laplace akan bergeser sejauh nilai translasi pada sumbu s.
3. Teorema translasi kedua menyatakan bahwa jika terj
2. Teorema Translasi Pertama
Jika L {๐ ๐ก } = ๐น ๐ dan ๐ adalah sebuah bilangann riil, maka L {๐ ๐๐ก
๐ ๐ก } = ๐น ๐ โ ๐
Teorema 1
Pembuktian
L ๐ ๐๐ก ๐ ๐ก = 0
โ
๐โ๐ ๐ก ๐ ๐๐ก ๐ ๐ก ๐๐ก = 0
โ
๐โ ๐ โ๐ ๐ก ๐ ๐ก ๐๐ก = ๐น ๐ โ ๐ โ
T r a n s l a s i p a d a s u m b u - s
3. T r a n s l a s i p a d a s u m b u - s
Jika kita misalkan ๐ adalah bilangan riil, maka grafik
dari ๐น(๐ โ ๐) adalah grafik dari ๐น(๐ ) yang bergeser
pada sumbu ๐ sepanjang |๐|. Jika ๐ > 0, grafik dari
๐น(๐ ) bergeser sepanjang ๐ satuan ke kanan,
kemudian jika ๐ < 0 grafik bergeser sepanjang ๐
satuan ke kiri. Lihat gambar disamping.
Lebih jelasnya dapat dituliskan dalam bentuk seperti dibawah ini.
L ๐ ๐๐ก
๐ ๐ก = L ๐ ๐ก | ๐ โ๐ โ๐
Dimana ๐ โ ๐ โ ๐ berarti transformasi laplace ๐น(๐ ) dari ๐(๐ก) dengan mengganti
simbol ๐ menjadi ๐ โ ๐.
4. T r a n s l a s i p a d a s u m b u - s
Contoh
Tentukan : ๐ L {๐5๐ก
๐ก3
} (๐) L {๐โ2๐ก
cos 4 ๐ก}.
Penyelesaian
๐ L ๐ ๐๐ก
๐ ๐ก = L ๐ ๐ก ๐ โ๐ โ๐
L ๐5๐ก
๐ก3
= L ๐ก3
| ๐ โ๐ โ5
=
3!
๐ 3+1 | ๐ โ๐ โ5
=
3!
๐ 4 | ๐ โ๐ โ5
=
6
๐ โ5 4
(๐) L ๐ ๐๐ก
๐ ๐ก = L ๐ ๐ก ๐ โ๐ โ๐
L ๐โ2๐ก
cos 4 ๐ก = L {cos 4๐ก}| ๐ โ๐ โ โ2
=
๐
๐ 2 + 42
| ๐ โ๐ +2
=
๐
๐ 2 + 16
| ๐ โ๐ +2
=
๐ + 2
(๐ + 2)2+16
5. T r a n s l a s i p a d a s u m b u - t
Unit step function (fungsi tangga satuan)
didefinisikan sebagai
๐ข ๐ ๐ก = ๐ข ๐ก โ ๐ =
0, 0 โค ๐ก < ๐
1, ๐ก โฅ ๐
Perhatikan bahwa fungsi tangga satuan
๐ข ๐ก โ ๐ ini dapat diinterpretasikan
sebagai kondisi menekan tombol switch
on dari suatu alat elektronik pada waktu
๐ก = ๐ . Saat ๐ก < ๐ fungsi tersebut
bernilai 0 , sehingga merepresentasikan
kondisi alat belum dinyalakan, saat ๐ก โฅ
๐ fungsi bernilai 1 , dan
merepresentasikan kondisi alat sudah
menyala.
Gambar fungsi tangga satuan
6. T r a n s l a s i p a d a s u m b u - t
Teorema Translasi Kedua
Jika ๐น(๐ ) = L {๐(๐ก)} dan ๐ > 0, maka L { ๐ ๐ก โ ๐ ๐ข ๐ก โ ๐ } = ๐โ๐๐
๐น(๐ )
Teorema 2
Pembuktian
Dengan menggunakan sifat penjumlahan dalam integral
0
โ
๐โ๐ ๐ก
f t โ a ๐ข(๐ก โ ๐)๐๐ก, dapat ditulis menjadi 2 integral:
L ๐ ๐ก โ ๐ ๐ข ๐ก โ ๐ = 0
โ
๐โ๐ ๐ก
๐ ๐ก โ ๐ ๐ข ๐ก โ ๐ ๐๐ก + 0
โ
๐โ๐ ๐ก
๐ ๐ก โ ๐ ๐ข ๐ก โ ๐ ๐๐ก
=
0
โ
๐โ๐ ๐ก ๐(๐ก โ ๐) ๐๐ก
Sekarang kita misalkan ๐ฃ = ๐ก โ ๐, ๐๐ฃ = ๐๐ก pada integral terakhir, maka
L {๐ ๐ก โ ๐ ๐ข ๐ก โ ๐ } = 0
โ
๐โ๐ ๐ฃ+๐ f ๐ฃ ๐๐ฃ = ๐โ๐๐
0
โ
๐โ๐ ๐ฃ ๐(๐ฃ)๐๐ฃ๐โ๐๐ L ๐ ๐ก โ
7. T r a n s l a s i p a d a s u m b u - t
Contoh
Tentukan L {cos ๐ก ๐ข (๐ก โ ๐)}
Penyelesaian : dengan ๐(๐ก) = ๐๐๐ ๐ก dan ๐ = ๐, maka ๐(๐ก +
๐) = ๐๐๐ (๐ก + ๐) = โ๐๐๐ ๐ก
dengan menggunakan rumus penjumlahan untuk fungsi cos.
(bentuk alternatif teorema translasi kedua)
L {cos ๐ก ๐ข(๐ก โ ๐)} = โ๐โ๐๐ L cos ๐ก = โ
๐
๐ 2+1
๐โ๐๐ โ
8. Invers teorema Translasi pertama
Jika L ๐ ๐๐ก
๐ ๐ก = ๐น ๐ โ ๐ maka, L -1{๐น(๐ โ ๐)} = ๐ ๐๐ก
L -1 ๐น ๐ = ๐ ๐๐ก
๐(๐ก)
Contoh
Tentukan invers dari transformasi laplace :
1
๐ โ๐ 2
Penyelasaian
๐น ๐ โ ๐ =
1
๐ โ ๐ 2
, ๐น ๐ =
1
๐ 2
Sehingga , L -1{๐น(๐ โ ๐)} = ๐ ๐๐ก
L -1 ๐น ๐
L -1 1
๐ โ๐ 2 = ๐ ๐๐ก L -1 1
๐ 2
L -1 1
๐ โ๐ 2 = ๐ ๐๐ก ๐ก
9. Invers teorema Translasi kedua
Jika ๐ ๐ก = L ๐น ๐ , ๐ > 0 maka L -1 ๐โ๐๐
๐น ๐ = ๐ ๐ก โ ๐ ๐ข ๐ก โ ๐
Contoh
Tentukan : (๐) L -1 1
๐ โ4
๐โ2๐
(๐) L -1 ๐
๐ 2+9
๐โ ๐๐
2
Penyelesaian:
(๐) dengan mengidentifikasi ๐ = 2, ๐น ๐ =
1
(๐ โ4)
dan L -1 ๐น ๐ = ๐4๐ก
maka L -1 1
๐ โ4
๐โ2๐
= ๐4 ๐กโ2
๐ข(๐ก โ 2)
(b) dengan ๐ =
๐
2
๐น ๐ =
2
(๐ 2+9)
dan L -1 ๐น ๐ = cos 3๐ก maka
L -1 ๐
๐ 2+9
๐โ ๐๐
2 = cos 3 ๐ก โ
๐
2
๐ข ๐ก โ
๐
2
Pernyataan terakhir dapat di sederhanakan dengan menggunakan rumus
penjumlahan cos.
Diperoleh hasil yang sama dengan โ๐ ๐๐3๐ก ๐ข ๐ก โ
๐
2
โ