Gambar tersebut menunjukkan contoh jaringan transpor yang terdiri dari beberapa stasiun pompa. Jaringan tersebut dapat direpresentasikan sebagai graf terarah berbobot yang memenuhi aturan-aturan tertentu mengenai sumber, tujuan, dan kapasitas rusuknya. Aliran dalam jaringan tersebut harus memenuhi aturan keseimbangan aliran masuk dan keluar pada setiap verteks selain sumber dan tujuan.

1. BQ. ZILALIN
AZZIMA
FEBRI
ARIANTI
IDIL
JOHARI
FITRIA
WINDIARNI
M.FAROUK
SAGITA H.P

3. Gambar ini menyediakan sebuah contoh
jaringan transpor (transpor network).
Verteks-verteks 𝑏, 𝑐, 𝑑, dan 𝑒 mewakili
stasiun pompa lanjutan. Rusuk-rusuk terarah
mewakili bagian-bagian pipa dari sistem dan
menunjukkan arah minyak dapat mengalir.
Label-label pada rusuk menunjukkan
kapasitas bagian pipa.
MODEL JARINGAN

4. Sebuah jaringan transpor
adalah graf terarah berbobot
sederhana yang memenuhi :
 Verteks bertanda, yang merupakan
sumber, tidak mempunyai rusuk yang
masuk.
 Verteks bertanda, yang merupakan
tujuan, tidak mempunnyai rusuk yang
keluar.
 Bobot cij dari rusuk terarah
(𝑖, 𝑗) disebut kapasitas dari
(𝑖, 𝑗) merupakan sebuah bilangan tak
DEFINISI I

5. Graf pada gambar diatas, sumbernya
adalah verteks 𝑎 dan tujuannya adalah
verteks 𝑧. Kapasitas rusuk (𝑎, 𝑏) , 𝐶 𝑎𝑏
adalah 3 dan kapasitas dari rusuk
(𝑏, 𝑐), 𝐶 𝑏𝑐 adalah 2.
Jika 𝐺 merupakan sebuah jaringan, kita
akan menyatakan sumbernya dengan 𝑎
dan tujuannya dengan 𝑧.

6. DEFINISI II
𝐺 sebuah jaringan transpor. 𝐶𝑖𝑗 menyatakan
kapasitas rusuk terarah (𝑖, 𝑗). sebuah aliran
𝐹 di 𝐺 menempatkan bilangan tak negatif 𝐹𝑖𝑗
pada setiap rusuk terarah 𝑖, 𝑗 . Sehingga:
a) 𝐹𝑖𝑗 < 𝐶𝑖𝑗
b)Untuk setiap verteks 𝑗 , yang bukan
merupakan sumber atau pun tujuan.
𝑖 𝐹𝑖𝑗 = 𝑖 𝐹𝑗𝑖 (8.1.1)
Kita sebut 𝐹𝑖𝑗 aliran dalam rusuk 𝑖, 𝑗 ,
untuk sembarang verteks 𝑗, kita sebut
𝑖 𝐹𝑖𝑗 aliran ke dalam j dan kita sebut
𝑖 𝐹𝑗𝑖 aliran keluar dari 𝑗

7. Contoh
Penandaan : 𝐹𝑎𝑏 = 2, 𝐹𝑏𝑐 = 2, 𝐹𝑐𝑧 = 3, 𝐹𝑎𝑑 =
3,
𝐹𝑑𝑐 = 2, 𝐹𝑑𝑒 = 2, 𝐹𝑒𝑧 = 2,
mendefinisikan sebuah aliran untuk jaringan
pada gambar 8.1.1. Sebagai contoh, aliran ke
dalam verteks 𝑑. 𝐹𝑎𝑑 = 3, sama dengan aliran
keluar dari verteks 𝑑.
𝐹𝑑𝑐 + 𝐹𝑑𝑒 = 1 + 2 = 3. □

8. Perhatikan dalam Contoh tadi, aliran keluar
dari sumber 𝑎.
𝐹𝑎𝑏 + 𝐹𝑎𝑑
sama dengan aliran ke dalam tujuan 𝑧.
𝐹𝑐𝑧 + 𝐹𝑐𝑧
keduannya bernilai 5.
Definisi III
Misalkan F adalah sebuah aliran dalam
sebuah jaringan 𝐺. Nilai
𝑖
𝐹𝑎𝑖 −
𝑖
𝐹𝑖𝑧
disebut nilai aliran 𝐹 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑜𝑓 𝑡ℎ𝑒 𝑓𝑙𝑜𝑤 𝐹 .

9. Gambar diatas adalah sebuah jaringan
pemompaan. Air untuk kota dan dikirim
dari sumur w1, w2, dan w3. Kapasitas –
kapasitasnya ditunjukkan pada rusuk –
Sebuah Jaringan Pemompaan

10. Gambar diatas adalah jaringan
pada gambar sebelumnya dengan
sebuah sumber dan tujuan yang
ditandai.
Sebuah Jaringan Pemompaan

11. Ada kemungkinan untuk pergidari kota A ke kota B secara
langsung atau dengan melalui kota B. Selama periode 6:00
hingga 7:00 malam, waktu perjalanan rata – rata adalah
A ke B (15 menit)
B ke C (30 menit)
A ke C (30 menit)
Kapasitas maksimum dari rute – rute tersebut adalah
A ke B (3000 kendaraan)
B ke C (2000 kendaraan)
A ke C (4000 kendaraan)
Sebuah Jaringan Lalu Lintas

12. ALGORITMA ALIRAN MAKSIMAL
Rusuk – rusuk terorientasi dengan tepat dan
tak tepat. Rusuk ( 𝑣𝑖−1, 𝑣1 ) terorientasi
dengan tepat karena rusuk tersebut
terorientasi dalam arah 𝑎 ke 𝑧. Rusuk (𝑣1 ,
𝑣𝑖−1 ) terorientasi tidak tepat karena tidak

13. Misalkan 𝑃 sebuah lintasan dari 𝑎 ke 𝑧 dan misalkan 𝑥
sebuah verteks di 𝑃 yang bukan 𝑎 ataupun 𝑧 (lihat Gambar
dibawah ini).
Terdapat empat kemungkinan untuk orientasi rusuk-rusuk
𝑒1 dan 𝑒2 yang insiden pada 𝑥. Pada kasus (a), kedua
rusuk terorientasi dengan tepat. Pada kasus ini, jika kita
menaikkan aliran dalam setiap rusuk dengan ∆, aliran ke
dalam 𝑥 akan tetap sama dengan aliran keluar dari 𝑥. Pada
kasus (b), jika kita menaikkan aliran di 𝑒2 dengan ∆, kita
harus menurunkan aliran di 𝑒1 dengan ∆ sehingga aliran ke
dalam 𝑥 akan tetap sama dengan aliran keluar dari 𝑥.

14. Misalkan 𝑃 sebuah lintasan dari 𝑎 ke 𝑧 dan misalkan 𝑥
sebuah verteks di 𝑃 yang bukan 𝑎 ataupun 𝑧 (lihat Gambar
dibawah ini).
Kasus (c) serupa dengan kasus (b), kecuali kita menaikkan
aliran di 𝑒1 dengan ∆ dan menurunkan aliran di 𝑒2 dengan
∆. Pada kasus (d), kita menurunkan aliran di kedua rusuk
dengan ∆ . Dalam setiap kasus, perlakuan rusuk yang
dihasilkan memberikan sebuah aliran. Tentu saja, untuk
menjalankan pengubahan ini, kita harus mempunyai aliran
kurang dari kapasitas dalam sebuah rusuk yang terorientasi
dengan tepat dan sebuah aliran tak nol dalam sebuah
rusuk yang terorientasi tak tepat.

15. Contoh
Perhatikan lintasan dari 𝑎 ke 𝑧 pada Gambar dibawah ini.
Rusuk-rusuk 𝑎, 𝑏 , 𝑐, 𝑑 , dan (𝑑, 𝑧) terorientasi dengan
tepat dan rusuk 𝑐, 𝑏 terorientasi tak tepat. Kita
menurunkan aliran sebesar 1 dalam rusuk terorientasi tak
tepat (𝑐, 𝑏) dan meningkatkan aliran sebesar 1 dalam
rusuk-rusuk terorientasi dengan tepat 𝑎, 𝑏 , 𝑐, 𝑑 ,
dan (𝑑, 𝑧), nilai aliran baru adalah 1 lebih dari aliran yang
asli.

16. Definisi 8.3.1
Sebuah pemotongan (𝑃, 𝑃) di G terdiri dari
sebuah himpunan P dari verteks-verteks dan
komplemen 𝑃 dari P , dengan 𝑎 ∈ 𝑃 dan 𝑧 ∈ 𝑃.
Gambar 8.3.1 Sebuah
pemotongan dalam
sebuah jaringan. Garis
putus-putus membagi
verteks-verteks menjadi
himpunan P = {a, b, d}
dan 𝑃 = {𝑐, 𝑒, 𝑓, 𝑧} yang
menghasilkan
pemotongan (𝑃, 𝑃).
TEOREMA POTONG MIN, ALIRAN
MAKS

17. Definisi 8.3.2
Kapasitas pemotongan (𝑃, 𝑃) adalah
bilangan
𝐶 𝑃, 𝑃 = 𝑖∈𝑃 𝑗∈ 𝑃 𝐶𝑖𝑗
Contoh 8.3.3
Kapasitas pemotongan pada gambar
8.3.1 adalah
𝐶 𝒃𝒄 + 𝐶 𝒅𝒆 = 8

18. Contoh 8.3.4
Kapasitas pemotongan pada gambar
8.3.2 adalah
𝐶 𝒃𝒄 + 𝐶 𝒅𝒄 + 𝐶 𝒅𝒆 = 6

19. Teorema 8.3.1
Misalkan F sebuah aliran dalam G dan
misalkan (𝑃, 𝑃) merupakan sebuah
pemotongan di G maka kapasitas
(𝑃, 𝑃) lebih dari atau sama dengan
nilai F; yakni,
𝑖∈𝑃 𝑗∈ 𝑃 𝐶𝑖𝑗 ≥ 𝑖 𝐹𝑎𝑖 ,
(8.3.1)
Contoh 8.3.5
Pada Gambar 8.3.1, nilai aliran 5
kurang dari kapasitas pemotongan 8.

20. Teorema 8.3.2 Teorema Potong
Min, Aliran Maks
Misalkan F sebuah aliran di G dan
misalkan (𝑃, 𝑃) sebuah pemotongan
di G. Jika kesamaan berlaku dalam
(8.3.1), maka aliran maksimal dan
pemotongan minimal. Lagipula,
kesamaan berlaku dalam (8.3.1) jika
dan hanya jika
 𝐹𝑖𝑗 = 𝐶𝑖𝑗 untuk 𝑖 ∈ 𝑃, 𝑗 ∈ 𝑃
 𝐹𝑖𝑗 = 0 untuk 𝑗 ∈ 𝑃, 𝑖 ∈ 𝑃