LIMITES EXPONNECIALES

1. TALLER 4
LÍMITES EXPONENCIALES
El numero e
Cuando se determina el límite de algunas funciones especiales se
obtienen resultados importantes.
Si
x
x
xf 






1
1)( para

x , entonces, e
x
Lím
x
x








1
1 .
La tabla de valores y la gráfica de la función
x
x
xf 






1
1)( ,
para

x , se presenta a continuación.
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) 2 2,25 2,3703 2,4414 2,4883 2,5216 2,5465
Por lo tanto cuando xtiende a  , entonces,
x
x
xf 






1
1)(
tiende a 71,2e .
Los límites exponenciales más importantes son:
exLím x
x


1
0
)1( 

x
x
eLím 0

x
x
eLím
Límites de la forma    )(xg
ax
xfLím

o    )(xg
ax
xfLím

Se presentan dos casos:
Límites finitos:
Si LxfLím
ax


)( y NxgLím
ax


)( , entonces,    Nxg
ax
LxfLím 

)(
Límites infinitos:
Si LxfLím
x


)( y 

)(xgLím
ax
, entonces,    )(xg
x
xfLím

se
calcula de acuerdo con los siguientes resultados.
.00;1  o
L






0,
0,0
0
siL
siLL






0,0
0,
siL
siLL
.0;  






1,
10,0
siL
Lsi
L
Asíntotas Horizontales:
La función f(x) tiene por asíntota horizontal la recta de ecuación
by  si, bxfLím
x


)( o .)( bxfLím
x


Asíntotas Verticales:
La función f(x) tiene por asíntota vertical la recta de ecuación
x=a, si 

)(xfLím
ax
o 

)(xfLím
ax

2. Asíntotas oblicuas:
Una función f(x) tiene asíntota oblicua si
x
xf
Lím
x
)(

o
x
xf
Lím
x
)(

existe y es diferente de 0. La recta bmxy 
es la ecuación de la asíntota oblicua de f(x) si:
  0)()( 

bmxxfLím
x
en donde:
x
xf
Límm
x
)(


x
xf
Límm
x
)(


 mxxfLímb
x


)(  mxxfLímb
x


)(
EJERCICIOS
1. Encuentra el valor de cada límite.
a.
12
2
23
2
232

 







x
x x
xx
Lím e.
13
0 cos
tan








x
x x
x
Lím
b.
2
0
cos1







 
x
x x
x
Lím f.
x
x x
Lím
2
cos
1 1
2








c.
12
1 4
1
1










x
x x
Lím g.
1
0 2
5








x
x x
xsen
Lím
d.
22
0 8
5








x
x xsen
xsen
Lím h.   xsen
x
xLím 2
1
23



2. Utiliza los límites para encontrar las asíntotas
horizontales y verticales de cada función.
a.
3
)(


x
x
xf b.
1
2
)( 2


x
xf
c.
3
13
)( 2



x
x
xg d.
4
1
)( 2



x
x
xg
e.
3
)(


x
x
xh f.
1
)(


x
x
xf
3. Encuentra los límites y determina si hay asíntotas para la
función analizada.
a. 







 9
3
23 x
x
Lím
x
b. 





 33 x
x
Lím
x
c. 





 x
Lím
x
1
0
d. 




 
 2
1
1
x
Lím
x
e. 







 4
1272
4 x
xx
Lím
x
f. 







 3
962
3 x
xx
Lím
x
4. Determina todas las asíntotas de cada función.
a. 32
3
52
17
)(
xx
xx
xf


 b.
 2
2
1
)(


x
x
xg
c.
82
17
)( 4
3



x
xx
xh d.
12
1
)( 2
2



xx
x
xm
e.
6
8126
)( 2
23



xx
xxx
xn
5. Determina las asíntotas oblicuas de las funciones y
realiza un bosquejo de la gráfica de la función.
a.
2
5
)(
2



x
xx
xf b.
1
42
)(
2



x
x
xg
c.
2
42
)(
2



x
x
xh d.
82
35
)( 2
3



x
x
xf