1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial del estado Lara
“Andrés Eloy Blanco”
Expresiones
algebraicas
Alumno: Xavier Montilla
CI: 30995862
Sección: 0104
Asignatura: matemáticas
2. Expresiones algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras ó
letras y números unidos por medio de las operaciones: suma,
resta, multiplicación, división, potenciación ó radicación, de
manera finita. Usualmente las primeras letras de nuestro
alfabeto: a, b, c, d, etc. si no se dice otra cosa, representan
valores fijos en la expresión. Estas letras también se pueden
llamar parámetros.
Las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, u otros
símbolos, representan variables que pueden tomar valores
dentro de un subconjunto de números reales. El dominio de
una variable en una expresión algebraica, es un subconjunto
de números reales, que, al reemplazarlos en la expresión,
siempre se obtiene un número real.
Ejemplos:
Suma de expresiones algebraicas
En álgebra la suma es una de las operaciones fundamentales
y la más básica, sirve para sumar monomios y polinomios. La
suma algebraica sirve para sumar el valor de dos o más
expresiones algebraicas. Como se trata de expresiones que
3. están compuestas por términos numéricos y literales, y con
exponentes, debemos estar atentos a las siguientes reglas:
Suma de monomios:
La suma de dos monomios puede dar como resultado un
monomio o un polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x + 4x,
el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y
tiene el mismo grado (en este caso, sin exponente). En este
caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en
ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x:
2x + 4x = (2+4)x = 6x
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, se respeta el
signo. Si es necesario, escribimos la expresión entre
paréntesis: (–2x) + 4x; 4x + (–2x). Aplicando la ley de los
signos, al sumar una expresión conserva su signo, positivo o
negativo:
4x + (–2x) = 4x – 2x = 2x.
En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o
en caso de tener la misma literal, pero con diferente grado
(exponente), entonces el resultado de la suma algebraica es
un polinomio, formado por los dos sumandos. Para distinguir la
suma de su resultado, podemos escribir los sumandos entre
paréntesis:
(4x) + (3y) = 4x + 3y
(a) + (2a2) + (3b) = a + 2a2 + 3b
(3m) + (–6n) = 3m – 6n
4. Cuando en la suma hay dos o más términos comunes, es decir,
con las mismas literales y del mismo grado, se suman entre sí,
y se escribe la suma con los demás términos:
(2a) + (–6b2) + (–3a2) + (–4b2) + (7a) + (9a2)= [(2a) + (7a)] +
[(–3a2) + (9a2)] + [(–6b2) + (–4b2)] = [9a]+[ 6a2]+[ –10b2] =
9a + 6a2 – 10b2
Suma de polinomios:
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada
por sumas y restas de los diferentes términos que conforman
el polinomio. Para sumar dos polinomios, podemos seguir los
siguientes pasos:
Sumaremos 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 con c + 6b2 –3a + 5b
Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus
grados, respetando el signo de cada término:
4a +3a2 + 6b – 8b2
–3a + 5b + 6b2 + c
Agrupamos las sumas de los términos comunes: [4a –3a] +
3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c
Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos
entre paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser suma,
cata término del polinomio conserva su signo en el resultado:
[4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c = a + 3a2 + 11b
– 2b2 + c
Otra forma de ilustrar esto, es haciendo la suma en forma
vertical, alineando los términos comunes y realizando las
operaciones:
5. Suma de monomios y polinomios: Como podemos deducir de
lo ya explicado, para sumar un monomio con un polinomio,
seguiremos las reglas revisadas. Si existen términos comunes,
el monomio se sumará al término; si no hay términos comunes,
el monomio se agrega al polinomio como un término más:
Si tenemos (2x + 3x2 – 4y) + (–4x2) Alineamos los términos
comunes y realizamos la suma:
Resta Algebraica
La resta algebraica es una de las operaciones fundamentales
en el estudio del álgebra. Sirve para restar monomios y
polinomios. Con la resta algebraica sustraemos el valor de una
expresión algebraica de otra. Por ser expresiones que están
compuestas por términos numéricos, literales, y exponentes,
debemos estar atentos a las siguientes reglas:
Resta de monomios:
La resta de dos monomios puede dar como resultado un
monomio o un polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la resta 2x – 4x,
el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y
6. tiene el mismo grado (en este caso, 1, o sea, sin exponente).
Restaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos
casos, es lo mismo que multiplicar por x:
2x – 4x = (2 – 4)x = –2x
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, el signo del
factor que restamos cambiará, aplicando la ley de los signos:
al restar una expresión, si tiene signo negativo, cambiará a
positivo, y si tiene signo positivo, cambiará a negativo. Para
no tener confusión, escribimos los números con signo
negativo, o incluso todas las expresiones, entre paréntesis:
(4x) – (–2x).:
(4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
Debemos recordar, además, que, en la resta, el orden de los
factores se debe de tener en cuenta:
(4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
(–2x) – (4x) = –2x – 4x = –6x.
En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o
en caso de tener la misma literal, pero con diferente grado
(exponente), entonces el resultado de la resta algebraica es
un polinomio, formado por el minuendo, menos el sustraendo.
Para distinguir la resta de su resultado, escribimos minuendo
y sustraendo entre paréntesis:
(4x) – (3y) = 4x – 3y
(a) – (2a2) – (3b) = a – 2a2 – 3b
(3m) – (–6n) = 3m + 6n
Cuando en la resta hay dos o más términos comunes, es
decir, con las mismas literales y del mismo grado, se restan
entre sí, y se escribe la resta con los demás términos:
7. (2a) – (–6b2) – (–3a2) – (–4b2) – (7a) – (9a2)= [(2a) – (7a)] –
[(–3a2) – (9a2)] – [(–6b2) – (–4b2)] = [–5a]–[ –10b2]–[ –6a2] =
–5a + 12a2 +2b2
Resta de polinomios:
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada
por sumas y restas de los términos con diferentes literales y
exponentes que conforman el polinomio. Para restar dos
polinomios, podemos seguir los siguientes pasos:
Restaremos c + 6b2 –3a + 5b de 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2
Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus
grados, respetando el signo de cada término:
4a +3a2 + 6b – 8b2
–3a + 5b + 6b2 + c
Agrupamos las restas de los términos comunes, en el orden
minuendo–sustraendo: [(4a) –(–3a)] + 3a2 + [(6b) – (5b)] + [(–
8b2) – (6b2)] – c
Efectuamos las restas de los términos comunes que pusimos
entre paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser resta,
los términos del sustraendo cambian de signo: [4a + 3a] +
3a2 + [6b – 5b] + [– 8b2 – 6b2] – c = 7a + 3a2 + b – 14b2 – c
Para comprender mejor el cambio de signos en la resta,
podemos hacerla en forma vertical, colocando el minuendo en
la parte de arriba, y el sustraendo en la parte de abajo:
8. Como estamos realizando una resta, los signos del
sustraendo cambiarán, por lo que, si lo expresamos como
una suma en la que todos los signos del sustraendo se
invierten, entonces quedará así y resolvemos:
Valor numérico de una expresión algebraica
El valor numérico de una expresión algebraica, para un
determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en
ésta por valor numérico dado y realizar las operaciones
indicadas.
L(r) = 2 r
r = 5 cm. L(5)= 2 · · 5 = 10 cm
S(l) = l2
l = 5 cm A(5) = 52
= 25 cm2
V(a) = a3
a = 5 cm V(5) = 53
= 125 cm3
Valor numérico de un polinomio
El valor numérico de un polinomio es el resultado que
obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.
P(x) = 2x3
+ 5x - 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13
+ 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4
Q(x) = x4
− 2x3
+ x2
+ x − 1 ; x = 1
Q(1) = 14
− 2 · 13
+ 1 2
+ 1 − 1 = 1 − 2 + 1 + 1 − 1 = 0
R(x) = x10
− 1024 : x = −2
9. R(−2) = (−2)10
− 1024 = 1024 − 1024 = 0
Multiplicación de expresiones algebraicas
La multiplicación de dos expresiones algebraicas es otra
expresión algebraica, en otras palabras, es una operación
matemática que consiste en obtener un resultado llamado
producto a partir de dos factores algebraicos llamada
multiplicando y multiplicador.
Multiplicación de monomios
A continuación, se muestra diferentes casos para comprender
de mejor manera la multiplicación de monomios.
Multiplicar 3a2 por 6a4. Se multiplican los coeficientes (+3)
(+6) = +18 y a continuación se hace la multiplicación de las
letras (a2) (a4) = a2 + 4 = a6, por lo tanto, el resultado será:
(3a2) (6a4) = 18a6
Multiplicar 3ab por 3b2c. Se multiplican los coeficientes
(+3)(+3) = +9 y a continuación, se hace la multiplicación de
las letras (ab)(b2c) = ab(1 + 2)c= ab3c, por lo tanto, el
resultado será:
(3ab)(3b2c) = 9ab3c
Multiplicación entre polinomios
Para saber cómo resolver la multiplicación entre polinomios,
tan solo debemos tener en cuenta la propiedad distributiva, la
ley se signos y las leyes de la potenciación. La forma más
10. básica o reducida de la multiplicación entre dos polinomios es
la forma
(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd
Ejemplo 1:
Multiplicar: (?-3)(?+4)
Solución: (x-3)(x+4)= x ·x+ x·4+(-3) ·x (-3) ·4= x2+4x+(-3x)+(-
12)=x2+4x-3x-12=x2+x-12
Ejemplo 2: (?+3)(?2+2?+1)
Solución:
(x+3)(x2+2x+1)=x·x2+x·2+x·1+3·x2+3·2x+3·1=x3+2x2+x+3x2
+6x+3=x·x
División algebraica
La división de expresiones algebraicas consta de las mismas
partes que la división aritmética, asi que hay 2 expresiones
algebraicas, p(x) dividendo y q(y) siendo el divisor, de modo
que el grado de p(x) sea mayor o iguale el 0 siempre
hallaremos expresiones algebraicas dividiéndose.
División de monomios
La división de un monomio entre monomio es muy simple, la
parte numérica se efectúa mediante una división común (visto
en aritmética) y la parte de las letras se aplica la regla de los
exponentes.
Ejemplo 1: Multiplicar los siguientes monomios (5x³y) × (-
3y4
z)
Recordando la propiedad de la potencia na
× nb
= na + b
,
tenemos:
11. (5x³y) × (- 3y4
z) = – 15x3
y5
z
Ejemplo 2: Realizar la siguiente división de
monomios (8x3
y3
z4
t) ÷ (-2xy2
z2
)
Recordando las propiedades de potencias na
× nb
= na + b
y
1/na
= n-a
, tenemos:
(8x3
y3
z4
t) ÷ (-2xy2
z2
) = -4x2
yz2
t
División de polinomios
Para dividir un polinomio entre otro polinomio es necesario
seguir los siguientes pasos.
1.-Se ordenan los 2 polinomios en orden descendente y
alfabetico
2.-Se divide el primer termino del dividendo entre el primer
término del divisor.
3.-Se multiplica el primer termino del cociente por el divisor y
el producto obtenido se resta del dividendo, obteniendo un
nuevo dividendo.
4.-Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que el resultado sea 0 o
de menor exponente que el dividendo
Ejemplo 1: Resutlado
-15x2+22xy-8y2/ -3x+2y= 5x-4y
Ejemplo 2: 2x3
+72
+10x+8
X+2
12. Producto Notable
En matemáticas, un producto corresponde al resultado que se
obtiene al realizar una multiplicación. Sabemos que algo es
notable cuando nos llama la atención o destaca entre un
grupo de cosas. Entonces, los productos notables son
simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones
algebraicas, que por sus características destacan de las
demás multiplicaciones. Las características que hacen que un
producto sea notable, es que se cumplen ciertas reglas, tal
que el resultado puede ser obtenido mediante una simple
inspección, sin la necesidad de verificar o realizar la
multiplicación paso a paso.
Ejemplo 1: Binomio al cuadrado
m + n)² = m² + 2mn + n²
Dicho producto notable refiere que el cuadrado de la suma
de m y n es igual al cuadrado de m más dos
veces m multiplicado por n más el cuadrado de n.
Lo podemos comprobar reemplazando los términos
por valores numéricos:
(2 + 4)² = 2² + 2 x 2 x 4 + 4²
6²= 4 + 16 + 16
36 = 36
Ejemplo 2: Binomio al cubo
Resolver (2x+3y)3(2x+3y)3
Solución:
(2x+3y)3=(2x)3+3(2x)2
(3y)+3(2x)(3y)2
+(2x)3
=4x3+3(4x2
)(3y)+3(2x)(9y2
)+8y3
=4x3
+ 36x2
y + 54xy2
+ 8y3
13. Factorización por productos notables
Factorización: Es el proceso algebraico por medio del cual
se una suma o resta de términos algebraicos a un producto
algebraico. También se puede entender como el proceso
inverso del desarrollo de producto notables.
Reglas para obtener el factor común de un polinomio:
1. Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes
2. Se identifican las literales con menor exponente que se repitan
en cada uno de los términos algebraicos del polinomio a
factorizar.
Ejemplo de factorización por agrupación:
En la factorización por agrupación no todos los elementos del
polinomio comparten un factor común, por lo que se debe
identificar primero los grupos de elementos que si comparten
términos comunes y después factorizar cada grupo de
elementos.
Ejemplo: