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Plano cartesiano y ecuaciones de secciones cónicas
- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para la Educación Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco Barquisimeto. Estado-Lara PLANO NUMÉRICO Nombre y Apellido Willibeth Sifontes C.I 29.997.054 AD0105 PNF: Administración
- 2. PLANO NUMÉRICO O CARTESIANO Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero. ¿QUÉ ES? La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.
- 3. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dadas las coordenadas de dos puntos, P1 y P2, se deduce la fórmula de distancia entre estos dos puntos. La demostración usa el teorema de Pitágoras. Un ejemplo muestra cómo usar la fórmula para determinar la distancia entre dos puntos dadas sus coordenadas La distancia entre dos puntos P1 y P2 del plano la denotaremos por d (P1, P2). La fórmula de la distancia usa las coordenadas de los puntos.
- 4. PUNTO MEDIO O EQUIDISTANTE Es el punto que se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, etc. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO El punto medio del segmento AB, que llamaremos M, es un punto del segmento que dista lo mismo de A que de B. Esto quiere decir que: Si es un segmento acotado, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento. Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento. Teorema Sea AB. Ejemplo: Un segmento cuyos extremos tienen coordenadas A(xA; yA) ; B(xB; yB) entonces las coordenadas del punto medio M(xM ; yM) de AB son:
- 5. ECUACIONES Y TRAZADO DE CIRCUNFERENCIAS ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. DETERMINACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA Una circunferencia queda determinada cuando conocemos: a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro. b) El centro y el radio. c) El centro y un punto en ella. d) El centro y una recta tangente a la circunferencia. También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro. Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que —para cualquier punto, P (x, y), de una circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r ─, la ecuación ordinaria es (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
- 6. ECUACIONES DE LA PARÁBOLA Es una forma geométrica. Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son: 1-Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría). 2-Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el vértice. 3-Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice. 4-Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola. vértice y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales). 6-Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola. 7-Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco. 8-Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal. 5-Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre
- 7. ECUACIONES ELIPSE Se llama elipse al lugar geométrico de un plano, cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Es el lugar geométrico de los puntos P (x,y) del plano cartesiano cuya suma de distancias de los puntos, llamados focos: F1 y F2 es constante. CUANDO LA ELIPSE TIENE FORMA VERTICAL CUANDO LA ELIPSE TIENE FORMA HORIZONTAL FÓRMULA CANÓNICA Cuando la elipse tiene forma vertical: El eje focal está paralelo al eje de las abscisas (y, y1). Cuando la elipse tiene forma horizontal: El eje focal está paralelo al eje de las abscisas (x, x1).
- 8. ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre constante. Ejemplo: Las líneas azules constituyen lo que se conoce como una hipérbola. Observa sus focos F y F'. Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola siempre se cumple que: |d(P,F)−d(P,F')|=2⋅a Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al foco F y al foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante Estos puntos son muy importantes ya que la diferencia de la distancia entre cada punto P(x,y) y estos puntos es siempre constante.
- 9. ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma. Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos. Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos. Centro (O). Punto de intersección de los ejes focal y secundario. Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre los dos focos F y F'. Su valor es c. Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une los dos focos F y F'. Su longitud es 2c. Los vértices (A y A'). Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal. Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O hasta cualquiera de los vértices A o A'. Su longitud es a. Semieje imaginario (b). b=c2−a2−−−−−−√ De manera general podemos encontrarnos dos tipos de hipérbolas, aquellas en las que el eje focal se encuentra horizontal o vertical. De este modo podemos definir dos tipos de ecuaciones. HIPÉRBOLA DE EJE FOCAL HORIZONTAL CENTRADA EN UN PUNTO P(X0, Y0) CUALQUIERA
- 10. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS SECCIONES CÓNICAS Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia. Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (1), elipse y circunferencia (2) e hipérbola (3).
- 11. TIPOS En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber: β < α: Hipérbola (naranja) β = α: Parábola (azul) β > α: Elipse (verde) β = 90°: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo) β = 180°: Triangular Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que: Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice). Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono). Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. Cuando β = 90°, el ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).