material de clase

1. Curvas paramétricas en ℝ 𝟐
Un subconjunto 𝐶 ⊂ ℝ2 es una curva, cuando existe una función vectorial 𝛼: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ2
continua en el intervalo 𝐼 y tal que 𝐶 = 𝛼(𝐼).
A la función 𝛼 se le llama parametrización de la curva 𝐶 y a la ecuación vectorial
𝒙 = 𝜶 𝒕 = 𝒙 𝒕 ; 𝒚 𝒕
Se le llama ecuación paramétrica
𝛼
𝐼 ⊂ ℝ 𝑡
𝜶 𝒕 = 𝒙 𝒕 ; 𝒚 𝒕

2. Curvas paramétricas
Cuando 𝐼 = 𝑎; 𝑏 , la curva es llamada un arco.
El arco 𝐶 con parametrización 𝛼 es un arco cerrado cuando 𝛼 𝑎 = 𝛼 𝑏 y es un
arco simple cuando 𝛼 es inyectiva en ]𝑎; 𝑏[
Arco simple Arco cerrado Arco cerrado
simple
Arco

3. Una curva 𝐶 con parametrización 𝛼: 𝐼 → ℝ 𝑛 es llamada regular (o suave) cuando:
• 𝛼 es diferenciable en 𝐼
• La función derivada 𝛼′
: 𝐼 → ℝ 𝑛
es continua en 𝐼
• 𝛼′ 𝑡 ≠ 0; ∀ 𝑡 ∈ 𝐼
𝜶 𝒕 = 𝒕 𝟑
; 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒕
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝜶 𝒕 = 𝒕;
𝟑
𝒕
Curvas NO REGULARES
Curva regular (suave)

4. Ejemplos
Grafique las siguientes curvas paramétricas e indique su orientación.
a.- 𝛼 𝑡 = 𝑡; 𝑡2 ; 𝑡 ∈ −1; 1
b.- 𝛼 𝑡 = cos 𝑡 ; cos2 𝑡 ; 𝑡 ∈ [0; 2𝜋]
c.- 𝛼 𝑡 = 𝑡2
; 𝑡4
; 𝑡 ∈ [−1; 1]
d.- 𝒞: ቊ
𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑦 = 𝑒2𝑡 ; 𝑡 ∈ ℝ
e.- 𝒞: ቊ
𝑥 = ln 𝑡
𝑦 = ln2 𝑡
; 𝑡 ∈]0; +∞[

5. EJEMPLO
Encuentre dos parametrizaciones, con las orientaciones mostradas, de la curva de
ecuación cartesiana: 𝑥2 + 𝑦2 = 9
Solución
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚
𝛼 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋 𝛼 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋

6. EJERCICIO
Parametrice las siguientes curvas:
a.- 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑅2 donde 𝑅 > 0
b.- 2𝑥2 + 3𝑦2 = 6
c.- 𝑥
2
3 + 𝑦
2
3 = 𝑎
2
3 donde 𝑎 > 0
d.- 𝑦 = 4 − 𝑥2

7. Un subconjunto 𝐶 ⊂ ℝ3 es una curva, cuando existe una función 𝛼: 𝐼 ⊂ ℝ → ℝ3
continua en el intervalo 𝐼 y tal que 𝐶 = 𝛼(𝐼).
A la función 𝛼 se le llama parametrización de la curva 𝐶 y a la ecuación vectorial
𝒙 = 𝜶 𝒕 = 𝒙(𝒕); 𝒚(𝒕); 𝒛(𝒕)
Se le llama ecuación paramétrica
𝛼
𝐼 ⊂ ℝ 𝑡
𝜶 𝒕 = 𝒙 𝒕 ; 𝒚 𝒕 ; 𝒛(𝒕)
𝒙 𝒚
𝒛
Curvas paramétricas en ℝ 𝟑

8. Las curvas en ℝ3
se suelen describir como intersecciones de superficies.
Un procedimiento para hallar una parametrización de este tipo de curvas
es:
1.- Proyecte la curva sobre uno de los planos cartesianos.
2.- Parametrice la curva proyectada
3.- Exprese la tercera variable en términos del parámetro de la
parametrización de la curva anterior.
La orientación de la curva proyectada induce una orientación en la curva en ℝ 𝟑

9. La curva 𝒞 es la intersección de las superficies
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 y 𝑦 = 𝑧2, como se muestra en la
figura adjunta. Sea 𝒞0 el tramo superior de 𝒞
a.- Parametrice la curva 𝒞0.
b.- Determine la ecuación vectorial de la recta
tangente a 𝒞0 en el punto
2
4
;
2+ 2
4
;
2+ 2
2
PASO 1: Elegimos el plano cartesiano 𝑋𝑌 para proyectar la curva 𝐶0. Para determinar la
ecuación de ésta proyección tenemos el sistema:
൝
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2
𝑦 = 𝑧2 ⇒ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑦 ⇒ 𝑥2 + 𝑦 −
1
2
2
=
1
4
Solución
𝒙
𝒚
𝒛
a)
Ejemplo

10. PASO 2: Parametrizamos la curva proyectada 𝐶 𝑋𝑌. Una forma de hacer esto
es con coordenadas polares. La ecuación de 𝐶 𝑋𝑌 en polares es: 𝑟 = sin 𝜃
donde 𝜃 ∈ [0; 𝜋]
Luego una parametrización es:
ቊ
𝑥 = sen 𝜃 cos 𝜃
𝑦 = sen2 𝜃
; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
𝒙
𝒚
PASO 3: La curva 𝐶0 queda parametrizada por:
ቐ
𝑥 = sen 𝜃 cos 𝜃
𝑦 = sen2 𝜃
𝑧 = sen 𝜃
; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
PASO 1: Para hallar la ecuación de la recta tangente necesitamos:
1.- El punto de paso.
2.- El vector dirección
b)

11. Punto de paso:
Este punto es un dato del ejercicio: 𝑃 =
2
4
;
2+ 2
4
;
2+ 2
2
Dirección
Hallamos la derivada de la parametrización:
𝑥′ = cos(2𝜃) ; 𝑦′ = sen(2𝜃); 𝑧′ = cos 𝜃
Pero tenemos que saber que valor de 𝜃 debemos reemplazar en estas
derivadas. Para esto planteamos y resolvemos la ecuación:
sen 𝜃 cos 𝜃 =
2
4
Obtenemos así: 𝜃 =
𝜋
8
∨ 𝜃 =
3𝜋
8
.
Cuando 𝜃 =
𝜋
8
, tenemos: 𝛼
𝜋
8
=
2
4
;
2− 2
4
;
2− 2
2
(descartado)
Cuando 𝜃 =
3𝜋
8
, tenemos: 𝛼
3𝜋
8
=
2
4
;
2+ 2
4
;
2+ 2
2
(ok)

12. Finalmente el vector dirección es:
𝛼′
3𝜋
8
=
2
2
−
1
4
; 1; −1
PASO 2: Finalmente la ecuación vectorial de la recta tangente es:
𝑃 =
2
4
;
2 + 2
4
;
2 + 2
2
+ 𝜆 −
1
4
; 1; −1 ; 𝜆 ∈ ℝ

13. Parametrice las curvas que se obtienen como intersección de las
superficies dadas:
a.- 𝑥2 + 𝑦2 = 1 y 𝑦 + 𝑧 = 2
b.- 𝑥 = 𝑧 y 𝑦2 + 𝑥 = 4
c.- 4𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
y 𝑦 + 𝑧 = 3
Ejemplos
a) 𝛼 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡, 2 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋
b) 𝛼 𝑡 = 4 − 𝑡2, 𝑡, 4 − 𝑡2 , 𝑡 ∈ −2, 2
c) 𝛼 𝑡 = 4𝑐𝑜𝑠𝑡, 4𝑠𝑒𝑛𝑡 − 2, 5 − 4𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑡 ∈ 0, 2𝜋

14. Obs:
Dos curvas paramétricas pueden tener la misma ecuación cartesiana,
pero pueden ser diferentes (en la forma como es descrita en términos
del parámetro).
𝑪 𝟏: 𝜶 𝒕 = 𝒕; 𝒕 , −𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏 𝑪 𝟐: 𝜷 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏(𝝅𝒕); 𝒔𝒆𝒏(𝝅𝒕) , −𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝟏
Ecuación cartesiana: 𝒚 = 𝒙 Ecuación cartesiana: 𝒚 = 𝒙
𝒙
𝒚
𝒙
𝒚