Geometria espacial aula 3

ETAPA PRÉ-VESTIBULAR

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PIRÂMIDE
Definição: Seja α um plano, R uma região poligonal em α e V um ponto não
pertencente a α. Chama-se pirâmide à reunião de todos os segmentos com uma
das extremidades num ponto de R e a outra no ponto V.

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Elementos de uma pirâmide:

Vértice: é o ponto V.
Base: é o polígono ABCDE
Arestas da base: são os lados da base: AB, BC, ...
Arestas laterais: VA, VB, ...VE
Faces laterais: são os triângulos VAB, VBC, ...
Altura: é a distância do vértice ao plano da base.
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CLASSIFICAÇÃO:

Pirâmide triangular ou tetraedro: a base é um triângulo.

Pirâmide quadrangular: a base é um quadrilátero.

Pirâmide pentagonal: a base é um pentágono e assim por diante.

Se a base é um polígono regular, e a projeção ortogonal do vértice sobre o plano
da base for o centro desse polígono, a pirâmide é uma pirâmide regular.
Numa pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles congruentes.

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A altura de uma face lateral de uma pirâmide regular em relação ao lado da base
chama-se apótema da pirâmide.

VO = altura (h)
OM = apótema da base (n)
VM = apótema da pirâmide (m)

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VOLUME DE UMA PIRÂMIDE:
Em uma pirâmide cuja área da base é B e a altura é h, o volume é:

SECÇÃO TRANSVERSAL DE UMA PIRÂMIDE:
Chama-se secção transversal de uma pirâmide à interseção da pirâmide com um plano
paralelo à base. Sendo h a altura da pirâmide V(ABCD) e d a distância da secção transversal
ao vértice V da pirâmide, temos:

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TRONCO DE PIRÂMIDE
A secção transversal de uma pirâmide a divide em dois outros sólidos. O que contém o
vértice é uma nova pirâmide. O que contém a base é um sólido que chamaremos de
tronco de pirâmide.

Base maior: é a base da pirâmide
original Representaremos sua área
por B.
Base menor: é a secção transversal.
Sua área será representada por b.
Altura do tronco: é a distância entre
os planos das bases (h).
O volume do tronco de cone é:

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ESFERA:

VOLUME DA ESFERA:
O volume de uma esfera de raio R é:

ÁREA DA SUPERFÍCIE ESFÉRICA:
A área da superfície esférica de raio R é:

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2) Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do planeta, os diâmetros delas seriam:

A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que
corresponde à água doce do planeta é
a) 1/343 b) 1/49 c) 1/7 d) 29/136 e) 136/203

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4) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r,
raio de base r e espessura desprezível, como na figura abaixo.

Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o
volume das esferas é
a) 1/5.
b) 1/4.
c) 1/3.
d) 1/2.
e) 2/3.

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5) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com
19cm de altura e 6cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma
altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —,
espaçados de 1cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base
inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco,
unindo-os, conforme a figura.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior,
que tem 1,5cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a
gastar aproximadamente com parafina para fabricar uma vela?
a) 156,4 cm3. b) 224,4 cm3. c) 192,6 cm3. d) 216,5 cm3. e) 540cm3.

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