1.
T NG H P KI N TH C
VÀ CÁCH GI I CÁC D NG BÀI T P TOÁN 9
A. KI N TH C C N NH .
1. i u ki n căn th c có nghĩa.
A có nghĩa khi A ≥ 0
2. Các công th c bi n i căn th c.
a. 2
A A= b. . ( 0; 0)AB A B A B= ≥ ≥
c. ( 0; 0)
A A
A B
B B
= ≥ > d. 2
( 0)A B A B B= ≥
e. 2
( 0; 0)A B A B A B= ≥ ≥ e. 2
( 0; 0)A B A B A B= − < ≥
f.
1
( 0; 0)
A
AB AB B
B B
= ≥ ≠ g. ( 0)
A A B
B
BB
= >
h. 2
2
( )
( 0; )
C C A B
A A B
A BA B
= ≥ ≠
−±
i. 2
( )
( 0; 0; )
C C A B
A B A B
A BA B
= ≥ ≥ ≠
−±
3. Hàm s y = ax + b (a ≠≠≠≠ 0)
- Tính ch t:
+ Hàm s ng bi n trên R khi a > 0.
+ Hàm s ngh ch bi n trên R khi a < 0.
- th :
th là m t ư ng th ng i qua i m A(0;b); B(-b/a;0).
4. Hàm s y = ax2
(a ≠≠≠≠ 0)
- Tính ch t:
+ N u a > 0 hàm s ngh ch bi n khi x < 0 và ng bi n khi x > 0.
+ N u a < 0 hàm s ng bi n khi x < 0 và ngh ch bi n khi x > 0.
- th :
th là m t ư ng cong Parabol i qua g c to O(0;0).
+ N u a > 0 thì th n m phía trên tr c hoành.
+ N u a < 0 thì th n m phía dư i tr c hoành.
5. V trí tương i c a hai ư ng th ng
Xét ư ng th ng y = ax + b (d) và y = a'x + b' (d')
(d) và (d') c t nhau ⇔ a ≠ a'
(d) // (d') ⇔ a = a' và b ≠ b'
(d) ≡ (d') ⇔ a = a' và b = b'
6. V trí tương i c a ư ng th ng và ư ng cong.
Xét ư ng th ng y = ax + b (d) và y = ax2
(P)
(d) và (P) c t nhau t i hai i m
(d) ti p xúc v i (P) t i m t i m
(d) và (P) không có i m chung
PH N I: I S

2.
Trang 2
7. Phương trình b c hai.
Xét phương trình b c hai ax2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
Công th c nghi m Công th c nghi m thu g n
∆ = b2
- 4ac
N u ∆ > 0 : Phương trình có hai nghi m
phân bi t:
a
b
x
2
1
∆+−
= ;
a
b
x
2
2
∆−−
=
N u ∆ = 0 : Phương trình có nghi m kép :
a
b
xx
2
21
−
==
N u ∆ < 0 : Phương trình vô nghi m
∆' = b'2
- ac v i b = 2b'
- N u ∆' > 0 : Phương trình có hai nghi m
phân bi t:
a
b
x
''
1
∆+−
= ;
a
b
x
''
2
∆−−
=
- N u ∆' = 0 : Phương trình có nghi m kép:
a
b
xx
'
21
−
==
- N u ∆' < 0 : Phương trình vô nghi m
8. H th c Viet và ng d ng.
- H th c Viet:
N u x1, x2 là nghi m c a phương trình b c hai ax2
+ bx + c = 0 (a≠0) thì:
1 2
1 2.
b
S x x
a
c
P x x
a
−
= + =

 = =

- M t s ng d ng:
+ Tìm hai s u và v bi t u + v = S; u.v = P ta gi i phương trình:
x2
- Sx + P = 0
( i u ki n S2
- 4P ≥ 0)
+ Nh m nghi m c a phương trình b c hai ax2
+ bx + c = 0 (a≠0)
N u a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghi m:
x1 = 1 ; x2 =
c
a
N u a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghi m:
x1 = -1 ; x2 =
c
a
−
9. Gi i bài toán b ng cách l p phương trình, h phương trình
Bư c 1: L p phương trình ho c h phương trình
Bư c 2: Gi i phương trình ho c h phương trình
Bư c 3: Ki m tra các nghi m c a phương trình ho c h phương trình nghi m
nào thích h p v i bài toán và k t lu n

3.
Trang 3
B. CÁC D NG BÀI T P
D ng 1: Rút g n bi u th c
Bài toán: Rút g n bi u th c A
rút g n bi u th c A ta th c hi n các bư c sau:
- Quy ng m u th c (n u có)
- ưa b t th a s ra ngoài căn th c (n u có)
- Tr c căn th c m u (n u có)
- Th c hi n các phép tính: lu th a, khai căn, nhân chia....
- C ng tr các s h ng ng d ng.
D ng 2: Bài toán tính toán
Bài toán 1: Tính giá tr c a bi u th c A.
Tính A mà không có i u ki n kèm theo ng nghĩa v i bài toán Rút g n
bi u th c A
Bài toán 2: Tính giá tr c a bi u th c A(x) bi t x = a
Cách gi i:
- Rút g n bi u th c A(x).
- Thay x = a vào bi u th c rút g n.
D ng 3: Ch ng minh ng th c
Bài toán: Ch ng minh ng th c A = B
M t s phương pháp ch ng minh:
- Phương pháp 1: D a vào nh nghĩa.
A = B ⇔ A - B = 0
- Phương pháp 2: Bi n i tr c ti p.
A = A1 = A2 = ... = B
- Phương pháp 3: Phương pháp so sánh.
A = A1 = A2 = ... = C
B = B1 = B2 = ... = C
- Phương pháp 4: Phương pháp tương ương.
A = B ⇔ A' = B' ⇔ A" = B" ⇔ ...... ⇔ (*)
(*) úng do ó A = B
- Phương pháp 5: Phương pháp s d ng gi thi t.
- Phương pháp 6: Phương pháp quy n p.
- Phương pháp 7: Phương pháp dùng bi u th c ph .
D ng 4: Ch ng minh b t ng th c
Bài toán: Ch ng minh b t ng th c A > B
M t s b t ng th c quan tr ng:
- B t ng th c Cosi:
n
n
n
aaaa
n
aaaa
.....
...
321
321
≥
++++
(v i 0..... 321 ≥naaaa )
D u “=” x y ra khi và ch khi: naaaa ==== ...321
- B t ng th c BunhiaCôpxki:
V i m i s a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn
( ) )...)(...(... 22
3
2
2
2
1
22
3
2
2
2
1
2
332211 nnnn bbbbaaaababababa ++++++++≤++++
D u “=” x y ra khi và ch khi:
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
==== ...
3
3
2
2
1
1
A = B

4.
Trang 4
M t s phương pháp ch ng minh:
- Phương pháp 1: D a vào nh nghĩa
A > B ⇔ A - B > 0
- Phương pháp 2: Bi n i tr c ti p
A = A1 = A2 = ... = B + M2
> B n u M ≠ 0
- Phương pháp 3: Phương pháp tương ương
A > B ⇔ A' > B' ⇔ A" > B" ⇔ ...... ⇔ (*)
(*) úng do ó A > B
- Phương pháp 4: Phương pháp dùng tính ch t b c c u
A > C và C > B → A > B
- Phương pháp 5: Phương pháp ph n ch ng
ch ng minh A > B ta gi s B > A và dùng các phép bi n i tương ương
d n n i u vô lí khi ó ta k t lu n A > B.
- Phương pháp 6: Phương pháp s d ng gi thi t.
- Phương pháp 7: Phương pháp quy n p.
- Phương pháp 8: Phương pháp dùng bi u th c ph .
D ng 5: Bài toán liên quan t i phương trình b c hai
Bài toán 1: Gi i phương trình b c hai ax2
+ bx + c = 0 (a≠≠≠≠0)
Các phương pháp gi i:
- Phương pháp 1: Phân tích ưa v phương trình tích.
- Phương pháp 2: Dùng ki n th c v căn b c hai
x2
= a → x = ± a
- Phương pháp 3: Dùng công th c nghi m
Ta có ∆ = b2
- 4ac
+ N u ∆ > 0 : Phương trình có hai nghi m phân bi t:
a
b
x
2
1
∆+−
= ;
a
b
x
2
2
∆−−
=
+ N u ∆ = 0 : Phương trình có nghi m kép
a
b
xx
2
21
−
==
+ N u ∆ < 0 : Phương trình vô nghi m
- Phương pháp 4: Dùng công th c nghi m thu g n
Ta có ∆' = b'2
- ac v i b = 2b'
+ N u ∆' > 0 : Phương trình có hai nghi m phân bi t:
a
b
x
''
1
∆+−
= ;
a
b
x
''
2
∆−−
=
+ N u ∆' = 0 : Phương trình có nghi m kép
a
b
xx
'
21
−
==
+ N u ∆' < 0 : Phương trình vô nghi m
- Phương pháp 5: Nh m nghi m nh nh lí Vi-et.
N u x1, x2 là nghi m c a phương trình b c hai ax2
+ bx + c = 0 (a≠0) thì:






=
−
=+
a
c
xx
a
b
xx
21
21
.
Chú ý: N u a, c trái d u t c là a.c < 0 thì phương trình luôn có hai nghi m phân bi t.

5.
Trang 5
Bài toán 2: Bi n lu n theo m s có nghi m c a phương trình b c hai
ax2
+ bx + c = 0 ( trong ó a, b, c ph thu c tham s m ).
Xét h s a: Có th có 2 kh năng
a. Trư ng h p a = 0 v i vài giá tr nào ó c a m.
Gi s a = 0 ⇔ m = m0 ta có:
(*) tr thành phương trình b c nh t ax + c = 0 (**)
+ N u b ≠ 0 v i m = m0: (**) có m t nghi m x = -c/b
+ N u b = 0 và c = 0 v i m = m0: (**) vô nh ⇔ (*) vô nh
+ N u b = 0 và c ≠ 0 v i m = m0: (**) vô nghi m ⇔ (*) vô nghi m
b. Trư ng h p a ≠ 0: Tính ∆ ho c ∆'
+ Tính ∆ = b2
- 4ac
N u ∆ > 0 : Phương trình có hai nghi m phân bi t:
a
b
x
2
1
∆+−
= ;
a
b
x
2
2
∆−−
=
N u ∆ = 0 : Phương trình có nghi m kép :
a
b
xx
2
21
−
==
N u ∆ < 0 : Phương trình vô nghi m
+ Tính ∆' = b'2
- ac v i b = 2b'
N u ∆' > 0 : Phương trình có hai nghi m phân bi t:
a
b
x
''
1
∆+−
= ;
a
b
x
''
2
∆−−
=
N u ∆' = 0 : Phương trình có nghi m kép:
a
b
xx
'
21
−
==
N u ∆' < 0 : Phương trình vô nghi m
- Ghi tóm t t ph n bi n lu n trên.
Bài toán 3: Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai
ax2
+ bx + c = 0 ( trong ó a, b, c ph thu c tham s m ) có nghi m.
Có hai kh năng phương trình b c hai ax2
+ bx + c = 0 có nghi m:
1. Ho c a = 0, b ≠ 0
2. Ho c a ≠ 0, ∆ ≥ 0 ho c ∆' ≥ 0
T p h p các giá tr m là toàn b các giá tr m tho mãn i u ki n 1 ho c i u ki n 2.
Bài toán 4: Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai
ax2
+ bx + c = 0 ( a, b, c ph thu c tham s m ) có 2 nghi m phân bi t.
i u ki n có hai nghi m phân bi t



>∆
≠
0
0a
ho c



>∆
≠
0
0
'
a
Bài toán 5: Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai
ax2
+ bx + c = 0 ( trong ó a, b, c ph thu c tham s m ) có 1 nghi m.
i u ki n có m t nghi m:



≠
=
0
0
b
a
ho c



=∆
≠
0
0a
ho c



=∆
≠
0
0
'
a

6.
Trang 6
Bài toán 6: Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai
ax2
+ bx + c = 0 ( trong ó a, b, c ph thu c tham s m ) có nghi m kép.
i u ki n có nghi m kép:



=∆
≠
0
0a
ho c



=∆
≠
0
0
'
a
Bài toán 7: Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai
ax2
+ bx + c = 0 ( trong ó a, b, c ph thu c tham s m ) vô nghi m.
i u ki n có m t nghi m:



<∆
≠
0
0a
ho c



<∆
≠
0
0
'
a
Bài toán 8: Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai
ax2
+ bx + c = 0 ( trong ó a, b, c ph thu c tham s m ) có 1 nghi m.
i u ki n có m t nghi m:



≠
=
0
0
b
a
ho c



=∆
≠
0
0a
ho c



=∆
≠
0
0
'
a
Bài toán 9 : Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai
ax2
+ bx + c = 0 ( a, b, c ph thu c tham s m ) có hai nghi m cùng d u.
i u ki n có hai nghi m cùng d u:




>=
≥∆
0
0
a
c
P
ho c





>=
≥∆
0
0'
a
c
P
Bài toán 10 : Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai
ax2
+ bx + c = 0 (a, b, c ph thu c tham s m) có 2 nghi m dương.
i u ki n có hai nghi m dương:









>−=
>=
≥∆
0
0
0
a
b
S
a
c
P ho c









>−=
>=
≥∆
0
0
0'
a
b
S
a
c
P
Bài toán 11 : Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai
ax2
+ bx + c = 0 ( trong ó a, b, c ph thu c tham s m ) có 2 nghi m âm.
i u ki n có hai nghi m âm:









<−=
>=
≥∆
0
0
0
a
b
S
a
c
P ho c









<−=
>=
≥∆
0
0
0'
a
b
S
a
c
P
Bài toán 12 : Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai
ax2
+ bx + c = 0 ( a, b, c ph thu c tham s m) có 2 nghi m trái d u.
i u ki n có hai nghi m trái d u:
P < 0 ho c a và c trái d u.
Bài toán 13 : Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai
ax2
+ bx + c = 0 (*) ( a, b, c ph thu c tham s m) có m t nghi m x = x1.
Cách gi i:
- Thay x = x1 vào phương trình (*) ta có: ax1
2
+ bx1 + c = 0 → m
- Thay giá tr c a m vào (*) → x1, x2
- Ho c tính x2 = S - x1 ho c x2 =
1x
P

7.
Trang 7
Bài toán 14 : Tìm i u ki n c a tham s m phương trình b c hai
ax2
+ bx + c = 0 ( a, b, c ph thu c tham s m) có 2 nghi m x1, x2 tho mãn
các i u ki n:
a. γβα =+ 21 xx b. kxx =+ 2
2
2
1
c. n
xx
=+
21
11
d. hxx ≥+ 2
2
2
1 e. txx =+ 3
2
3
1
i u ki n chung: ∆ ≥ 0 ho c ∆' ≥ 0 (*)
Theo nh lí Viet ta có:






==
=
−
=+
)2(.
)1(
21
21
P
a
c
xx
S
a
b
xx
a. Trư ng h p: γβα =+ 21 xx
Gi i h




=+
−
=+
γβα 21
21
xx
a
b
xx
Thay x1, x2 vào (2) → m
Ch n các giá tr c a m tho mãn (*)
b. Trư ng h p: kxxxxkxx =−+↔=+ 21
2
21
2
2
2
1 2)(
Thay x1 + x2 = S =
a
b−
và x1.x2 = P =
a
c
vào ta có:
S2
- 2P = k → Tìm ư c giá tr c a m tho mãn (*)
c. Trư ng h p: ncbxnxxxn
xx
=−↔=+↔=+ 2121
21
.
11
Gi i phương trình - b = nc tìm ư c m tho mãn (*)
d. Trư ng h p: 0222
2
2
1 ≥−−↔≥+ hPShxx
Gi i b t phương trình S2
- 2P - h ≥ 0 ch n m tho mãn (*)
e. Trư ng h p: tPSStxx =−↔=+ 333
2
3
1
Gi i phương trình tPSS =−33
ch n m tho mãn (*)
Bài toán 15: Tìm hai s u và v bi t t ng u + v = S và tích u.v = P c a chúng
Ta có u và v là nghi m c a phương trình:
x2
- Sx + P = 0 (*)
( i u ki n S2
- 4P ≥ 0)
Gi i phương trình (*) ta tìm ư c hai s u và v c n tìm.
x1, x2

8.
Trang 8
N i dung 6:
Gi i phương trình b ng phương pháp t n s ph
Bài toán1: Gi i phương trình trùng phương ax4
+ bx2
+ c = 0
t t = x2
(t≥0) ta có phương trình at2
+ bt + c = 0
Gi i phương trình b c hai n t sau ó thay vào tìm n x
B ng tóm t t
at2
+ bt + c = 0 ax4
+ bx2
+ c = 0
vô nghi m vô nghi m
2 nghi m âm vô nghi m
nghi m kép âm vô nghi m
1 nghi m dương 2 nghi m i nhau
2 nghi m dương
4 nghi m
2 c p nghi m i nhau
Bài toán 2: Gi i phương trình 0)
1
()
1
( 2
2
=++++ C
x
xB
x
xA
t
x
x
1
+ = t ⇔ x2
- tx + 1 = 0
Suy ra t2
= (
x
x
1
+ )2
= 2
1
2
2
++
x
x ⇔ 2
1 2
2
2
−=+ t
x
x
Thay vào phương trình ta có:
A(t2
- 2) + Bt + C = 0 ⇔ At2
+ Bt + C - 2A = 0
Gi i phương trình n t sau ó th vào
x
x
1
+ = t gi i tìm x.
Bài toán 3: Gi i phương trình 0)
1
()
1
( 2
2
=+−++ C
x
xB
x
xA
t
x
x
1
− = t ⇔ x2
- tx - 1 = 0
Suy ra t2
= (
x
x
1
− )2
= 2
1
2
2
−+
x
x ⇔ 2
1 2
2
2
+=+ t
x
x
Thay vào phương trình ta có:
A(t2
+ 2) + Bt + C = 0 ⇔ At2
+ Bt + C + 2A = 0
Gi i phương trình n t sau ó th vào
x
x
1
− = t gi i tìm x.
Bài toán 4: Gi i phương trình b c cao
Dùng các phép bi n i ưa phương trình b c cao v d ng:
+ Phương trình tích
+ Phương trình b c hai.

9.
Trang 9
N i dung 7:
Gi i h phương trình
Bài toán: Gi i h phương trình



=+
=+
''' cybxa
cbyax
Các phương pháp gi i:
+ Phương pháp th
+ Phương pháp c ng
+ Phương pháp th
+ Phương pháp t n ph
N i dung 7:
Gi i phương trình vô t
Bài toán 1: Gi i phương trình d ng )()( xgxf = (1)
Ta có 2
( ) 0 (2)
( ) ( )
( ) ( ) (3)
g x
f x g x
f x g x
 ≥
= ⇔ 
 =  
Gi i (3) i chi u i u ki n (2) ch n nghi m thích h p → nghi m c a (1)
Bài toán 2: Gi i phương trình d ng )()()( xgxhxf =+
i u ki n có nghĩa c a phương trình





≥
≥
≥
0)(
0)(
0)(
xg
xh
xf
V i i u ki n trên tho mãn ta bình phương hai v gi i tìm x.
N i dung 8:
Gi i phương trình ch a giá tr tuy t i
Bài toán: Gi i phương trình d ng )()( xgxf =
Phương pháp 1: )()( xgxf = ⇔
[ ] [ ]


=
≥
22
)()(
0)(
xgxf
xg
Phương pháp 2: Xét f(x) ≥ 0 → f(x) = g(x)
Xét f(x) < 0 → - f(x) = g(x)
Phương pháp 3: V i g(x) ≥ 0 ta có f(x) = ± g(x)
N i dung 9:
Giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c
Bài toán: Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s y = f(x)
Phương pháp 1: D a vào lu th a b c ch n.
- Bi n i hàm s y = f(x) sao cho:
y = M - [g(x)]2n
, n ∈Z → y ≤ M
Do ó ymax = M khi g(x) = 0
- Bi n i hàm s y = f(x) sao cho:
y = m + [h(x)]2k
k∈Z → y ≥ m
Do ó ymin = m khi h(x) = 0
Phương pháp 2: D a vào t p giá tr hàm.
Phương pháp 3: D a vào ng th c.

10.
Trang 10
N i dung 10:
Các bài toán liên quan n hàm s
* i m thu c ư ng - ư ng i qua m t i m
Bài toán: Cho (C) là th c a hàm s y = f(x) và m t i m A(xA;yA).
H i (C) có i qua A không?
th (C) i qua A(xA;yA) khi và ch khi to c a A nghi m úng
phương trình c a (C) A∈(C) ⇔ yA = f(xA)
Dó ó tính f(xA)
N u f(xA) = yA thì (C) i qua A.
N u f(xA) ≠ yA thì (C) không i qua A.
* S tương giao c a hai th
Bài toán : Cho (C) và (L) theo th t là th hàm s
y = f(x) và y = g(x)
Hãy kh o sát s tương giao c a hai th
To i m chung c a (C) và (L) là nghi m c a phương trình hoành
giao i m: f(x) = g(x) (*)
- N u (*) vô nghi m thì (C) và (L) không có i m chung.
- N u (*) có nghi m kép thì (C) và (L) ti p xúc nhau.
- N u (*) có 1 nghi m thì (C) và (L) có 1 i m chung.
- N u (*) có 2 nghi m thì (C) và (L) có 2 i m chung.
* L p phương trình ư ng th ng
Bài toán 1: L p phương trình c a ư ng th ng (D) i qua i m A(xA;yA)
và có h s góc b ng k.
Phương trình t ng quát c a ư ng th ng (D) là : y = ax + b (*)
- Xác nh a: ta có a = k
- Xác nh b: (D) i qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b → b = yA - kxA
- Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phương trình c a (D)
Bài toán 2: L p phương trình c a ư ng th ng (D) i qua hai i m
A(xA;yA); B(xB;yB)
Phương trình t ng quát c a ư ng th ng (D) là : y = ax + b
(D) i qua A và B nên ta có:



+=
+=
baxy
baxy
BB
AA
Gi i h ta tìm ư c a và b suy ra phương trình c a (D)
Bài toán 3: L p phương trình c a ư ng th ng (D) có h s góc k
và ti p xúc v i ư ng cong (C): y = f(x)
Phương trình t ng quát c a ư ng th ng (D) là : y = kx + b
Phương trình hoành i m chung c a (D) và (P) là: f(x) = kx + b (*)
Vì (D) ti p xúc v i (P) nên (*) có nghi m kép.
T i u ki n này ta tìm ư c b và suy ra phương trình c a (D)
Bài toán 3: L p phương trình c a ư ng th ng (D) i qua i m A(xA;yA)
và ti p xúc v i ư ng cong (C): y = f(x)
Phương trình t ng quát c a ư ng th ng (D) là : y = kx + b
Phương trình hoành giao i m c a (D) và (P) là: f(x) = kx + b (*)
Vì (D) ti p xúc v i (P) nên (*) có nghi m kép.
T i u ki n này ta tìm ư c h th c liên h gi a a và b (**)
M t khác: (D) qua A(xA;yA) do ó ta có yA = axA + b (***)
T (**) và (***) → a và b → Phương trình ư ng th ng (D).

11.
Trang 11
A. KI N TH C C N NH
1. H th c lư ng trong tam giác vuông.
b2
= ab' c2
= ac'
h2
= b'c'
ah = bc
a2
= b2
+ c2
222
111
cbh
+=
2. T s lư ng giác c a góc nh n.
0 < sinα < 1 0 < cossα < 1
α
α
α
cos
sin
=tg
α
α
α
sin
cos
cot =g sin2
α + cos2
α = 1
tgα.cotgα = 1
α
α 2
2
cos
1
1 =+ tg
α
α 2
2
sin
1
cot1 =+ g
3. H th c v c nh và góc trong tam giác vuông.
b = asinB = acosC
b = ctgB = ccotgC
c = a sinC = acosB
c = btgC = bcotg B
4. ư ng tròn.
- Cách xác nh: Qua ba i m không th ng hàng ta v ư c m t và ch m t
ư ng tròn.
- Tâm i x ng, tr c i x ng: ư ng tròn có m t tâm i x ng; có vô s tr c
i x ng.
- Quan h vuông góc gi a ư ng kính và dây.
Trong m t ư ng tròn
+ ư ng kính vuông góc v i m t dây thì i qua trung i m c a dây y
+ ư ng kính i qua trung i m c a m t dây không i qua tâm thì vuông góc
v i dây y.
PH N II: HÌNH H C
a
b'
c'
b
c
h
H
B
C
A
b
a
c
C
B
A

12.
Trang 12
- Liên h gi a dây và kho ng cách t tâm n dây:
Trong m t ư ng tròn:
+ Hai dây b ng nhau thì cách u tâm
+ Hai dây cách u tâm thì b ng nhau
+ Dây nào l n hơn thì dây ó g n tâm hơn
+ Dây nào g n tâm hơn thì dây ó l n hơn
- Liên h gi a cung và dây:
Trong m t ư ng tròn hay trong hai ư ng tròn b ng nhau:
+ Hai cung b ng nhau căng hai dây b ng nhau
+ Hai dây b ng nhau căng hai cung b ng nhau
+ Cung l n hơn căng dây l n hơn
+ Dây l n hơn căng cung l n hơn.
- V trí tương i c a ư ng th ng và ư ng tròn:
V trí tương i S i m chung
H th c liên h
gi a d và R
- ư ng th ng và ư ng tròn c t nhau
2 d < R
- ư ng th ng và ư ng tròn ti p xúc nhau
1 d = R
- ư ng th ng và ư ng tròn không giao nhau
0 d > R

13.
Trang 13
- V trí tương i c a ư ng th ng và ư ng tròn:
V trí tương i
S i m
chung
H th c liên h gi a d và
R
- Hai ư ng tròn c t nhau
2 R - r < OO' < R + r
- Hai ư ng tròn ti p xúc nhau
+ Ti p xúc ngoài
+ Ti p xúc trong
1
OO' = R + r
OO' = R - r
- Hai ư ng tròn không giao nhau
+ (O) và (O') ngoài nhau
+ (O) ng (O')
+ (O) và (O') ng tâm
0
OO' > R + r
OO' < R - r
OO' = 0
5. Ti p tuy n c a ư ng tròn
- Tính ch t c a ti p tuy n:Ti p tuy n vuông góc v i bán kính i qua ti p i m.
- D u hi u nh n bi t ti p tuy n:
+ ư ng th ng và ư ng tròn ch có m t i m chung
+ Kho ng cách t tâm c a ư ng tròn n ư ng th ng b ng bán kính
+ ư ng th ng i qua m t i m c a ư ng tròn và vuông góc v i bán kính i
qua i m ó.
- Tính ch t c a 2 ti p tuy n c t nhau
MA, MB là hai ti p tuy n c t nhau thì:
+ MA = MB
+ MO là phân giác c a góc AMB
+ OM là phân giác c a góc AOB
B
O
A
M

14.
Trang 14
- Ti p tuy n chung c a hai ư ng tròn: là ư ng th ng ti p xúc v i c hai
ư ng tròn ó:
Ti p tuy n chung ngoài Ti p tuy n chung trong
6. Góc v i ư ng tròn
Lo i góc Hình v Công th c tính s o
1. Góc tâm AOB sd AB=
2. Góc n i ti p 1
2
AMB sd AB=
3. Góc t o b i tia ti p tuy n
và dây cung.
1
2
xBA sd AB=
4. Góc có nh bên trong
ư ng tròn
1
( )
2
AMB sd AB sdCD= +
5. Góc có nh bên ngoài
ư ng tròn
1
( )
2
AMB sd AB sdCD= −
d'
d
O'
O
d'
d
O'
O
B
A
O
M
B
A
O
x
B
A
O
M
D
C
B
A
O
O
B
A
D
C
M

15.
Trang 15
Chú ý: Trong m t ư ng tròn
- Các góc n i ti p b ng nhau ch n các cung b ng nhau
- Các góc n i ti p cùng ch n m t cung thì b ng nhau
- Các góc n i ti p ch n các cung b ng nhau thì b ng nhau
- Góc n i ti p nh hơn ho c b ng 900
có s o b ng n a s o c a góc tâm
cùng ch n m t cung.
- Góc n i ti p ch n n a ư ng tròn là góc vuông và ngư c l i góc vuông n i
ti p thì ch n n a ư ng tròn.
- Góc t o b i tia ti p tuy n và dây cung và góc n i ti p cùng ch n m t cung thì
b ng nhau.
7. dài ư ng tròn - dài cung tròn.
- dài ư ng tròn bán kính R: C = 2πR = πd
- dài cung tròn n0
bán kính R :
180
Rn
l
π
=
8. Di n tích hình tròn - Di n tích hình qu t tròn
- Di n tích hình tròn: S = πR2
- Di n tích hình qu t tròn bán kính R, cong n0
:
2
360 2
R n lR
S
π
= =
9. Các lo i ư ng tròn
ư ng tròn ngo i ti p
tam giác
ư ng tròn n i ti p
tam giác
ư ng tròn bàng ti p
tam giác
Tâm ư ng tròn là giao
c a ba ư ng trung tr c
c a tam giác
Tâm ư ng tròn là giao c a ba
ư ng phân giác trong c a
tam giác
Tâm c a ư ng tròn bàng
ti p trong góc A là giao
i m c a hai ư ng phân
giác các góc ngoài t i B
ho c C ho c là giao i m
c a ư ng phân giác góc A
và ư ng phân giác ngoài
t i B (ho c C)
10. Các lo i hình không gian.
a. Hình tr .
- Di n tích xung quanh: Sxq = 2πrh
- Di n tích toàn ph n: Stp = 2πrh + πr2
- Th tích hình tr : V = Sh = πr2
h
b. Hình nón:
- Di n tích xung quanh: Sxq = 2πrl
- Di n tích toàn ph n: Stp = 2πrl + πr2
- Th tích hình tr : V = 21
r
3
hπ
O
C
B
A
O
C
B
A
r: bán kính
Trong ó
h: chi u cao
r: bán kính
Trong ó l: ư ng sinh
h: chi u cao

16.
Trang 16
c. Hình nón c t:
- Di n tích xung quanh: Sxq = π(r1 + r2)l
- Th tích: V = 2 2
1 2 1 2
1
( )
3
h r r r rπ + +
d. Hình c u.
- Di n tích m t c u: S = 4πR2
= πd
- Th tích hình c u: V = 34
3
Rπ
11. T giác n i ti p:
D u hi u nh n bi t t giác n i ti p:
- T giác có t ng hai góc i b ng 1800
- T giác có góc ngoài t i m t nh b ng góc trong c a nh i di n
- T giác có 4 nh cách u m t i m.
- T giác có hai nh k nhau cùng nhìn c nh ch a hai nh còn l i dư i m t
góc α.
r1: bán kính dáy l n
Trong ó: r2: bán kính áy nh
l: ư ng sinh
h: chi u cao
R: bán kính
Trong ó:
d: ư ng kính

17.
Trang 17
B. CÁC D NG BÀI T P
D ng 1: Ch ng minh hai góc b ng nhau.
Cách ch ng minh:
- Ch ng minh hai góc cùng b ng góc th ba
- Ch ng minh hai góc b ng v i hai góc b ng nhau khác
- Hai góc b ng t ng ho c hi u c a hai góc theo th t ôi m t b ng nhau
- Hai góc cùng ph (ho c cùng bù) v i góc th ba
- Hai góc cùng nh n ho c cùng tù có các c nh ôi m t song song ho c v.góc
- Hai góc ó le trong, so le ngoài ho c ng v
- Hai góc v trí i nh
- Hai góc c a cùng m tam giác cân ho c u
- Hai góc tương ng c a hai tam giác b ng nhau ho c ng d ng
- Hai góc n i ti p cùng ch n m t cung ho c ch n hai cung b ng nhau.
D ng 2: Ch ng minh hai o n th ng b ng nhau
Cách ch ng minh:
- Ch ng minh hai o n th ng cùng b ng o n th ba
- Hai c nh c a mm t tam giác cân ho c tam giác u
- Hai c nh tương ng c a hai tam giác b ng nhau
- Hai c nh i c a hình bình hành (ch nh t, hình thoi, hình vuông)
- Hai c nh bên c a hình thang cân
- Hai dây trương hai cung b ng nhau trong m t ư ng tròn ho c hai ư ng
b ng nhau.
D ng 3: Ch ng minh hai ư ng th ng song song
Cách ch ng minh:
- Ch ng minh hai ư ng th ng cùng song song v i ư ng th ng th ba
- Ch ng minh hai ư ng th ng cùng vuông góc v i ư ng th ng th ba
- Ch ng minh chúng cùng t o v i m t cát tuy n hai góc b ng nhau:
+ v trí so le trong
+ v trí so le ngoài
+ v trí ng v .
- Là hai dây ch n gi a chúng hai cung b ng nhau trong m t ư ng tròn
- Chúng là hai c nh i c a m t hình bình hành
D ng 4: Ch ng minh hai ư ng th ng vuông góc
Cách ch ng minh:
- Chúng song song song song v i hai ư ng th ng vuông góc khác.
- Ch ng minh chúng là chân ư ng cao trong m t tam giác.
- ư ng kính i qua trung i m dây và dây.
- Chúng là phân giác c a hai góc k bù nhau.

18.
Trang 18
D ng 5: Ch ng minh ba ư ng th ng ng quy.
Cách ch ng minh:
- Ch ng minh chúng là ba ư ng cao, ba trung tuy n, ba trung tr c, ba phân
giác trong (ho c m t phân giác trong và phân giác ngoài c a hai góc kia)
- V n d ng nh lí o c a nh lí Talet.
D ng 6: Ch ng minh hai tam giác b ng nhau
Cách ch ng minh:
* Hai tam giác thư ng:
- Trư ng h p góc - c nh - góc (g-c-g)
- Trư ng h p c nh - góc - c nh (c-g-c)
- Trư ng h p c nh - c nh - c nh (c-c-c)
* Hai tam giác vuông:
- Có c nh huy n và m t góc nh n b ng nhau
- Có c nh huy n b ng nhau và m t c nh góc vuông b ng nhau
- C nh góc vuông ôi m t b ng nhau
D ng 7: Ch ng minh hai tam giác ng d ng
Cách ch ng minh:
* Hai tam giác thư ng:
- Có hai góc b ng nhau ôi m t
- Có m t góc b ng nhau xen gi a hai c nh tương ng t l
- Có ba c nh tương ng t l
* Hai tam giác vuông:
- Có m t góc nh n b ng nhau
- Có hai c nh góc vuông tương ng t l
D ng 8: Ch ng minh ng th c hình h c
Cách ch ng minh:
Gi s ph i ch ng minh ng th c: MA.MB = MC.MD (*)
- Ch ng minh: ∆MAC ∼ ∆MDB ho c ∆MAD ∼ ∆MCB
- N u 5 i m M, A, B, C, D cúng n m trên m t ư ng th ng thì ph i ch ng
minh các tích trên cùng b ng tích th ba:
MA.MB = ME.MF
MC.MD = ME.MF
T c là ta ch ng minh: ∆MAE ∼ ∆MFB
∆MCE ∼ ∆MFD
→ MA.MB = MC.MD
* Trư ng h p c bi t: MT2
= MA.MB ta ch ng minh ∆MTA ∼ ∆MBT

19.
Trang 19
D ng 9: Ch ng minh t giác n i ti p
Cách ch ng minh:
D u hi u nh n bi t t giác n i ti p:
- T giác có t ng hai góc i b ng 1800
- T giác có góc ngoài t i m t nh b ng góc trong c a nh i di n
- T giác có 4 nh cách u m t i m.
- T giác có hai nh k nhau cùng nhìn c nh ch a hai nh còn l i dư i m t
góc α.
D ng 10: Ch ng minh MT là ti p tuy n c a ư ng tròn (O;R)
Cách ch ng minh:
- Ch ng minh OT ⊥ MT t i T ∈ (O;R)
- Ch ng minh kho ng cách t tâm O n ư ng th ng MT b ng bán kính
- Dùng góc n i ti p.
D ng 10: Các bài toán tính toán dài c nh, l n góc
Cách tính:
- D a vào h th c lư ng trong tam giác vuông.
- D a vào t s lư ng giác
- D a vào h th c gi a c nh và góc trong tam giác vuông
- D a vào công th c tính dài, di n tích, th tích...
Ñaây chæ laø moät soá kieán thöùc cô baûn cuûa chöông trình Toaùn 9Ñaây chæ laø moät soá kieán thöùc cô baûn cuûa chöông trình Toaùn 9Ñaây chæ laø moät soá kieán thöùc cô baûn cuûa chöông trình Toaùn 9Ñaây chæ laø moät soá kieán thöùc cô baûn cuûa chöông trình Toaùn 9
Ñeå giuùp caùc em oân taäp toát hônÑeå giuùp caùc em oân taäp toát hônÑeå giuùp caùc em oân taäp toát hônÑeå giuùp caùc em oân taäp toát hôn
Caàn ñoïc kyõ taøi lieäu vaø Xem theâm Saùch giaùo khoa Toaùn 9Caàn ñoïc kyõ taøi lieäu vaø Xem theâm Saùch giaùo khoa Toaùn 9Caàn ñoïc kyõ taøi lieäu vaø Xem theâm Saùch giaùo khoa Toaùn 9Caàn ñoïc kyõ taøi lieäu vaø Xem theâm Saùch giaùo khoa Toaùn 9
Chúc các em h c t p thành công!