O documento discute grandezas escalares e vetoriais. Define grandezas escalares como aquelas determinadas apenas por seu valor numérico, como massa e tempo. Grandezas vetoriais requerem orientação, como força e velocidade. Explica como representar vetores graficamente e realizar operações com eles, como soma e subtração usando a regra da origem-extremidade.

1. FÍSICA
Editora Exato 7
GRANDEZAS E VETORES
1. INTRODUÇÃO
Define-se como grandeza tudo aquilo que pode
ser medido. O universo das grandezas é dividido em
dois grandes grupos, as escalares e as vetoriais. As
grandezas que ficam completamente determinadas
por seu valor numérico e uma unidade adequada são
denominadas de escalares. Por exemplo, quando o
noticiário diz que em Palmas a temperatura é de
32°C, conseguimos entender a mensagem claramente
sem a necessidade de complemento. Outros exemplos
de grandezas escalares são: área, volume, massa, e-
nergia, tempo, carga elétrica.
Existem, por outro lado, grandezas físicas que
exigem para sua completa compreensão, além do seu
valor numérico, o conhecimento de uma direção ori-
entada. Tais grandezas são denominadas de vetoriais.
Como exemplo, veja o esquema do mapa na figura 2
– observe que é necessário dizer para onde os passos
devem ser dados, ou seja, é preciso orientação.
As grandezas vetoriais são representadas por
um ente matemático denominado vetor, que se carac-
teriza por apresentar módulo, direção e sentido. Gra-
ficamente representamos um vetor por um segmento
orientado (fig. 1) e indicado por uma letra qualquer,
sobre a qual se coloca uma pequena seta )v(
r
.
1cm
Sentido
Reta suporte r
Direção
Figura 1
PO
1cm
A direção do vetor é a mesma da reta suporte r.
O sentido é de O para P dado pela ponta da seta. O
módulo é o comprimento do vetor. Na figura 1, o
módulo do vetor vale 2cm.
2. OPERAÇÕES COM GRANDEZAS ESCA-
LARES
2.1. Soma e subtração de grandezas
escalares
Para se somar ou subtrair grandezas escalares,
devemos aplicar a álgebra já conhecida do 1º grau.
Vejamos um exemplo: em 10l de água quente, são
adicionados 20l de água fria. Qual o volume total de
água?
Resposta:
Volume = 10 + 20 = 30l
3. OPERAÇÕES COM GRANDEZAS VETO-
RIAIS
A adição e a subtração de grandezas vetoriais
necessitam de uma nova álgebra. Como exemplo,
consideramos os deslocamentos feitos por uma pes-
soa que anda com um mapa procurando um tesouro.
Observe que no mapa não se pode escrever somente:
ande 20 passos! Para onde? Os deslocamentos são
grandezas vetoriais que precisam, portanto, de orien-
tação.
Assim, o mapa deve conter informações como
direção e sentido. Informações do mapa:
A partir do ponto A, ande 20 passos para o
Norte, em seguida, ande 6 passos para o
Leste e, finalmente, 12 passos para o Sul.
Quantos passos a pessoa deu? 38 passos.
N
O
S
L
A dr
B
20
06
12
Figura 2
Se a pessoa fosse direto de A para B, andando
o segmento dr , chamado aqui de Deslocamento Re-
sultante, ela teria andado 10 passos. Como este cálcu-
lo é feito?
Devemos subtrair vetores com sentidos opos-
tos, assim temos 20 – 12 = 8. Os vetores 6 e 8 são
perpendiculares entre si. Utilizamos aqui o Teorema
de Pitágoras para nos fornecer o deslocamento resul-
tante dr .
dr
8
6
dr2
= 82
+ 62
dr2
= 64 + 36
dr = 100 dr = 10
passos

2. Editora Exato 8
Este método de adicionar vetores é chamado
de regra origem–extremidade: a resultante vai da ori-
gem do primeiro vetor até a extremidade do último
vetor.
Considere os vetores 21 VeV da figura abaixo.
Pela regra origem–extremidade, temos:
V V
V
V
V
1 1
2
2
21 VVV +=
Casos Particulares:
3.1. Soma de vetores com a mesma di-
reção e sentido.
O ângulo formado entre os vetores é de 0°.
Vetor ResultanteVR
VR A B+= Intensidade
A
B
A B
VR
A B+
Exemplo:
F = 4N1
F = 3N2
=F 4 + 3R
=F 7NR
= F + F1 2
FR
3.2. Soma de dois vetores de mesma
direção e sentidos opostos.
O ângulo formado entre os vetores é de 180°
A A
(+)
VR BB
VR A B-=
VR A (-B)+=
Intensidade
3.3. Soma de vetores que formam en-
tre si um ângulo reto (α = 90°)
V1
V2
VR
2
2
2
1
2
R
VVV += Teorema de Pitágoras
ESTUDO DIRIGIDO
1 Defina grandeza escalar, citando 2 exemplos.
2 Defina grandeza vetorial, citando 2 exemplos.
3 Desenhe:
a) dois vetores com mesma direção e sentido.
b) dois vetores com mesma direção e sentidos
opostos.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1 Um homem caminha 4 passos para Leste e de-
pois 3 passos para o Sul. Qual o seu deslocamen-
to resultante?
Resolução:
Pontos cardeais
NO
N
NE
E
SE
S
SO
O
, oriente-se
4 passos
E
3 passos
S
DR

3. Editora Exato 9
2 2 2
1 2
1 2 2
2
2
4 3
16 9
25
25
5
R
R
R
R
R
R
D D D
D
D
D
D
D passos
= +
= +
= +
=
=
=
O deslocamento resultante (DR) foi de 5 pas-
sos.
2 Some os vetores abaixo.
a)
3
5
b)
3
7
c)
6
8
d)
8
4
5
Resolução:
a) Basta somar
3 5
D = 8R
b) Basta subtrair
7
3
D = 4R
c) Teorema de Pitágoras
6 8
DR 2 2 2
2
2
6 8
36 64
100
100
10
R
R
R
R
R
D
D
D
D
D
= +
= +
=
=
=
d) Aqui basta subtrair 5 de 8, pois são vetores
opostos; e usar depois o Teorema de Pitágoras. A-
companhe:
DR
8
8 - 5 = 3
5
4 4
3 2 2 2
2
2
4 3
16 9
25
25
5
R
R
R
R
R
D
D
D
D
D
= +
= +
=
=
=
EXERCÍCIOS
1 Se somarmos dois vetores de módulo 20 e 8, que
tenham mesma direção e sentido, qual será o mó-
dulo do vetor resultante?
2 Calcule o módulo do vetor soma (resultante), dos
seguintes casos:
a)
10
6
b)
97
c)
5
12
90º
d)
2
2
60º

4. Editora Exato 10
3 Um homem está sobre um ônibus cuja velocidade
é de 60km/h em relação ao solo. Se o homem
começar a andar com uma velocidade de 3km/h
em relação ao ônibus, qual a velocidade do ho-
mem em relação ao solo, se ele anda na mesma
direção e sentido do ônibus?
4 Assinale a alternativa que contém apenas grande-
zas vetoriais.
a) tempo, força, energia.
b) força, velocidade, temperatura.
c) energia, corrente elétrica e quantidade de mo-
vimento.
d) força, aceleração e quantidade de movimento.
e) tempo, espaço e energia.
5 Determinado veículo gasta 2h numa viagem de
Brasília a Goiânia. Sabendo que o carro percorreu
uma distância de 210km e que a distância entre as
duas cidades, em linha reta, é de 170km, calcule
o módulo da velocidade escalar média e da velo-
cidade vetorial média do veículo.
GABARITO
Estudo dirigido
1 É a grandeza física que fica perfeitamente defini-
da com um número e uma unidade, ou seja, não
precisa de orientação. Exemplos: massa, tempo.
2 É a grandeza física que além do número e unida-
de precisa de orientação (direção e sentido).
3
a) b)
Exercícios
1 28
2 a)16
b)2
c)13
d) 2 3
3 63km/h.
4 D
5 105km/h e 85km/h