Fundamentos de la trigonometria parte 1 de la universidad privada de la upsa, UPSA UNIVERSIDAD PRIVADA DE SANTA CRUZ DE LA SIERRA MATEMÁTICAS INTRODUCCION A LA TRIGONOMETRIA Ing. Cynthia Bojanic TRIGONOMETRIA 1.- CONCEPTO.- Estudia la relación entre los lados y ángulos de un triangulo. • Tri = tres gonos = ángulo metria = medida • ¿Qué tipo de relación hay entre los lados y ángulos de un triangulo? TRIGONOMETRIA 2.- CIRCULO TRIGONOMETRICO.- Es un circulo en el cual se ha fijado un origen de arcos que es el lado derecho del diámetro horizontal. El radio del circulo trigonométrico es la Unidad (R=1) TRIGONOMETRIA 3.- CONCEPTO DE ANGULO.- Es una parte del plano limitada por dos semirrectas que se llaman lados, que tienen un punto en común denominado vértice. En el circulo trigonométrico los ángulos tienen signos: 4.-SISTEMA DE MEDIDA DE ANGULO 4.1.- SISTEMA SEXAGESIMAL.- La unidad de medida es la 360 ava parte de la circunferencia, donde cada una de estas partes es un grado sexagesimal (10 ) cada grado es dividido en 60 minutos (, ) y cada minuto dividido en 60 segundos (. .). Una vuelta completa 3600 SISTEMA DE MEDIDA DE ANGULO 4.2.- SISTEMA CENTESIMAL.- La unidad de medida es la 400 ava parte de la circunferencia, donde cada parte se llama grado centesimal (1g) cada grado esta dividido en 100 minutos (, ) y cada minuto en 100 segundo (, ,). Una vuelta completa es 400g 1 400 de la circunferencia es un grado centesimal SISTEMA DE MEDIDA DE ANGULO 4.3.- SISTEMA RADIAL.- La unidad de medida es un ángulo que comprende un arco cuya longitud es igual al radio de la circunferencia y se llama radian (rad). Una vuelta completa es 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 Por tanto: 𝑈𝑛𝑎 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 3600 = 400𝑔 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑆 3600 = 𝐶 400𝑔 = 𝑅 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 equivalente a 𝑺 𝟏𝟖𝟎𝟎 = 𝑪 𝟐𝟎𝟎𝒈 = 𝑹 𝝅 𝒓𝒂𝒅 TRIANGULO RECTANGULO 5.- TEOREMA DE PITAGORAS.- El teorema de Pitágoras relaciona los lados de un triangulo y establece que: “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. EJEMPLO: Calcular la hipotenusa del triangulo RAZONES TRIGONOMETRICAS Las razones trigonométricas fundamentales son el seno, coseno y tangente y sus inversas cosecante, secante y cotangente. Para el ángulo “x” FUNDAMENTALES INVERSAS • sen 𝑥 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑏 𝑎 → 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝑎 𝑏 • cos 𝑥 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 𝑐 𝑎 → sec 𝑥 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑎 𝑐 • tan 𝑥 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑏 𝑐 → cotang 𝑥 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 = 𝑐 𝑏 EJEMPLO: Calcular las razones trigonométricas fundamentales y sus inversas para el ángulo “x”. Solución.- Aplicando el teorema de Pitágoras: si 𝑎 = 5 𝑦 𝑏 = 4, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 • Calculo de 𝐶 =? Reemplazando se tiene: 𝐶 = 5 2 − 4 2 • 𝐶 = 3 sen 𝑥 = 4

1. UPSA
UNIVERSIDAD PRIVADA DE
SANTA CRUZ DE LA SIERRA

2. MATEMÁTICAS
INTRODUCCION A LA
TRIGONOMETRIA
Ing. Cynthia Bojanic

3. TRIGONOMETRIA
1.- CONCEPTO.- Estudia la relación entre los lados y ángulos de
un triangulo.
• Tri = tres gonos = ángulo metria = medida
• ¿Qué tipo de relación hay entre los lados y ángulos de un triangulo?

4. TRIGONOMETRIA
2.- CIRCULO TRIGONOMETRICO.- Es un circulo en el cual se ha
fijado un origen de arcos que es el lado derecho del diámetro
horizontal.
El radio del circulo trigonométrico es la Unidad (R=1)

5. TRIGONOMETRIA
3.- CONCEPTO DE ANGULO.- Es una parte del plano limitada
por dos semirrectas que se llaman lados, que tienen un punto
en común denominado vértice.
En el circulo trigonométrico los ángulos tienen signos:

6. 4.-SISTEMA DE MEDIDA DE ANGULO
4.1.- SISTEMA SEXAGESIMAL.- La unidad de medida es la 360
ava parte de la circunferencia, donde cada una de estas partes
es un grado sexagesimal (10) cada grado es dividido en 60
minutos (,) y cada minuto dividido en 60 segundos (. .).
Una vuelta completa 3600

7. SISTEMA DE MEDIDA DE ANGULO
4.2.- SISTEMA CENTESIMAL.- La unidad de medida es la 400 ava
parte de la circunferencia, donde cada parte se llama grado
centesimal (1g) cada grado esta dividido en 100 minutos (,) y
cada minuto en 100 segundo (, ,).
Una vuelta completa es 400g
1
400
de la circunferencia es un grado
centesimal

8. SISTEMA DE MEDIDA DE ANGULO
4.3.- SISTEMA RADIAL.- La unidad de medida es un ángulo que
comprende un arco cuya longitud es igual al radio de la
circunferencia y se llama radian (rad).
Una vuelta completa es 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
Por tanto:
𝑈𝑛𝑎 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 = 3600
= 400𝑔
= 2𝜋 𝑟𝑎𝑑
𝑆
3600 =
𝐶
400𝑔 =
𝑅
2𝜋 𝑟𝑎𝑑
equivalente a
𝑺
𝟏𝟖𝟎𝟎 =
𝑪
𝟐𝟎𝟎𝒈 =
𝑹
𝝅 𝒓𝒂𝒅

9. TRIANGULO RECTANGULO
5.- TEOREMA DE PITAGORAS.- El teorema de Pitágoras relaciona
los lados de un triangulo y establece que: “El cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

10. EJEMPLO: Calcular la
hipotenusa del triangulo

11. RAZONES TRIGONOMETRICAS
Las razones trigonométricas fundamentales son el seno, coseno y tangente
y sus inversas cosecante, secante y cotangente.
Para el ángulo “x”
FUNDAMENTALES INVERSAS
• sen 𝑥 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑏
𝑎
→ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
=
𝑎
𝑏
• cos 𝑥 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑐
𝑎
→ sec 𝑥 =
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑎
𝑐
• tan 𝑥 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑏
𝑐
→ cotang 𝑥 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
=
𝑐
𝑏

12. EJEMPLO: Calcular las razones trigonométricas fundamentales y
sus inversas para el ángulo “x”.
Solución.- Aplicando el teorema de Pitágoras:
si 𝑎 = 5 𝑦 𝑏 = 4, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
• Calculo de 𝐶 =? Reemplazando se tiene: 𝐶 = 52 − 42
• 𝐶 = 3
sen 𝑥 =
4
5
→ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
5
4
cos 𝑥 =
3
5
→ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
5
3
tan 𝑥 =
4
3
→ 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑥 =
3
4

13. Variacionesde los signos de las
funcionestrigonométricas

14. EJEMPLO: Si sen 𝑥 =
4
5
en el primer cuadrante, determinar el
valor numérico de:
• 𝐸 =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)+cos(𝑥)
sec(𝑥)+𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥)
SOLUCION: Trazamos un triangulo de la forma en el primer
cuadrante.
Del teorema de Pitágoras: si 𝑎 = 5 𝑦 𝑏 = 4, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
• Calculo de 𝐶 =? Reemplazando se tiene:
• 𝐶 = 52 − 42
• 𝐶 = 3

15. De las razones trigonométricas se tiene:
• sen 𝑥 =
4
5
→ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
5
4
• cos 𝑥 =
3
5
→ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 =
5
3
• Reemplazando se tiene:
• 𝐸 =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)+cos(𝑥)
sec(𝑥)+𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥)
=
4
5
+
3
5
5
3
+
5
4
=
7
5
20+15
12
=
7
5
35
12
• 𝑬 =
𝟖𝟒
𝟏𝟕𝟓

16. Fin
Gracias!!!!!!!!!!!!