Es el avance de calculo III de la universidad autonoma gabriel rene moreno de la asigantura de calculo III, con le ing Rivera, donde se aboradn todos los temas respectos a la materia

1. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
47
𝑳 = −
𝟏
𝟔
4.- lim
𝑧→ ℮
𝟑
𝟐
𝝅 𝒊
(
𝑧2+3z 𝑖−2
𝑧+𝑖
) =?
lim
𝑧→ −𝒊
(
𝑧2
+ 3z 𝑖 − 2
𝑧 + 𝑖
) = lim
𝑧→ −𝒊
[
(−𝑖)2
+ 3(− 𝑖) 𝑖 − 2
(−𝑖) + 𝑖
] = lim
𝑧→ −𝒊
[
−1 + 3 − 2
(−𝑖) + 𝑖
] =
0
0
lim
𝑧→ −𝒊
(𝑧+2𝑖)(𝑧+𝑖)
𝑧+𝑖
= lim
𝑧→ −𝒊
(𝑧 + 2𝑖) = −𝑖 + 2𝑖 = 𝑖 ⟹ 𝑳 = 𝒊
5.- lim
𝑧→ 5℮
𝝅 𝒊
𝟐
(
z 𝑖+5
𝑧2+25
) =?
lim
𝑧→ 5𝒊
(
z 𝑖+5
𝑧2+25
) = lim
𝑧→ 5𝒊
[
(5𝑖) 𝑖+5
(5𝑖)2+25
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
−5+5
−25+25
] =
0
0
lim
𝑧→ 5𝒊
[
z 𝑖+5
z2+25
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
z 𝑖−5𝑖2
z2−52𝑖2] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
z 𝑖−5𝑖2
z2−(5𝑖)2] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖(z −5 𝑖)
(z+5 𝑖)(z −5 𝑖)
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖
(z+5 𝑖)
] =
lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖
(z+5 𝑖)
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖
(5 𝑖+5 𝑖)
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖
10 𝑖
] =
1
10
⟹ 𝑳 =
𝟏
𝟏𝟎
UNIDAD No. 3
DERIVADAS DE FUNCIONES COMPLEJAS
DERIVADAS DE FUNCIONES COMPLEJAS. – Si 𝑓(𝑧) es una función univoca en alguna región R,
del punto z, la derivada de 𝑓(𝑧) está definida por:
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑧→ 0
𝑓(𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧)
∆𝑧
Si el límite existe independientemente de la manera como ∆𝑧 → 0, en tal caso decimos que
𝑓(𝑧) es diferenciable en z.
𝑤 = 𝑓(𝑧)
∆𝑤 = 𝑓(𝑧 + ∆𝑧) − 𝑓(𝑧)
𝑑𝑤
𝑑𝑧
= lim
∆𝑧→ 0
𝑓(𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧)
∆𝑧
= lim
∆𝑧→ 0
∆𝑤
∆𝑧
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA. – Sea z un punto P en el plano z y w su
imagen P’ en el plano w bajo la transformación 𝑤 = 𝑓(𝑧) ya que suponemos que 𝑓(𝑧) es una
función univoca, entonces el punto z es aplicado solo en el punto w.

2. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
48
Plano z Plano w
Figura 1 figura 2
Si incrementamos z en ∆𝑧, obtenemos el punto Q. Este punto tiene como imagen a Q’ en el
plano W. Entonces vemos que P’Q’ representa el complejo ∆𝑊 = 𝑓(𝑧 + ∆𝑧) − 𝑓(𝑧). Se
deduce entonces que la derivada en z (si existe), esta dad por:
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑧→ 0
𝑓(𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧)
∆𝑧
= lim
∆𝑧→ 0
∆𝑤
∆𝑧
= lim
𝑄→ 𝑃
𝑄′𝑃′
𝑄𝑃
Es decir, el límite de la razón Q’P’ a QP, cuando 𝑄 → 𝑃
ECUACIONES DE CAUCHY-RIEMANN. – Una condición necesaria para que 𝑊 = 𝑓(𝑧) =
𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑣(𝑥, 𝑦) 𝑖, sea una función analítica en una región R, es que en R, u y v satisfagan las
condiciones de CAUCHY-RIEMANN.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
Si estas derivadas parciales son continuas en R, entonces las ecuaciones de CAUCHY-
RIEMANN, son condiciones suficientes para que 𝑓(𝑧) sea una función analítica.
INTERPRETACION. -
Plano Z Plano Z Plano Z
Figura 3 Figura 4 Figura 5
Demostrar que una condición necesaria y suficiente para que 𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) +
𝑣(𝑥, 𝑦) 𝑖, sea una función analítica en una región R, es que las ecuaciones de CAUCHY-
U
V
ΔW
W
P'
Q'
X
Y
X
Y
X
Y ΔZ
ΔY
ΔX
X
Y
Z
ΔZ
P
Q

3. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
49
RIEMANN, es decir:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
y
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
, se satisfagan en R, donde se supone que estas
derivadas parciales son continuas en R.
Condición necesaria para que 𝑓(𝑧) sea analítica es que:
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑧→ 0
𝑓(𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧)
∆𝑧
𝑓′(𝑧) = lim
∆(𝑥,𝑦)→ 0
{
[𝑢(𝑥+∆𝑥,𝑦+∆𝑦)+𝑣(𝑥+∆𝑥,𝑦+∆𝑦) 𝑖]−[𝑢(𝑥,𝑦)+𝑣(𝑥,𝑦) 𝑖]
∆𝑥+∆𝑦 𝑖
}
El límite debe existir independientemente de la manera como ∆𝑧 ó (∆𝑥 ∧ ∆𝑦) tiendan a cero.
Para ello consideremos dos aproximaciones posibles.
Caso 1. – Si ∆𝑧 sigue la dirección del eje x, es decir ∆𝑦 = 0 y ∆𝑧 = ∆𝑥, entonces:
𝑓′(𝑧) = lim
∆(𝑥,𝑦)→ 0
{
[𝑢(𝑥+∆𝑥,𝑦+∆𝑦)+𝑣(𝑥+∆𝑥,𝑦+∆𝑦) 𝑖]−[𝑢(𝑥,𝑦)+𝑣(𝑥,𝑦) 𝑖]
∆𝑥+∆𝑦 𝑖
}
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑥→ 0
{
[𝑢(𝑥+∆𝑥,𝑦)+𝑣(𝑥+∆𝑥,𝑦) 𝑖]−[𝑢(𝑥,𝑦)+𝑣(𝑥,𝑦) 𝑖]
∆𝑥
}
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑥→ 0
{[
𝑢(𝑥+∆𝑥,𝑦)−𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑥
] + [
𝑣(𝑥+∆𝑥,𝑦)−𝑣(𝑥,𝑦)
∆𝑥
] 𝑖}
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑥→ 0
[
𝑢(𝑥+∆𝑥,𝑦)−𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑥
] + lim
∆𝑥→ 0
[
𝑣(𝑥+∆𝑥,𝑦)−𝑣(𝑥,𝑦)
∆𝑥
] 𝑖
𝑓′(𝑧) =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑖 …. (1)
Probando que las derivadas parciales existen.
Caso 2. – Si ∆𝑧 sigue la dirección del eje y, es decir ∆𝑥 = 0 y ∆𝑧 = ∆𝑦 𝑖, entonces:
𝑓′(𝑧) = lim
∆(𝑥,𝑦)→ 0
{
[𝑢(𝑥+∆𝑥,𝑦+∆𝑦)+𝑣(𝑥+∆𝑥,𝑦+∆𝑦) 𝑖]−[𝑢(𝑥,𝑦)+𝑣(𝑥,𝑦) 𝑖]
∆𝑥+∆𝑦 𝑖
}
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑦→ 0
{
[𝑢(𝑥,𝑦+∆𝑦)+𝑣(𝑥,𝑦+∆𝑦) 𝑖]−[𝑢(𝑥,𝑦)+𝑣(𝑥,𝑦) 𝑖]
∆𝑦 𝑖
}
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑦→ 0
{[
𝑢(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑦 𝑖
] + [
𝑣(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑣(𝑥,𝑦)
∆𝑦 𝑖
] 𝑖}
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑦→ 0
[
𝑢(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑦 𝑖
] + lim
∆𝑦→ 0
[
𝑣(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑣(𝑥,𝑦)
∆𝑦 𝑖
] 𝑖

4. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
50
𝑓′(𝑧) =
1
𝑖
lim
∆𝑦→ 0
[
𝑢(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑢(𝑥,𝑦)
∆𝑦
] + lim
∆𝑦→ 0
[
𝑣(𝑥,𝑦+∆𝑦)−𝑣(𝑥,𝑦)
∆𝑦
]
𝑓′(𝑧) =
1
𝑖
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑦
⟹ 𝑓′(𝑧) = −
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑖 +
𝜕𝑣
𝜕𝑦
…. (2)
Probando que las derivadas parciales existen.
(1) = (2)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑖 = −
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑖 +
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑖 =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑖
𝝏𝒖
𝝏𝒙
=
𝝏𝒗
𝝏𝒚
∧
𝝏𝒗
𝝏𝒙
= −
𝝏𝒖
𝝏𝒚
Así que la derivada existe y es única, es decir 𝑓(𝑧) es una función analítica en R.
REPRESENTACION CARTESIANA Y POLAR. –
Plano Z 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 𝑖
𝒙 = 𝑹 𝒄𝒐𝒔𝜽 ; 𝒚 = 𝑹 𝒔𝒆𝒏𝜽
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑥
𝑅
⟹ 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑥
√𝑥2+𝑦2
𝒚 = 𝑹 𝒔𝒆𝒏𝜽 ⟹ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑦
𝑅
⟹
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑦
√𝑥2+𝑦2
𝑅 = √𝑥2 + 𝑦2 ⟹
𝜕𝑅
𝜕𝑥
=
𝑥
√𝑥2+𝑦2
;
𝜕𝑅
𝜕𝑦
=
𝑦
√𝑥2+𝑦2
𝜃 = tan−1
(
𝑦
𝑥
) ⟹
𝜕𝜃
𝜕𝑥
= −
𝑦
𝑥2+𝑦2 ;
𝜕𝜃
𝜕𝑦
=
𝑥
𝑥2+𝑦2
𝝏𝒖
𝝏𝒙
=
𝝏𝒗
𝝏𝒚
∧
𝝏𝒖
𝝏𝒚
= −
𝝏𝒗
𝝏𝒙
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗
𝜕𝑅
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗
𝜕𝜃
𝜕𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ (−
𝑦
𝑥2+𝑦2) =
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
) −
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ (
𝑦
𝑥2+𝑦2)
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
) −
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
)(
1
√𝑥2+𝑦2
) =
𝝏𝒖
𝝏𝑹
∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 −
𝟏
𝑹
∗
𝝏𝒖
𝝏𝜽
∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 …….. (1)
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗
𝜕𝑅
𝜕𝑦
+
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗
𝜕𝜃
𝜕𝑦
=
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ (
𝑥
𝑥2+𝑦2) =
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ (
𝑥
𝑥2+𝑦2)
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
)(
1
√𝑥2+𝑦2
) =
𝝏𝒖
𝝏𝑹
∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 +
𝟏
𝑹
∗
𝝏𝒖
𝝏𝜽
∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 …….. (2)
y
x
R
0
P(x
,y
)
x
y

5. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
51
𝜕𝑣
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗
𝜕𝑅
𝜕𝑥
+
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗
𝜕𝜃
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ (−
𝑦
𝑥2+𝑦2) =
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
) −
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ (
𝑦
𝑥2+𝑦2)
𝜕𝑣
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
) −
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
)(
1
√𝑥2+𝑦2
) =
𝝏𝒗
𝝏𝑹
∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 −
𝟏
𝑹
∗
𝝏𝒗
𝝏𝜽
∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 …….. (3)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
=
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗
𝜕𝑅
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗
𝜕𝜃
𝜕𝑦
=
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ (
𝑥
𝑥2+𝑦2) =
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ (
𝑥
𝑥2+𝑦2)
𝜕𝑣
𝜕𝑦
=
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ (
𝑦
√𝑥2+𝑦2
) +
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ (
𝑥
√𝑥2+𝑦2
) (
1
√𝑥2+𝑦2
) =
𝝏𝒗
𝝏𝑹
∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 +
𝟏
𝑹
∗
𝝏𝒗
𝝏𝜽
∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 …….. (4)
Por las ecuaciones de CAUCHY-RIEMANN, tenemos:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
Utilizando las ecuaciones (1) y (4) ⟹ (1) = (4)
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 −
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
(
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
) 𝑐𝑜𝑠𝜃 − (
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 …….. (5)
𝝏𝒖
𝝏𝒚
= −
𝝏𝒗
𝝏𝒙
Utilizando las ecuaciones (2) y (3) ⟹ (2) = −(3)
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = − (
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 −
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = −
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 +
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑢
𝜕𝑅
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 −
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 +
𝜕𝑣
𝜕𝑅
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 +
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0
(
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 + (
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
) 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 …….. (6)
Multiplicamos a la ecua (5) ∗ (𝑐𝑜𝑠𝜃) + (6) ∗ (𝑠𝑒𝑛𝜃)
(
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
) 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 − (
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0
+
(
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
) 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 + (
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
) 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
----------------------------------------------------------------------------------
(
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
) (𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2
𝜃) = 0

6. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
52
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
= 0 ⟹
𝝏𝒖
𝝏𝑹
=
𝟏
𝑹
∗
𝝏𝒗
𝝏𝜽
Multiplicamos a la ecua (5) ∗ (− 𝑠𝑒𝑛𝜃) + (6) ∗ (𝑐𝑜𝑠𝜃)
− (
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + (
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
) 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 = 0
+
(
𝜕𝑢
𝜕𝑅
−
1
𝑅
∗
𝜕𝑣
𝜕𝜃
) 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 + (
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
)𝑐𝑜𝑠2
𝜃 = 0
---------------------------------------------------------------------------------
(
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
) (𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2
𝜃) = 0
𝜕𝑣
𝜕𝑅
+
1
𝑅
∗
𝜕𝑢
𝜕𝜃
= 0 ⟹
𝝏𝒗
𝝏𝑹
= −
𝟏
𝑹
∗
𝝏𝒖
𝝏𝜽
UNIDAD No.4
FUNCIONES ANALITICAS
DEFINICION. – Si la derivada 𝑓′(𝑧), existe en todo punto z de una región R, entonces diremos
que 𝑓(𝑧) es una función analítica en R y nos referimos a ella como una función analítica en R.
Una función 𝑓(𝑧) es llamada analítica en un punto 𝑧0, si existe una vecindad |𝑧 − 𝑧0| < ∆, tal
que, en cada punto de ella 𝑓′(𝑧) exista.
Una condición necesaria para que 𝑊 = 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑣(𝑥, 𝑦) 𝑖, sea una función analítica
en una región R, es que, en R u y v satisfagan las condiciones de CAUCHY-RIEMANN.
𝜕𝑢
𝜕𝑥
=
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= −
𝜕𝑣
𝜕𝑥
Ej: 1. – Demostrar que 𝑊 = 𝑓(𝑧) = 2𝑧2
− 3𝑧 𝑖 es una función analítica.
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 2𝑧2
− 3𝑧 𝑖 ⟹ 𝑊 = 𝑓(𝑧) = 2(𝑥 + 𝑦 𝑖)2
− 3(𝑥 + 𝑦 𝑖) 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 2(𝑥2
+ 2𝑥𝑦 𝑖 − 𝑦2) − 3(𝑥 + 𝑦 𝑖) 𝑖
𝑊 = 𝑓(𝑧) = 2𝑥2
+ 4𝑥𝑦 𝑖 − 2𝑦2
− 3𝑥 𝑖 + 3𝑦
𝑢 + 𝑣 𝑖 = 𝑓(𝑧) = (2𝑥2
− 2𝑦2
+ 3𝑦) + (4𝑥𝑦 − 3𝑥) 𝑖
𝒖 = 𝟐𝒙𝟐
− 𝟐𝒚𝟐
+ 𝟑𝒚