【Unity道場】ゲーム制作に使う数学を学習しよう
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数学が大切とはよく聞くけれど、どのように始めたらいいのかわからない・・そんな方に、数学との付き合い方をお伝えします。特定の分野に限らず、あらゆる職種に必須の概念をピックアップし、数学の利用法を解説していきます。（なお行列、ベクトル、微積分については触れません） このスライドは、2019/7/25開催の「Unity道場 7月」の資料です。
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【Unity道場】ゲーム制作に使う数学を学習しよう
- 3. 10 = 2 10 = 1 2 10 = −2 指数のおさらい ? ? ?
- 4. 指数のおさらい いずれにせよゼロより大きい 10010 = 2 10 = 1 2 10 = 10 1 100 −2
- 6. y x = siny x
- 8. f( ) = sin = siny x xx
- 9. ってなんなの 入力と出力が明らか = siny x y f( ) = sinxx
- 10. 入力 出力 x f( )x f( ) = sinxx
- 11. 入力 出力 突然この値が欲しい 例１ x f( )x f( ) = sinxx
- 12. 入力 出力 単純な増加（等間隔など） でしか入力を得られない ・・・ 例２ x f( ) = sinxx f( )x
- 13. プログレスバーの工夫 動画
- 14. 1 1 x f( ) = 2x x
- 15. プログレスバーの工夫 f( ) =x x f( ) = 2x x 動画
- 16. 逆関数 f( ) = f−1 ( ) = ? 2x x x
- 17. 逆関数 (x > 0) y x= 2 yx =
- 18. 逆関数 y x= 2 yx = f( ) = f−1 ( ) = 2x x x x
- 19. 逆関数 = sin = ??? y x x
- 20. 逆関数 = sin−1 = arcsin = asin x y x x y y = siny x
- 21. 逆関数 f−1 ( ) = asin f( ) = sin= siny x = asinx y x x x x
- 22. 逆関数 f( ) = sin y x x x
- 23. 逆関数 y x x xf( ) = sin
- 24. f(x) = asin(x) 逆関数 x x xf( ) = sin
- 25. 逆関数 1 -1 f(x) = asin(x) x x xf( ) = sin
- 27. Part 2 式の読みかた
- 29. ϵ0 ∮ E ⋅ dA = Σq ∮ B ⋅ ds = μ0 ∫ J ⋅ dA + μ0ϵ0 d dt ∫ E ⋅ dA ∮ E ⋅ ds = − d dt ∫ B ⋅ dA ∮ B ⋅ dA = 0
- 30. 足し算と引き算は似たようなもの a b = c+ がどこかで定義されてる以上、 ＋もーもその定義次第 b a b = c−
- 32. ab + cd e = fg 掛け算 割り算 足し算 引き算 と には境界がある カタマリは混ざらない
- 35. 足し算と引き算と等号は似たようなもの a b c+ 等号で結ばれているものは結局 足し算や引き算で結ばれている = a b c 0+ − =
- 37. 掛け算か割り算かは カタマリに対する影響を示す ab + cd e = fg d eが増えれば増える が増えれば減る
- 38. f( ) 例えば だけが変化するなら の値は 固定値はどれか？ ab + c e = d という関数に従う d fg fg = ab + c e x x
- 39. 電流 が増加すれば ∮ B ⋅ ds = μ0 ∫ J ⋅ dA + μ0ϵ0 d dt ∫ E ⋅ dA 磁束密度 が増加する・・・っぽい？B J 少しは読める（？）
- 40. 漸化式 = f( ) ひとつ前の値が式の中にある ・ は自然数が基本n 例 an+1 an a0= 0 ・初期値がある = + 2 + 1an+1 an n
- 41. 漸化式はプログラミングでおなじみ = + 1 int a = 0; void Update() { a += 1; } an+1 an
- 42. = + 2× +1 = + = = + 2 + 1an+1 an a0= 0 ・・・ 1 3 5 1 4 9 n a1 a0 0 a0 = + 2× +1 = + =a2 a1 1 a1 = + 2× +1 = + =a3 a2 2 a2
- 43. 一般項（前回の値を使わない式） = + 2× +1 = + = = + 2 + 1an+1 an a0= 0 ・・・ 1 3 5 = 1 4 9 n2an n a1 a0 0 a0 = + 2× +1 = + =a2 a1 1 a1 = + 2× +1 = + =a3 a2 2 a2
- 44. = + 2× +1 = + = = + 2 + 1an+1 an a0= 0 ・・・ 1 3 5 1 4 9 n a1 a0 0 a0 = + 2× +1 = + =a2 a1 a1 = + 2× +1 = + =a3 a2 2 a2 1 =n2an
- 46. Part 3 対数
- 47. 指数関数 f( ) = ≥ 0x xa a
- 48. > 1 1 x f( ) =x xa a
- 49. 指数関数の逆関数 = f( ) =x xa xay = ?x
- 50. 指数関数の逆関数 = f( ) =x xa xay = log yax
- 51. 指数関数の逆関数 = log = f( ) =x xa xay x ya f−1 ( ) = logaxx
- 52. 対数 1 x f( ) = logaxx > 1a f( ) =x xa
- 53. ablog の何乗が なのかab
- 54. ablog の何乗が なのかab 162log = 4 10010log = 2 10100log = 1 2 1 2 = =100 100 10
- 55. 底の交換 log = log log 超便利公式 log 底 を別の底 にしたいa b a a a b b x x x
- 56. 底の交換 log = log log = 1 2 log 公式より log 底 を別の底 にしたい4 2 4 4 42 2 2 = 2 x x x x
- 57. 対数のキモ log = log 交換したい底が定数なら 定数倍になる 4 2 底はどうでもいい あとで定数倍して調整可能 xx 1 2
- 59. と は比例関係にあるa b log = 3.321928094887362 log = 0.301029995663981 ざっくり言えば３倍と1/3倍の関係 32bitは232なので10進数だと10桁程度 =a b 2 10 210 10 2
- 60. あ い う え お ま み む め も や ゆ か き く け こ ら り る れ ろ よ わ さ し す せ そ が ぎ ぐ げ ご た ち つ て と ざ じ ず ぜ ぞ な に ぬ ね の ば び ぶ べ ぼ は ひ ふ へ ほ ぱ ぴ ぷ ぺ ぽ 文字64種、52文字で表現できるバイト数は？ 1byte(256種)は256進数 例：4byteで の情報量2564
- 61. 1byte(256種)は256進数 例：4byteで の情報量2564 64進数の数値を256進数で表現すると何桁か？ 文字64種、52文字で表現できるバイト数は？ あ い う え お ま み む め も や ゆ か き く け こ ら り る れ ろ よ わ さ し す せ そ が ぎ ぐ げ ご た ち つ て と ざ じ ず ぜ ぞ な に ぬ ね の ば び ぶ べ ぼ は ひ ふ へ ほ ぱ ぴ ぷ ぺ ぽ
- 62. log256 64 = 3 4 52 × 3 4 = 39文字 bytes 文字64種、52文字で表現できるバイト数は？ あ い う え お ま み む め も や ゆ か き く け こ ら り る れ ろ よ わ さ し す せ そ が ぎ ぐ げ ご た ち つ て と ざ じ ず ぜ ぞ な に ぬ ね の ば び ぶ べ ぼ は ひ ふ へ ほ ぱ ぴ ぷ ぺ ぽ
- 64. Part 4 浮動小数点数
- 65. 問題
- 66. 問題 float a = 1f; Debug.Log(a); Consoleに出力されるのは？
- 67. 問題 float a = 1f; Debug.Log(a); Consoleに出力されるのは？ 正解 1
- 68. 問題 float a = 1/3; Debug.Log(a); Consoleに出力されるのは？
- 69. 問題 Consoleに出力されるのは？ 正解 0 float a = 1f/3f; で0.33333になる float a = 1/3; Debug.Log(a);
- 70. 問題 float a = 3e-1f; Debug.Log(a); Consoleに出力されるのは？
- 71. 問題 Consoleに出力されるのは？ 正解 0.3 float a = 3e-1f; Debug.Log(a);
- 72. float a = 3e-1f; 3 10−1 0.3 ×
- 73. 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits)
- 74. 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits) ×2（仮数部） （指数部） ±
- 75. 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits) ×2（仮数部+1.0） （指数部-127） ±
- 76. 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits) 指数部 [-126, 127] 2 = 1.701411834604692 38127 e
- 77. 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits) 2 = 1.175494350822288 − 38 超絶広い 指数部 [-126, 127] 127 −126 2 = 1.701411834604692 38e e
- 78. 億 おく １０８ 兆 ちょう １０１２ 京 けい １０１６ 垓 がい １０２０ 𥝱 じょ １０２４ 穣 じょう １０２８ 溝 こう １０３２ 澗 かん １０３６ 正 せい １０４０ 127 2 = 1.701411834604692 38e
- 79. 億 おく １０８ 兆 ちょう １０１２ 京 けい １０１６ 垓 がい １０２０ 𥝱 じょ １０２４ 穣 じょう １０２８ 溝 こう １０３２ 澗 かん １０３６ 正 せい １０４０ 涅槃寂静(ねはんじゃくじょう) 10−24 ℏ = 1.054571817e − 34ディラック定数 127 2 = 1.701411834604692 38e 2 = 1.175494350822288 − 38 −126 e
- 80. 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits) 仮数 23bits ここに限界がある 大きな数値の小さな桁がヤバイ 例：10000000.00000001
- 82. 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits) 1.00000011920928955078125 ７桁 2−23 = ( 1 2 )23 = 0.00000011920928955078125
- 83. 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 符号 指数部(8bits) 仮数部(23bits) 1.00000011920928955078125 ７桁 log10 2 = 0.301029995663981 ２進数の23桁は10進数の6.9桁 23 × log10 2 = 6.923689900271563
- 84. 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10.00000095367431640625 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 100.00000762939453125 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1000.00006103515625 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10000.0009765625
- 85. 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10.00000095367431640625 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 100.00000762939453125 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1000.00006103515625 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 10000.0009765625 原点から10km離れた地点では 約1mmの分解能が限界
- 86. 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 86400.0078125 60秒×60分×24時間＝86400 7.8125ミリ秒が限界 16.6666ミリ秒を加算しても 15.625ミリ秒しか加算されない time += Time.deltaTime; 24時間後には・・・
- 87. 動画
- 88. 動画
- 91. Part 5 RPGで数列
- 97. = × 1.510 N 等比数列 =10 = =Nn N 1 2 15 −1n 初項10・公比1.5
- 98. N 等比数列 = 初項 ・公比 I = = −1 N aI n n N 1 2 Ia I a
- 99. レベル１ レベル２ 100 レベル３ 150 レベル31 レベル32 1917511 レベル33 2876266 1.5倍 1.5倍 100 25 等比数列の和累積経験値は？
- 100. 等比数列 − 1 −1 = ∑ k=1 k−1 =Mn 等比数列の和： = −1 N aI n n 初項 ・公比I a I n a I an a （公式より）
- 101. 表1 レベル レベルアップ経験値 累積レベルアップ経験値 1 0 0 2 10 10 3 15 25 4 23 48 5 34 81 6 51 132 7 76 208 8 114 322 9 171 493 10 256 749 11 384 1133 12 577 1710 13 865 2575 14 1297 3872 15 1946 5819 … … … 38 21841644 65524912 39 32762466 98287378 40 49143699 147431078 初項10・公比1.5
- 102. 等比数列 = ∑ k=1 k−1 =Mn 等比数列の和： = −1 N aI n n 初項 ・公比I a I n a I − 1 −1 an a
- 103. x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)
- 104. x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1)
- 105. = ( )( )xn − 1 x − 1 xn−1 + . . . + x2 + x + 1 x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1)
- 106. = ( )( ) = xn − 1 x − 1 xn−1 + . . . + x2 + x + 1 xn − 1 x − 1xn−1 + . . . + x2 + x + 1
- 107. n ∑ k=1 xk−1 = ( )( ) = xn − 1 x − 1 xn−1 + . . . + x2 + x + 1 xn − 1 x − 1xn−1 + . . . + x2 + x + 1 = xn − 1 x − 1
- 108. 等比数列 = ∑ k=1 k−1 =Mn 等比数列の和： = −1 N aI n n 初項 ・公比I a I n a I − 1 −1 an a
- 109. = I a − 1 a − 1 経験値からレベルを逆算 Mn n = ?n
- 110. 経験値からレベルを逆算 (a − 1) = I(a − 1) a = I (a − 1) + 1 = loga{ I (a − 1) + 1} = I a − 1 a − 1 Mn n Mn n Mnn n Mn
- 112. Part 6 easing解析
- 113. 動画
- 114. p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f);
- 115. p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f); p = Vector2.Lerp(p, T, 0.1f); p = Vector3.Lerp(p, T, 0.1f);
- 116. a b (1− ) + Lerp (Linear Interpolation) 線形補間 のとき に一致 b a のとき に一致 = 0 = 1 a bt t t t
- 117. float Lerp(float a, float b, float t) { return (1f - t)*a + t*b; } void Update() { p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f); } ※最適化の余地あり
- 118. p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f); 漸化式 p = func(n, T, 0.1f); 一般項 = (1− ) + f pn+1 0.1pn T0.1 = ( )pn n
- 119. の一般項を求めよ。ただし とする。= 0 問題 T, を定数とし、漸化式 = (1− ) +pn+1 pn Tα α p0 α
- 120. = (1− ) +α Tpn+1 pn α
- 121. = (1− ) + を満たす を考える = (1− ) + s α Tpn+1 pn α Tss α α
- 122. = (1− ) + を満たす を考える − = ( − )(1− ) = (1− ) + s α Tpn+1 pn α Tss pn+1 s pn s α α α ２式の差を取って
- 123. = (1− ) + を満たす を考える − = ( − )(1− ) = − = (1− ) とおくと = (1− ) + s α Tpn+1 pn α Tss pn+1 s pn s α qn pn sqn+1 qn α α α ２式の差を取って
- 124. = (1− ) + を満たす を考える − = ( − )(1− ) = − = (1− ) とおくと = (1− ) + s = − = − = − (1− ) α Tpn+1 pn α Tss pn+1 s pn s α qn pn sqn+1 qn q0 p0 s s qn s α α α α ２式の差を取って の等比数列なので 初項 n
- 125. = (1− ) + を満たす を考える − = ( − )(1− ) = − = (1− ) とおくと = (1− ) + s = − = − = − (1− ) α Tpn+1 pn α Tss pn+1 s pn s α qn pn sqn+1 qn q0 p0 s s qn s α α α α − = − (1− )pn s s α ２式の差を取って の等比数列なので = − よりqn pn s 初項 n n
- 126. = (1− ) + を満たす を考える − = ( − )(1− ) = − = (1− ) とおくと = (1− ) + s = − = − = − (1− ) = α Tpn+1 pn α Tss pn+1 s pn s α qn pn sqn+1 qn q0 p0 s s qn s α α s T α α − = − (1− ) − = − (1− ) pn s s α pn T T α ２式の差を取って の等比数列なので = − よりqn pn s 初項 より n n n
- 127. = (1− ) + を満たす を考える − = ( − )(1− ) = − = (1− ) とおくと = (1− ) + s = − = − = − (1− ) = = {1 − (1− ) } α Tpn+1 pn α Tss pn+1 s pn s α qn pn sqn+1 qn q0 p0 s s qn s α α s T α α − = − (1− ) − = − (1− ) pn s s α pn T T α pn T α ２式の差を取って の等比数列なので = − よりqn pn s 初項 より n n n n
- 128. = {1 − (1− ) }pn T α T n 60 n
- 129. 動的なターゲット変更 動画
- 130. Lerpの係数を一般化したい void Update() { p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f); } 60fps版 void Update() { p = Mathf.Lerp(p, T, ？); } 30fps版
- 131. 60fpsのときの係数を とするα 一般項 １秒後 30fpsのときの係数を とするβ １秒後 = {1 − (1− ) }pn T α = {1 − (1− ) }p60 T α = {1 − (1− ) }q30 T β n 60 30
- 132. (1− ) = (1− ) (1− ) = (1− ) = 1 − (1− ) 1 − = (1− ) 一般化して α β α β αβ β α n m フレームレートの比 の関数をゲット 3060 n m n m n m
- 133. 60fps版 void Update() { p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f); }
- 134. 60fps版 void Update() { p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f); } void Update() { var beta = 1f - Mathf.Pow(1f-0.1f, 60f/30f); p = Mathf.Lerp(p, T, beta); } 30fps版
- 135. 60fps版 void Update() { p = Mathf.Lerp(p, T, 0.1f); } void Update() { var beta = 1f - Mathf.Pow(1f-0.1f, 60f/30f); p = Mathf.Lerp(p, T, beta); } 30fps版 void Update() { var beta = 1f - Mathf.Pow(1f-0.1f, 60f*Time.deltaTime); p = Mathf.Lerp(p, T, beta); } 汎用版
- 136. 結果 60fps 30fps 動画
- 138. Part 7 複素数
- 139. 虚数単位 i
- 140. 虚数単位 2 = − 1 意味不明 = −1i i
- 141. 複素数 実部 + = + 虚部 複素数 z a bi a biz
- 142. + = ( + ) + ( + ) = +z0 a0 b0 = +z1 a1 b1 z0 z1 a0 a1 b0 b1 i i i 足し算
- 143. + = ( + ) + ( + ) = + = ( + )( + ) = + + + = ( − ) + ( + ) 足し算 掛け算 z0 a0 b0 = +z1 a1 b1 z0 z1 a0 a1 b0 b1 i i i z0z1 a0 a1b0i b1i a0a1 a0i b1 ia1b0 i b1b0 a0a1 b1b0 a0b1 a1b0 2 i
- 144. public class Complex { float re; float im; 複素数の実装
- 145. public class Complex { float re; float im; static Complex Add(Complex z0, Complex z1) { return new Complex() { re = z0.re + z1.re, im = z0.im + z1.im, }; } 複素数の足し算の実装
- 146. public class Complex { float re; float im; static Complex Mul(Complex z0, Complex z1) { return new Complex() { re = z0.re*z1.re - z0.im*z1.im, im = z0.re*z1.im + z0.im*z1.re, }; } 複素数の掛け算の実装
- 147. public class Complex { float re; float im; static Complex Mul(Complex z0, Complex z1) { return new Complex() { re = z0.re*z1.re - z0.im*z1.im, im = z0.re*z1.im + z0.im*z1.re, }; } 複素数の掛け算の実装 iは登場しない！ 「作用」と考える
- 149. 実軸 虚軸 z1 〜足し算〜 = +z0 a0 b0i
- 150. z0 実軸 虚軸〜足し算〜 z1
- 152. 実軸 虚軸 z0 〜掛け算〜 z1
- 159. var z = new Complex(1f, 0f); [repeat] z += z * new Complex(0.01f, 0.25f); 極小コードでジェネラティブアート
- 160. マンデルブロ集合（Mandelbrot set) , は複素数zn c zn+1 zn c= +2
- 161. マンデルブロ集合（Mandelbrot set) = 0 によって発散したり収束したりする zn+1 zn c= +2 z0 c , は複素数zn c
- 164. int mandelblot(Complex c) { var z = new Complex(0f, 0f); int cnt = 0; for (var i = 0; i < 100; ++i) { z = z * z + c; if (z.sqrMagnitude() > 100f) return cnt; ++cnt; } return 0; } zn+1 zn c= +2 動画
- 165. Part 8 複素数列
- 167. 番号を振る
- 168. 複素平面 実軸 虚軸
- 169. 複素平面 実軸 虚軸 2 + 2i −i f(13) = 2 + 2i f(6) = − i ・・・
- 171. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 第1群 第2群 第3群 1項 2項x4 4項x4 群数列で考える
- 172. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 第1群 第2群 第3群 1項 2項x4 4項x4 第15項は第３群の 15-9=6番目 群の中で何番目なのか
- 173. l t r=0 r=1 r=2 r=3
- 175. １ 2-i 3-2i 実軸 虚軸
- 176. 90度 90度
- 178. an = [N − 1] + [( 2 − N + (n − (2N − 3)2 − 1)) mod 2(N − 1) ] i ifloor( n − (2N − 3)2 − 1 2(N − 1) ) N = ceil( n + 1 2 )ただし 結果
- 179. 動画
- 182. 1 8 9 第1群 1項 2 3 4 5 6 7 第2群 1項x6 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2項x6 第3群 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 第4群 3項x6
- 183. an = s + td d = (1 2 + 3 2 i)r+1 s = (N − 1)(1 2 + 3 2 i)r t = m mod l r = floor( m l ) m = n − 3N2 + 9N − 8 l = N − 1 N = ceil(1 2 + 3 6 4n − 1) ただし 結果
- 184. 動画
- 186. おしまい