1. SÔÛ GD & ÑT ÑOÀNG THAÙP ÑEÀ THI THÖÛ ÑAÏI HOÏC NAÊM 2012- LAÀN 2
THPT Chuyeân Nguyeãn Quang Dieâu Moân TOAÙN- khoái A+B
Thôøi gian laøm baøi 180 phuùt, khoâng keå thôøi gian phaùt ñeà
I. PHAÀN CHUNG CHO TAÁT CAÛ THÍ SINH (7,0 ñieåm)
Caâu I. (2,0 ñieåm) Cho haøm soá y = x 4 − 2(m + 1)x2 + m (1), m laø tham soá.
1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1) khi m = 1.
2. Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) coù ba ñieåm cöïc trò vaø tam giaùc taïo bôûi 3 ñieåm cöïc trò naøy coù dieän tích baèng 32.
Caâu II. (2,0 ñieåm)
(1 − 2sin x)cos x
1. Giaûi phöông trình = 3⋅
(1 + 2sin x)(1 − sin x)

(23 − 3x) 7 − x + (3y − 20) 6 − y = 0
2. Giaûi heä phöông trình  ⋅

 2x + y + 2 − −3x + 2y + 8 + 3x 2 − 14x − 8 = 0
π
2
3 sin x + 4 cos x
Caâu III. (1,0 ñieåm) Tính tích phaân I = ∫ 3 sin2 x + 4 cos2 x dx.
0
Caâu IV. (1,0 ñieåm) Cho töù dieän ABCD coù ba caïnh AB, BC, CD ñoâi moät vuoâng goùc vôùi nhau, AB = BC = CD = a. Goïi
C′ vaø D′ laàn löôït laø hình chieáu cuûa ñieåm B treân AC vaø AD. Tính theå tích töù dieän ABC′D′.
Caâu V. (1,0 ñieåm) Cho caùc soá thöïc khoâng aâm x, y, z thoûa maõn x 2 + y 2 + z2 = 3. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc
5
P = xy + yz + zx + ⋅
x+y+z
II. PHAÀN RIEÂNG (3,0 ñieåm) Thí sinh chæ ñöôïc laøm moät trong hai phaàn (phaàn A hoaëc phaàn B)
A. Theo chöông trình Chuaån
Caâu VIa. (2,0 ñieåm)
1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy, cho tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A(1; 2). Vieát phöông trình ñöôøng troøn (T)
ngoaïi tieáp tam giaùc ABC bieát ñöôøng thaúng d: x − y − 1 = 0 laø tieáp tuyeán cuûa (T) taïi ñieåm B.
x −1 y −1 z + 2
2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho ñöôøng thaúng ∆: = = vaø maët phaúng
3 2 1
(α): 2x + y + z − 1 = 0. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆′ ñoái xöùng vôùi ∆ qua maët phaúng (α).
1 1 1 1023
Caâu VIIa. (1,0 ñieåm) Tìm soá nguyeân döông n thoûa maõn ñaúng thöùc : C0 + C1 + C2 + ⋅ ⋅⋅ + Cn = ⋅
n
2 n
3 n
n +1 n
10
k
( Cn laø soá toå hôïp chaäp k cuûa n phaàn töû).
B. Theo chöông trình Naâng cao
Caâu VIb. (2,0 ñieåm)
1. Trong maët phaúng vôùi heä toïa ñoä Oxy. Tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùc bieát AB = 5, C(−1; −1), ñöôøng thaúng
AB: x + 2y − 3 = 0 vaø troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC thuoäc ñöôøng thaúng d: x + y − 2 = 0.
2. Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä Oxyz, cho maët phaúng (P): 2x + y − z = 0 vaø hai ñöôøng thaúng
x−4 y z x−6 y z+2
d1: = = ; d2 : = = ⋅ Tìm ñieåm M treân maët phaúng (P), ñieåm N treân ñöôøng thaúng d1 sao cho
1 1 −3 1 2 2
M vaø N ñoái xöùng nhau qua ñöôøng thaúng d 2 . Laäp phöông trình ñöôøng thaúng d ñi qua M, vuoâng goùc vôùi d1 vaø
taïo vôùi maët phaúng (P) moät goùc 30o.
( )
Caâu VIIb. (1,0 ñieåm) Giaûi baát phöông trình 5x + 6x2 + x3 − x 4 log2 x > x2 − x log2 x + 5 + 5 6 + x − x2 .
Giaùo vieân ra ñeà .PH M TR NG THƯ -1-
Cảm ơn thầy Huỳnh Chí Hào ( chủ diễn đàn http://boxmath.vn đã gửi tới www.laisac.page.tl

2. Caâu Ñaùp aùn Ñieåm
I 1. (1,0 ñieåm) Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá (1)…
(2,0ñieåm)
Khi m = 1 , ta coù y = x 4 − 4x2 + 1.
• Taäp xaùc ñònh: D = ℝ.
• Söï bieán thieân: 0,25
x = 0
- Chieàu bieán thieân: y′ = 4x3 − 8x; y′ = 0 ⇔ 
x = ± 2

- Haøm soá ñoàng bieán treân caùc khoaûng (− 2 ; 0), ( 2 ; + ∞ ).
- Haøm soá nghòch bieán treân caùc khoaûng (−∞ ; − 2),(0; 2).
0,25
- Cöïc trò: Haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = ± 2 , yCT = −3, ñaït cöïc ñaïi taïi x = 0, y CÑ = 1.
- Giôùi haïn: lim y = lim y = +∞.
x→−∞ x →+∞
- Baûng bieán thieân:
x −∞ − 2 0 2 +∞
y′ − 0 + 0 − 0 +
0,25
+∞ 1 +∞
y
−3 −3
y
• Ñoà thò
1
− 2 2
−2 O 2 x 0,25
−3
2. (1,0 ñieåm) Tìm m ñeå ñoà thò haøm soá (1) coù ba ñieåm cöïc trò vaø tam giaùc taïo…
Ta coù y′(x) = 4x3 − 4(m + 1)x = 4x(x 2 − m − 1);
0,25
y′(x) = 0 ⇔ x = 0 hoaëc x2 = m + 1 (1).
Ñoà thò haøm soá coù ba ñieåm cöïc trò, khi vaø chæ khi (1) coù hai nghieäm phaân bieät khaùc 0
0,25
⇔ m > −1 (*). Khi ñoù: A(0 ; m), B(− m + 1 ; − m 2 − m − 1), C( m + 1 ; − m 2 − m − 1).
Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC ⇒ H(0; − m 2 − m − 1)
1 0,25
Ta coù SABC = AH.BC = (m + 1)2 m + 1
2
( )
5
Theo giaû thieát SABC = 32 ⇔ m +1 = 32 ⇔ m + 1 = 2 ⇔ m = 3 (nhaän thoûa (*)). 0,25
II 1. (1,0 ñieåm) Giaûi phöông trình…
(2,0 ñieåm)  1
sin x ≠ −
Ñieàu kieän  2 (*). 0,25
sin x ≠ 1

Vôùi ñieàu kieän (*), phöông trình ñaõ cho töông ñöông
cos x − 2sin x cos x = 3(1 − sin x + 2sin x − 2sin2 x)
0,25
⇔ cos x − sin 2x = 3 + 3 sin x − 2 3 sin 2 x
⇔ sin 2x + 3(1 − 2sin2 x) = − 3sinx + cos x
Giaùo vieân ra ñeà .PH M TR NG THƯ -2-

3. 1 3 3 1  π  5π 
⇔ sin 2x + cos2x = − sinx + cos x ⇔ sin  2x +  = sin  x + 
2 2 2 2  3  6 
 π 5π  π
 2x + = x + + k2π  x = + k2π
0,25
⇔ 3 6 ⇔ 2 (k ∈ ℤ).
 π 5π  π k2π
 2x + 3 = π − x − 6 + k2π
  x = − 18 + 3

π k2π
Keát hôïp vôùi (*), ta suy ra nghieäm cuûa PT ñaõ cho laø x = − + , k ∈ ℤ. 0,25
18 3
2. (1,0 ñieåm) Giaûi heä phöông trình…
Đi u ki n x ≤ 7; y ≤ 6; 2x + y + 2 ≥ 0; − 3x + 2y + 8 ≥ 0 (*) 0,25
PT th nh t c a h có th vi t l i dư i d ng [3(7 − x) + 2)] 7 − x = [3(6 − y) + 2] 6 − y (1)
3t + 2
Xét hàm s f (t ) = (3t + 2) t , t ≥ 0 , ta có f ′( t ) = 3 t +
> 0, ∀t > 0 nên hàm s ñ ng bi n 0,25
2 t
khi t ≥ 0 .T (3) có f (7 − x) = f (6 − y), suy ra 7 − x = 6 − y ⇔ y = x − 1.
Thay vào PT th hai c a h ta ñư c 3x + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14x − 8 = 0 (2)
1
Gi i (2), ñi u ki n − ≤ x ≤ 6 (**)
3
( ) (
PT (4) ñư c vi t l i dư i d ng 3x + 1 − 4 + 1 − 6 − x + 3x 2 − 14x − 5 = 0 )
3x − 15 x−5 0,25
⇔ + + ( x − 5)(3x + 1) = 0
3x + 1 + 4 1 + 6 − x
 3 1 
⇔ (x − 5)  + + 3x + 1 = 0 ⇔ x = 5. T ñó suy ra y = 4.
 3x + 1 + 4 1 + 6 − x 
>0
K t h p ñi u ki n (*) và (**) ta ñư c HPT ñã cho có nghi m là (x; y) = (5; 4). 0,25
III Tính tích phaân
(1,0 ñieåm) π π
2 2
3 sin x 4 cos x
I= ∫ 3 sin2 x + 4 cos2 x dx + ∫ 3 sin2 x + 4 cos2 x dx
0 0
π
2
3 sin x
Tính I1 = ∫ dx 0,25
0 3 sin x + 4 cos2 x
2
Ñaët t = cosx ⇒ dt = −sinxdx. Khi ñoù:
π
2 0 1
3 sin x 3dt dt
I1 = ∫ 3 + cos2 x dx = − ∫ = 3∫
1 3+ t 0 3+ t
2 2
0
π π
π
3 6
3 6
π 3
Ñaët t = 3tanu ⇒ dt = du. Khi ñoù I1 = 3 ∫ du = 3 ∫ du = 3u 6 = 0,25
cos2 u  3  6
0 cos2 u.  0
2 
0
 cos u 
π
2
4 cos x
Tính I 2 = ∫ dx
0 3 sin 2 x + 4 cos2 x 0,25
Ñaët t = sinx ⇒ dt = cosxdx. Khi ñoù:
Giaùo vieân ra ñeà .PH M TR NG THƯ -3-

4. π
2 1
4 cos x dt
I2 = ∫ 4 − sin2 x dx = 4 ∫
0 4−t
2
0
1 1 1
(2 − t) + (2 + t) dt dt 2+t 1
=∫ dt = ∫ +∫ = ln = ln 3
0
(2 − t)(2 + t) 0
2+t 02−t 2−t 0
0,25
π 3
Vaäy I = + ln 3.
6
IV Tính theå tích töù dieän ABC’D’
(1,0 ñieåm) CD ⊥ BC
Vì  neân CD ⊥ (ABC) vaø do ñoù (ABC) ⊥ (ACD) .
CD ⊥ AB
Vì BC′ ⊥ AC neân BC′ ⊥ (ACD). A
D′
0,25
C′
B D
a
C
Theå tích töù dieän ABC′D′:
1 1 1 CD 0,25
VABC′D′ = ⋅ BC′.SAC′D′ = ⋅ BC′.AC′.AD′sinCAD = ⋅ BC′.AC′.AD′. ⋅
3 6 6 AD
a 2
Vì tam giaùc ABC vuoâng caân taïi B neân AC′ = CC′ = BC′ = ⋅
2
Ta coù AD2 = AB2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 = 3a2 neân AD = a 3. 0,25
2
AB a
Vì BD′ laø ñöôøng cao cuûa tam giaùc vuoâng ABD neân AD′.AD = AB2 ⇒ AD′ = = ⋅
AD 3
2
1 a 2  a a a3
Vaäy VABC′D′ = ⋅  ⋅ ⋅ = (ñvtt). 0,25
6  2 
  3 a 3 36
V Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa P
(1,0 ñieåm) t2 − 3
Ñaët t = x + y + z ⇒ t 2 = 3 + 2(xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx = 0,25
2
Ta coù 0 ≤ xy + yz + zx ≤ x 2 + y2 + z 2 = 3 neân 3 ≤ t 2 ≤ 9 ⇒ 3 ≤ t ≤ 3 0,25
t2 − 3 5 t2 5 3
Khi ñoù P = + ⋅ Xeùt haøm soá f(t) = + − , t ∈  3; 3
2 t 2 t 2  
5 t3 − 5
Ta coù f ′(t) = t − = > 0 vì t ≥ 3. 0,25
t2 t2
14
Suy ra f(t) ñoàng bieán treân  3; 3 . Do ñoù f(t) ≤ f(3) = ⋅
  3
Giaùo vieân ra ñeà .PH M TR NG THƯ -4-

5. 14
xaûy ra khi t = 3 hay x = y = z = 1.
Vaäy giaù trò lôùn nhaát cuûa P laø 0,25
3
VIa 1. (1,0 ñieåm) Vieát phöông trình ñöôøng troøn (T) ngoaïi tieáp tam giaùc ABC
(2,0 ñieåm) Goïi I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC, ta coù tam giaùc ABC vuoâng caân taïi
A neân I laø trung ñieåm cuûa BC vaø AI // d.
C Ñöôøng thaúng AI coù phöông trình laø
1(x − 1) − 1(y − 2) = 0 ⇔ x − y + 1 = 0
d
I
0,25
A
B
Hình minh hoïa
Vì I ∈ AI ⇒ I(t; t + 1), t ∈ ℝ
0,25
Ta coù AI = (t − 1; t − 1) neân R = AI = 2(t − 1)2
t − (t + 1) − 1 t = 0
Maët khaùc R = d(I;d) ⇔ 2(t − 1)2 = ⇔ 2(t − 1)2 = 2 ⇔ t − 1 = 1 ⇔  0,25
12 + 12 t = 2
Vôùi t = 0 ta tìm ñöôïc phöông trình ñöôøng troøn (T) laø x 2 + (y − 1)2 = 2 .
0,25
Vôùi t = 2 ta tìm ñöôïc phöông trình ñöôøng troøn (T) laø (x − 2)2 + (y − 3)2 = 2.
2. (1,0 ñieåm) Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ∆′ ñoái xöùng vôùi ∆ qua maët phaúng (α).
Ta thaáy ngay ∆ caét (α) taïi ñieåm A vaø toïa ñoä A laø nghieäm cuûa heä:
x −1 y −1 z + 2
 = = 0,25
 3 2 1 ⇒ A(1; 1; − 2).
2x + y + z − 1 = 0.

Ta choïn ñieåm M(4; 3; − 1) ∈ ∆
Goïi H laø hình chieáu cuûa M treân (α), toïa ñoä cuûa H laø nghieäm cuûa heä:
x − 4 y − 3 z +1 0,25
 = =  3 5
 2 1 1 ⇒ H  1; ; −  ⋅
2x + y + z − 1 = 0.  2 2

 x M′ + x M = 2

Goïi M′ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa M qua (α) ta coù  y M′ + y M = 3 ⇒ M′(−2; 0; − 4) 0,25
z + z = −5
 M′ M
Vaäy phöông trình ñöôøng thaúng caàn tìm chính laø ñöôøng thaúng qua A, M′ laø:
x −1 y −1 z + 2 0,25
= = ⋅
3 1 2
VIIa Tìm soá nguyeân döông n
(1,0 ñieåm) n
Ta coù (1 + x)n = ∑ Cn x k
k
0,25
k =0
Giaùo vieân ra ñeà .PH M TR NG THƯ -5-

6. 1 1 n  n 1 n k +1 1 n
k x 1 k
⇒ ∫ (1 + x)n dx = ∫  ∑ Cn x k  dx = ∑ ∫ Cn x k dx = ∑ Cn
k k
=∑ C
  k + 1 0 k =0 k + 1 n
0 0 k =0  k =0 0 k =0
(1 + x)n +1 1 2n +1 − 1
1
Maø ∫ (1 + x)n dx = =
0
n +1 0 n +1
1 1 1 2n +1 − 1 0,25
Do ñoù C0 + C1 + C2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn =
n
2 n
3 n
n +1 n
n +1
1 1 1 1023 2n +1 − 1 1023
Theo giaû thieát C0 + C1 + C2 + ⋅ ⋅ ⋅ + Cn = ⇔ = (*)
n
2 n
3 n
n +1 n
10 n +1 10
2t − 1 2t 1 (2t ln 2)t − 2t 1 2t (t ln 2 − 1) 1
Xeùt haøm soá f(t) = = − (vôùi t ≥ 2) ; f ′(t) = + = +
t t t t2 t2 t2 t2
0,25
Vôùi t ≥ 2 ⇒ tln2 − 1 ≥ 2ln2 − 1 > 0 ⇒ f ′(t) > 0
Suy ra f(t) ñoàng bieán treân [2; + ∞).
Do ñoù (*) ⇔ f(n + 1) = f(10) ⇔ n + 1 = 10 ⇔ n = 9. 0,25
VIb 1. (1,0 ñieåm) Tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùc ABC
(2,0 ñieåm) Goïi M laø trung ñieåm cuûa AB.Vì troïng taâm G cuûa tam giaùc ABC thuoäc ñöôøng thaúng d
neân G(t; 2 − t). Suy ra CG = (t + 1; 3 − t), GM = (x M − t; y M − 2 + t)
0,25
 t + 1 = 2(x M − t)
  3t + 1 7 − 3t 
Theo giaû thieát ta coù CG = 2GM ⇔  ⇒ M ; 
3 − t = 2(y M − 2 + t)
  2 2 
3t + 1  7 − 3t 
M ∈ AB ⇒ + 2  − 3 = 0 ⇒ t = 3. Do ñoù M(5; − 1). 0,25
2  2 
Maø A ∈ AB ⇒ A(3 − 2a; a), MA = 5 a + 1
 1
5 1 a = − 0,25
Cuõng theo giaû thieát AB = 5 neân MA = ⇔ a +1 = ⇔  2⋅
2 2  3
a = − 2

1  1  3 3  3  1
i Vôùi a = − thì A  4; −  , B  6; −  ⋅ i Vôùi a = − thì A  6; −  , B  4; −  ⋅ 0,25
2  2  2 2  2  2
2. (1,0 ñieåm) Tìm ñieåm M treân maët phaúng (P), ñieåm N treân ñöôøng thaúng d1 …
Laáy M ∈ (P) ⇒ M(a; b;2a + b)
N ∈ d1 ⇒ N(4 + c; c; − 3c).
Ta coù VTCP cuûa ñöôøng thaúng d 2 laø ud = (1; 2; 2) vaø MN = (4 + c − a;c − b; −3c − 2a − b) , 0,25
2
 a + c + 4 b + c 2a + b − 3c 
trung ñieåm cuûa MN laø I  ; ; ⋅
 2 2 2 
Vì M, N ñoái xöùng vôùi nhau qua d 2 do ñoù
I ∈ d 2  a + c − 8 b + c 2a + b − 3c + 2
  = = 43 63 27
 ⇔ 2 4 4 ⇒a= , b=− , c= .
MN.ud 2 = 0  11 11 11
 1(4 + c − a) + 2(c − b) + 2(−3c − 2a − b) = 0 0,25
 43 63 23   71 27 81 
Do ñoù M  ; − ; , N ; ; − .
 11 11 11   11 11 11 
Giaùo vieân ra ñeà .PH M TR NG THƯ -6-

7. Goïi VTCP cuûa ñöôøng thaúng d laø ud = (m; n; p), m 2 + n2 + p2 ≠ 0.
Goïi VTCP cuûa ñöôøng thaúng d1 laø ud = (1; 1; − 3)
1
VTPT cuûa maët phaúng (P) laø n = (2; 1; − 1)
Vì d ⊥ d1 neân ud ud = 0 ⇔ m + n − 3p = 0, suy ra n = 3p − m (1)
1
2m + n − p 0,25
1
Theo giaû thieát ta coù sin30o = = (2)
2 6 m 2 + n 2 + p2
p = m
Theá (1) vaøo (2) vaø ruùt goïn laïi ta ñöôïc 22p − 26mp + 4m = 0 ⇔ 
2 2
p = 2 m

 11
i Vôùi p = m thì n = 2m neân ud = (1; 2; 1) , do ñoù PT ñöôøng thaúng caàn tìm laø:
x −1 y +1 z −1
d: = = ⋅
1 2 1 0,25
2 5
i Vôùi p = m thì n = − m neân ud = (11; − 5; 2) , do ñoù PT ñöôøng thaúng caàn tìm laø:
11 11
x −1 y +1 z −1
d: = = ⋅
11 −5 2
VIIb Giaûi baát phöông trình
(1,0 ñieåm) x > 0

 x > 0

Ñieàu kieän 6x2 + x3 − x 4 ≥ 0 ⇔  ⇔ 0 < x ≤ 3. 0,25
6 + x − x ≥ 0
2
 
6 + x − x ≥ 0
2

Vôùi ñieàu kieän treân baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi
( )
5x + x 6 + x − x 2 log2 x > x 2 − x log2 x + 5 + 5 6 + x − x 2
⇔ x log2 x  6 + x − x 2 − (x − 1)  − 5  6 + x − x 2 − x + 1 > 0
  

0,25
   
⇔  6 + x − x2 − x + 1 ( x log2 x − 5) > 0 (*)
 
 
Do 0 < x ≤ 3 ⇒ x log2 x ≤ 3log2 3 ⇒ x log2 x ≤ log2 27 < log2 32 = 5 ⇒ x log2 x − 5 < 0 0,25
0 < x ≤ 3
0 < x ≤ 3
 0 < x ≤ 3
 

(*) ⇔  ⇔ ⇔ x − 1 ≥ 0
 6 + x − x − x +1< 0  6 + x − x < x −1 
2 2
 
 6 + x − x < x −1
2
 0,25
1 < x ≤ 3
 5 5
⇔ 2 ⇔ < x ≤ 3. Vaäy nghieäm cuûa baát phöông trình ñaõ cho laø < x ≤ 3.
2x − 3x − 5 > 0
 2 2
Giaùo vieân ra ñeà .PH M TR NG THƯ -7-