ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích

ng d ng tích phân tính di n tích, th tích

NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH DI N TÍCH, TH TÍCH
I. DI N TÍCH HÌNH PH NG XÁC NH B I Ư NG CONG y = f(x)

1. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I 1 Ư NG CONG:
( C ) : y = f ( x )

1.1. Bài toán: Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i Ox : y = 0
 x = a, x = b
y 
f(x) > 0 y
O a b x
S
S
O a b x
b f(x) < 0
1.2. Công th c t ng quát : S= ∫
a
f ( x ) dx

1.3. Công th c khai tri n:
b y f(x) > 0
a. S = ∫ f ( x ) dx a n u f(x) ≥ 0
a f(x) > 0
b
S3 x
∫
b. S = − f ( x ) dx n u f(x) ≤ 0
a
O a
S1
c d b
S2
c d b
c. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
f(x) < 0
a c d

2. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I 2 Ư NG CONG:

( C1 ) : y = f ( x )

2.1. Bài toán: Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i ( C2 ) : y = g ( x )

 x = a, x = b
b
2.2. Công th c t ng quát: S= ∫
a
f ( x ) − g ( x ) dx
y y
f(x) f(x) g(x)

S x S1 S2 x
O a b O a c b

g(x) g(x) f(x)

217

Chương II. Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương

2.3. Công th c khai tri n:

b
a. S = ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx
a
n u f(x) ≥ g(x) ∀x∈[a, b]

b
b. S = ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx
a
n u f(x) ≤ g(x) ∀x∈[a, b]

c b
c. S = ∫
a
( f ( x ) − g ( x ) ) dx + ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx
c

3. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I CÁC Ư NG CONG T C T KHÉP KÍN

( C1 ) : y = f ( x )

3.1. Bài toán 1: Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i 
( C2 ) : y = g ( x )

y
x = a f(x)
Bư c 1: Gi i phương trình: f ( x ) = g ( x ) ⇔ 
x = b
 S
b
g(x) x
Bư c 2: S d ng S = ∫a
f ( x ) − g ( x ) dx
O a b

y
3.2. Bài toán 2: Tìm di n tích hình ph ng g(x) C f(x)

( C1 ) : y = f ( x ) A h(x)

 S
S gi i h n b i ( C2 ) : y = g ( x ) B

( C3 ) : y = h ( x )
 O a c b x

Bư c 1: Gi i phương trình tương giao → tìm hoành giao i m

C ≡ ( C1 ) ∩ ( C2 ) gi i phương trình f(x) = g(x)
C ≡ C1 ∩ C2



A ≡ C ∩ C
 A ≡ ( C2 ) ∩ ( C3 ) gi i phương trình g(x) = h(x)
 2 3

B ≡ C ∩ C
 B ≡ ( C3 ) ∩ ( C1 ) gi i phương trình h(x) = f(x)


 3 1

c b
Bư c 2: S d ng S = ∫a
( f ( x ) − h ( x ) ) dx + ∫ ( g ( x ) − h ( x ) ) dx
c

4. CHÚ Ý:C n ph i i n " vdt" vào k t qu cu i cùng trong các bài toán
tính di n tích hình ph ng

218


5. CÁC BÀI T P M U MINH H A

Bài 1. Tính S: {( P ) : x
1
2
= ay ; ( P2 ) : y 2 = ax } ( a > 0)
y
Gi i
 x2  2 x4
y = y = 2 a
( P1 ) ∩ ( P2 ) :  a ⇔  a (P )
1
 y2 = ax  y2 = ax
  S
x 4
 = ax  4 3
x = a x  x = 0, y = 0 O a x
⇔  a2 ⇔ 2 ⇔
 y2 = ax  y = ax
  x = a, y = a (P )
 2

a
a
 x2  2 a x3  2a 2 a 3 a 2
0
∫
S =  ax −
 a 
 dx = 
 3
x x−  =
3a  3
−
3a
=
3
( vdt)
0

{
Bài 2. Tính S: (C ) : y 2 − 2y + x = 0 ; ( D ) : x + y = 0 }
y
Gi i
(C ) : y 2 − 2y + x = 0
 (C ) : x = − y 2 + 2y
 3
 ⇔ 
( D ) : x + y = 0
 ( D ) : x + y = 0
 2
x S
 y = 0; x = 0 + 1
(C ) ∩ ( D ) : − y 2 + 2y + y = 0 ⇔  y
=
 y = 3; x = −3 0
3 3
-3
S = ( − y 2 + 2y ) − ( − y )  dy =
 ∫  ∫ (−y
2
+ 2y + y ) dy y +2
2 y O 1 x
x=-
0 0

3 3
 y3 3y 2  1 3 9
∫
= ( − y + 3y ) dy =  − +
2
 = − ⋅ 27 + ⋅ 9 = ( vdt)
0
 3 2 
0
3 2 2

{
Bài 3. Tính S: ( P ) : y 2 = 2x ; ( D ) : x − 2y + 2 = 0 ; Ox : y = 0 }
y
Gi i
 2  y2 = 2 ( 2y − 2 )
( P ) ∩ ( D ) ⇔  y = 2x ⇔ 
 
2

x = 2y − 2  x = 2y − 2
  1

 y2 − 4y + 4 = 0  y = 2
 S
⇔ ⇔ 2
x = 2y − 2
 x = 2 (D)
-2 O x

2
2
 y2   y3  8 (P)

0
∫
S =  − ( 2y − 2 )  dy = 
 2   6
− y 2 + 2y  =
 6
( vdt) -2
0

219


1
{ (
Bài 4. Tính S: ( P ) : y = − x 2 − 8x + 7 ; ( H ) : y =
3
7−x
x −3
) }
Gi i y

( P ) ∩ ( H ) : − 1 ( x 2 − 8x + 7 ) = 7 − x
3

3 x −3 (P) S
O
x = 0
x ( x 2 − 11x + 28 ) x = 4 -1 1 3 4 7 x
⇔ =0⇔ 
3 (3 − x ) 7
x = 7
 3 (H)

7
 1 7 − x
4
∫
S =  − ( x 2 − 8x + 7 ) −
 3 x − 3

dx

7
7
 x 2 8x 4 4   x3 4x 2 4 
4
∫
= −
 3
+ − −  dx =  − +
3 3 x − 3  9 3 3
− x − 4ln x − 3  = 9 + 8ln 2 ( vdt)
 4

{
Bài 5. Cho: ( P ) : y 2 = 2x ; ( C ) : x 2 + y 2 = 8 . }
(P) chia (C) thành 2 ph n, tìm t s di n tích c a 2 ph n ó.
Gi i y
2
 y2 
Nhìn vào
0
 2∫
th ta có: S2 = 2  8 − y 2 −  dy 2

2 2 2
S
y3 8 O 2 2 2
∫ ∫
2 2
=2 8 − y dy − y dy = 2I − = 2I −
3 3 x
0 0 0
2
-2
Xét I = ∫
0
8 − y 2 dy . t y = 2 2 sin t ⇒ dy = 2 2 cos tdt

2 π4 π4

∫ ∫ ∫
2 2
I= 8 − y dy = 8 − 8sin t .2 2 cos tdt = 8 1 − sin 2 t cos tdt
0 0 0
π4 π4 π4
(1 + cos 2t ) dt = 4  t + 1 sin 2t  π 1
∫ cos ∫
2
=8 t dt = 4   = 4 +  = π + 2
0 0
 2 0  4 2
8 8 4 2
V y S2 = 2I − = 2π + 4 − = 2 π + ( vdt). Ta có: S1 + S2 = π ( 2 2 ) = 8π
3 3 3
6π − 4 18π − 4 9π − 2
⇒ S1 = 8π − 2π +
3 (
4 = 6π − 4 ( vdt) ⇒ S1 =
3 ) 3 = =
S2 2π + 4 6π + 4 3π + 2
3

220


{
Bài 6. Tính S: ( P ) : y = x 2 − 4x + 3 ; ( D ) : y = x + 3 }
Gi i

 x + 3 = x 2 − 4x + 3  x 2 − 5x = 0  x = 0, y = 3
( P) ∩ ( D) :  ⇔ 2 ⇔
 x = 5, y = 8
2
 x + 3 = − x + 4x − 3  x − 3x + 6
  y

x = 1 8
( P ) ∩ Ox : y = 0 ⇒ x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔ 
x = 3
1
S = ( x + 3) − ( x 2 − 4x + 3)  dx +
 ∫ 
0 S3
3
3
+ ( x + 3) + ( x 2 − 4x + 3)  dx +

∫  S1
S2
1
5
+ ( x + 3) − ( x 2 − 4x + 3)  dx
 ∫  -3 O
3 1 2 3 5 x
-1
1 3 5
= ∫ ( − x 2 + 5x ) dx + ∫ ( x 2 − 3x + 6 ) dx + ∫ ( − x 2 + 5x ) dx
0 1 3

1 3 5
 x 3 5x 2   x 3 3x 2   x 3 5x 2  109
= − +  + − + 6x  +  − +  = ( vdt)
 3 2 
0
 3 2 1  3 2 
3
6

 3x 12x π
Bài 7. Tính S: ( C1 ) : y = 1 − 2 sin 2 ; ( C2 ) : y = 1 + ; ( D) : x = 
 2 π 2

Gi i y
7 A
3x
( C1 ) : y = 1 − 2 sin 2 = cos 3x
2
Nhìn vào th ta có: S = SANOI − 3SOIK
π6 π6
7 +1 π
= ∫
⋅ − 3 cos3xdx = 2π − sin3x = 2π − 1
2 2 0 0
S

Bài 8. Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i 1 B M
N
(P): y = x2 − 2x + 2 và các ti p tuy n c a (P) C
O π π π x
i qua A(2; −2). 6 3 2

221


Gi i
ư ng th ng qua A có d ng (d): y = k(x − 2) − 2.
 x 2 − 2x + 2 = k ( x − 2 ) − 2

(d) là ti p tuy n c a (P) khi 
( x 2 − 2x + 2 )′ = [ k ( x − 2 ) − 2]′

2x − 2 = k
 2x − 2 = k
  x = 0; k = −2
⇔  2 ⇔ 2 ⇔  x = 4; k = 6
 x − 2x + 2 =
 ( 2x − 2 )( x − 2 ) − 2  x − 4x = 0
 
V y 2 ti p tuy n c a (P) i qua A là: (d1): y = −2x + 2 ti p xúc v i (P) t i
y
B(0, 2) và (d2): y = 6x −14 ti p xúc v i (P) t i C(4, 10). 10

{
V y S: ( P) : y = x2 − 2x + 2; ( d1 ) : y = −2x + 2 ; ( d2 ) : y = 6x −14 }
2 4
S = ( x2 − 2x + 2) − ( −2x + 2)  dx + ( x2 − 2x + 2) − ( 6x − 14)  dx
 ∫  
∫ 
0 2
2 4 2 4
(P)
∫ ∫ ( x − 8x + 16) dx = ∫ x dx + ∫ ( x − 4) d ( x − 4)
2
= x 2 dx + 2 2

0 2 0 2
2 s2
2 3 4
x3 ( x − 4) 8   −8  8 8 16
= + =  − 0 +  0 −  = + = ( vdt) O
s1
3 0 3 3   3 3 3 3
2 1 2 7 4 x
3
 d1 d
x2 27  2
Bài 9. Tính S: ( P1 ) : y = x2 ; ( P2 ) : y = ; ( H) : y =  2
 27 x
y
Gi i 9

x2
( P1 ) ∩ ( P2 ) : x2 = ⇔x =0⇒y =0
27 (P1 )
9 (H)
27 2
s2
( P1 ) ∩ ( H) : x2 = ⇔ x3 = 27 ⇔ x = 3 3
x
s1
x2 27 (P2 )
( P2 ) ∩ ( H) : = ⇔ x3 = 272 ⇔ x = 9
27 x
O 3 6 9 x
Nhìn vào th ta có:
3 9 3 9
 2 x2   27 x 2  26x 3  x3 
0
 ∫
S = x −  dx + 
27  3
−
 x 27  ∫
 dx =
81 0
+  27 ln x − 
 81 
3

 26   1
=  − 0  +  27 ln 9 − 27 ln 3 − 9 +  = 27 ln 3 ( vdt)
 3   3

222


 x2 2 8
Bài 10. Tính S: ( P1 ) : y = x 2 ; ( P2 ) : y = ; ( H1 ) : y = ; ( H 2 ) : y = 
 4 x x
y
Gi i
2 (P )
1
( P1 ) ∩( H1 ) : x2 = ⇔ x3 = 2 ⇔ x = 3 2 ⇒ y = 3 4 (P )
2
x 4
8
( P1 ) ∩( H2 ) : x2 = ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 ⇒ y = 4
x 3
16
s2 (H2)
2
x 2 3
4 S1
( P2 ) ∩( H1 ) : = ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 ⇒ y = 1
4 x 1 (H1)
2
x 8
( P2 ) ∩( H2 ) : = ⇔ x3 = 32 ⇔ x = 2 3 4 ⇒ y = 2 3 2 O 3
2 2 2 4
3
x
4 x
3
3 2 32

2
2
32
 8 x2   x3   x3 
3 
∫
S =  x 2 −  dx +
x ∫
2
 −  dx =  − 2ln x  +  8ln x − 
x 4   3 3  12 
= 4 ln 2 ( vdt)
2 2 2

{
Bài 11. Tính S: ( P ) : y 2 = 4x; ( C ) : y 2 = ( 4 − x )
3
}
Gi i
Phương trình c a (P) và (C) u ch n i v i y, vì th S là mi n nh n Ox làm
tr c i x ng. G i S1 là ph n n m trên tr c Ox, khi ó S = 2S1
y
( P) ∩ ( C) : 4x = ( 4 − x)3 ⇔ x3 −12x2 + 52x + 64 = 0
(P)
2 2
⇔ ( x − 2) ( x −10x + 32) = 0 ⇔ ( x − 2) ( x − 5) + 7 = 0
2 2
 
(C)
1
⇔x =2⇒y=2 2 S1

( P ) ∩ Ox : 4x = 0 ⇔ x = 0 O 2 3 4 x
-1
( C ) ∩ Ox : ( 4 − x )3 = 0 ⇔ x = 4
2 4 2 1 4 3 -2 2
S1 = ∫
0
4x 2 dx + ∫
2
∫ 0
∫
( 4 − x )3 dx = 2 x 2 dx − ( x − 4) 2 d ( x − 4)
2
2 4
4
3
2 5 8 2   8 2  64 2 128 2
= x2 − ( x − 4) 2 = − 0 −  0 + = . V y S = 2S′ =
3 0 5 2  3   5  15 15
( ) 1 2
 P :x = y
Cách 2: S:  4 ⇒ S1 =
2 2 2
1 
∫
 4 − y 3 − y 2  dy =
 4 
128 2
15
(
( vdt) )
 ( C ) : x = 4 − y2 3 0


223


{
Bài 12. Tính S: ( P ) : y 2 = 2x; ( C ) : 27y 2 = 8 ( x − 1)
3
}
Gi i y

G i S′ là ph n n m phía trên tr c Ox, t tính ch t 2 2 (P)
c a 2 hàm ch n suy ra tính i x ng khi ó S = 2S′.
Do y ≥ 0 ⇒ (x − 1) ≥ 0 ⇒ x ≥ 1
2 3
S1
(C)

( P) ∩ ( C) : 2x = 8 ( x −1)3 O 1 4
27 x
2
⇔ ( x − 4) ( 2x +1) = 0 ⇒ x = 4 ⇒ y = 2 2

( P) ∩ Ox : 2x = 0 ⇔ x = 0 ; ( C) ∩ Ox: ( x −1)3 = 0 ⇔ x =1 2 2

 4
( )3  4 1 4 3
 2x − 8 x − 1  dx = 2 2 x 2 dx − 4 2 ( x − 1) 2 d ( x − 1) = 68 2
S = 2S1 = 2 
1
∫ 27

 1
∫ 3 3 1 ∫ 15

x2 y2
Bài 13. Tính di n tích hình elip gi i h n b i (E): + 2 =1
a2 b
Gi i
2 2
x y
Phương trình 2
+ 2 = 1 ch n i v i x và y nên elip nh n O là tâm i x ng.
a b
G i S 1 là di n tích c a ph n elip thu c góc ph n tư (I) trên m t ph ng Oxy.
a

{
⇒ S1 : x = 0; y = 0; y =
b 2
a
a − x2 } và S = 4S1 = 4
b
∫
a0
a 2 − x2 dx y

b

x = 0 ⇒ α = π 2 S1
t x = acosα:  ; Khi ó O
x = a ⇒ α = 0 a x

a 0 π2
b 4b ( 2 1 − cos 2α
S=4
a ∫
0
a 2 − x 2 dx = ∫
a π2
−a sin 2 α ) dα = 4ab ∫
0
2
dα = πab ( vdt)

{
Bài 14. Tính S: 0 ≤ y ≤ 1; y = ( x + 1) ; x = sin πy
2
}
Gi i
2
x = sin πy ∈ [ −1,1] ⇒ x + 1 ≥ 0; mà 0 ≤ y ≤ 1 nên y = ( x + 1) ⇔ x = y − 1
1
1
 1 2
3
 2 1
S= ∫(
0
)
sin πy − y + 1 dy =  − cos πy − y 2 + y  = +
 π 3 0 π 3
( vdt)

224


TH TÍCH KH I TRÒN XOAY
I. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox:
y
( C ) : y = f ( x ) (C)

S: Ox : y = 0 S
 ∆ , ∆ : x = a, x = b
 1 2 a
O b x
b
Công th c : Vx = π ∫ f 2 ( x ) dx
a

II. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox:
y (C1)
( C1 ) : y = f ( x )
 S
( C ) : y = g ( x )
S:  2 (C2)

0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ) a
∆ , ∆ : x = a, x = b O b x
 1 2
b
Công th c: Vx = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x )  dx
 
a

( C1 ) : y = f ( x )

III. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: S: 
( C2 ) : y = g ( x )

x = a
Bư c 1: Gi i phương trình: f ( x ) = g ( x ) ⇔ 
x = b
b

Gi s 0 ≤ g(x) ≤ f(x),∀x∈[a, b]. Khi ó: Vx = π f ( x ) − g ( x )  dx ∫
2 2
Bư c 2:  
a

IV. VX SINH B I DI N TÍCH: Ư NG CONG B C HAI f(x, y) = 0 QUAY XUNG QUANH Ox:

Bư c 1: Tách ư ng cong b c hai f(x, y) = 0 thành
y
( C1 ) : y = f1 ( x )

(C1)

( C2 ) : y = f 2 ( x )


và gi s 0 ≤ f2(x) ≤ f1(x) (C2)

Bư c 2: Xác nh c n x = a, x = b. O a b x
b

 ∫
Khi ó: Vx = π f12 ( x ) − f 22 ( x )  dx
a


225


V. Vy SINH B I DI N TÍCH S C A 1 TH QUAY XUNG QUANH Oy: y

( C ) : y = f ( x )
 f(b)
Oy : x = 0
S: 
∆1 : y = f ( a ) S
∆ : y = f ( b )
 2 (C)
−1
Bư c 1: y = f(x) ⇔ x = f (y) f(a)
f (b)
2
∫ f ( y ) 
 
−1
Bư c 2: Vy = π dy O a b x
( )
f a

VI. Vy SINH B I DI N TÍCH S C A 2 TH QUAY XUNG QUANH Oy:
y
( C1 ) : y = f ( x )

( C ) : y = g ( x )
S:  2 f(b)
∆1 : y = f ( a ) = g ( m )

∆ 2 : y = f ( b ) = g ( n ) (C2 )
S
(C1)
( C1 ) : y = f ( x ) ⇔ x = f −1 ( y )

Bư c 1:  −1 f(a)
( C2 ) : y = g ( x ) ⇔ x = g ( y )

O m a n b x
f (b)
Bư c 2: Gi s 0≤g
−1
( y ) ≤ f −1 ( y ) ⇒ Vy = π ∫(
f (a )

2
f −1 ( y )  −  g −1 ( y )  dy
  
2
)
VII. Vy SINH B I DI N TÍCH: Ư NG CONG B C 2 f(x, y) = 0 QUAY XUNG QUANH Oy:

( C1 ) : x = f1 ( y )

Bư c 1: Tách ư ng cong b c hai f(x, y) = 0 thành 
( C2 ) : x = f 2 ( y )

và gi s 0 ≤ f2(y) ≤ f1(y)
b
Bư c 2: Xác  ∫
nh c n x = a, x = b. Khi ó: Vx = π f12 ( y ) − f 22 ( y )  dy
a

VIII. PHƯƠNG PHÁP BAO TR TÍNH Vy KHI DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Oy:
b
Công th c:
∫
Vy = 2π xf ( x ) dx
a

CHÚ Ý:C n ph i i n " vtt" vào k t qu cu i cùng trong các bài toán tính
th tích kh i tròn xoay

226


IX. CÁC BÀI T P M U MINH H A

Bài 1. Tìm Vx sinh b i S: {( C ) : y = ln x ; Ox : y = 0; ( ∆ ) : x = 2} quay quanh Ox
Gi i
2 2 2
Xét ( C ) ∩ Ox : ln x = 0 ⇔ x = 1 ⇒ Vx = π ∫ ( ln x ) dx = π x ( ln x ) 1 − π ∫ x d ( ln x )
2 2 2

1 1

2 2
= 2π ( ln 2 ) − 2π ∫ ln x dx = 2π ( ln 2 ) − 2π x ln x 1 + 2π ∫ x d ( ln x )
2 2 2

1 1

2
= 2π ( ln 2 ) − 4π ln 2 + 2π ∫ dx = 2π ( ln 2 ) − 4π ln 2 + 2π = 2π ( ln 2 − 1)
2 2 2
( ®vtt )
1

{ }
Bài 2. Tính Vx khi S: ( L ) : y = x ln (1 + x 3 ) ; y = 0 ; x = 1 quay quanh Ox.

Gi i

1 + x > 0

3
 x > −1
ln (1 + x ) ⇒ 
3
⇒ ⇒y≥0
(1 + x 3 ) ≥ 0 1 + x 3 ≥ 1
y=x ⇔ x≥0
ln
 
1 1
( L) ∩ Ox : x ln (1 + x3 ) = 0 ⇔ x = 0 ⇒ Vx = π x2 ln (1 + x3 ) dx = π ln (1 + x3 ) d ( x3 + 1)
∫
0
3∫
0

1 1 1
π( 3 ) ( π 2π ln 2 π 3 π ( 2 ln 2 − 1)
x + 1 ln 1 + x ) − ∫ ( x + 1) d ln (1 + x ) =
3 3 3
=   − x =
3 0 3 0
3 3 0 3

{ }
Bài 3. Cho S: ( C) : y = 1 2 ; ( D) :x =1;y = 0, x = 0 . Tính Vy khi S quay quanh Oy
1+ x
y
Gi i
1
1 1
y= 2
> 0 ⇒ (C) : x2 = −1 (C) (D)
1+ x y
1/2
( C ) ∩ Oy : x = 0 ⇒ y = 1


( C ) ∩ ( D ) : x = 1 ⇒ y = 1 2

O 1 x
12 1
π  1 1
⇒ Vy = π dy + π  1 − 1 dy = πy 0 + π ( ln y − y ) 1 2
 1
∫ ∫
12
y = + π  − ln −  = π ln 2
0 1 2  2  2 2

227


2
Bài 4. Cho S: x 2 + ( y − b ) ≤ a 2 ; 0 < a ≤ b y
B
a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox
I b
b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy A C

Gi i
D
2 2 2 2 2 2
a. Ta có: x + ( y − b ) ≤ a ⇔ ( y − b ) = a − x -a O a x

⇒ A1 B 2 A2 : y = b + a 2 − x 2 ; A1 B1 A2 : y = b − a 2 − x 2

a
 2 2

∫ ( ) − (b − )
2 2 2 2
Vx = π  b + a − x
 a −x  dx

−a

a a
x 0 a
∫ ∫
2 2 2 2
= 4πb a − x dx = 8πb a − x dx . t x = asint ⇒
t 0 π/2
−a 0
dx a cost dt
π2 π2

∫ a (1 − sin t ) a cos t dt = 4πa b ∫ 2 cos
2 2 2 2
Vx = 8πb t dt
0 0
π2
π2
∫ (1 + 2 cos 2t ) dt = 4πa
2 2 2 2
= 4πa b b ( t + sin 2t ) = 2π a b ( ®vtt )
0
0

2 2
b. Ta có: x 2 + ( y − b ) ≤ a 2 ⇔ x 2 = a 2 − ( y − b )

2 2
⇔ B1 A 2 B2 : x = a 2 − ( y − b ) ; B1 A1 B2 : x = − a 2 − ( y − b )

Do các cung B1 A 2 B2 , B1 A1 B2 i x ng nhau qua Oy nên
b +a b+a
 3 2a3  4πa 3
a 2 − ( y − b )2  dy = π a 2 y − 1 ( y − b )3 
Vy = π
b −a
∫   
 3 
 b −a
= π  2a −

=
3  3
( vtt)

( x − 4 )2 y 2
Bài 5. Cho S là di n tích c a (E): + =1
4 16
a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy

Gi i

228


( x − 4 )2 y 2 y
2
( x − 4 )2
⇔ y = 4 4 − ( x − 4) 
2 2
a. (E): + =1⇔ =1−  
4 16 16 4

( E ) ∩ Ox : 4 − ( x − 4 )2 = 0 ⇔ x = 2; x = 6

2 2
⇔ ABC : y = 2 4 − ( x − 4 ) ; ADC : y = −2 4 − ( x − 4 )

Do các cung ABC, ADC i x ng nhau qua Ox nên

6 2 6

∫ (2 ) dx = 4π  4 − ( x − 4 )  d ( x − 4 )
∫
2 2
Vx = π 4 − ( x − 4)  
2 2

6
 ( x − 4 )3   8 8  128π
= 4π  4 ( x − 4 ) −  = 4π  8 − + 8 −  = ( ®vtt )
 3 2  3 3 3

( x − 4 )2 y 2 ( x − 4 )2 y
2
y
b. (E): + =1⇔ =1−
4 16 4 16 B
4
1
⇔ ( x − 4) =
2
(16 − y2 )
4
A C
1 2 O 2 4 6 x
⇔ BAD : x = 4 − 16 − y
2
1 2
BCD : x = 4 + 16 − y -4
2 D


4
1 2 
2
 1 2 
2
 4

∫ ∫
2
Vy = π  4 + 16 − y  −  4 − 16 − y   dy = 8π 16 − y dy
−4 
 2   2   −4

π2
y −4 4
t y = 4sint ⇒ t ⇒ Vy = 8π ∫ 16 (1 − sin 2 t ) 4 cos t dt
−π/2 π/2
−π 2
dy 4 cost dt
π2 π2
π2
= 64π ∫
−π 2
2 cos 2 t dt = 64π
−π 2
∫ (1 + 2 cos 2t ) dt = 6 4π ( t + sin 2t )
−π 2
= 64π2 ( ®vtt )

 2 a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox
( P ) : y = 2x − x
Bài 6. Cho S: 
Ox : y = 0
 b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy

229


Gi i y

a. ( P ) ∩ Ox : 2x − x 2 = 0 ⇔ x = 0; x = 2 1

2 2
2 2
∫ ( 2x − x ) dx = π∫ ( 4x − 4x + x ) dx
2 3 4
⇒ Vx = π
0 0

2
4 1  16 O 2 x
= π  x 3 − x 4 + x 5  = π ( ®vtt )
3 5  0 15

2
b. ( P ) : y = 2x − x 2 ⇔ ( x − 1) = 1 − y

⇒ OA : x = 1 − 1 − y ; AB : x = 1 + 1 − y
y
1 A
⇒ Vy = π  1 + 1 − y  dy
2 2
 ∫(
0
) − (1 − 1− y ) 
1

1 1

∫ ∫
12
= 4π 1 − y dy = −4π (1 − y ) d (1 − y )
0 0
B
1
8π 8π O 2 x
=− (1 − y )3 2 = ( ®vtt )
3 0 3

{
Bài 7. Tìm Vx khi quay S: y = cos6 x + sin 6 x ; y = 0; x = 0; x =
π
2}quanh Ox.

Gi i
π2 2 π2

∫( ) ∫ ( cos x + sin x ) dx
6 6 6 6
Vx = π cos x + sin x dx = π
0 0
π2 π2
 3 
= π ∫ ( cos2 x + sin 2 x ) ( cos2 x + sin 2 x ) − 3sin 2 x cos2 x  dx = π ∫ 1 − sin 2 2x  dx
2
 
0 0
 4 
π2 π2 2
 3( ) 5 3  5π
=π ∫
0
1 − 8 1 − cos 4x  dx = π  8 x + 32 sin 4x  = 16
   0
( ®vtt )

( P ) : y = x 2 ( x > 0 ) a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox

Bài 8. Cho S: ( D1 ) : y = −3x + 10
( D ) : y = 1 b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy
 2

230


y
Gi i

a. ( D1 ) ∩ ( D 2 ) : −3x + 10 = 1 ⇔ x = 3 4

( P ) ∩ ( D2 ) : x 2 = 1 ⇒ x = 1 > 0
(P) D1
( P ) ∩ ( D1 ) : x 2 = −3x + 10 ⇒ x = 2 > 0 ; y = 4 S
1 D2
2 3
= π ∫ ( x − 1) dx + π ∫ ( −3x + 10 ) − 1 dx
4 2
Vx   1 2 3 x
O
1 2

2 3
 x5   1 ( −3x + 10 )3  31π 61π
= π − x + π ⋅ − x = + 6π = ( ®vtt )
 5 1  −3 3 2 5 5

10 − y
b. ( P ) : y = x 2 ( x > 0 ) ⇔ x = y ; ( D1 ) : y = −3x + 10 ⇔ x =
3
4 
(10 − y )2 2 π
4 4
Vy = π 
∫ 9
− ( ) y  dy =
 9 ∫
2
∫
( y − 10 ) d ( y − 10 ) − π ydy
1 1 1
4
 π ( y − 10 ) π 
3
152π 15π 101π
= ⋅ − y2  = − =
9 3 2 1 27 2 54

2 2
y
Bài 9. Cho S là di n tích c a (E): x 2 + 2 = 1 (0 < b < a)
a b
a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy

Gi i y
B
2 2 2 2 2
y y b
a. (E): x2 + 2 = 1 ⇔ 2 = 1 − x2 ⇔ y2 = 2 ( a 2 − x 2 )
a b b a a
A
O x
⇔ BA : y = b a 2 − x 2 ; CA : y = −b a 2 − x 2
a a

C
Do các cung BA, AC i x ng nhau qua Ox nên

a
πb2  x3 
a a
2
πb2 4πab2
Vx = π ∫(a
−a
b a −x
2 2
) dx = 2 ( a − x ) dx = 2  a 2 x −  =
a −a ∫
2

a 
2

3  −a 3
( vtt)

231


2 2 2 2 2
y y a
b. (E): x 2 + 2 = 1 ⇔ x 2 = 1 − 2 ⇔ x 2 = 2 ( b 2 − y 2 )
a b a b b y
B
⇔ AB : x = a b 2 − y2
b

BC : x = −a b 2 − y 2 C A
b
O x
Do các cung AB, BC i x ng nhau qua Oy nên
b
2πa 2  2 y3 
b b
2
2πa 2 4πa 2 b
∫( ) dy =
a b2 − y2 ( b − y ) dy = 2  b y −  =
∫
2 2
Vy = 2π ( vtt)
0
b b2 0 b  3 0 3

{ }
Bài 10. Cho S: ( P1 ) : y = 4 − x 2 ; ( P2 ) : y = x 2 + 2 . Tính Vx khi S quay quanh Ox

y
Gi i
4
(P2 )
( P1 ) ∩ ( P2 ) : 4 − x 2 = x 2 + 2 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1
1
3

⇒ V = 2π ( 4 − x ) − ( x + 2)  dx
2 2 2
∫
2
 
0 2
1 (P1 )
1
 x  3
= 24π ∫ (1 − x ) dx = 24π  x −
2
 = 16π ( ®vtt )
0
 3 0 O
2 1 1 2 x

Bài 11. Tính th tích kh i tròn xoay t o nên khi cho hình tròn tâm I(2, 0) bán
kính R = 1 quay quanh tr c Oy.

Gi i y
C
Phương trình (I, R): (x − 2)2 + y2 = 1
2
⇔ ( x − 2 ) = 1 − y2 ⇔ x = 2 ± 1 − y2 A I B
O 1 2 3 x
⇒ CA : x = 2 − 1 − y 2 ; BC : x = 2 + 1 − y 2
1 1

)  dy = 16π∫
2 2

∫(
⇒ Vy = 2π  2 + 1 − y 2 ) − (2 − 2 2
 1− y 
 1 − y dy
0 0
π2 π2

∫ ∫ cos
2 2
t y = sint ⇒ dy = costdt ⇒ Vy = 16π 1 − sin t cos t dt = 16π t dt
0 0
π2 π2
 1 
= 8π ∫ (1 + cos 2t ) dt = 8π  t + sin 2t 
2
= 4π ( ®vtt )
0
 2 0

232


Bài 12. Cho S: {( P ) : y = 2x ; ( D ) : y = 2x + 4} .
2
y
Tính Vx khi S quay quanh Ox 8

Gi i

( C ) ∩ ( D ) : 2x 2 = 2x + 4 ⇔ x 2 − x + 2 = 0 ⇒ x = −1 ∨ x = 2
4
2
⇒ Vx = π ( 2x + 4 ) − 4x  dx
∫
2 4
  2
−1

2
x
 3π ( 2x + 4 )3 4πx 5  288 -1 O 2
= −  = ( ®vtt )
 2 5  −1 5

 x2 27 
Bài 13. Cho S: ( P1 ) : y = x2 ; ( P2 ) : y = ; ( H) : y = 
 27 x

Gi i
y
2 9
x
( P1 ) ∩ ( P2 ) : x2 = ⇔x =0⇒y =0
27
27
( P1 ) ∩ ( H) : x2 = ⇔ x3 = 27 ⇔ x = 3
x (P1 )
2
9 (H)
x 27 2
( P2 ) ∩ ( H) : = ⇔ x3 = 272 ⇔ x = 9 s2
27 x 3

Nhìn vào th ta có: s1
(P2 )
3 9 9
27 2 x4
∫
Vx = x 4 dx +
0
∫
3
x2
dx −
0
27 2∫dx O 3 6 9 x

5 3 9 9
x 27 2 x5 243  81 1  583 (
= − − 2 = − ( 81 − 243) −  −  = ®vtt )
5 0
x 3
27 .5 3 5  5 15  3

27
b. ( P1 ) : x = y ; ( P2 ) : x = 27y ; ( H) : x = (x, y ≥ 0)
y
3 9 3 9
 2 2
  27 2   27 
⇒ Vy =  ∫(
0
27y ) ( ) − y ∫
 dy +  y −
3
( )
y ∫ ∫
 dy = 26ydy +  y − y  dy
 0 3 
9
2 3  1 2 81 9
= 13y +  27 ln y − y  = 117 + 27 ln 9 − 27 ln 3 − + = 81 + 27 ln 3 ( ®vtt )
0
 2 3 2 2

233


Bài 14. Cho S: {( C) : y = x, ( D) : y = 2 − x, y = 0} . Tính Vy khi S quay quanh Oy

Gi i
y
( C) : x = y2 ( y ≥ 0) ; ( D ) : x = 2 − y
2
⇒ ( C) ∩ ( D ) : y2 = 2 − y ⇔ y2 + y − 2 = 0 (C)

⇔ (x − 1)(y + 2) = 0 ⇔ y = 1 ≥ 0 1

1
Vy = π ( 2 − y ) − y 4  dy
∫
2
 
0 O 2 x
1 (D)
1 3 y 
5
32π
= π  ( y − 2) −  = ( ®vtt )
3 5  0 15

2 2
Bài 15. Cho ( H ) : x − y = 1 và (D) là ti p tuy n c a (H) i qua A(2, −1) v i
16 4
h s góc dương. Tính th tích kh i tròn xoay t o b i mi n ph ng gi i
h n b i (H), (D) và tr c Ox khi quay quanh tr c Oy.

Gi i y
(D)
(D) i qua A(2, −1) nên 1,5
(H)
(D): y = k(x − 2) − 1
O 2
⇔ (D): kx − y − ( 2k + 1) = 0 4
16 4 5 x
-1 A 5
Ta có: (D) ti p xúc (H)
8
2 2 2 3
⇔ 16k − 4 = ( 2k + 1) ⇔ 12k − 4k − 5 = 0

5 1 5 8 6 16
⇔ k= ∨ k = − (lo i) ⇒ (D): y = x − ⇔ x = y +
6 2 6 3 5 5
2
( D ) ∩ ( H ) : 4y 2 + 16 =  6 y + 16  ⇔ 4y 2 − 12y + 9 = 0 ⇔ y = 3 ; x = 5


 5 5 2
32
 232
 6y + 16  
2
 4y3  3 2
⇒ Vy = π ( 4y + 16) − 
0 
∫  5  
  dy = π 
 3
+ 16y  −
0
36π
25 0
y+ 8 d y+ 8
3 3 ∫( ) ( )
3 32
9  36π
= π  + 24  −
2  75
y+8
3 ( ) 0
=
72π
25
( ®vtt )

234


{2
Bài 16. Cho S: ( C ) : y = ( x − 2 ) , ( D ) : y = 4 . }
a. Tính Vx khi S quay quanh Ox b. Tính Vy khi S quay quanh Oy

Gi i y
(P)
2
a. ( P ) ∩ ( D ) : ( x − 2 ) = 4 ⇔ x = 0, x = 4 (D)
4
⇒ Vx = π 16 − ( x − 2 )  dx
∫
4
 
0
S
4
 ( x − 2 )5  256π
= π 16x −  = ( ®vtt )
 5 0 5
O 2 4 x
b. ( P ) : x − 2 = ± y ⇒ AI : x = 2 − y ; IB: x = 2 + y
4
⇒ Vy = π  2 + y  dy
2 2
 ∫(
0
) − (2 − y ) 
4 4
16π 3 2 128π
= 8π ∫
0
ydy =
3
y
0
=
3
( ®vtt )

 y
2
y
2

Bài 17. Cho S: ( P1 ) : x = ( y ≤ 0 ) ; ( P2 ) : x = − + 3y ( y ≤ 2 ) ; ( D ) : x = 4
 4 2 

a. Tính S b. Tính Vx khi S quay quanh Ox
y
Gi i (P2 )
6
2 2 (D)
y y 2 y = 0
a. =− + 3y ⇔ y − 4y ⇒ 
4 2 y = 4 4

2
y
( P1 ) ∩ ( D ) : = 4 ⇒ y = −4 < 0 2
4
2 O
−y y = 2
( P2 ) ∩ ( D ) : + 3y = 4 ⇒  4 x
2 y = 4 > 2 S

Nhìn vào th suy ra:
(P1 )
0
 y2 
2
 y2  -4
−4
∫
S = 4 −
 4 
 dy +  4 +
0
 2
− 3y  dy
 ∫
0 2
 y 
3
 y
3
3y 
2
 16   4 
=  4y −  +  4y + −  =  16 −  +  8 + − 6  = 14 ( ®vdt )
 12  −4  6 2 0  3  3 
235


2
y
b. ( P1 ) : x = ( y ≤ 0 ) ⇔ y = −2 x
4
4 4
2 2 4
⇒ Vx = π ∫ ( −2
0
x ) dx = 4π x dx = 2πx
∫
0
0
= 32π ( ®vtt )
y
 x 2
3
9
Bài 18. Cho S: ( C ) : y = ; ( P) : y = x  .
 3 
Tính Vx khi S quay quanh Ox.
Gi i
3 (P)
(C) ∩ ( P ) : x = x 2 ⇔ x = 0
x = 3
3  O
 2 2  3 
3
 4 x6  2 3 3 x
(C)
Vx = π ( x ) −  x   dx = π  x −
∫  dx ∫
0
  3   0
 9 
3
 x5 x7  486
= π −  = π ( ®vtt )
 5 63  0 35

{ 3
Bài 19. Cho S: ( C ) : y 2 = ( 4 − x ) ; ( P ) : y 2 = 4x . }
Tính Vx, Vy khi S quay quanh Ox, Oy
y
Gi i 2 2
(P)

A
( C ) ∩ ( P ) : ( 4 − x )3 = 4x
(C)
⇔ x 3 − 12x 2 + 52x − 64 = 0
S
N
⇔ ( x − 2 ) ( x − 5 ) + 7  = 0
2
  O 2 4 x

⇔ x = 2 ⇒ y = ±2 2

( C ) ∩ Ox : ( 4 − x )3 = 0 ⇔ x = 4 B
-2 2
( P ) ∩ Ox : 4x = 0 ⇔ x = 0
3 3
OA : y = 4x ; AN : y = ( 4 − x ) ; OB : y = − 4x ; BN : y = − ( 4 − x )
Do (C), (P) nh n Ox làm tr c i x ng nên:
2 4 2 4
dx + π∫ ( )
2
2 2 π
∫( 4x ) ( 4 − x )3 4
Vx = π dx = 2πx − (4 − x) = 12π ( ®vtt )
0 2
0 4 2

2 2
 2
y4 
2 2
 y4 
∫ ( ) 1024 2
3 2
∫ π ( ®vtt )
43 23
Vy = 2π  4− y −  dy = 2π 16 + y − 8y −  dy =
0
 16  0
 16  35

236


237

ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Mehr von Thế Giới Tinh Hoa

Mehr von Thế Giới Tinh Hoa (20)

ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích