CREATED BY HOÀNG MINH THI TRUNG ĐOÀN 2 – SƯ ĐOÀN 1 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
1
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG LƯỢNG LIÊN HỢP – HỆ TẠM THỜI
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực
( )
( ) ( )( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
22
2
1, 6 2 4
2, 3 8 3 1 7
3, 5 2 1 3 1
4, 4 6 4 5 1
5, 2 4 2 2 2
6, 2 4 1 3 5
7, 2 1 2 1 2
8, 2 1 3 1 0
9, 4 1 2 10 1 3 2
10, 1 1
11, 3 2 2 2 6
12, 2 4 2 5 1
13, 2
x x
x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x
+ − + =
+ − + =
− − = +
+ + − + + =
+ + + = −
+ − + = +
+ + − − + =
− + − + =
+ ≥ + − +
+ − − ≥
+ − = + +
− + − = − −
− + 2
2 2
4 6 11
14, 5 3 3 1 1
15, 4 5 1 2 1 9 3
x x x
x x x
x x x x x
− = − +
− + − = −
+ + − − − = +
( )
( )( )
( )
2
2
3
2
2 2
2
2
2 2
16, 1 3 3 4 2
17, 4 3 19 3 2 9
18, 3 1 2 3 4 2 2 1
19, 1 1 1 3 4
20, 2 3 4 3 5 9 6 13
21, 3 1 4 3 2
22, 4 3 10 3 2
23, 3 1 1
24, 2 4 2 5 2 5
25, 3 1 3 1
26, 2 1
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x x x
x x
x x x
x x x x x
x x x x
x
− + − = − −
+ + − = + +
+ + + = + −
+ + + = +
+ + + = + +
+ − + + + + =
− − = −
+ + − = +
− + − + − = −
+ + = + +
+
3
2 3 3 1
27, 1 10 2 5
28, 3 3 1 2 2 2
29, 18 78
30, 3 1 2 1
x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x
+ + = + + −
+ + + = + + +
+ + + = + +
= + +
+ = + +
Bài 2. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực
( )
23
2 2 2
34 3 2
32 24
2 3
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
1, 6 7 1
2, 3 2 4 3 2 5 4
3, 3 4 1 1
4, 77 3 2
5, 2 11 21 3 4 4
6, 1 2 1 3 1
7, 3 2 6 5 2 9 7
8, 3 6 16 2 2 2 4
9, 2 23 4 2 2 7
10, 2 1 1 3
x x x
x x x x x x
x x x
x x
x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x
+ + = − −
− + + − + ≥ − +
− = − +
+ − − =
− + = −
+ + − = − +
+ + + + + > + +
+ + + + ≤ + +
+ = − + +
+ + + − + <
( )( )
2 2
11, 1 1 1 2 5
12, 2 3 5 2 3 5 3
x
x x x x
x x x x x
+ + + + − =
+ + + − + >
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
13, 4 1 1 2 1 2
14, 3 1 6 3 14 8 0
15, 9 1 4 3 2 3
16, 5 12 3 5
17, 2 3 2 6
18, 9 20 2 10 3
19, 3 2 1 3
20, 1 8 4
21, 3 2 3 4
22, 3 2 1 2 3
23, 3 1 2 3
x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
− = + + + −
+ − − + − − =
+ − − = +
+ + = + +
− − > −
+ + = +
+ + = + +
+ + = + +
+ + + = + +
+ + = + +
+ + + = 2
3 2
24, 2 5 4 2
x
x x x
+ +
+ − ≤ −

CREATED BY HOÀNG MINH THI TRUNG ĐOÀN 2 – SƯ ĐOÀN 1 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
2
Bài 3. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực
( ) ( )( )
2 2 2
2 2 2 2
2
3 2 3 2
22
2 2
1, 4 9 5 2 1 1
2, 8 1 3 5 4 7 2 2
3, 3 19 3 2 7 11 2
4, 3 7 3 2 3 5 1 3 4
5, 2 1 3 2 4 3 5 4
6, 1 1 4 3
7, 2 1 3
8, 9 1 7 3 1 3 4
9, 2 7 10 12 20
10, 5 1
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x
+ + − + − = −
+ + + = + + −
+ + − = + +
− + − − = − − − − +
− + − < − + −
+ + ≤ +
+ + + + − =
+ ≤ + − +
− + = + − +
− 33
2
2
2 2
9 2 3 1
11, 10 1 3 5 9 4 2 2
12, 3 4 5 3 8 19 0
13, 2 2 2
14, 2 11 15 2 3 6
15, 1 2 2 3
x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
+ − = + −
+ + − = + + −
+ − − + − − >
− ≤ − − − −
+ + + + − ≥ +
− + − + + =
Bài 4. Giải các phương trình và sau trên tập hợp số thực
( )( )
2 2 2 2
38 84
2 2
3
3
3
2 3
3 3
2 2
1, 2 1 3 2 2 2 3 2
2, 17 2 1 1
3, 2 1 2 1
4, 1 1 1 1 2
5, 2 1 6 3 3
6, 9 11 5 12 1 2
7, 4 3 3 1 2 2 3
8, 2 3 3 13 1
9, 7 7 7 6 5 1
10, 2 5 12 2 3 2
x x x x x x x
x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x x
− + − + = + + + − +
− − − =
− + + + + =
+ − − + =
+ = + + +
− + = + + + +
− + − = + +
− + = +
+ + = − + −
+ + + + + = +
3 2 4
32 3
2 2
3 2 2 2
5
11, 2 5 5 1 6 2
12, 15 30 4 27 27
13, 2 2 1 14 2
14, 3 4 7
15, 3 8 2 15
16, 1 4 9 16 100
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
+ + + − = + +
+ − + = +
− − + − = −
− + + + + =
+ + − = +
+ + + + + + + = +

CREATED BY HOÀNG MINH THI TRUNG ĐOÀN 2 – SƯ ĐOÀN 1 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
3
Bài 5. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực
( )
2 2
2 2
3 2
2 2
3
2
3
2
2
3
3 2 3
1, 2 8 8 2
2, 2 8 6 1 2 2
3, 4 1 2 3
4, 9 24 16 59 149 5
5, 2 1 3
6, 1 1 2
7, 2 1 1
8, 4 1 5 14
9, 2 10 12 40
10, 2 1 3 2
11, 3 3
12, 1 2
13, 3
x x x x
x x x x
x x x
x x x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x x x
x x x
x x
x x x
x x
+ − + − =
+ + + − = +
+ = − + −
− + − − + = −
− + + =
+ − − =
− + − <
+ = − +
− + − = − +
+ = + + −
+ + >
− + = −
+ 2 2
3 32 23 3
2 2
5 2 3 1
14, 2 2 2 1 2 1
15, 3 4 2 4 5
16, 5 4 2 1 5 4
x x
x x x x
x x x
x x x x
+ = + +
+ + + = + +
+ − + =
+ − + = −
Bài 6. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực
3 2
2 2
3 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1, 1 3 2 4
2, 12 13 4 5 1
3, 2 6 18 1 2 4
4, 3 2 4 4 1
5, 3 5 3 3 2 5
6, 1 6 2 3 1 5 6
7, 3 7 2 5 2
8, 7 6 7 3 2 2 4
9, 5 2 3 3
10, 3 3 3
x x x x x
x x x
x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x
+ + + + = + −
+ − + > +
+ + + − = +
− + + = + − − + + −
+ = + + − −
+ − − = −
+ + − + + = +
− + + + + + = −
+ + − + = − +
+ + − =
( )
2
2 2
2
2 2
3
2 2
3 6
11, 2 2 1 2 8 3 2
12, 2 3 2 5 0
13, 3 4 4 2 1
14, 3 2 1 0
15, 4 5 3 5
16, 2 1 4 1
x x
x x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x x x
− +
+ + − + = + +
− − + + =
− − = − − −
+ − + − =
+ − = +
− − = + −

CREATED BY HOÀNG MINH THI TRUNG ĐOÀN 2 – SƯ ĐOÀN 1 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
4
Bài 7. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực
( )
( )
( )
2 2
2
2
2
2
2 2
4 3
1, 6 5 1 3
7
3
2, 2 6 3 2
1
3, 2 3 1
2 3
3 1
4,
2 1 1 3 3
1 4
5, 5 2 4 2
27
7 83
6, 13
2 1 3 1
1 1
7, 3 1
1 1
9 3 8
8, 3
2 1 3 1
5 15 8
9, 8
2 1 3 1
x
x x
x x x x x
x
x
x x
x
x
x x x
x
x x
xx
x
x x
x
x x x x
x x
x
x x
x x
x
x x
+
+ − + =
 
+ + + + + = + 
 
−
− + =
−
−
=
− − + − −
+
+ + − =
++
+ = +
− − + −
+ ≥ −
− − + −
+ +
+ ≤ +
+ − − −
+ +
+ ≤ +
+ − − −
( )
( )
3 2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
3
10, 3 1 1 5
6
9 2 1
11,
2 43
2 1
12, 2 1 3 2
2
4 1 5
13, 2
14, 2 5 12 2 3 2 5
15, 4 3 2 3 1 1
1 2
16,
1
17, 1 2 5 4 1 2 2
5
18, 1
2 1
19,
x
x x x x
x
x x
x x x
x
x x
x x x
x x x
x x x x x
x x x x x
x x x
x x
x x x x x x
x x
x
x
+
− + − + + − = +
−
+ +
+ =
+ + −
−
+ + − =
+ − = + −
+ + + + + = +
− + − − + ≥ −
− +
=
+
− − + − + = +
+ − =
+
−( ) 2 2
2
2
4 2 4 2 2
2
3 4 9
40
20, 16
16
21, 2 1 2 1
22, 4 1 9 1
x x
x x
x
x x x x x x
x x x
− ≤ −
+ + =
+
+ − − + + < +
+ − > −
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
23, 21
3 2 9
3 2 3
24, 3
3 1
7
25, 3 5
2 2
4 20
26, 3
3 3
4
27, . 1 1
2
2
28, 1 3 3 2
4
29, 3 5 1 4 5 3 2
2
30, 2 1 1
2 9
1 1 2
31,
12 8
32, 2 4 2 2
9 16
7 7
33,
34,
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
x x
x x x
x
x
x
x x
x x x
x
x x
x
x x x
x x
x
< +
− +
+ +
+ =
+
+ = − +
− = − −
−
≥ + +
−
+ + = +
+ = + − −
< + −
+
+ + − >
−
+ − − =
+
− + − =
+
2
2
2 2
22
2 2
7 2 3
1
1 1
1 5
35, 1
63 3
1
36, 3
2 1
1 2 3
37,
133 4
1 2 6
38, 1
93
1 2 3
39,
8 1 3
5 2
40,
9 3
1 1
41,
31 2 1
4 1 3
42,
xx
x
xx
x x
x
x x
xx
x
xx
x x
x x
x x
x x
x x
x x
xx x x x x x
−
≤ +
+ −
−
< +
−+ −
+ = +
−
+ − −
≥
−+ −
+ −
≤ +
−−
+ − +
>
− + −
+ −
=
− −
− +
<
+ − +
− =
+ + − +

CREATED BY HOÀNG MINH THI TRUNG ĐOÀN 2 – SƯ ĐOÀN 1 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
5
Bài 8. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
2 2
1, 2 2
2 2 2 2
2, 1 4 9 0
2
3, 3 4 4
5
4, 2003 2002 2004 2003 2 2005 2004
5, 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
6, 3 5 9
7, 7 2 3 5 49
8, 2 3 3 2 1 2 2 1
9
x x
x x
x x x x
x
x x
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x
+ −
+ =
+ + − +
− + − + + + =
+ + + >
− + + − + = − +
+ + + + + = + + + + +
− − > −
− + − ≤ −
+ − + − − = − + −
( )( )
( )( )
( )( )
2
2 2
2
2
2 2
2 2
, 4 3 1 3 16
10, 3 1 2 3 2 3 2
11, 3 1 2 3 4 2 2 1
12, 5 4 3 5 5 10 20 16 4 12
13, 2 3 1 11 33 3 5
14, 2011 1 1
15, 2 22 2 3
3
16, 2 4
17, 4 1 2 2 1
18, 7
x x x
x x x x x
x x x
x x x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x x x
x x x
x
x x x x x
x
+ − − + ≤
+ − − + + =
+ + + = + −
− + + + > − − + + + +
+ + + = − + + −
= + − −
+ + + = + +
− + − = −
− + = − + +
( )( )
( ) ( )
( )( )
2
4 4
2 3 2
2
2 2
23
2
2
8 10 2 8 10 2
19, 3 2 2011 2011
20, 8 3 4 2
21, 3 1 3 2 3 4
2
22, 4 2 2 2 3
23, 1 2 4 1 2 1
24, 6 5 1 2 4
25, 1 2 6 7 7 12
26, 2 6 2 1 3 4
27, 2 3
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x
x
x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x
+ + − + + =
+ = − +
− ≤ − + −
+ − − − + + − ≥
+ − − ≥ −
+ − ≥ − − +
+ > − + − −
+ + + + + ≤ + +
+ + + − − =
+ + − = − 1
2 2 1
28, 2
2 1
x x x
x
x x
+
+ + +
= +
+ +

CREATED BY HOÀNG MINH THI TRUNG ĐOÀN 2 – SƯ ĐOÀN 1 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
6
Bài 9. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực
2 2
2 3
2 3
2
24
2
4 2 2
3 2
2
2 3
4
1, 3 2 1 5 4 4
2, 7 14 3 4 21 32
3, 2 5 1 6 2
4, 3 1 1
1
5, 15 1
6, 4 28 3 4 12
1
7, 1 5 2
2
5
8, 3 3 2 2 6
2 1
9, 4 2 8
10, 1 2 1 2
11, 9 2 9
12,
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x
x x
x x x x
x
x x x x
x x
x
x x x
x x x x x
x x x
x
− + − =
− = − +
− + + − = −
+ + = + +
+ + = +
+
− = − − −
−
− − − − =
− + − ≤
−
+ − = −
+ + − = + −
− − = −
( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
3
2 2
1 1
9 12 4
3 31
3 4 9
13, 2 3
3 3
14, 4 2 2 6 1
15, 3 3 3 4 1
16, 3 2 7 2 9 1 11
3 18
17,
11 1
3
18, 1 4
2
19, 3 6 2
20, 3 1 1 3
21, 1
2 1 4 1
22, 2 6 8 2
x x
xx
x
x
x
x x x
x x x
x x x x
x x x
xx x
x x x
x x x
x x x
x
x
x x
x x x
− + − = −
−−
−
≤ +
−
+ − + − <
+ = + −
+ − + + = − +
+ +
<
++ − +
− + + ≥ +
+ − + = −
+ + − − = −
> −
+ − +
+ − +
2 3 2 2
2
2
2 2 2
4 6 3 4 3 3 1
23, 6 6 3 4 2 5
24, 2 4 3 2 3 4
25, 2 2 3 4
11 14
26, 1
2 7
x x x
x x x x x x x
x x x x
x x x
x x x
+ − − + − + >
− + + + + ≤ − + + + +
− + + = + +
− − + + =
+ =
+

CREATED BY HOÀNG MINH THI TRUNG ĐOÀN 2 – SƯ ĐOÀN 1 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
7
Bài 10. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực
( )
( )
2
2
2
2
2
3 2
3
2
2 2
2 2
2
3
23
1, 2 1 5 1 1
2, 2 5 6 2 8 9 4
3, 4 2 22 3 8
9 8 32
4, 2 4
16
5, 3 1 8 3
6, 3 92 4 108 28
7, 1 2 2 2
8, 3 2 4 3 4
9, 2 92 2 1 1
5 4
10, 2 5 24 23
3
11, 1
x x x
x x x x
x x x
x x
x
x x x
x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x
x x x
x x
− + − = +
+ + + + + =
+ + − = +
+ −
− ≤
− + = −
− + − = −
+ + − = + −
− = − + − −
+ + ≥ + + + −
+
− + + − =
− + ( )
( ) ( )
( )
( )( )
( )
3 3
3
2
2
2
2
2
2 2
2 1
5 1
12, 1 5 2
4 2
13, 4 1 9 1 2 1
14, 13 1 9 1 6
7
15, 1 1
4
16, 1 2 1 2 3
17, 1 1
18, 2 1 3 2 6
19, 5 3 2 3 23
20, 3 1 2 1
21, 1 3 4 1
22, 2 3 2 3 2
23
x x
x x x
x x x x
x x x
x x x
x x x x
x x x x x x
x x x
x x x
x x x
x x x x x
x x
+ = + −
− + − = +
+ − = − −
− + + =
− + = −
+ + − − − − =
− ≥ − − + −
+ − − > +
− + < −
+ − > +
+ − − − ≤ −
+ ≥ + −
( )
( )
( )
2
2 2
2
2 2
2
2
, 2 1 2 2 11 2
24, 2 9 2 8
25, 2 4 3 2 3 3 7 6 5 7
26, 5 1 2 2 10 3 13
27, 5 6 3 21 19 42
28, 3 11 3 2 7
29, 4 6 2 13 17
x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x x
x x x x x x
x x x
x x x x
+ + − + + − ≤ −
+ − = − −
− − + + − + − = −
+ + = − +
− + + − + + = + −
+ + = +
− + − = − +

CREATED BY HOÀNG MINH THI TRUNG ĐOÀN 2 – SƯ ĐOÀN 1 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
8
Bài 11. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực
( )
( )( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
4 3
1, 3 5 2
6 1
6
2, 2 1 1
2 1 1
3, 2 9 8 6 1 3 4 5
2
4, 4 3 2 1
2 3
1
5, 3 2
6
6, 9 5 1 2 1
3 1 2
7,
3 13 3 16
3 2 9
8,
3 1 3
9, 17 9 1
2 2 1
12
10, 6 1 2 4
2 1 2 4
x
x x
x
x
x x
x
x x x x x
x
x x
x
x
x x
x x x
x x
x x
x x
xx x
x
x x
x x
x
x x
x x
+
+ − − =
−
≥ + + −
+ +
− − − + + + =
+
+ − − =
−
+
+ = +
+ − = +
+ − +
<
+ + +
− −
>
+ + +
≤ + − +
+ − +
+
≥ + + −
− + +
( )
2
2
2
12, 3 4 5
2 5 1
1 4 3
13, 1
4 3 3 4 3 1
2 9
14, 2 3
1 3 2 2
1 3 1 1
15,
2 1 2 1
2 1
16, 3 1 2
3 2 1
3 3 2 3 2
17, 3
2 1 2 3
4 12 4 2 3 1
18,
3 10 3 1 3
1
19, 1
1 1
2
20,
x
x
x x
x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x
x
x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
x x x x
x
−
+ − =
−
+ −
= +
+ + − −
−
= +
− + −
− −
≥
+ + + −
+
< + −
+ − +
+ −
= +
+ − −
+ + + −
≤
− − −
+ − −
≤ +
− + + −
−
( )
2
2
2
2
2 2
4 3
2
21, 3 2 2
2 5
x
x x x
x x
x x x
x
≤ +
+ − −
− +
+ + − ≤
+

CREATED BY HOÀNG MINH THI TRUNG ĐOÀN 2 – SƯ ĐOÀN 1 – QUÂN ĐOÀN BỘ BINH
9
Bài 12. Giải các phương trình và bất phương trình sau trên tập hợp số thực
( ) ( )( )
( )
( )
2
2 2
2
2
2 2
2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1, 1 2 3 2
2 3 2
3 14 4
2, 3 4 1
2 4 1 2
3, 4 4 1 4 4 2 3 2 5 2 4
3
4, 2 3 5
3
1
5, 1 1
1
3 1
6, 3 2
2 4 2
5 5 2 1 1
7,
1 3 1
8
x
x x
x x x x
x x
x x
x x x x
x x x x x x x x x
x
x x x
x x x
x x
x x x
x
x
x x
x x x
x x x
x x x x
= + − +
+ + − − +
+ +
= + + − −
+ + − +
+ − ≤ + + + + + + +
+
= + + −
+ + −
−
= + + − −
+
+ −
≤ − +
+ + −
+ + − +
=
+ + + −
( )
( )
( )
2
2
2
2 2
2
3 6 2 2
, 4
2
1 10
9,
303 2 4 2 9 15
3 5 1
10,
2 5 4 5
5 26 2 5
11,
2 2 2 1 3 2
3 1
12,
1 2 1 3 3
13, 5 6 3 21 19 42
2 1 1 1
14,
9 1
3
15, 2 1 2
3
7 13 8
2
3
16, 5 5 2
x x x
x
x x
x x x x
x
x x
x x
xx x
x x x
x
x x x
x x x x x x
x x
x x
x
x x x
x
x
+ + + +
≤
− −
>
+ + − + + +
+ −
=
+ +
+− −
≤
− + − −
−
=
− − − − +
− + + − + + = + −
+ − +
≥
−
+ − >
+ − +
+ + >
( )
2
2
2
2
2
30
17, 5 3 5 5 2 3 1
10 5
4 1
18, 4 1 2
3 4 2 1
2 3 2 1 1 9 4
19, 4.
1 4 1
x x
x x
x
x
x x x
x x x
x x
x x
+ +
−
= − − + +
−
−
= + + − +
+ + + −
− − − −
≤
− −