Ma trận và định thức

1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
Ma trận cấp m n là một bảng số hình chữ nhật với m dòng, n cột, m n phần tử
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 
 
 
1.Định nghĩa quan trọng:
- Ma trận vuông: m n ; khi đó đường chéo chính là đường chéo đi từ góc trên bên trái xuống dưới góc
dưới bên, đường chéo phụ đi từ góc dưới bên trái lên góc trên bên phải.
- Ma trận tam giác trên:
11 12 1
22 2
...
0 ...
... ... ... ...
0 0 ...
n
n
nn
a a a
a a
a
 
 
 
 
 
 
( các phần tử nằm dưới đường chéo chính bằng 0 )
Tương tự với ma trận tam giác dưới:
11
21 22
1 2
0 ... 0
... 0
... ... ... ...
...n n nn
a
a a
a a a
 
 
 
 
 
 
- Ma trận đường chéo:
11
22
0 ... 0
0 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... nn
a
a
a
 
 
 
 
 
 
( các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0 )
-Ma trận đơn vị:
1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1
nE
 
 
 
 
 
 
(ma trận đường chéo, các phần tử trên đường chéo bằng 1)
Ma trận chuyển vị T
A : chuyển cột thành dòng và dòng thành cột
2.Các phép toán:
- 2 ma trận cùng cấp: cộng các phần tử ở cùng vị trí với nhau. :[aij]mxn+ [bij]mxn = [aij+bij]mxn
-Nhân ma trận với 1 số: Nhân từng phần tử của ma trận với số đó. : k x [aij]mxn = [k x aij]mxn
-Tích của 2 ma trận:

2. Chỉ có thể nhân 2 ma trận khi số cột của ma trận thứ nhất bằng số dòng của ma trận thứ 2.
[ ] ; [ ]ij m n ij n pA a B b   thì [ ]ij m pAB C c   với 1 1 2 2
1
...
n
ij ik kj i j i j in nj
k
c a b a b a b a b

     ( ta cố định số i
và j , cho k chạy xuyên suốt các cột của ma trận A và các dòng của ma trận B )
Phép cộng có các tính chất như phép cộng số học thông thường, phép nhân thì có phân phối, kết hợp
nhưng không có giao hoán.
(AB)t = BtAt
3.Định thức:
Kí hiệu là det A hoặc A
3.1: Định thức cấp 2, cấp 3:
1 2
1 4 2 3
3 4
a a
a a a a
a a
 
  
 
;
1 1 1
2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 3 1
3 3 3
a b c
a b c a b c b c a a b c c b a b a c a b c
a b c
 
        
  
3.2: Cách tính định thức bậc cao hơn 3:
3.2.1: Cách 1: Khai triển định thức (Áp dụng với những bài có xuất hiện những số 0)
Khái niệm phần bù đại số của một phần tử trong ma trận ( rất quan trọng )
Xét ma trận
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
[ ]
... ... ... ...
...
n
n
ij n n
n n nn
a a a
a a a
A a
a a a

 
 
  
 
 
 
Xét phần tử ija ( giao của dòng i và cột j ). Xóa đi dòng i và cột j ta được một ma trận bậc 1n , có
định thức là ijM . Phần bù đại số của phần tử ija là ( 1)i j
ij ijA M
 
Ví dụ: Xét ma trận
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
 
   
  
Phần tử 11 1a  . Xóa đi dòng 1 và cột 1 được ma trận
5 6
8 9
 
 
 
, định thức 11 5.9 6.8 3M    
1 1
11 11( 1) . 3A M
     .

3. Phần tử 12 2a  . Xóa đi dòng 1 và cột 2 được ma trận
4 6
7 9
 
 
 
, định thức 12 4.9 6.7 6M    
1 2
12 12( 1) . 6A M
   
Công thức khai triển định thức: det A= d
Khai triển theo dòng thứ
1
:
n
ij ij
j
i d a A

  ( i cố định, j chạy )
Khai triển theo cột thứ
1
:
n
ij ij
i
j d a A

  ( j cố định, i chạy )
Lưu ý chọn cột hoặc hàng có nhiều số 0 để sử dụng công thức dễ hơn.
3.2.2: Cách 2: Đưa về ma trận tam giác ( Phổ biến nhất )
Với ma trận tam giác, có công thức định thức:
11 12 1
22 2
11 22
...
0 ...
. ....
... ... ... ...
0 0 ...
n
n
nn
nn
a a a
a a
a a a
a

Ta sẽ biến đổi ma trận đã cho về dạng tam giác.Biến đổi dựa vào 2 tính chất sau:
Nếu đổi chỗ 2 dòng thì định thức đổi dấu.
Nếu nhân một dòng với một số k bất kì rồi cộng vào dòng khác thì định thức không đổi
Ta biến đổi ngược từ dưới lên, từ trái sang phải, lần lượt chuyển định thức về dạng tam giác.
4. Ma trận nghịch đảo
Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A là ma trận 1
A
mà 1
.A A E

4.1: Quy tắc tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A :
Điều kiện để ma trận A có ma trận nghịch đảo là det A# 0
Ma trận vuông A có det A # 0 gọi là ma trận không suy biến.
1.Tính định thức A . Nếu 0A  thì không có ma trận nghịch đảo
2.Nếu 0A  : lập ma trận phụ hợp của A :
11 21 1
12 22 2*
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
n n nn
A A A
A A A
A
A A A
 ( ijA phần bù đại số của ija )
3. Dùng công thức:
1 *1
.A A
A

 .

4. Nói chung phần tính ma trận nghịch đảo rất dễ, chỉ cần cẩn thận làm từng bước là được.
4.2: Ứng dụng của ma trận nghịch đảo: Giải phương trình ma trận
1 1 1
AX B A AX A B X A B  
    
1 1 1
XA B XAA BA X BA  
    
5. Hạng của ma trận:
Hạng của ma trận là cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận đó.
Tìm hạng của một ma trận:
5.1: Biến đổi về dạng ma trận bậc thang
Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng: đổi chỗ 2 dòng, nhân 1 dòng với một số khác 0, nhân 1 dòng
với 1 số rồi cộng vào dòng khác.
Lưu ý là nếu ma trận bậc thang có n dòng và m dòng toàn số 0, đồng thời có một định thức cấp n m
khác 0 thì hạng là n m
Ví dụ: Hạng của ma trận
1 2 30 4
3 1 2 3 7
1 3 43 1
  
   
  
Biến đổi giống như khi tính định thức, biến đổi các dòng về các số 0 theo thứ tự từ dưới lên trên, từ trái
qua phải. Ở đây, cộng dòng 1 với dòng 3, nhân dòng 1 với 3 rồi cộng với dòng 2 ta được:
12 304
0 5 735
0 5 735
  
  
  
. Biến đổi tiếp ta có
12 304
0 5 735
0 0 0 00
  
  
  
. Từ đó có hạng của ma trận là 2.
5.2: Phương pháp định thức bao quanh
Cố định 1 phần tử khác 0, tính các định thức cấp 2 chứa phần tử đó. Nếu tất cả các định thức cấp 2 bằng 0
thì 1r  . Nếu tồn tại ít nhất 1 định thức cấp 2 khác 0 thì xét tiếp các định thức cấp 3 chứa định thức cấp 2
đó. Nếu tất cả các định thức cấp 3 bằng 0 thì 2r  . Nếu tồn tại ít nhất 1 định thức cấp 3 khác 0 thì lại xét
tiếp định thức cấp 4, cứ như thế đến khi tính được r . Nhìn chung cách này làm khá thủ công và không
phổ biến bằng biến đổi về ma trận bậc thang.
Ví dụ: Xét lại ví dụ ở trên. Đầu tiên ta xét
1 2
5 0
3 1

  

Xét tiếp các định thức cấp 3 chứa định thức trên. Ta có:
1 2 3 1 2 0 1 2 4
3 1 2 3 1 3 3 1 7 0
1 3 4 1 3 3 1 3 1
        
                
          
2r 

5. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Tìm điều kiện để tồn tại A-1 (  A là ma trận vuông)
Phương pháp: A khả nghịch  det A # 0
VD1: Tìm x để A khả nghịch
A = ( 𝑥 2 3)(
𝑥
−𝑥
−1
) = (x2 – 2x – 3)
A khả nghịch det A # 0 x2 – 2x – 3 # 0  {
𝑥 − 1
𝑥 3
VD 2: Tìm m để A khả nghịch
A = (
1 1 3
2 4 6
−3 𝑚 −9
)(
1 2 𝑚
2 −3 1
−3 −6 1 − 𝑚
)
A= B * C
 Det A= detB.detC
Nhận thấy ma trận B có 2 cột tỷ lệ => det B = 0 ∀𝑚 => det A = 0 ∀𝑚
 A không khả nghịch.
Dạng 2: Tìm ma trận An
-1
Vd3: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:
A = (
−1 0 2
3 1 3
2 3 1
)
Det A = 22 # 0
A11= (-1)1+1|
1 3
3 1
|= -8 A12 = (-1)1+2|
3 3
2 1
| = 3 A13 =(-1)1+3 |
3 1
2 3
| = 7
A21 = 6 A22 = -5 A23 = 3
A31=-2 A32= 9 A33= -1
 Angang = (
−8 6 −2
3 −5 9
7 3 −1
) => A-1=
1
| 𝐴|
(
−8 6 −2
3 −5 9
7 3 −1
) =
(
−8
22
6
22
−2
22
3
22
−5
22
9
22
7
22
3
22
−1
22 )
Chú ý: Tính chất của A-1
(A-1)-1 = A

6. (AT)-1 = (A-1)T
(AB)-1 = B-1 x A-1
VD 3’ : Tìm A-1 nếu MT A tman A2 + 3A – 2E = (0)
A2 + 3A – 2E = (0)  A2 +3A = A2 + 3A = 2E
 A.A + 3 E.A = A.A + 3 A.E = 2E
 (A + 3E)A = A(A + 3E) = 2E
 1/2(A + 3E)A = 1/2A(A + 3E) = I => A-1 = ½(A + 3E)
Dạng 3: Giải phương trình ma trận
PP 1: dùng MT nghịch đảo ( chú ý không dc đổi thứ tự các ma trận )
AX = B A-1 A X = A-1B
XA = B  X A A-1 = B A-1
PP2: giải hệ pttt
Tìm cấp của X => tìm phần tử của X
Chú ý: nếu A, B là MT vuông
Det A=0, det B # 0 thì pt AX = B vô nghiệm
VD 4: Tìm X để AX = B
A =(
0 2 −1
0 6 −3
−1 1 4
) ; B =(
1 0 0
2 5 0
−1 −1 4
)
Det A= 0, det B = 20 # 0 => Pt vô nghiệm
VD 5: Tìm X để AX = B
A=(
−1 −3
1 −2
); B=(
1 2
0 1
)
Cách 1: det A = 5
A-1 =
1
5
(
−2 3
−1 −1
) =(
−2
5
3
5
−1
5
−1
5
)
X = A-1B = (
−2
5
3
5
−1
5
−1
5
) (
1 2
0 1
) = (
−2
5
−1
5
−1
5
−3
5
)
Cách 2: X là MT 2x2. Giả sử X = (
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
)

7. Phần tử của X : (
−1 −3
1 −2
)(
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
) = (
1 2
0 1
)
 {
−𝑥 − 3𝑡 = 1
𝑥 − 2𝑧 = 0
−𝑦 − 3𝑡 = 2
𝑦 − 2𝑡 = 1
=> {
𝑥 = −2/5
𝑦 = 𝑧 = −1/5
𝑡 = −3/5
=> X = (
−2/5 −1/5
−1/5 −3/5
)
VD6: Tìm X thỏa mãn: {
𝐴𝑋 = 𝐵
𝑋𝐴 𝑇
= 𝐶
với A= ( 1 2); B= (2 3) C=(
4
2
)
Cấp của X: 2x 2
tìm X: {
(1 2)(
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
)
(
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
)(
1
2
) = (
4
2
)
=> {
𝑥 + 2𝑧 = 2
𝑦 + 2𝑡 = 3
𝑥 + 2𝑦 = 4
𝑧 + 2𝑡 = 2
=> {
𝑥 = 2
𝑦 = 1
𝑧 = 0
𝑡 = 1
=> X = (
2 1
0 1
)
Dạng 4: tìm hạng ma trận ( tự làm), tìm điều kiện của x để ma trận có hạng = số tùy ý
PP: chủ yếu áp dụng cách tính ma trận bậc thang
VD 7: Tìm x để r(A)= 2 biết A= (
1 2 1
1 5 1
2 4 2
𝑥
−1
𝑥2
)
A=(
1 2 1
0 3 0
0 0 0
𝑥
−𝑥 − 1
𝑥2
− 2𝑥
) r(A) = 2  x2 – 2x = 0  x=0 hoặc x=2
VD 8: Nếu A, B cấp 4 khả nghịch . CMR r(A.B)= r ((B)-1)
A khả nghịch  r(A) = cấp của A
A, B cấp 4 khả nghịch => A.B cấp 4 , khả nghịch => r(A.B)=4
B-1 cấp 4, khả nghịch => r(B-1)= cấp của B-1=4 => đpcm
Dạng 5: Tính chất của phép toàn trên ma trận
Tìm ma trận B sao cho AB = BA
tìm cấp của B=> các phần tử của B( dạng này tương đối giống dạng giải pt)
ĐỊNH THỨC
Dạng 1: tính định thức D= det (A)
TH1: Nếu D là định thức đặc biệt
A, có 1 dòng hoặc 1 cột bằng 0
B, có 2 dòng hoặc 2 cột tỉ lệ với nhau hoặc bằng nhau
 D = 0

8. Th2: D là định thức không đặc biệt
Dựa vào các cách đã tóm tắt ở lí thuyết
VD1: A=|
𝑎 + 𝑏 𝑐 1
𝑏 + 𝑐 𝑎 1
𝑐 + 𝑎 𝑏 1
| = |
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑐 1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑏 1
|= (a+b+c)|
1 𝑐 1
1 𝑎 1
1 𝑏 1
|=0
- Khai triển theo 1 dòng hoặc 1 cột
- Đưa về định thức của ma trận đường chéo
Dạng 2: giải pt det A= f(x)
PP1: tính det A và giải pt
PP2: Nhẩm nghiệm khi f(x)=0
Det A= 0 khi A có : A, có 1 dòng hoặc 1 cột bằng 0
B, có 2 dòng hoặc 2 cột tỉ lệ với nhau hoặc bằng nhau
Phần này chị k đánh máy được nên chị sẽ có ví dụ viết tay kèm theo
Dạng 3: Bài toán quan hệ giữa det A, det kA, detA-1, detAT
Dựa vào tính chất sau:
Det(kAn) = kn. detAn det A.det A-1= 1
Det A = det AT det (A.B) = det A.det B
VD1: Nếu A là ma trận vuông cấp 4 có detA = -2. Tính det(2AT)
Det (2AT)= 24 det(AT) = 24det A = 16 .(-2) = -32
VD2 : nếu A là MT vuông cấp 3 có det(2A) = -24. Tinh det(3A-1)
Det (2A) = -24  23 detA = -24  detA = -3
 detA-1 = -1/3 => det (3A-1) = 33 det A-1 = 27. (-1/3) = -9
VD3: Tìm cấp của MT vuông A biết: {
det( 𝐴−1) = −1/3
det(2𝐴 𝑇) = 48
Giả sử A có cấp là n
Từ pt 1 => det A = 3 => detAT = 3
Từ pt2 => 2ndetAT = 48 => n = 6
BÀI TẬP CHUNG
1. Tìm tất cả ma trận B giao hoán với ma trận A(tức là AB = BA)

9. a, A= (
1 2
3 4
) b, A= (
1 −1
1 1
)
2. Cho MT A vuông thỏa mãn điều kiện: A2-2013A + E = 0
Tìm ma trận nghịch đảo A-1 của A( nếu tồn tại)
3. Tìm ma trận X để: (
1 2
4 3
) 𝑋 (
3 −1
2 1
) = (
1 0
2 1
).
4. Cho mt A=(
1 0 0
2 −1 0
3 1 −2
)
1
2
. Tính det[(3A)-1]T
5. Tìm GTLN của các định thức cấp 3 chỉ chứa các phần tử
a) 0 và 1 b) 1 và -1
ĐÁP ÁN
1. a,A và B giao hoán dc  B là MT 2x2 => B = (
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
)
AB = BA  (
1 2
3 4
) (
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
) = (
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
) (
1 2
3 4
)
 {
𝑥 + 2𝑧 = 𝑥 + 3𝑦
𝑦 + 2𝑡 = 2𝑥 + 4𝑦
3𝑥 + 4𝑧 = 𝑧 + 3𝑡
3𝑦 + 4𝑡 = 2𝑧 + 4𝑡
↔ {
𝑧 = 3/2𝑦
𝑡 = 𝑥 + 3/2𝑦
=> B = (
𝑥 𝑦
3/2𝑦 𝑥 + 3/2𝑦)
b, A và B giao hoán dc  B là MT 2x2 => B = (
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
)
AB = BA  (
1 −1
1 1
)(
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
) = (
𝑥 𝑦
𝑧 𝑡
) (
1 −1
1 1
)
 {
𝑥 − 𝑧 = 𝑥 + 𝑦
𝑦 − 𝑡 = −𝑥 + 𝑦
𝑥 + 𝑧 = 𝑧 + 𝑡
𝑦 + 𝑡 = −𝑧 + 𝑡
↔ {
𝑧 = −𝑦
𝑡 = 𝑥
=> B = (
𝑥 𝑦
−𝑦 𝑥)
2. A2 -2013A + E = 0  A2 -2013A = A2 -2013A = -E
 A.A -2013 E.A = A.A -2013 A.E = -E
 (2013E-A)A = A(2013E-A) = E
 A-1 =2013E-A
3. pt ma trận ( sử dụng ma trận nghịch đảo)
A.X.B = C  A-1.A.X.B.B-1 =A-1.C.B-1 ( ghi nhớ phép nhân ma trận k có t/c giao hoán nên m.n chú ý k
đc thay đổi thứ tự các ma trận nhé)
=> X = A-1.C.B-1 = (
1 2
4 3
)
−1
. (
1 0
2 1
). (
3 −1
2 1
)
−1

10. 4. detA= (1/2)3. 2 (=kn.detA’) = ¼
Det[(3A)-1]T = det(3A)-1=
1
det(3𝐴)
=
1
33 det 𝐴
=
1
27.1
4⁄
=
4
27
5.