1. Matematika dan musik memiliki hubungan erat, di mana matematika digunakan untuk memahami konsep-konsep dasar musik seperti nada, interval, dan transposisi. 2. Musik menggunakan konsep matematika seperti bilangan dan kongruensi untuk menentukan hubungan antara nada-nada. 3. Transposisi dalam musik dan matematika sama-sama mengacu pada perubahan tinggi rendahnya nada atau bilangan, yang didefinisikan secara

1. MATEMATIKA DAN MUSIK
Disusun untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Teori Bilangan
Oleh:
Tia Nur Septiani 142151054
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SILIWANGI
TASIKMALAYA
2015

2. MATEMATIKA DAN MUSIK
Gambar 1. Matematika dan Musik
Cabang matematika yang disebut kombinatorika memungkinkan seseorang
untuk menghitung cara-cara yang sesuai untuk mengkombinasikan pola-pola nada,
misalnya angka – angka. Hal ini memberikan taksonomi dan klasifikasi dari beberapa
kombinasi yang muncul. Matematika menjabarkan bagaimana kombinasi-kombinasi
itu berhubungan dengan nada dan bagaimana nada-nada tersebut dapat diubah dari
bentuk satu ke bentuk lainnya. Kurt lewin menyatakan bahwa matematika
memberikan kerangka yang cocok pada ahli-ahli teori musik untuk memberitahukan
cara yang paling baik untuk mendengarkan sebuah karya musik. Matematika juga
merupakan salah satu ilmu yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari.
Problematika yang sering terjadi yaitu peluang dalam perjudian, bilangan pada tangga
nada dan lain-lain.
Gambar 2. Kurt Lewin

3. Penentuan-penentuan nada-nada musik dengan menggunakan teknis
matematis sangat menarik untuk dibicarakan. Teori matematika yang digunakan
disini berkaitan dengan teori bilangan dengan bahasan aritmatika modulo dan
kongruensi menjadi kunci dari penyelesaian matematisnya.
Musik sangat erat kaitannya dengan pendengaran dan perasaan. Untuk
memahami musik, seseorang harus terlatih pendengarannya dan perasaannya dalam
memainkan nada-nada yang ada di partitur musik. Jika pendengarannya tidak terlatih
untuk mendengar suara suatu nada, pemain musik tersebut sulit untuk menentukan
nada-nada yang sedang didengarnya. Begitu pula dengan perasaan pemain musik.
Jika perasaannya belum menyatu dengan nada-nada yang ada di partitur,
kemungkinan besar, pemain itu akan memainkan nada dengan tempo yang tidak
sesuai..
Gambar 3. Pythagorean-tuning
Teori musik terkadang menggunakan matematika untuk memahami musik,
meskipun musik tidak memiliki dasar aksiomatik dalam matematika modern. Kaitan
matematika dengan musik sebenarnya ada sejak zaman Pythagoras. Doktrin utama
mereka adalah bahwa “seluruh alam terdiri dari harmoni yang timbul dari bilangan”.
Namun saat ini, matematika dan musik tampaknya sudah menjadi pengetahuan yang
independen, padahal ada hubungan erat diantara keduanya. Musik untuk matematika,
dan matematika untuk musik. Musik untuk matematika maksudnya musik

4. membangun keterampilan matematika. Musik dapat mengundang matematikawan
untuk membuat formula-formula baru sehingga memberikan kreasi musik yang lebih
ekspresif dan menarik. Matematika untuk musik maksudnya kreativitas dalam
bermusik menjadi takterbatas, karena adanya penemuan formula-formula baru yang
bisa direalisasikan ke dalam pembuatan musik.
Dalam seni musik, transposisi mengacu kepada perubahan tangga nada/akord
menjadi lebih rendah maupun lebih tinggi. Ada dikenal istilah tangga nada, ini
berisikan kumpulan nada-nada yang harmonis. Kumpulan dari semua tangga nada
dalam musik disebut tangga nada kromatik . Ada banyak jenis tangga nada yang
dapat disusun dari nada-nada yang ada pada tangga nada kromatik. Tangga nada yang
umum digunakan untuk memainkan suatu musik adalah tangga nada mayor.
Notasi (not) yang merupakan tanda untuk menulis nada. Pada dasarnya dalam
musik internasional terdapat 7 perbedaan pitch class (kelas nada) yaitu ( C, D, E, F,
G, A, B ) yang biasanya disebut 1 oktaf dengan interval yang telah ditentukan yaitu 1
1 ½ 1 1 1 ½. Hal ini akan lebih mudah jika diamati menggunakan garis bilangan.
Gambar 4. Nada Dasar Mayor
Nada-nada pokok tersebut tidak dimainkan secara langsung namun bisa
dinaikkan maupun diturunkan setengah laras. Nama nada yang dinaikkan setengah
laras mirip dengan nama nada aslinya ditambah akhiran is disimbolkan dengan (#),
tanda # disebut tanda kruis, sharp, palang. Nama nada yang diturunkan setengah laras
juga mirip dengan nada aslinya ditambah akhiran es disimbolkan dengan (b), tanda b
disebut tanda mol atau flat.

5. Akibat dari nada-nada yang dinaikkan atau diturunkan setengah laras adalah
jumlah nada dalam musik adalah 12 dengan jarak interval yang sama yaitu ½ ,
adapun nada-nadanya adalah sebagai berikut (C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A#,
B,) atau (C, Db, D, Eb, E, F, Gb, G, Ab, A, B, Bb).
Gambar 5. Nada Bekruis
Gambar 6. Nada Bermol
Pada pembahasan ini akan membahas nada berkruis atau nada bermol yang
jumlahnya adalah 12 nada. Dalam matematika ke 12 nada tersebut disebut sebagai
anggota himpunan nada berkruis. Pada bab sebelumnya telah dijelaskan bahwa suatu
himpunan dapat dinyatakan dalam dua bentuk penulisan. Bentuk pertama adalah
tabular (tabular form) yaitu penulisan himpunan dengan mendaftar semua anggotanya
di dalam tanda kurung kurawal {}. Misalnya, X={ C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A,
A#, B,} yang menyatakan bahwa himpunan C memuat unsur C, C#, D, D#, E, F, F#,
G, G#, A, A#, B. Bentuk yang kedua adalah pencirian (set-builder form) yaitu
penulisan himpunan dengan menyebutkan sifat atau syarat keanggotaan himpunan
tersebut. Misalnya, C = {x | x nada berkruis}.
Untuk menghubungkan keduabelas nada-nada tersebut ke dalam matematika
maka harus mengubahnya terlebih dahulu ke dalam bentuk bilangan yang disebut
integer model of pitch (bilangan bulat pada nada), sebagai berikut :
C = 0
C# = Db = 1

6. D = 2
D# = Eb = 3
E = 4
F = 5
F# = Gb = 6
G = 7
G# = Ab = 8
A = 9
A# = Bb = 10
B = 11
Transposisi dalam musik berfungsi untuk menentukan tinggi rendahnya nada
dalam suatu rangkaian alunan musik sedangkan dalam matematika transposisi
didefinisikan sebagai berikut:
Definisi: Misalkan n adalah bilangan integer mod 12, maka fungsi Tn : Z12  Z12
didefinisikan dengan rumus Tn (x) x + n (mod12).
Keterangan : n = transposisi ke….untuk n = 0,1,2,…11
x = himpunan trinada
dari definisi di atas dijelaskan bahwa fungsi transposisi akord merupakan fungsi Tn
yang memetakan Z12 ke Z12. Adapun penjabaran dari rumus fungsi transposisi akord
dengan n = 0,1, 2, ...., 11 adalah sebagai berikut:
T0 x + 0 (mod12)

7. T1 x + 1 (mod12)
T2 x + 2 (mod12)
T3 x + 3 (mod12)
T4 x + 4 (mod12)
T5 x + 5 (mod12)
T6 x + 6 (mod12)
T7 x + 7 (mod12)
T8 x + 8 (mod12)
T9 x + 9 (mod12)
T10 x + 10 (mod12)
T11 x + 11 (mod12)
Rumus transposisi di atas menggunakan mod 12 karena dalam musik terdapat 12
perbedaan nada.
Akord adalah kumpulan tiga nada atau lebih yang bila dimainkan secara
bersamaan terdengar harmonis. Akord digunakan untuk mengiringi suatu lagu,
sedangkan akord yang sering digunakan adalah akord mayor dan akord minor. Tipe
akord yang paling dasar dan yang paling sederhana adalah tipe triad mayor atau akord
trinada, yaitu penyusunan akord mayor dengan tiga nada penyusun. Triad mayor
terdiri dari nada pada urutan ke 1, 3, dan 5 atau dengan interval 2 1/2 - 1. Misalnya
jika ingin menyusun Akord dengan nada dasar C mayor maka nada yang dimainkan
adalah nada pada urutan ke 1, 3, dan 5 sebagai berikut C D E F G A B C, sehingga
akord C mayor adalah C E G yang mana jika dirubah dalam integer model of pitch

8. menjadi (0 4 7). Hal ini juga serupa pada akord dengan nada dasar F mayor. Nada
dasar F mayor adalah F G A A# C D E F, jadi nada yang dimainkan adalah nada F A
C yang mana jika dirubah dalam integer model of pitch menjadi (5 9 0), dan hal ini
juga berlaku untuk nada-nada yang lain. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat susunan
tangga nada mayor pada Gambar 7.
Gambar 7. Tangga Nada Mayor
Dari Gambar 7 dapat dibuat akord triad mayor yaitu dengan cara memilih
urutan ke 1, 3 dan ke 5, kemudian akord tersebut dirubah dalam bentuk integer
model of pitch. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 8.

9. Gambar 8. Akord Triad Mayor
Selain dengan cara melihat Gambar 8 yakni memilih nada urutan ke 1, 3
dan 5, himpunan triad mayor dapat ditentukan dengan cara menggunakan rumus
fungsi transposisi dengan nada awal C mayor atau (0 4 7) adalah sebagai berikut :
 Untuk n = 0
Tn (x) x + 0 (mod12) Tn (x) x + 0 (mod12) Tn (x) x + 0 (mod12)
T0 (0) 0 + 0 (mod12) T0 (4) 4 + 0 (mod12) T0 (7) 7 + 0 (mod12)
T0 (0) 0 (mod12) T0 (4) 4 (mod12) T0 (7) 7 (mod12)
Jadi untuk n = 0, C ( 0 4 7 ) menjadi C ( 0 4 7 )
 Untuk n = 1
T1 (0) 0 + 1 (mod12) T1 (4) 4 + 1 (mod12) T1 (7) 7 + 1 (mod12)
T1 (0) 1 (mod12) T1 (4) 5 (mod12) T1 (7) 8 (mod12)

10. Jadi untuk n = 1, C ( 0 4 7 ) menjadi C# ( 1 5 8 )
 Untuk n = 2
T2 (0) 0 + 2 (mod12) T2 (4) 4 + 2 (mod12) T2 (7) 7 + 2 (mod12)
T2 (0) 2 (mod12) T2 (4) 6 (mod12) T2 (7) 9 (mod12)
Jadi untuk n = 2, C ( 0 4 7 ) menjadi D ( 2 6 9 )
 Untuk n = 3
T3 (0) 0 + 3 (mod12) T3 (4) 4 + 3 (mod12) T3 (7) 7 + 3 (mod12)
T3 (0) 3 (mod12) T3 (4) 7 (mod12) T3 (7) 10 (mod12)
Jadi untuk n = 3, C ( 0 4 7 ) menjadi D# ( 3 7 10 )
 Untuk n = 4
T4 (0) 0 + 4 (mod12) T4 (4) 4 + 4 (mod12) T4 (7) 7 + 4 (mod12)
T4 (0) 4 (mod12) T4 (4) 8 (mod12) T4 (7) 11 (mod12)
Jadi untuk n = 4, C ( 0 4 7 ) menjadi E ( 4 8 11 )
 Untuk n = 5
T5 (0) 0 + 5 (mod12) T5 (4) 4 + 5 (mod12) T5 (7) 7 + 5 (mod12)
T5 (0) 5 (mod12) T5 (4) 9 (mod12) T5 (7) 0 (mod12)
Jadi untuk n = 5, C ( 0 4 7 ) menjadi F ( 5 9 0 )
 Untuk n = 6
T6 (0) 0 + 6 (mod12) T6 (4) 4 + 6 (mod12) T6 (7) 7 + 6 (mod12)
T6 (0) 6 (mod12) T6 (4) 10 (mod12) T6 (7) 1 (mod12)
Jadi untuk n = 6, C ( 0 4 7 ) menjadi F# ( 6 10 1 )
 Untuk n = 7
T7 (0) 0 + 7 (mod12) T7 (4) 4 + 7 (mod12) T7 (7) 7 + 7 (mod12)
T7 (0) 7 (mod12) T7 (4) 11 (mod12) T7 (7) 2 (mod12)

11. Jadi untuk n = 7, C ( 0 4 7 ) menjadi G ( 7 11 2 )
 Untuk n = 8
T8 (0) 0 + 8 (mod12) T8 (4) 4 + 8 (mod12) T8 (7) 7 + 8 (mod12)
T8 (0) 8 (mod12) T8 (4) 0 (mod12) T8 (7) 3 (mod12)
Jadi untuk n = 8, C ( 0 4 7 ) menjadi G# ( 8 0 3 )
 Untuk n = 9
T9 (0) 0 + 9 (mod12) T9 (4) 4 + 9 (mod12) T9 (7) 7 + 9 (mod12)
T9 (0) 9 (mod12) T9 (4) 1 (mod12) T9 (7) 4 (mod12)
Jadi untuk n = 9, C ( 0 4 7 ) menjadi A ( 9 1 4 )
 Untuk n = 10
T10 (0) 0 + 10 (mod12) T10 (4) 4 + 10 (mod12) T10 (7) 7 + 10 (mod12)
T10 (0) 10 (mod12) T10 (4) 2 (mod12) T10 (7) 5 (mod12)
Jadi untuk n = 10, C ( 0 4 7 ) menjadi A# ( 10 2 5 )
 Untuk n = 11
T11 (0) 0 + 11 (mod12) T11 (4) 4 + 11 (mod12) T11 (7) 7 + 11 (mod12)
T11 (0) 11 (mod12) T11 (4) 3 (mod12) T11 (7) 6 (mod12)
Jadi untuk n = 11, C ( 0 4 7 ) menjadi B ( 11 3 6 )
Maka dapat disimpulkan bahwa rumus fungsi transposisi akord dapat
diterapkan pada perpindahan semua nada dasar pada sebuah lagu.
Paul Erdos, matematikawan besar dunia, menyebut musik sebagai derau.
Universalis besar ini tahu kalau bagi matematika, segala yang bersuara adalah musik.
Sebuah keindahan auditori pada nada-nada. Musik karya Mozart misalnya, sempat
dikritik karena mengandung terlalu banyak nada. Tidak heran kalau ia
menyumbangkan sebagian uangnya untuk perkembangan musik klasik.

12. Gambar 9. Paul Edros
Matematikawan besar Georg Cantor merupakan pecinta musik. Ia bahkan
memiliki kerabat yang merupakan komposer besar. Darah musik mengalir pada
dirinya, tapi ia menjadi matematikawan. Ia mengalunkan nada-nada menjadi angka
dan membuat pencapaian besar dalam matematika lewat konsep ketakhinggaan
(infinity). Matematika bukan hanya kebenaran, namun juga keindahan.
Gambar 10. Georg Cantor
Matematika memiliki beberapa persamaan dengan musik. Sedikit orang yang
berbakat untuk mengarang musik, tapi banyak yang dapat memahami, menyanyikan
atau semata menikmatinya. Begitu juga matematika. Sedikit saja orang yang berbakat
untuk menemukan fakta matematika baru, tapi banyak yang dapat memahami,
menggunakan atau semata menikmati keindahannya. Masalahnya, bagaimana seorang

13. guru matematika dapat mengajarkan matematika seperti seorang bintang rock di atas
panggung.
Persamaan lain ada pada pemahamannya. Untuk memahami musik, orang
harus menikmati seluruh lagu. Dari awal hingga akhir, dan menangkap maknanya.
Iramanya dan strukturnya. Begitu juga memahami matematika. Untuk memahaminya,
seseorang harus mempelajari teori komprehensifnya, pembelajaran yang panjang dan
penerapannya di dunia nyata.
Dalam musik, bukan hanya garis melodi yang dibuka membuatnya bertambah
indah. Namun juga variasi tema, modulasi mengesankan dalam lonjakan atau
turunnya irama dapat menjadi klimaks dari emosi. Dalam matematika, hal yang sama
berlaku. Tipe fenomena, metode pengajuan masalah yang bervariasi dan metode
pemecahan masalah yang mengesankan dapat menjadi klimaks dari kegembiraan
seseorang yang memecahkan soal matematika atau menemukan teorema baru.
Banyak dari Anda mungkin tidak menyadari bahwa ternyata banyak sekali
lagu yang berhubungan dengan matematika, dan ini adalah beberapa contoh lagu
yang mengusung tentang matematika:
1. Tom Lehrer, yang berjudul “That’s Mathematics!”,
2. Jack Black, yang berjudul “Math Is A Wonderful Thing”,
3. Math Rock, yang berjudul “The Fraction”,
4. Ken Ferrier and Antoni Chan, yang berjudul “Mathematical Pi”,
5. Jazzmine Farol, yang berjudul “The Math Song”,
6. Mos Def, yang berjudul “Mathematics”.
Mereka bukanlah seorang matematikawan melainkan hanya seorang musisi
yang menciptakan karya seni melalui musik dengan lirik yang berhubungan dengan
matematika. Mereka membuktikan bahwa untuk membuat sebuah lagu itu bisa
dengan menggunakan ilmu pengetahuan juga. Kebanyakan memang mereka

14. mengungkapkan bagaimana sulitnya ketika belajar matematika, namun mereka
mencoba membuatnya menjadi lebih menarik yaitu mengajak belajar matematika
dengan melalui sebuah lagu. Ini membuktikan bahwa matematika bisa membuat kita
menjadi lebih kreatif seperti halnya dalam sebuah karya seni musik.
Bagaimana rasanya jika saat dewasa Anda tidak lagi mendengarkan musik?
Dan inilah matematika yang kita bicarakan, banyak orang melupakan matematika.
Padahal seperti apa yang dikatakan Galileo, Dunia ditulis dengan matematika. Inilah
matematika, yang mencapai jauh ke dalam intuisi kita dan keluar melintasi alam
semesta. Matematika menjelaskan atom dan bintang, membantu kita memahami
bagaimana sungai dan pembuluh darah bercabang. Matematika adalah studi
bagaimana hubungan yang ideal di buat dan faktanya ada jauh di sana, di sekitar dan
di dalam diri kita. Ia bukan hanya membantu kita melihat keseimbangan pendapatan
dan pengeluaran; ia membantu kita melihat keseimbangan dalam tak terhitung
peristiwa dan bentuk dari simetri yang tersembunyi di balik keacakan. Di saat yang
sama, kita dapat melihat bagaimana ia independen, seperti halnya musik. Baik murni
maupun terapan, matematika tidak mengikut pada persuasi ataupun keimanan, namun
pada dirinya sendiri. Matematika adalah kebebasan, kita memainkannya seperti
memainkan musik.
Gambar 11. Galileo Galilei

15. DAFTAR PUSTAKA
Peter D. Schumer, 2004. Mathematical Journeys, John Wiley & Sons, Inc
Mark Zegarelli, 2007. Basic Math and Pre Algebra for Dummies. John Wiley &
Sons, Inc
Hans Rademacher, 1957. The Enjoyment of Mathematics. Princeton University Press
William Dunham, 1990. Journey Through Genius: The Great Theorems of
Mathematics. John Wiley & Sons, Inc.
Robert Kaplan dan Ellen Kaplan, 2007. Out of the Labyrinth : Setting Mathematics
Free. Oxford University Press
Van Nostrand’s Scientific Encyclopedia. 10th Edition. Vol. 3. Glenn D. Considine
dan Peter H. Kulik (editors).
StanleySadie, (ed.), The New Grove Dictionary Music and Musicians, (London,
Macmillan Publisher, 1980), p. 485
http://www.lib.uin-malang.ac.id/files/thesis/fullchapter/04510029.pdf
https://matematiku.wordpress.com/2011/02/23/mathematics-songs/
Holland, Roy. 1983. Kamus Matematika. Jakarta: Erlangga
Isfanhari, Musafir. 2000. Pengetahuan Dasar Musik. Surabaya: Dinas P dan K
propinsi Jawa Timur
Muhsetyo, Gatot. 19997. Dasar-Dasar Teori Bilangan. FIP MIPA IKIP Malang
Sudirma. 2001. Teori Bilangan. F MIPA Universitas negeri Malang
Sukirman. 2005. Pengantar Aljabar Abstrak. Malang: UM Press