1. E.S.T. 118
Investigación de…
El Numero Áureo
Y La Serie De
Fibonacci
Alumna: Mendoza Calixto Lucero Aline
Prof.: Luis Miguel Villareal Matías
Grupo: 3° C
MATEMATICAS
Ciclo Escolar: 2012-2013
2. Índice
Introducción 3
Número Áureo 4
Serie de Fibonacci 12
Relación entre el Número Áureo 15
Y la Serie de Fibonacci
Actividad 16
Conclusión 17
Fuente 17
3. Introducción
A lo largo de los años se han descubierto diferentes números misteriosos, ya que
coinciden con diferentes cálculos; muchos artistas se han basado en estos
números y cálculos para hacer sus obras de arte de una forma estupenda
poniéndole más detalles aun de los que su obra ya tiene. Tambien algunos de estos
números tienen relación entre sí, ya que al hacer su serie o procedimiento nos
encontramos con otros números misteriosos tal y como es el caos del numero
áureo y la serie de Fibonacci.
4. Número Áureo
También conocido como proporción aurea el número áureo es
El número áureo es un numero con muchas propiedades la relación o proporción
que guardan entre sí dos segmentos de rectas, así como entre dos cuerpos. Fue
descubierto en la antigüedad, y puede encontrarse no solo en figuras geométricas,
sino también en la naturaleza. En diversas ocasiones se le atribuye un carácter
estético especial a los objetos que contienen este número, y es posible encontrar
esta relación en diversas obras de la arquitectura u el arte. Este número y/o
proporción se utilizó mucho en el arte del Renacimiento, pues se consideraba una
proporción perfecta entre los lados de un rectángulo
Leonardo Da Vinci dio por primera vez el nombre de sectio áurea.Así pues
Leonardo, en su cuadro de la Gioconda utilizó rectángulos áureos para plasmar el
rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro,
empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo
Pitagoras
La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según la
tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que
el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida
los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se
encontrara un número raro: el número de oro.
5. Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y su
lado es el número de oro.
También podemos comprobar que los segmentos
QN, NP y QP están en proporción áurea.
6. El rectángulo áureo
También existe rectángulo áureo para el cual primero se dibuja un cuadrado y
se marca el punto medio de uno de sus lados, se unen con uno de los vértices del
lado opuesto y se lleva esa instancia sobre el lado inicial y así se obtiene el lado
mayor del.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, se ve que lado mayor del rectángulo
vale por lo que la proporción entre los dos lados es (nuestro
número de oro).
Obtenemos así un rectángulo en que los lados están en proporción áurea. A
partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, se han
utilizando en arquitectura y diseño. Una propiedad importante de los triángulos
áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB
pasa por el vértice C.
7. El número de áureo en el arte, el diseño y la
naturaleza
El número áureo aparece, en edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro
cuerpo, ...
Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.
En la figura se puede comprobar que AB/CD= . Hay más cocientes entre sus
medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA= .
Hay un precedente a la cultura
griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops,
el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y
el lado es 2 .
8. Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar
en las tarjetas de crédito.
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegos
y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el
libro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509.
Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas
partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo
centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la
altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los
extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y
formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura
del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano
(radio de la circunferencia) es el número áureo.
9. Leonardo Da Vinci dio por primera vez el nombre de sectio áurea.Así pues
Leonardo, en su cuadro de la Gioconda utilizó rectángulos áureos para plasmar el
rostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro,
empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo
La proporción áurea está muy presente en el mundo vegetal. La filotaxis
estudia la disposición de las hojas de una planta sobre el tallo. Esta disposición
nunca es arbitraria, sigue siempre un orden y unos patrones determinados para
que la planta aproveche al máximo el oxígeno, la luz y las sales minerales.
10. La espiral logarítmica
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD
cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es
áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante
HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente,
obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia
el vértice O de una espiral logarítmica.
Se le llama también espiral geométrica el radio vector crece en progresión
geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética.
11. Serie de Fibonacci
Fibonacci , explicó el desarrollo de fenómenos naturales de crecimiento a través
de su conocida secuencia numérica.
Esta secuencia es una ley que explica el desarrollo de fenómenos naturales de
crecimiento, y se genera sumando dos números consecutivos para obtener el
siguiente.
f1 = f2 = 1
fn = fn - 1 + fn - 2 para n >= 3
La serie Fibonacci resultante es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,
987, etc.…
Fibonacci demostró que esa secuencia puede manifestarse en la evolución de un
fenómeno de la Naturaleza, puesto que la solución a un problema matemático
basado en el proceso de reproducción de una pareja de conejos así lo
confirmaba.
El problema consistía en determinar cuántos conejos se pueden obtener a partir
de una pareja durante un año, sabiendo que:
a) La pareja inicial puede procrear desde el primer mes, pero las parejas siguientes
sólo podrán hacerlo a partir del segundo mes.
b) Cada parto es de dos conejos.
Si se supone que ninguno de los conejos muere, el proceso sería el siguiente:
1. El mes nacerían un par de conejos, con lo cual ya habría un par de parejas.
2. Durante el segundo mes, el par de conejos inicial, produciría otra pareja, con lo
que ya sumarían tres pares.
3. A lo largo del tercer mes, la pareja original y la primera pareja nacida
producirían nuevas parejas, es decir ya existirían cinco parejas
12. Sin embargo, la utilidad que proporciona esta serie radica en sus propiedades
fundamentales, descubiertas en el siglo XVIII:
1. Si se dividen los números que son consecutivos de la serie, es decir, 1/1, 1/2, 2/3,
3/5, 5/8, 8/13, etc. Se verá que el resultado obtenido tiende al número 0.618.
2. Si se dividen los números no consecutivos de la serie, es decir, ½, 1/3, 2/5, 3/8,
5/13, 8/21, etc. Se observará que el resultado obtenido tiende al número 0.382.
3. Si se calcula ahora la razón de cualquier número de la serie al siguiente número
más bajo, es decir, 21/13, 13/8, 8/5... el resultado tiende a 1.618, que es el inverso de
0.618.
4. Si se calcula ahora la razón de cualquier número de la serie al siguiente número
más bajo no consecutivo, es decir, 21/8, 13/5, 8/3... el resultado tiende a 2.618, que
es el inverso de 0.382.
Por ej.; 144 / 233 = 0,618 144/89= 1.6179
La divergencia entre el resultado de estos cocientes y 0,618 ó 1,618, es mayor
cuanto más pequeño son los números de la serie utilizados.
13. Relación entre la serie de Fibonacci y el Numero
Áureo
En la serie de Fibonacci La proporción 1,618, ó su inversa 0,618, fueron
denominadas por los antiguos griegos “razón áurea” o “media áurea”, y se
representa con la letra griega phi, que hace referencia al autor griego Phidias.
Chirstopher Carolan, menciona que Phidias, autor de las estatuas de Atenas en el
Partenón y de Zeus en Olimpia, considero determinante el papel del número phi
en el Arte y la Naturaleza.
Este ratio cuyo inverso es él mismo más la unidad, caracteriza a todas las
progresiones de este tipo, sea cual sea el número inicial.
15. Conclusión
La serie de fibonacci como el número áureo tiene una relación
extraordinariamente exacta, lo cual es increíble tanto como usar el numero áureo
en las obras de arte y construcciones antiguas de artistas sumamente dedicados,
pero también es un gran misterio como los egipcios ya utilizaban dicho numero.
Fuente
http://www.abc.es/20100415/ciencia-tecnologia-matematicas/numero-aureo-
belleza-matematica-201004151848.html
http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm
http://www.google.com.mx/search?hl=es&q=numero+aureo+en+la+naturaleza+y+
en+la+mona+lisa&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.r_qf.&bpcl=35466521&biw=1366&bih=667&um
=1&ie=UTF-8&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&ei=8_yFUJrmFpPo2gXb24H4Bw
http://www.muchapasta.com/forex/forex,Indicadores%20marketiva%202.php
http://www.neoteo.com/la-sucesion-de-fibonacci-en-la-naturaleza
