Este documento trata sobre el número áureo y la serie de Fibonacci. Explica que el número áureo es una proporción ideal encontrada en la naturaleza. También describe cómo la serie de Fibonacci comienza con dos unos y cada término subsiguiente es la suma de los dos anteriores. Además, relaciona estas dos ideas matemáticas, ya que la razón entre números consecutivos de Fibonacci se aproxima al número áureo a medida que la serie avanza.

1. Escuela Secundaria Técnica No. 118
Alumna: Vianey Vignaud Buendía.
Profesor: Luis Miguel Villarreal Matías
Materia: Matemáticas 3
“El Número Áureo o Proporción Áurea y La serie de
Fibonacci”
Grado y Grupo: 3 “C”
Fecha de entrega: 25/10/2012
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2. ÍNDICE.
Introducción. _____________________________________________________ 3
El número Áureo o Proporción Áurea. _________________________________ 4
La Serie de Fibonacci. _____________________________________________ 5
Relación del Número Áureo o Proporción Áurea con la Serie de Fibonacci.____ 6
Relación del número Áureo con la naturaleza y otras aplicaciones. ___________ 7
Actividad. _______________________________________________________ 11
Actividad: Hacer el trazo de el rectángulo o triángulo y dentro de este la espiral áurea._ 12
Conclusión. _____________________________________________________ 13
Bibliografía. _____________________________________________________ 13
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3. Introducción.
Los griegos pensaban que el Número Áureo Proporción Áurea era la proporción
ideal en la debían estar los lados de un rectángulo para que fuese más bello al ojo
humano.
El valor numérico de la razón dorada o proporción Áurea es:
Este resultado es un número irracional.
La Proporción Áurea aparece en muchas formas de la naturaleza, por ejemplo en
varios tipos de conchas, en el acomodo de semillas de girasol o de los pinos.
La Serie de Fibonacci fue descubierta por Leonardo de Pisa, italiano del siglo XlI,
conocido como Fibonacci, la creo pensando en la reproducción de los conejos.
La serie empieza con dos unos, y cualquier término de la serie se obtiene de
sumar los dos anteriores.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ….
Esta serie aparece a menudo en la naturaleza, en el crecimiento y la ramificación
de muchas plantas.
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4. El número Áureo o Proporción Áurea.
Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) que
posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad,
no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas.
Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la
naturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras de las
hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un
caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí
dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación:
El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.
Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en
otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos
el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor.
Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:
Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:
Multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:
Igualamos a cero:
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5. La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
Que es el valor del número áureo, equivalente a la relación
.
Euclides demostró que este número no puede ser descrito como la razón de dos
números enteros, es decir, es un número irracional.
La Serie de Fibonacci.
En matemática, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci)
es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
La sucesión inicia con 0, y a partir de ahí cada elemento, es la suma de los dos
anteriores (0,1,1,2,3,5,8...)
A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta
sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del
siglo XII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones
en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También
aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los
árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y
en el arreglo de un cono.
Algunas aplicaciones de la Serie de Fibonacci.
En el álbum Lateralus de la banda estadounidenseTool, los patrones de la batería
(Danny Carey) de la canción "Lateralus" siguen la Sucesión de Fibonacci del
número 13 (número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,...
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6. En el videojuego de Assassin's Creed II, en uno de los acertijos de los glifos, se
debe usar la sucesión de Fibonacci para poder resolverlo.
En la miniserie Taken, la Sucesión de Fibonacci, como la Ecuación de Dios, es
descubierta en los planes de los extraterrestres, en ejemplos como que sus naves
tienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un pulgar, 1597 avistamientos ovnis en
año anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la híbrida humano-
extraterrestre Allie, y que finalmente el número de abducidos era de 46368.
Incidentalmente se habla en de un hombre que fue abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13,
55, 1597, 46368, todos números Fibonacci.
Relación del Número Áureo o Proporción Áurea con la Serie de Fibonacci.
Si se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente número de
Fibonacci, como Fn + 1, descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón
oscila, y es alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también
notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre
números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción.
Por ejemplo: ; ;y , lo que se acerca
considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:
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7. Relación del número Áureo con la naturaleza y otras aplicaciones.
La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en
la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig)
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8. La cantidad de espirales de una piña (ocho y trece espirales), flores o
inflorescencias. Estos números son elementos de la sucesión de Fibonacci
y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al número áureo.
La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de
cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres
espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera
de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los
radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma
dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria
pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de
espiral de crecimiento.
Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto
de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es
posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es
proporcional al triángulo rectángulo.
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9. En los violines, la ubicación de las efes o eses (los “oídos” u orificios en la tapa)
se relaciona con el número áureo.
Otras aplicaciones.
Ángulo de oro
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10. El número áureo es la unidad fundamental «ε» del cuerpo
y
la sección áurea es su inversa, « ». En esta extensión el
«Emblemático» número irracional cumple las siguientes igualdades:
.
En 1994 se obtuvieron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureo
con el número de la Bestia:
Lo que puede combinarse en la expresión:
Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se
elijan los grados sexagesimales como unidad angular, ya que las
ecuaciones no se mantienen para unidades diferentes.
El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos
geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal,
que sean pentágonos o que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de
cinco.
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11. El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y
en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento intersecta a
otro segmento en una razón áurea.
Actividad.
Relaciona las columnas.
1. Sucesión en la cual cada Liber Abaci
término es la suma de los dos
términos anteriores.
2. Nombre real de Fibonacci Conejo
3. Libro más importante de Mercadotecnia
Fibonacci, fundamental en la
formación de mercaderes y
comerciantes.
4. ¿La serie de Fibonacci es No
infinita?
5. Animal que ejemplifica la serie Conchas, en el acomodo de semillas de flores
de Fibonacci como el girasol, el pino, etc.
6. ¿Qué sucede en la sucesión de Arte, arquitectura y en la naturaleza
Fibonacci?
7. El rectángulo dorado es usado Positiva
hoy en día con fines de…
8. Los patrones matemáticos Sucesión de Fibonacci
coinciden muchas veces, con
patrones que existen en el…
9. Es la proporción ideal en la que Si
deben estar los lados de un
rectángulo para ser mas bello al
ojo humano
10. ¿El valor numérico de la razón Suma de los 10 primeros términos de la
dorada es aproximadamente sucesión será 11 veces el séptimo término
1.6180339 y es un número
racional?
11. En la ecuación para el cálculo Leonardo de Pisa
de la proporción áurea la solución
_____ es la correcta.
12. La proporción áurea, el Proporción áurea ó razón dorada
rectángulo dorado y la espiral
logarítmica aparecen en las
formas de la naturaleza como
en…
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12. Actividad: Hacer el trazo de el rectángulo o triángulo y dentro de este la espiral áurea.
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13. Conclusión.
En mi opinión El Número Áureo o Proporción Áurea es muy interesante ya que en
ella se basaron nuestros antepasados y tambien nuestros arquitectos de hoy en
dia para hacer edificios artísticos que llaman la atención por su magnífica
estructura como por ejemplo el Frontón del Partenón y es más interesante saber
que este número también lo observamos en las cocnchas de mar en los caracoles,
en las frutas como la piña y en las semillas de girasol.
Tiene mucha relación con la naturaleza y es demasiado importante.
En cuanto a la serie de Fibonacci sus términos consecutivos se van aproximando al valor del
número áureo. Osea que ambos estan relacionados entre si.
Bibliografia.
 Kolman, Bernard; Hill, David R. (2006). Álgebra Lineal. México: PEARSON
EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0696-9.
 Johnsonbaugh, Richard (2005). Matemáticas Discretas. México: PEARSON
EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0637-3.
 Brassard, G; Bratley, P. (1997). Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRETINCE
HALL. ISBN 84-89660-00-X.
 Kenneth, H. Rosen (2003). Discrete mathematics and its applications. McGraw
Hill. ISBN 0-07-123374-1.
 Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (1999). Handbook of discrete and
combinatorial mathematics. CRC. ISBN 0-8493-0149-1.
 N. N. Vorobiov (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección
Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega,
catedrático de Matemáticas Superiores y candidato a doctor en ciencias físico-
matemáticas.
 A. I. Markushevich (1974; 1981). Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú,
Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos
Vega.
 Luca Pacioli (1946). La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires.
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