Este documento presenta 6 problemas relacionados con conceptos de potencial eléctrico, campo eléctrico y ley de Gauss. El primer problema calcula la energía potencial eléctrica entre dos fragmentos de uranio separados. El segundo estima el potencial eléctrico y la carga acumulada en el cuerpo antes de tocar una manija metálica después de arrastrar los zapatos sobre una alfombra. Los problemas 3 a 6 calculan distancias, cargas, trabajos y energías requeridas usando las leyes de Gauss y campo eléct

1. Potencial Eléctrico, Ley de Gauss, Campo Eléctrico
Clase 6a 10/Febrero/2015

2. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Problema 1
 El modelo de gota liquida del núcleo sugiere que oscilaciones de alta energía de
ciertos núcleos pueden dividir el núcleo en dos fragmentos distintos más unos
cuantos neutrones. Los fragmentos adquieren energía cinética de su mutua
repulsión de Coulomb. Calcule la energía potencial eléctrica (en electrón volts) .
Calcule la energía potencial eléctrica (en electrón volts) de dos fragmentos
esféricos de un núcleo de uranio que tiene las siguientes cargas y radios 38𝑒 𝑦
5.50 × 10−15 𝑚 ;54𝑒 𝑦 6.20 × 10−15 𝑚 . Suponga que la carga esta distribuida de
manera uniforme por todo el volumen de cada fragmento esférico y que sus
superficies están inicialmente en contacto en reposo. (Los electrones que rodean el
núcleo pueden ignorarse).

3. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solucion
 Datos
 𝑅 = 6.20 × 10−15 𝑚, 𝑟 = 5.50 × 10−15 𝑚, 𝑈𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = ?
54𝑒− 38𝑒−
𝑅 𝑟

4. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solucion
 Sabemos que
 𝑈𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
𝑘 𝑒∙𝑄1∙𝑄2
𝑅+𝑟
⇒ 𝑈𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
𝑘 𝑒 54𝑒− 38𝑒−
𝑅+𝑟
 ⇒ 𝑈𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =
8.99×109 54 38 −1.6×10−19 2
11.70×10−15
 1 𝐽𝑢𝑙𝑖𝑜 = 6.2415 × 1018 𝑒𝑉
 ∴ 𝑈𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 253𝑀 𝑒𝑉

5. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Problema 2
 En un dia seco de invierno usted arrastra sus zapatos con suela de cuero sobre
una alfombra y recibe una descarga cuando extiende la punta de su dedo hacia
una manija metálica. En un cuarto oscuro ve una chispa quizá de 5 mm de largo.
Realice estimaciones de orden de magnitud de a) su potencial eléctrico y b) la
carga sobre su cuerpo antes de que usted toque la manija. Explique sus
razonamientos.

6. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Datos
 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 = 5 × 10−3 𝑚
 Inciso a
 Sabemos que: 𝐸 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑜 = 3 × 106 𝑉
𝑚
(𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒)
 Luego:

𝑑𝑉
𝑑𝑟
= −𝐸𝑟 ⟹
𝑑𝑉
𝑑𝑟
𝑑𝑟 = − 3 × 106
𝑑𝑟 ⟹ 𝑉 = −3 × 106
∙ 𝑟
 ⇒ 𝑉 = −3 × 106 5 × 10−3 = −15𝑘𝑉

7. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Inciso b
 Sabemos que:
 𝑉 =
𝑘 𝑒 𝑄
𝑟
⟹ −15𝑘𝑉 =
8.99×109 𝑄
5×10−3
 ∴ 𝑄 = −8.34𝑛𝐶

8. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Problema 3
 A una cierta distancia de una carga puntual, al magnitud del campo eléctrico es de
500 𝑉/𝑚 y el potencial eléctrico es igual a −3𝑘𝑉. A) ¿Cuál es la distancia a la
carga? B) ¿Cuál es la magnitud de la carga? .

9. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Inciso a
 Datos
 𝐸 = 500
𝑉
𝑚
, 𝑉 = −3𝑘𝑉
 Sabemos que:
 𝐸 =
𝑘 𝑒 𝑄
𝑟2 ⟹ 500 =
8.99×109 𝑞
𝑟2 …………………… (1)
 P𝑜𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 ∶ 𝑉 =
𝑘 𝑒∙𝑞
𝑟
⟹ −3 × 103 =
8.99×109 𝑞
𝑟
… … … . (2)

10. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Inciso a
 Sumamos (1) + (2):
 500 ∙ 𝑟2
= 8.99 × 109
𝑞
 −3 × 103 ∙ 𝑟 = 8.99 × 109 𝑞
 Un sistema equivalente seria el siguiente
 500 ∙ 𝑟2
= 8.99 × 109
𝑞
 3 × 103
∙ 𝑟 = − 8.99 × 109
𝑞

11. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Inciso a
 Por lo tanto tenemos que.
 500𝑟2
+ 3 × 103
𝑟 = 0 ⟹ 𝑟 500𝑟 + 3 × 103
= 0
 ∴ 𝑟1 = 0 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑎, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟2
 500𝑟 + 3 × 103 = 0 ⟹ 𝑟 = −
3×103
500
= −6, como no existen distancias negativas
decimos lo siguiente:
 ∴ 𝑟 = 6𝑚

12. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Inciso b
 De (1) tenemos que:
 500 =
8.99×109× 𝑞
6 2 ⟹ 𝑞 =
500× 6 2
8.99×109 ∴ 𝑞 = 2𝜇𝐶
 De (2) tenemos que
 −3 × 103
=
8.99×109×𝑞
6
⟹ 𝑞 =
−3×103×6
8.99×109 = −2𝜇𝐶
 ∴ 𝑞 = −2𝜇𝐶 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 3𝑘𝑉 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠

13. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Problema 4
 Calcule el trabajo que debe efectuarse para cargar un cascarón esférico de radio 𝐸
hasta una carga total 𝑄.

14. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
𝑅 = 𝐸
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑄 = 𝑄′
Cargar un cascaron de una carga inicial hasta una carga total

15. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Sabemos que por Gauus: Φ = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =
𝑄 𝑖𝑛𝑡
𝜀0
 ⟹ 𝐸 4𝜋𝑅2
=
𝑄
𝜀0
(por dato y simetría)
 ∴ 𝐸 =
𝑄
4𝜋𝜀0 𝑅2 𝑟, 𝑐𝑜𝑛 𝑘 𝑒 =
1
4𝜋𝜀0
, por lo tanto tendremos
 𝐸 =
𝑘 𝑒 𝑄
𝑅2 𝑟 𝐸𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠

16. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Solución
 Luego tenemos que:
 Cuando una carga de prueba positiva 𝑞0 se mueve entre los puntos 𝐴 𝑦 𝐵 de un
campo eléctrico 𝐸, el cambio de energía potencial del sistema carga-campo es:
 ∆𝑈 = −𝑞0 𝐵
𝐴
𝐸 ∙ 𝑑𝑠
 Por lo tanto tenemos que −∆𝑈 = 𝑊𝐹𝑒 = 𝑄′ 𝐸 ∙ 𝑑𝑟 = 𝑄′
𝑘 𝑒 𝑄
𝑅2 0
𝑅
𝑑𝑟
 ∴ 𝑊 = 𝑄′
𝑘 𝑒∙𝑄
𝑅2 𝑅 ⟹ 𝑊 =
𝑘 𝑒∙𝑄2
𝑅

17. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Problema 5
 ¿Cuántos electrones deberían extraerse de un conductor esférico, inicialmente
descargado, de 0.3𝑚 de radio, para producir un potencial de 7.5𝑘𝑉 en la
superficie?.
𝑅 𝐴

18.  Sabemos que una superficie equipotencial es aquella en la cual todos sus puntos
están al mismo potencial eléctrico. Por lo tanto tenemos:
 Solución
 Datos
 𝑅 = 0.3𝑚, 𝑉𝐴 = 7.5𝑘𝑉, 𝑛 𝑒− =?
 Sabemos que por simetría:
 𝑉𝐴 =
𝐾 𝑒∙𝑄
𝑅
⟹ 7.5𝑘𝑉 =
8.99×109× 𝑛 1.6×10−19
0.3
⟹ 𝑛 =
7.5𝑘𝑉×0.3
1.6×10−19 8.99×109
 ∴ 𝑛 𝑒− = 1.56 × 1012
𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠

19. PROBLEMAS
COMPLEMENTARIOS
 Problema 6
 Calcule la energía requerida para conformar el arreglo de cargas que se muestra
en la figura donde 𝑎 = 0.2𝑚, 𝑏 = 0.4𝑚 𝑦 𝑞 = 6𝜇𝐶
𝑞
𝐴
−2𝑞
2𝑞
3𝑞
𝐵 𝐶
𝐷
𝑎
𝑏

20.  Solución
 Datos
 𝑎 = 0.2𝑚, 𝑏 = 0.4𝑚, 𝑞 = 6𝜇𝐶, 𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =?
 La energía total requerida para que las cargas estén en posición mostrada y
mantengan dicha posición equidistantes entre ellas es:
 𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑈𝐴𝐵 + 𝑈 𝐵𝐶 + 𝑈 𝐶𝐷 + 𝑈 𝐷𝐴 + 𝑈 𝐵𝐷 + 𝑈 𝐶𝐴
 ⟹ 𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=
𝐾 𝑒 𝑞 2𝑞
𝑎
+
𝐾 𝑒 𝑞 −2𝑞
𝑏
+
𝐾 𝑒 −2𝑞 3𝑞
𝑎
+
𝐾 𝑒 3𝑞 2𝑞
𝑏
+
𝐾 𝑒 𝑞 3𝑞
2
𝑎2+𝑏2
+
𝐾 𝑒 2𝑞 −2𝑞
2
𝑎2+𝑏2

21.  Solución
 ⟹ 𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=
𝐾 𝑒 𝑞 2𝑞
𝑎
+
𝐾 𝑒 𝑞 −2𝑞
𝑏
+
𝐾 𝑒 −2𝑞 3𝑞
𝑎
+
𝐾 𝑒 3𝑞 2𝑞
𝑏
+
𝐾 𝑒 𝑞 3𝑞
2
𝑎2+𝑏2
+
𝐾 𝑒 2𝑞 −2𝑞
2
𝑎2+𝑏2
 𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝑘 𝑒2𝑞2−6𝑞2 𝑘 𝑒
𝑎
+
−𝑘 𝑒2𝑞2+6𝑞2 𝑘 𝑒
𝑏
+
3𝑞2 𝐾 𝑒−4𝑞2 𝐾 𝑒
2
𝑎2+𝑏2
 𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
−4𝑘 𝑒 𝑞2
𝑎
+
4𝑞2 𝑘 𝑒
𝑏
−
𝑞2 𝐾 𝑒
2
𝑎2+𝑏2
 𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑞2
𝑘 𝑒
−4
𝑎
+
4
𝑏
−
1
2
𝑎2+𝑏2

22.  Solución
 𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑞2 𝑘 𝑒
−4
𝑎
+
4
𝑏
−
1
2
𝑎2+𝑏2
 Reemplazando datos tenemos que
 𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 6𝜇𝐶 2 8.99 × 109 −4
0.2
+
4
0.4
−
1
2
0.22+0.4𝑏2
 𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = −3.96 𝐽