Matlab integración numérica, método del trapecio

1. Matlab Integración
Numérica, Método del
Trapecio
CLASE 12
16-JULIO-2014

2. Integración Numérica en Matlab
 En ciertas ocasiones nos encontramos con funciones para las que no
podemos hallar una primitiva, esto puede deberse por supuesto a falta de
habilidad de nuestra parte, aunque también ocurre que alguna funciones
elementales simplemente no tienen primitivas que al igual sean funciones
elementales que podamos calcular, por ejemplo, no hay funciones
elementales que tengan alguna de las siguientes como su derivada:

3. Integración Numérica en Matlab
Funciones que no tienen primitivas, en estos casos se
recurre a los métodos numéricos para integrarlas.

4. Integración Numérica en Matlab
 Recordemos que :
 Función primitiva o antiderivada de una función dada 𝑓(𝑥), es otra
función 𝐹(𝑥) cuya derivada es la función dada.
 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
 Si una función 𝑓(𝑥) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose
todas ellas en una constante.
 [𝐹(𝑥) + 𝐶]′ = 𝐹′(𝑥) + 0 = 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

5. Integración Numérica en Matlab
 Cuando se desea calcular una integral definida que contiene una
función cuya primitiva no podemos hallar, entonces no se puede aplicar
el teorema fundamental del cálculo y es aquí cuando se debe recurrir a
una técnica de aproximación.

6. Regla de los Trapecios.
 Una forma de aproximar una integral definida, consiste en usas N
trapecios, como se muestra en la figura 1. En el desarrollo de este
método, se supone que f es continua y positiva en el intervalo [𝑎, 𝑏] y que
la integral definida 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 representa el área de la región limitada por
la gráfica de 𝑓 y el eje 𝑋, desde 𝑥 = 𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑥 = 𝑏.

7. Regla de los Trapecios.
Figura 1: Función 𝑌(𝑥), el área bajo la curva, se
puede aproximar mediante n trapecios, en este
caso 4 trapecios.

8. Regla de los Trapecios.
 En el caso de las aproximaciones de las integrales por el método de los
trapecios, es tan simple tanto en descripción como a nivel de código,
como es sabido, es por esto, que nos limitaremos únicamente a la
utilización de la “formula” y los pasos que se deben seguir para
implementar nuestro método; el algoritmo es el siguiente:

9. Regla de los Trapecios.
1. En primer lugar se parte el intervalo comprendido entre [𝑎, 𝑏] en
subintervalos más pequeños, definidos por la variable 𝑁, nombrando el
ancho de esos subintervalos como 𝑑𝑥 (que en nuestro caso representa a
𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑋).

10. Regla de los Trapecios.
2. Se realiza la siguiente serie
Como se puede observar, es una sumatoria, donde todos los términos están
multiplicados por 2 excepto el primero y el ultimo termino y posteriormente están
multiplicados todos por lo que podríamos llamar entonces 𝒅𝒙/𝟐.

11. Código en Matlab.
 En esto punto crearemos una función en Matlab, que nos permita aproximar aquellas funciones
de las que se habló con anterioridad, manteniendo los criterios ya mencionados en primer
lugar, crearemos en nuestro directorio una función llamada intrap (integrales por trapecios),
que recibirá como parámetros, el la función, el limite inferior y el limite superior; también
pudiéramos recibir como parámetro el numero de subintervalos deseados 𝑵, nosotros lo
definimos como 400 ya que por lo regular las regiones a integrar no son muy grandes, pero la
modificación del código es libre y si quieres, puedes modificar también el parámetro 𝑁
(también se puede hacer, para aumentar la precisión).

12. Código en Matlab.

13. Código en Matlab.
 Posteriormente, como dijimos le daremos el valor de 𝑁 = 400 aunque esto
depende de su elección a la hora de montar el programa como
recibiendo el parámetro, en este punto se calcula el valor de
𝑑𝑥 (𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑥) con la formula que se vio en el punto 1 del algoritmo, también
se evalúa el primer termino de la serie, ya que este no esta multiplicado
por 2 y es el resultado de evaluar la expresión 𝑌 en el limite inferior.

14. Código en Matlab.

15. Código en Matlab.
 Ahora se usará un ciclo FOR para contar el número de iteraciones, las
cuales dependerán del número de subintervalos, la variable i se inicia con
un valor de 2, para descontar la evaluación del primer termino que se hizo
al inicio del programa, y para descontar la ultima iteración, que se hará
luego de termino el FOR, ya que esta ultima tampoco esta multiplicada
por 2.

16. Código en Matlab.

17. Código en Matlab.
 Luego de terminado el ciclo FOR, se procede a hacer la evaluación del n-
ésimo termino, es decir, el ultimo termino, después de esto, como se
comentó al final de algoritmo, se multiplican todos los términos sumados
𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑥/2, así:

18. Código en Matlab.
 Finalmente después de ejecutado todo el código, el programa nos
retornará una buena aproximación de la integral que queremos hallar por
más difícil que esta sea.

19. Código en Matlab.
 La forma correcta de utilizar esta función, en nuestro caso es, declarando
inicialmente una variable simbólica por ejemplo 𝑡 posteriormente
podemos nombrar una función 𝑓(𝑡) y llamar a la función 𝑖𝑛𝑡𝑟𝑎𝑝(𝑓, 𝑎, 𝑏)
donde 𝐴 será el limite inferior de nuestro intervalo de integración y 𝐵 el
superior, el funcionamiento se ilustra a continuación donde los limites de la
función serán de 0 (𝑐𝑒𝑟𝑜) 𝑎 𝑃𝑖.

20. Código en Matlab.

21. Código en Matlab.
 El valor exacto, como resultado de llevar a cabo la integración de 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
entre 0 𝑦 𝑝𝑖 𝑒𝑠 2; en el ejemplo anterior podemos notar la aproximación
llevada a cabo mediante el método del trapecio.

22. Código alternativo en Matlab.
 La función integral recibe la función 𝑓(𝑥), los limites 𝑎 𝑦 𝑏 y el número 𝑛 de
trapecios para el cálculo. Hay que definir previamente la función 𝑓(𝑥).

23. Código alternativo en Matlab.

24. Código alternativo en Matlab.
 Ejemplo
 Evalué la siguiente integral −3
5
1 − 𝑥 − 4𝑥3
+ 3𝑥5
𝑑𝑥
a. Analíticamente
b. Con el uso de la herramienta Matlab

25. Código alternativo en Matlab.
 Primero declaramos la función 𝑓(𝑥)

26. Código alternativo en Matlab.
 Segundo ejecución y resultado 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 = −3, 𝑏 = 5 𝑦 𝑛 = 200