El documento presenta información sobre series de Fourier, transformadas de Fourier y transformadas de Laplace. Explica que las series de Fourier descomponen funciones periódicas en funciones senoidales, y las transformadas de Fourier convierten señales del dominio temporal al dominio de la frecuencia. También define la transformada de Laplace como una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la conversión a ecuaciones algebraicas en el dominio de la frecuencia.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA FUERZA ARMADA U.N.E.F.A NUCLEO-CARABOBO EXTESION-GUACARA Brs Elio Peña 18.434.399 Yuselis Andrades 18.531.728 Jean C. Castillo 16.217.734 Pedro Calvo 11.356.115 Ing. Telecom G-004-N

2. Introducción La Transformada de Fourier se encarga de transformar una señal del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar su anti transformada y volver al dominio temporal. Las Transformadas de Fourier, propiedades. La series de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). La transformada de Laplace a la solución de ecuaciones diferenciales tal como comúnmente se presentan en el calculo de intensidades de corrientes y otros factores relevantes en los circuitos eléctricos. Se presentará una descripción del método por el cual una ecuación diferencial “en el dominio del tiempo” se transforma en una ecuación algebraica en el “dominio de la frecuencia”.

3. Definición de Serie de Fourier Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. Las series de Fourier tienen la forma:

4. Si es una función (o señal) periódica y su período es 2T, la serie de Fourier asociada a es: Donde y son los coeficientes de Fourier que toman los valores: Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja: Los coeficientes ahora serían: Definición de Serie de Fourier

5. Propiedades de Serie de Fourier

6. Ejemplo de Serie de Fourier Nosotros estamos utilizando formulario sobre como hacer una serie de Fourier en expansión muy simplificada. En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto Si la serie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:

7. Ejemplo de Serie de Fourier Grafico de una función periódica las 5 primeras series de Fourier.

8. Definición de Transformada de Fourier La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función f con valores complejos y definida en la recta, otra función g definida de la manera siguiente: Donde f es L 1 , o sea f tiene que ser una función integrable en el sentido de la integral de Lebesgue. El factor, que acompaña la integral en definición facilita el enunciado de algunos de los teoremas referentes a la transformada de Fourier. Aunque esta forma de normalizar la transformada de Fourier es la más comúnmente adoptada, no es universal. La transformada de Fourier así definida goza de una serie de propiedades de continuidad que garantizan que puede extenderse a espacios de funciones mayores e incluso a espacios de funciones generalizadas. La rama de la matemática que estudia la transformada de Fourier y sus generalizaciones es denominada análisis armónico. Son varias las notaciones que se utilizan para la transformada de Fourier de f. He aquí algunas de ellas:

9. Propiedades de Transformada de Fourier

10. Ejemplo de Transformada de Fourier

11. Definición de Transformada de la Laplace El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo. Definimos: f(t) = una función de tiempo t tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en ( 0,¥). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la función [f(t)] = F(s), definida por la integral. s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo. L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace

12. Propiedades de Transformada de Laplace

13. Obtener la transformada de Laplace de para s>a. Ejemplo de Transformada de Fourier