Geometría 2°

UNIDAD III Los rieles siempre paralelos
Capítulo 1
Ángulos determinados entre dos rectas
paralelas y una secante ................................... 59
Capítulo 2
Operaciones entre ángulos determinados
por rectas paralelas ........................................ 67
Capítulo 3
Aplicaciones de ángulos entre
rectas paralelas................................................ 74
Capítulo 4
Recordando lo aprendido................................ 82
Capítulo 5
Triángulos .................................................. 88
UNIDAD II Todo sobre ángulos
Capítulo 1
Identificando y midiendo ángulos................... 27
Capítulo 2
Operaciones con ángulos ................................ 34
Capítulo 3
Solo con enunciados ....................................... 43
Capítulo 4
Complemento y suplemento de un ángulo ..... 48
Capítulo 5
Repaso bimestral ............................................ 54
UNIDAD II Conociendo a la geometría
Capítulo 1
Introducción .................................................. 5
Capítulo 2
Segmento de recta ......................................... 12
Capítulo 3
Punto medio y el segmento de recta .............. 18
Capítulo 4
Recordando lo aprendido ............................... 23
UNIDAD IV El triángulo de las bermudas, ¿verdad o fantasía?
Capítulo 1
Líneas notables en el triángulo I .................... 97
Capítulo 2
Lineas notables en el triángulo II ................... 105
Capítulo 3
Repaso bimestral ............................................ 113
Índice

TRILCE
Geometría
UNIDAD V CUANDO EL NÚMERO DE LADOS AUMENTA
Capítulo 1
Estudiando las figuras de más
de tres lados .................................................. 120
Capítulo 2
¿Cuál será la suma de ángulos internos.......... 129
Capítulo 3
Estudiando las figuras de cuatro lasdos.......... 136
Capítulo 4
Conociendo los paralelogramos ..................... 144
Capítulo 5
Operaciones en el cuadrilátero ....................... 152
UNIDAD VII Región y área, ¿lo mismo?
Capítulo 1
Perímetro es lo mismo que área ..................... 182
Capítulo 2
Conociendo las regiones poligonales .............. 190
Capítulo 3
Calculando el área de regiones triángulares ... 199
Capítulo 4
Calculando el área de diversas regiones ......... 208
UNIDAD VIII eSTUDIANDO LOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Capítulo 1
Reconociendo los elementos .......................... 215
Capítulo 2
¿Area es lo mismo que volumen? ................... 223
Capítulo 3
Recordando lo estudiado ................................ 231
UNIDAD VI calculando la suma de los lados
Capítulo 1
¿Qué es perímetro? ......................................... 159
Capítulo 2
Calculando el perímetro de diversas figuras... 167
Capítulo 3
Repaso general ............................................... 175

AprendiZajes esperados
UNIDAD 1
L
a base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que
los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y
crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos
Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros)
ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos.
¿Cuál es la etimología de Geometría?
¿Qué estudia la Geometría?
¿Qué es postulado?
Conociendoalageometría
UNIDAD 1
• Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos.
• Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte.
• Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables.
• Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás.
• Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables.
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A diario vemos objetos de diversas formas, que si quisiéramos describirlos tendríamos que usar términos
geométricos.
• ¿Qué diferencia hay entre un cubo y un dado?
• ¿Es igual círculo que circunferencia?
Introducción
En este capítulo aprenderemos:
• A reconocer elementos y figuras geométricas en el plano.
• A reconocer elementos y figuras geométricas espaciales.
• A identificar y graficar rectas paralelas y secantes.
• A identificar y graficar planos paralelos y secantes.
• A contar puntos de corte entre rectas y figuras geométricas planas.
5
1
Central: 619-8100 Unidad I
CAPITULO

6
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Introducción
Conceptos básicos
Figura geométrica
Son las ideas obtenidas a partir de la forma de un objeto

Objeto Figura geométrica
esfera
cubo
cilindro
Elementos geométricos
Son las ideas geométricas en las cuales no se consideran longitudes o medidas y son los siguientes:

El punto
Es la idea geométrica más pequeña. La marca de un lápiz, un grano de azúcar, un residuo de tiza, etc.,
nos dan la idea de punto. Se nombra con una letra mayúscula.
A Punto "A" M Punto "M"
La recta
Los puntos sucesivos en una misma dirección e ilimitadamente nos representa una recta.
Recta l
l
Recta a
a
El plano
Es la idea geométrica obtenida a partir de la mayoría de superficies. Todo plano puede obtener
completamente figuras geométricas. Se le nombra con una letra mayúscula.
Plano R
R

7
1
División de la Geometría
Para el mejor estudio de la geometría elemental se divide en:

Geometría plana
Estudia a las figuras geométricas contenidas en un solo plano.

PentágonoCircunferencia
Centro Radio
r
Triángulo
Vértices
Cuadrilátero
Lados
Geometría del espacio
Estudia a las figuras geométricas tridimensionales o cuyos elementos están contenidos en dos o más
planos.

Cono Prisma Tetraedro
Rayo
Es la parte de una recta que tiene un punto de origen y es ilimitado en un solo sentido.

AO
Rayo OA: OA
B
P
Rayo PB: PB
a es paralela a b (a // b)
a
b
m y n son secantes
"P" es el punto de intersección
m
n
P
Rectas secantes
Dos rectas son secantes si tienen un punto
en común.
Rectas paralelas
Dos rectas paralelas son aquellas que no
tienen punto de corte.
Ten en cuenta

8
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Introducción
Número de puntos de corte
• Entre dos rectas paralelas y una secante.
"P" y "Q" son planos paralelos (P//Q)
Planos paralelos
Son aquellos que no tienen ni un punto en
común.
Planos secantes
Son aquellas que tienen una recta en común.
l
"R" y "Q" son planos secantes
l es la intersección entre "R" y "Q"
Dos puntos de corte
• Entre tres rectas secantes.
Un punto de corte
como mínimo
Tres puntos
de corte como
máximo

9
1
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
1. Graficar un rayo OA en posición horizontal.
2. Graficar un rayo PB en posición vertical.
3. Graficar los rayos MN y MQ en sentidos
opuestos. ¿Qué se forma?
4. Graficar tres rectas paralelas y una secante.
¿Cuántos puntos de corte se obtienen?
5. Graficar tres rectas secantes y dar el máximo
número de puntos de corte.
6. Calcular el máximo número de puntos de
corte entre cinco rectas paralelas y dos rectas
secantes.
7. Calcular el máximo número de puntos de corte
entre un triángulo y tres rectas secantes.
entre un cuadrilátero y tres rectas secantes.
entre un pentágono y dos rectas secantes.
10. Calcular el número de puntos de corte entre
una circunferencia y seis rectas paralelas.
• Entre una circunferencia y una recta secante. • Entre un triángulo y una recta secante.

Dos puntos
de corte.
Dos puntos
de corte
• Entre una circunferencia y dos rectas secantes.
Tres puntos
de corte como
mínimo.
Cinco puntos
de corte como
máximo.
Comunicación matemática
1. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
• Según Euclides, los elementos geométricos son cuatro......................................................... ( )
• La Geometría se divide en plana y del espacio..................................................................... ( )
• Las rectas paralelas tienen un punto de intersección............................................................. ( )
• Las rectas secantes no tienen ningún punto en común.......................................................... ( )
Conceptos básicosAprende más...

10
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Introducción
Resolución de problemas
entre cinco rectas secantes.
corte entre cuatro rectas paralelas y dos rectas
secantes.
entre seis rectas paralelas y dos rectas secantes.
entre una circunferencia y cuatro rectas secantes.
entre una circunferencia y cinco rectas secantes.
Aplicación cotidiana
• Supongamos que en el Perú se quiere construir la mayor cantidad de carreteras subterráneas rectilíneas
para trenes eléctricos, que facilitarían el viaje entre los departamentos mostrados.

Arequipa
Piura
Lima
Ica
Ayacucho
11. ¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Lima y Ayacucho?
12. ¿Cuántas carreteras se forman entre Lima, Arequipa e Ica?
13. ¿Cuántas carreteras se forman entre Lima, Ayacucho, Ica y Arequipa?
14. ¿Cuántas carreteras se forman entre Piura, Arequipa, Ica y Ayacucho?
15. ¿Cuántas carreteras se forman entre los cinco departamentos?
3. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:
• La intersección entre dos ............................ está representado por .......................... recta.
• El rayo tiene un ......................... de origen y es ilimitado en un solo ..................................
rectas - punto - planos - dos - una - sentido - número
4. Graficar un plano "H" y a una circunferencia contenida en "H".
5. Graficar un plano "M" y a dos rectas a y b secantes en "P".

11
1
Conceptosbásicos ¡Tú puedes!
1. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas paralelas y cuatro rectas secantes.
2. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes.
3. Calcular el máximo número de puntos de corte entre siete rectas secantes.
4. Calcular el máximo número de puntos de corte entre seis rectas secantes y dos rectas paralelas.
5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre cinco rectas secantes y tres rectas paralelas.
1. Hallar el máximo número de puntos de corte
entre tres rectas secantes y una circunferencia.
entre ocho rectas paralelas y una circunferencia.
entre un triángulo y tres rectas paralelas.
entre un triángulo y una circunferencia.
entre dos rectas secantes y un triángulo.

entre dos rectas secantes y un cuadrilátero.

corte entre cuatro rectas secantes y dos rectas
paralelas.

8. ¿Cuántos puntos de corte hay en el gráfico?
entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes.

entre cinco rectas paralelas y una circunferencia.
entre seis rectas paralelas y un triángulo.
entre tres rectas secantes y un triángulo.
entre un cuadrilátero y una circunferencia.
Practica en casa
18:10:45
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45

12
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Saberes previos
Segmentos de recta
• A identificar al segmento de recta y a su medida.
• A relacionar segmentos consecutivos y no consecutivos.
• A sumar y restar longitudes de segmentos consecutivos.
Podemos mencionar otros tipos de líneas:
línea curva y línea quebrada. En nuestro
lenguaje común, el término "segmento"
significa parte o porción de algo con lo cual
lo podemos conjugar a términos anteriores.
• ¿Qué líneas observas?
• Unidades de longitud
- Centímetros, metros, kilómetros.
- Pulgadas, pies, yardas, millas.
• Unidad de peso: .......................
Unidad de temperatura: .........................
• Ecuaciones de primer grado:
2x + 10 = 18 ⇒ x =
3x + x + 5 = 25 ⇒ x =
CAPITULO
2
En el capítulo anterior, mencionamos a la "línea
recta", pero no es el único tipo de línea, en la
naturaleza encontramos diversidad de formas así
como en nuestro mismo cuerpo.

13
Geometría
Unidad ICentral: 619-8100
Observación
Definición de segmento de recta
Es la parte de una línea recta que tiene por extremos a dos puntos. Su medida esta representada por la
distancia entre los extremos del segmento y se expresa en unidades de longitud (centímetros, metros,
pulgadas, pies, etc.).
R
S8 cm
• Segmento RS : RS o SR
• Medida de RS : mRS = 8 cm
RS = 8 cmL
• Cuando no se conoce la medida de un
segmento de recta, se usan variables
como en el Álgebra.
• También se usan unidades arbitrarias
de longitud, es decir, si no son
centímetros, pulgadas, etc. se emplea
la letra "∝" de unidades. PQ = 12 cm
12 cm
QP
"x" µ
NM
Puntos colineales
Son puntos que pertenecen a una línea recta.
"A", "B" y "C" son puntos colineales por
que pertenecen a L y se pueden contar
tres segmentos de recta.
A B C
L
Segmentos consecutivos
Son segmentos que tienen un extremo común y son de dos tipos:
A C
B
C
A
B
D
Segmentos
no colineales
A B C
A B C D
Segmentos
colineales
Conceptos básicos

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14
Segmento de recta
Suma y resta entre longitudes de segmentos consecutivos y colineales.
EH = 8 + 14 = 22 cm
8 cm
E F H
14 cm
AD = 6 + 10 + 14 = 30 cm
6 cm 10 cm
A B C D
14 cm
PQ = 36 - 12 = 24 cm
P Q R
12 cm
36 cm
LE = 23 - (13 + 7)
LE = 3 cm
13 cm
A
L E J
7 cm
23 cm
MP = a + b
AN = x - y
A
x
N
y
Q
M
a b
N P
1 + 2 + 3 = 6 segmentos
A B C D
1 + 2 = 3 segmentos
P Q R
1 + 2 + 3 + 4 = 10 segmentos
M EN F Q
L
L
L
Número máximo de segmentos de recta
Suma y resta con variables
Ten en cuenta

Central: 619-8100
15
2
Unidad I
ConceptosbásicosAplica lo comprendido
10 x
5
50
1. Si: AC = 42 cm y BC = 31 cm, calcular "AB".
A B C
2. Si: EH = 56u y FH = 14u, calcular "EF".
E F H
3. Si: MN = 13u; NE = 8u y EF = 18u, calcular
"MF".
M EN F
4. Si: PR = 24 cm; QS = 36 cm y QR = 100 cm,
calcular "PS".
P RQ S
5. Si: AC = 58 cm; BD = 76 cm y BC = 32 cm,
calcular "AD".
A CB D
6. Si: EH = 41u; FN = 38u y EN= 52u, calcular "FH".
E F NH
7. Si: PT = 22u; QU = 45u y PU = 59u, calcular
"QT".
P Q UT
8. Si: EL = 120 cm; EJ = 30 cm y KL = 70 cm,
calcular "JK".
E J LK
9. Si: AB = 17,2u; CD = 41,8u y AD = 80u,
calcular "BC".
A B DC
10. Si: PT = 56 cm, calcular "x".
P Q
2x 5x
T
• El segmento de recta está formado por dos puntos.................................................................. ( )
• El segmento de recta tiene una cantidad indeterminada de puntos.......................................... ( )
2. Completar las siguientes proposiciones con los términos del recuadro:
• La menor ................................ entre dos puntos está representado por el ................................ de
recta que los une.
• Dos o más segmentos de ................................ se llaman colineales, si ................................ a una
misma recta.
plano - recta - perpendicular - distancia - pertenecen - segmento - secantes.

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16
Segmento de recta
6. En el gráfico: AC = 17 cm; BD = 22 cm y
BC= 6 cm. Calcular "AD".
A CB D
7. Si: PR = 19u; QS = 26u y QR = 4u, calcular
"PS".
P RQ S
8. Si: AF = 11u; EN = 19u y AN = 25u, calcular
"EF".
A FE N
9. Si: PQ = 2x; QE = 8u; EF = 5x y PF = 43u,
calcular "x".
P EQ F
10. Si: AB = x + a ; BC = 6x - a y AC = 63u,
calcular "x".
A B C
11. Si: AB = x; BC = 2x; CD = 5x y AD = 40u,
calcular "x".
A B C D
12. Si: PQ = 3k; RT = 7k; QR = 38u y PT = 118u,
calcular "k".
P Q R T
• Un grupo de alumnos van de excursión partiendo de un punto "A", en una carretera recta, siendo su
destino el punto "B". Pero tienen que hacer escala en los puntos "E" y "F". La distancia entre "A" y "F"
es de 34 km, la distancia entre "E" y "B" es de 42 km y la distancia entre el punto de partida y el punto
de destino es 63 km.
A FE B
13. Calcular la distancia entre "A" y "E".
14. Calcular la distancia entre "E" y "F".
15. Calcular la distancia entre "F" y "B".
3. Completar los siguientes recuadros, de acuerdo a la teoría hecha en clase:
E P Q EQ = .......... + .........
P M N PM = ......... – .........
4. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC, tal que: AB = 2 cm y BC = 3 cm. Luego
mide la longitud del segmento AC. (Usar regla calibrada en centímetros)
5. Usando una regla calibrada en centímetros, graficar los segmentos consecutivos no colineales: PQ = 3 cm
y QR = 5 cm. Luego mide la longitud de PR.

Central: 619-8100
17
2
Unidad I
18:10:45
1. Si: AC = 46u y BC - AB = 14u, calcular "AB"
A B C
2. Si: PQ = 2(QR) y PR = 36u, calcular "QR".
P Q R
3. Si: AC + BD = 53u y AD = 30u, calcular "BC".
A CB D
4. Si: PQ + PR = 65 cm y QR = 3(PQ), calcular "PQ".
P Q R
5. Si: BC = 3(AB) y CD = 5(AB), calcular "AB".
A B C D
135 cm
1. En una recta, marcar a los puntos consecutivos
"A", "B" y "C". ¿Cuántos segmentos como
máximo se determinan?
2. Si: AB = 72u, calcular "x".
A E
x 8x
B
3. Si: AC = 120 cm, calcular "x".
A B
3x 7x
C
4. Si: MQ = 124u y NQ = 80u, calcular "MN"
QNM
5. Si: EF=20u; MH=30u y MF=16u, calcular "EH".
HM FE
6. Si: PR=16u; QT=23u y QR=9u, calcular "PT".
TQ RP
7. Si: EN = 24u; MH = 43u y EH = 57u,
calcular "MN".
HM NE
8. Si: AE = 96 cm, calcular "x".
A B C D
2x x 4x 5x
E
9. Si: AP = 60u, calcular "AB".
A B
2x 8x
P
10. Si: EF = 16u; TQ = 22u y EQ = 53u, calcular
"FT".
QF TE
11. Si: PR = 21u, calcular "RT".
P Q R
4a 3a 10a
T
12. En el problema anterior, calcular "PT"
13. Si: AL = 4x; LE = 6x y AJ = 24x, calcular "x".
A L E
28 cm
J
14. Si: MT = 98u, calcular "x".
M N Q
5x 26u 7x
T
15. ¿Cuántos segmentos se cuentan como máximo
en la siguiente figura?
A CB ED

18
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Punto medio del segmento
de recta
• A ubicar los puntos medios de los segmentos, conociendo sus medidas.
• A usar variables para representar segmentos congruentes.
• A usar el compás para ubicar el punto medio del segmento de recta.
CAPITULO
3

En nuestro país, las unidades de longitud más usadas son:
• 1 metro = 100 centímetros
• 1 kilómetro = 1000 metros
En las carreteras, para señalar las distancias entre las ciudades se usan los kilómetros.
Por ejemplo, en Norte América se usan:
pulgadas; pies; yardas y millas.

1 yarda = 3 pies1 pie = 12 pulgadas 1 milla = 1760 yardas
Partiendo de que 1 pulgada es aproximadamente 2,54 centímetros, se calcula que 1 milla es
aproximadamente 1,6 kilómetros

19
Geometría
Saberes previos
Conceptos básicos
•

r
B
O
A
O:
r:
mAO = mOB
Circunferencia

• Trazar con el compás una circunferencia de 2,5 cm de radio.
•
AC = ......... + .........
CD = ......... – .........
AD =......... + .........CBA D
ya
b
Definición del punto medio de un segmento de recta
Es el punto que pertenece al segmento y tiene igual distancia a los extremos; es decir, que divide al
segmento en dos segmentos congruentes (congruentes: medidas iguales)
Q M
aa
R
A P 19 cm
38 cm
19 cm B
• "P" es punto medio de AB
• AP es congruente con PB (AP ≅ PB)
• mAP = mPB
• Si no se conoce la medida se usan variables
iguales: QM = MR = a
• "M" es punto medio de QR
Ubicación del punto medio del segmento usando el compás
Dado el segmento RG y tomando como centro a cada extremo se trazan circunferencias con el mismo
radio. Luego se unen los puntos de intersección de las curvas ("E" y "F") y el punto de corte entre RG y EF
es el buscado punto medio "M" de RG.
F
G
MR
E

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20
Punto medio y el segmento de recta
10 x
5
50
1. Grafica un segmento de recta AB de 4,2 cm
y ubica a su punto medio, usando el compás.
(Usar regla calibrada en centímetros)
2. Grafica un segmento de recta PQ de 5,7 cm
y ubica a su punto medio, usando el compás.
(Usar regla calibrada en centímetros)
3. Si: AB = 15 cm; BC = 42 cm y "M" es punto
medio de BC, calcular "AM".
CB MA
4. Si: PQ = 48u; QR = 14u y "N" es punto medio
de PR, calcular "NQ".
RN QP
5. Si: EF = 23u; NG = 25u y "F" es punto medio
de EN, calcular "EG".
GF NE
6. Si: AB = 21u y BC = 65u, hallar "MN", si "M"
y "N" son puntos medios de AB y BC.
A M B N C
7. Si: AM = 79u; MF = 31u y "E" y "N" son puntos
medios de AM y MF respectivamente, calcular
"EN".
FNMEA
8. Si: RB = 70u; "A" es punto medio de RM y "C"
es punto medio de MB, calcular "AC".
R A
a ba b
M C B
9. Si: PR = 55u, calcular "MN"; siendo "M" y "N"
puntos medios de PQ y QR.
RN
yx yx
QMP
10. Si: EF = 118 cm, calcular "AB", siendo "A" y
"B" puntos medios de EK y KF respectivamente.
FA K BE
• Cada segmento de recta tiene solo un punto medio.................................................................( )
• El punto medio de un segmento de recta equidista de los extremos de dicho segmento..........( )
2. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro.
• Dos ..........................de recta que tienen igual longitud se denominan segmentos ..........................
• El .......................... medio de un segmento de recta .......................... a éste en otros dos segmentos
congruentes.
iguales - semejantes - congruentes - punto - recta - segmentos - divide - determina
3. Grafica a los segmentos consecutivos no colineales AB y BC que miden 3,2 cm y 2,5 cm (usar regla
calibrada en centímetros). Luego ubicar a los puntos medios de AB y BC con el uso del compás.

Central: 619-8100
21
3
Unidad I
6. Si: AB = 31u; BC = 75u y "M" es punto medio
de AC, calcular "BM".
CB MA
7. Si: EQ = 86u; FQ = 32u y "N" es punto medio
de EF, calcular "NQ".
QN FE
8. Si: MQ = 33u; MN = 97u y "P" es punto medio
de QN, calcular "MP".
NQ PM
9. Si: AC = 40u; BD = 80u y BC = 10u, calcular
"MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB
y CD respectivamente.
DB CM NA
10. Si: PR = 43u; QS = 47u; QR = 13u y "A" y "B"
son puntos medios de PQ y RS, calcular "AB".
SQ RA BP
11. Si: AB = 26u; BC = 58u; "M" y "N" son puntos
medios de AB y BC y además "P" es punto
medio de MN, calcular "BP".
CB PM NA
12. Si: PQ = 72u; QR = 28u y "E", "F" y "M" son
puntos medios de PQ, QR y EF respectivamente,
calcular "MQ".
RM QE FP
4. Grafica a los segmentos consecutivos y colineales PQ y QR, tal que: PQ = 2,8 cm y RP = 3,6 cm (usar
regla calibrada en centímetros). ¿Cuánto mide QR y qué observa?
5. Grafica al segmento EF que mide 6 cm y a los segmentos consecutivos no colineales EA y AF de
cualquier medida. Luego ubica a los puntos medios de EA y AF con el uso del compás. ¿Cuánto mide
el segmento de recta que une dichos puntos medios? (Usar regla calibrada en centímetros)
• Un edificio está compuesto por siete pisos, tal que el primer piso
tiene una altura de 3 metros y el resto de los pisos 2 metros de altura.
13. ¿Qué altura tiene el edificio?
14. ¿Qué altura sube una persona que vive en el cuarto piso?
15. ¿Qué altura sube una persona que vive en el sexto piso?

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22
Punto medio y el segmento de recta
Conceptos básicos¡Tú puedes!
18:10:45
1. Sobreunarectasetienenlospuntosconsecutivos
"A", "B", "C" y "D". Si: AB = CD y AD + BC = 16,
calcular "BD".
2. En una recta se ubican los puntos consecutivos
"A", "B" y "C". Si: AB + AC = 28, calcular
"AM", siendo "M" punto medio de BC.
3. Sobreunarectasetomanlospuntosconsecutivos
"A", "B", "C" y "D". Calcular "AD", si: AC = 12µ
y AD + CD = 28µ.
4. Sobreunarectaseubicanlospuntosconsecutivos
"A", "B", "C" y "D". Si: AC + BD = 64µ, calcular
"PQ", siendo "P" y "Q" puntos medios de AB y
CD respectivamente.
5. En una recta se ubican los puntos consecutivos
"P", "Q", "R" y "S". Si "M" es punto medio de
PS, PQ + RS = 17 m y QM - MR = 3 m,
calcular "RS".
1. Si: AC = 40 cm; BD = 60 cm y AD = 90 cm,
hallar "BC".
DB CA

2. Si: AB = 11 cm; BD = 28 cm y "C" es punto
medio de BD, hallar "AC".
DB CA
3. Si: PM = 58; TM = 34 y "Q" es punto medio de
PT, hallar "QM".
MQ TP
4. Si: AC = 24; CB = 50 y "M" es punto medio de
AB, hallar "CM".
BC MA
5. Si: AB = 18; BC = 32, "M" y "N" son puntos
medios de AB y AC , hallar "MN".
CBM NA
6. ¿Cuántos segmentos hay?
QFE TP
7. Si: AB = 42; BC = 19; CD = 64 y "M" y "N"
son puntos medios de AB y CD, hallar "MN".
DBM C NA
8. Si: AE = 26; EF = 32; FH = 48 y "M" es punto
medio de EF, hallar "MH - AM".
HE M FA
9. Si: PE = MT = 38; EF = 11 y PT = 127, hallar "FM".
TE F MP
10. Si: AB = 7u y BC = 19u, hallar "PQ", siendo
"P" y "Q" puntos medios de AB y BC.
CP B QA
11. Si: AR = 27 cm; TQ = 32 cm y TR = 18 cm,
hallar "AQ".
QT RA
12. Si: EN = 48; EM = 26 y "N" es punto medio de
MF, hallar "EF".
FM NE
13. Si "E" es punto medio de AF y AG = 60u,
calcular "x".
A E F G
3xx
14. Si "R" es punto medio de PT y PT = 70u,
calcular "PQ".
P Q R T
2x 3x
15. Si "C" es punto medio de AD y AD = 160 cm,
calcular "x".
A B C D
5x 3x

Central: 619-8100
23
4
• Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones ("V" o "F")
1. Por un punto pasan infinitas rectas.............................................................................. ( )
2. Por dos puntos solamente pasa una recta..................................................................... ( )
3. Dos rayos con el mismo origen y en sentidos opuestos forman una recta.................... ( )
4. Si un punto tiene igual distancia a los extremos de un segmento de recta, entonces es.
necesariamente el punto medio................................................................................... ( )
5. Los puntos que pertenecen a una misma recta se llaman colineales............................. ( )
• Completar las siguientes proposiciones correctamente, usando los términos del recuadro mostrado:
6. Los elementos ................................... son tres y no tienen ...................................
7. El punto ................................ de un segmento de ........................... pertenece a dicho segmento y
........................ igual distancia a los ................................. del segmento.
8. Dos segmentos de recta son ................................... y colineales si ................................... a una
misma recta y tienen un ................................... en común.
extremos - medio - plano - congruentes
consecutivos - geométricos - calculan
punto - pertenecen - tiene - recta - medida
• Completar correctamente los recuadros adjuntos a cada gráfico:

9.

BC < ...............
CA
B
3 cm
1
cm
10.

AC = ...............
CB
3 cm 1 cm
A
Recordando lo aprendido

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24
Recordando lo aprendido
entre tres rectas paralelas y dos rectas secantes.
entre dos rectas paralelas y tres rectas secantes.
entre dos circunferencias y tres rectas paralelas.
14. Si: AB = 28u; BC = 12u y "P" y "Q" son puntos
medios de AC y BC respectivamente, calcular
"PQ".
CP B QA
15. Si "M" y "N" son puntos medios de EN y EQ
respectivamente, calcular "MN", si además:
EQ = 60u
QM NE
16. Si: PE = 78u; PR = 32u; QE = 60u y "M" es
punto medio de QR, calcular "MR".
ERQ MP
17. Si: AB = DE = x ; BC=3x; CD = 5x y AE = 130u,
calcular "AC".
EDB CA
18. Si: AB + AC = 96u y BC = 54u, calcular "AB"
CBA
19. Si: PQ - QR = 31u y PR = 59u, calcular "QR".
RQP
20. Si: EQ = 80u; PF = 140u y EF = 170u, calcular
"MN", si además "M" y "N" son puntos medios
de EP y QF.
FQ NM PE
1. En una recta se marcan los puntos consecutivos "A", "B", "C", "D", "E", "F", "G" y "H". Calcular el
máximo número de segmentos determinados.
2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos "A", "B" y "C", tal que: AC + BC = 68u y "M" es
punto medio de AB. Calcular "MC".
3. Se tienen los puntos colineales "P", "Q" y "R" (PQ > QR) tal que: PQ - QR = 18u. Calcular "MQ",
siendo "M" punto medio de PR.
4. Se tienen 10 rectas secantes. Calcular el máximo número de puntos de corte.
5. Calcular el máximo número de puntos de corte entre 12 rectas paralelas y 10 rectas secantes.

Central: 619-8100
25
4
Unidad I
Conceptosbásicos Practica en casa
18:10:45
entre dos triángulos.
entre cuatro rectas secantes.
entre cinco rectas secantes.
4. ¿Cuántos puntos de corte hay entre el triángulo
ABC y la circunferencia?
B
CA
5. ¿Cuántos puntos de corte hay entre las
circunferencias y las rectas paralelas?
6. Si: AD = 58 cm, calcular "x".
A B C
x 18 cm 3x
D
7. Si: AB = 11u; BC = 39u y "M" y "N" son puntos
medios de AB y BC respectivamente, calcular
"MN"
A M B N C
8. Si: PF = 59u y EF = 21u, calcular "MF", siendo
"M" el punto medio de PE.
P M E F
9. Si: AD = 48u y BC = 15u, calcular: a + b
A B C D
a b
10. Si: AB = 12u; BC = 10u; CD = 18u y "M" es
punto medio de BD, calcular "AM".
A B C DM
11. Si: AM = 38u; MP = 54u; PQ = 22u y "N" es
punto medio de AQ, calcular "NP".
A M N QP
12. Si: AD = 72u, calcular "y"
A B C
y 16u 7y
D
13. Si: AC + AB = 72u y BC = 50u, calcular "AB"
A CB
14. Si: QR - PQ = 16u y PR = 60u, calcular "PQ"
P RQ
15. Si: AB=24u; BC=30u y "M" y "N" son puntos
medios de AB y BC respectivamente, calcular
"MN"
A B CM N

UNIDAD 1
E
xisten tres sistemas de medición angular y el sistema que usaremos es el sexagesimal.
Para la elaboración de estos sistemas se tomó como referencia a la circunferencia.
¿Cómo se mide un ángulo?
Todo sobre ángulos
UNIDAD 2
• Uso del transportador y compás para la medida angular y trazo de la bisectriz.
• Resolver ejercicios sin usar el transportador.
• Relacionar ángulos de acuerdo a su medida, tomando como referencia al ángulo recto y al
ángulo llano.
• Resolución de problemas gráficos con variables y ecuaciones sobre ángulos consecutivos.
• Interpretar enunciados para la elaboración de gráficos sobre segmentos y ángulos.
• Elaborar propiedades a partir de ejercicios numéricos.
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Identificando y midiendo
ángulos
Antigüamente; al tomar como base la división del año en 360 días se dividió al círculo en 360 partes,
dando como origen al sistema sexagesimal para la medición angular, que posteriormente sirvió para la
elaboración del reloj.
Las antiguas civilizaciones de Mesopotamia observaron que el Sol parecía desplazarse hacia el Oeste en el
firmamento de una manera regular, con el paso de los días. Este era un descubrimiento sofisticado: primero
crearon un mapa de las estrellas, luego observaron que cada día el Sol salía y se ponía en un intervalo
breve; pero discernible, contra el fondo de las estrellas para completar un circuito completo de todo el
campo de estrellas.
Los egipcios sabían que el Sol tardaba aproximadamente 360 días, por eso fue que se dividió el círculo
en 360º donde "cada grado representaba la distancia recorrida por el Sol contra el fondo de estrellas en
un día". Sin embargo, los egipcios sabían que el año verdadero tenía 365 días y no 360, el asunto se
complicaba más por el uso de un calendario de 12 meses de 30 días sin añadirles nada.
Hasta los avances de la Aritmética, el año oficial egipcio duraba 360 días y simplemente se declaraban que
los restantes cinco no existían, al menos oficialmente. Este periodo era dedicado a festejos y banquetes con
animales especialmente sacrificados para este periodo.
¿Por qué una vuelta mide 360º?
1º: un grado sexagesimal
360º
1º
12
6
11
5
10
1º
4
9 3
8
2
7
1
• A diferenciar entre ángulo, medida angular y región angular.
• A clasificar a los ángulos de acuerdo a su medida.
• A usar el transportador para graficar y/o medir ángulos.
• A trazar la bisectriz de un ángulo con el uso del compás y con el uso del transportador.
CAPITULO
27
1
Central: 619-8100 Unidad II

28
Identificando y midiendo ángulos
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Clasificación de ángulos
Ángulo agudo
Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º.
θº 0º<θº<90º
Ángulo recto
Es el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendiculares
A
O B
m AOB = 90º
OA OB
Los rayos OA
y OB son
perpendiculares
Observación
Saberes previos
Conceptos básicos
•
O A
OA es un .............................
• Algunas letras griegas:
α = Alpha
β = Beta
θ = Tetha
• Dos rayos opuestos con el mismo origen forman
una ........................................

A
O
B
Definición de ángulo
El ángulo es la reunión de dos rayos a través de su origen. La medida del ángulo está dado por la abertura
entre sus lados.
αº
A
B
O
Región
angular
Vértice : O
Lados : OA y OB
Medida : αº
Elementos
Ángulo AOB : AOB; BOA; AOB; BOA.
Medida del AOB: m AOB = αº
Notación

29
1
Unidad IICentral: 619-8100
Clasificación de ángulos
Ángulo agudo
Es aquel ángulo cuya medida es mayor de 0º y menor de 90º.
θº 0º<θº<90º
Ángulo recto
Es el ángulo que mide 90º y a los lados que lo forman se llaman perpendiculares
A
O B
m AOB = 90º
OA OB
Observación
Los rayos OA
y OB son
perpendiculares
Ángulo obtuso
Se denomina así a los ángulos que sus medidas varían entre 90º y 180º.
αº 90º<αº<180º
Ángulo llano
Es el ángulo que mide 180º, es decir, que sus lados están en sentidos opuestos.
m AOB = 180º
A BO
180ºRecta
Ángulo no convexo
Es aquel cuya medida varía entre 180º y 360º.
180º<βº<360º
βº
O
M N

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30
10 x
5
50
Uso del transportador
Se ubica el transportador coincidiendo el vértice del ángulo con el centro del transportador y a uno de los
lados con uno de los ceros y el otro lado señala el valor del ángulo.
110º
O M
F
E
• Con cualquier abertura se traza el
compás obteniéndose los puntos "E" y
"F" .
• Luego, tomando como centros a
estos puntos "E" y "F", se trazan
circunferencias con el mismo radio;
obteniéndose el punto "M".
• Finalmente, el rayo OM es la bisectriz
del ángulo.
1. Mide los siguientes ángulos mostrados y
clasifícalos.

Central: 619-8100
31
1
Unidad II
Conceptosbásicos Aprende más...
2. Trazar una recta a perpendicular a la recta
mostrada L y que pase por el punto "E".
E
L
3. Medir los siguientes ángulos y clasifícalos.
4. Traza la bisectriz del siguiente ángulo con el
uso del compás.
5. Traza la bisectriz del ángulo mostrado.
6. Grafica un ángulo de 120º y traza su bisectriz
con el transportador.
con el transportador.
con el uso del transportador.
• El ángulo de una vuelta mide 360º.....................................................................................( )
• El ángulo llano mide 90º....................................................................................................( )
2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro.
• La ................................... de un ángulo divide a éste en ................................... iguales.
• Dos ángulos que ................................... igual medida se llaman ángulos ...................................
rayo - recta - congruentes - iguales - tienen - bisectriz - medidas - ángulos
3. Grafica los ángulos congruentes AOB y PMQ que miden 80º.
4. Grafica los ángulos congruentes MON y APB que miden 130º.
5. Grafica el ángulo AOB, tal que: m AOB = 230º.

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32
6. Medir los ángulos internos "A", "B" y "C"
usando el transportador.
A
C
B
7. Medir los ángulos en los vértices "A", "B", "C" y
"D" usando el transportador.
D
A
B
C
8. Medir los: AOB; BOC y AOC usando el
transportador.
O C
BA
9. Medir los: AOB; BOC; COD y AOD
usando el transportador.
A
D C
B
O
10. Medir los: AOB; BOC y COD usando el
transportador.
C
B
D
O
A
Recta
11. Graficar los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal
que: m AOB = 100º y m BOC = 60º. ¿Cuánto
mide el ángulo AOC? (Usar el transportador)
12. Graficar los ángulos consecutivos PQM y MQN
talque:m PQM=70ºym MQN=50º. ¿Cuánto
mide el ángulo PQN? (Usar el transportador)
13. Usando el compás, trazar la bisectriz del ángulo
AOB. Luego ubicar a un punto "P" de dicha
bisectriz y medir las distancias de "P" a los lados
OA y OB
O
A
B
• Las agujas del reloj (horario y minutero) son observadas por Anita
que entusiasmada con el tema de ángulos encuentra que:
14. Al escuchar la campanita del reloj siendo las 8 a.m en punto, las
agujas forman un ángulo de:
15. Luego de dos horas vuelve a escuchar la campanita y las agujas del
reloj forman un ángulo de:
http://es.123rf.com

Central: 619-8100
33
1
Unidad II
18:10:45
1. Graficar un ángulo no convexo de 240º y luego trazar su bisectriz usando el transportador.
2. Graficar un ángulo no convexo cualquiera y luego trazar su bisectriz con el uso del compás.
3. Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC que miden 120º y 100º respectivamente. Luego trazar
la bisectriz OM del ángulo AOC.
4. En el problema anterior, calcular: m MOB.
5. Trazar las bisectrices de los ángulos AOB y BOC, usando el compás. Luego mide el ángulo formado
por dichas bisectrices.
A O C
B
• Graficar y clasificar a los siguientes ángulos (usa
el transportador)
1. 35º

2. 65º

3. 104º
4. 170º
5. 28º
6. 126º
7. 58º

8. 220º
• Graficar a los ángulos consecutivos AOB y BOC.
Luego, calcular m AOC. (Usa el transportador)
9. m AOB = 30º y m BOC = 60º
10. m AOB = 40º y m BOC = 80º
11. m AOB = 20º y m BOC = 70º
12. m AOB = 80º y m BOC = 70º
13. m AOB = 110º y m BOC = 90º
14. m AOB = 130º y m BOC = 80º

15. m AOB = 100º y m BOC = 50º

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34
Ordenamiento lineal y circular
Se cree que el alfabeto griego deriva de
una variante del fenicio, introducido
en Grecia por mercaderes de esa
nacionalidad. El fenicio, como los
alfabetos semíticos posteriores, no
empleaba signos para registrar las
vocales; para salvar esta dificultad,
que lo hacía incompleto para la
transcripción de la lengua griega,
los griegos adaptaron algunos signos
utilizados en fenicio para indicar
aspiración para representar las vocales.
Este aporte puede considerarse
fundamental; la inmensa mayoría de
los alfabetos que incluyen signos
vocálicos se derivan de la aportación
original griega. Además de las
vocales, el griego añadió tres letras
nuevas al final del alfabeto: fi y ji, para
representar sonidos aspirados que no
existían en fenicio, y psi.
En el Álgebra se usan variables como
"x", "y" y "z" para señalar valores
numéricos, en general trabajando
básicamente con las operaciones.
En Geometría para señalar valores
angulares no conocidos se utilizan
letras griegas como: "α";"β";"θ" y "δ";
etc
Operaciones con ángulos
• A relacionar ángulos por sus lados
• A graficar ángulos sin el uso del transportador comparando al ángulo recto y
ángulo llano.
• A sumar y restar medidas de ángulos consecutivos.
2
A α alfa N ν ni
B β beta Ξ ξ xi
r γ gamma O o ómicron
∆ δ delta ∏ π pi
E ε épsilon P p ro
Z ζ dseta ∑ σ sigma
H η eta T τ tau
Θ θ zeta ϒ υ ipsilon
I ι iota Φ ϕ fi
K κ kappa X χ ji
Λ λ lambda Ψ ψ psi
M µ mi Ω ω omega

Geometría
Central: 619-8100
35
Unidad II
Saberes previos
Conceptos básicos
• Rectas ..................................................
• Rectas...................................................
• Una vuelta mide...................................
• El ángulo POQ mide.............................
P
QO
• El ángulo llano AOB mide....................
OA B
Ángulos opuestos por el vértice
Son los ángulos que se forman al trazar dos rectas secantes.

M αº
αº
N
F
E
A
Vértice
Los ángulos MAN y EAF son
opuestos por el vértice
m MAN = m EAF = αº

θº
B
P Q
A C
Vértice
θº
Los ángulos PBQ y ABC son
opuestos por el vértice
m PBQ = m ABC = θº

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36
Ángulos consecutivos
Son dos, tres o más ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común respectivamente.
En el gráfico:
m AOC = 40º + 60º = 100º40º 60º
O
C
B
A
AOB y BOC son consecutivos o adyacentes
En el gráfico:
m POR = 50º + 70º = 120º
m QOS = 70º + 20º = 90º
O
S
Q
R
20º
70º
50º
P
POQ; QOR y ROS son consecutivos
En el gráfico:
m POR = 35º + 65º = 100º
m ROS = 180º - 100º = 80ºO S
Q
R
65º
35º
P
Recta
POQ; QOR y ROS son consecutivos.
Suma y resta de ángulos consecutivos usando variables.

B
βºαº
A
C
O
yº
yº = αº + βº
βº
αº
αº + βº = 90º

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37
2
Unidad II
10 x
5
50
xº = bº – qº
O
θº
βºxº
A
B
C
m AOB = 180º - θº
A O C
B
180º – θº
θº
xº
90º – xº
Q
RO
P
m QOR = 90º - xº
O
αº
βº
θº
αº+ βº + θº = 180º αº+ βº + θº + ωº = 360º
ωº βº
αº
qº
1. Calcular "xº", si: m AOF = 18º

O
E
B
F
A
2xº
xº
2. Si: m EOF = 130º; m EON = 100º y OM es
bisectriz del ángulo NOF, calcular: m EOM
O
M
F
N
E
3. Si OM es bisectriz del ángulo AOB y
m BOC = 32º, calcular: m MOC.
COA
M
B
4. Si: m MOA = 48º y m MOQ = 142º, calcular:
m NOQ, si OA es bisectriz del ángulo MON
QO
A
M
N

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5. Calcular "xº"
4xº
xº
6. Si: m AOB = 38º; m BOC = 72º y OM es
bisectriz del ángulo AOC, calcular "θº".
O
A
B
θº
M
C
7. Si: m AOB = 28º; m BOC = 102º y ON es
bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON
O
A
B N
C
8. Si: m EOF = αº y m FOH = 5αº, calcular "αº"
F
E O H
9. Calcular "αº".
αº
8αº
10. Calcular "αº".
80º 4αº
αº
• La medida de un ángulo llano es el doble de la medida de un ángulo recto.......................... ( )
• La bisectriz de un ángulo es un rayo que divide en medidas iguales a dicho ángulo.............. ( )
2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:
• Dos ángulos .......................................... por el vértice, tienen sus .......................................... en
sentidos opuestos y sus medidas son ...........................................
• Dos rectas secantes y .......................................... forman cuatro ángulos ......................................
consecutivos.
perpendiculares - paralelas - llanos - rectos - opuestos
- iguales - consecutivos - lados - ángulos

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39
2
Unidad II
Completar las relaciones, según los gráficos:
3.
m AOE = ........ − ........
A O
βº
E
B

4.
m FOM = ........ − ........
E O M
F
αº

5.
αº + βº + θº + ωº = ........
θº
βº
αº
ωº
6. Si: m COD = 23º, calcular: m AOB.
A O
C
B
D
7. Si: m AOC = 74º; m BOC = 22º y OM es
bisectriz del ángulo AOB, calcular: m MOC.
A
M
B
O
C
8. Si: m AOB=42º; m BOC=90º y ON es
bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BON.
O
A
B N
C
9. Calcular "αº"
2αº
4αº
3αº
αº
A B
C
D
O

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40
10. Calcular "xº", si: m AOD = 148º.
A
O
C
B
Dxº
68º3xº
11. Si OM y ON son bisectrices de los ángulos
AOB y COD, calcular: m BOC
A
M
B
C
N
26º
DO
34º
12. OM y ON son bisectrices de AOt B y COt D.
Si: m AOB=36º, calcular: m MON
A
B
M
C
N100º
DO
13. Si OE y OF son bisectrices de AOt C y BOt C,
calcular: m EOF
A
F
B
E
30º
C
O
• Una puerta metálica levadiza de la cochera de una casa
está decorada y asegurada por varillas que forman ángulos
consecutivos congruentes.
14. ¿Cuántos ángulos consecutivos, congruentes y menores se han
formado?
15. ¿Cuánto mide cada ángulo menor?
1. Si: m BOC = 80º; OM y ON son bisectrices de
los ángulos AOB y COD, calcular la m MON.
DA
M
B
C
N
O
2. Calcular "xº", si: m AOC + m BOD = 130º.
xº
A
B
C
DO

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41
2
Unidad II
18:10:45
3. Se tiene dos ángulos consecutivos POQ y QOR.
Se traza OM bisectriz del ángulo POQ.
Si: m POR + m QOR =140º, calcular la
m MOR.
4. Si: m AOB - m BOC = 70º, calcular la
m MOB. Además OM es bisectriz del ángulo
AOC.
B
C
M
A
O
5. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC
de tal manera que el ángulo AOB mide 50º.
Calcular la medida del ángulo formado por las
bisectrices de los ángulos AOC y BOC.
1. Si: m AOB = 20° y m AOC = 100°, calcule:
m BOC.
B C
O
A
2. Si:m AOD=120º,m BOC=70ºym COD=30º,
calcule: m AOB.
OA
B
C D
3. Calcule "α°"
32º αº
4. Calcule "x°"
4xº
xº
5. Calcule "x°", si: m AOD = 110°.
50º
2xº
xº
O
A
B
C
D
6. Calcule "x°"
120º
3xºxº

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42
7. Si: m AOC=120°, m BOC=20° y OM es
bisectriz del ángulo AOB, calcule: m MOC.
C
O
B
M
A
8. Si: m POQ=100°, m QOR=40° y OM es
bisectriz del ángulo POR, calcule: m MOQ.
P
M Q
O
R
9. Si OM es bisectriz del ángulo AOC y ON es
bisectriz del ángulo BOC, calcule: m MON, si
además: m BOC=40º.
A
M B N
C
O
10. Si: m AOB=36°, OM y ON son bisectrices
de los ángulos AOB y COD, calcule: m MON.
A O D
N
C
B
M
11. Calcular: m BOC.
A
B C
D
5xº3xº
2xº
O
8xº
12. Calcule "xº", si: m AOC=158º y OM es
bisectriz del ángulo BOC
64º
xº
A
B
M
C
O
13. Si OM es bisectriz del ángulo AOB, calcule "θ°".
O
A
M
48º θº
5θº
B
C
14. Calcule "β°"
A
B
C
38º
βº
64º
Recta
DO
15. Si: m AOB = 30° y m BOC = 80º y además
OM es bisectriz del AOt C, calcule m BOM.
O
A
B
M
C

Central: 619-8100 Unidad IICentral: 619-8100
Conceptos básicos
3
43
¿Qué es generalizar?
¿Qué es para ti una fórmula?
1
2
3
n
........
"n" puntos segmentos
( )n n
2
1-
1
2
3
3 puntos 3 segmentos 4 puntos 6 segmentos
1
2
3
4
En la Aritmética, estudiamos a los números haciendo operaciones que resuelven problemas diversos de la
vida cotidiana como compra, venta, edades, etc.
En el Álgebra, el concepto de cantidad es mucho más amplio utilizando letras para representar a las
cantidades conocidas y desconocidas. Una fórmula algebraica surge justamente de la generalización que
implica la representación de cantidades por letras.
En nuestro curso de Geometría, empleamos claramente estos conceptos básicos y en estos dos capítulos es
importante entenderlo y dominarlo para aplicarlo en capítulos más complejos.
Solo con enunciados
• A interpretar un enunciado con términos geométricos de segmentos de recta y ángulos.
• A graficar problemas para su resolución conociendo sus valores o usando variables.
• A representar mediante una ecuación la suma y resta de segmentos y ángulos.
• "Q" es punto medio de AN
A Q N
a a

• Puntos y segmentos consecutivos y
colineales.
A B C
a
yb
D
AB = a – b
AD=a+y
Recuerda que...

44
Solo con enunciados
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•

• Suma y resta de ángulos consecutivos.

m AOB = θº - βº
m AOD = θº + αº
O
A B C
βº
θº
αº
D
E
F
A
αº
αºO
OF es bisectriz del ángulo AOE
1. Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos "A", "B" y "C" tal que: AC = 25u. Calcular la
longitud del segmento que une los puntos medios de AB y BC.
Resolución:

Se ubican arbitrariamente a los puntos medios "M" y "N" de AB y BC respectivamente. Como no se
conocen los valores de AB y BC se ponen letras.

A M B
25u
N C
a a b b
• Del gráfico: 2a + 2b = 25u, simplificando: a + b = 12,5u
• Nos piden: MN = a + b
∴ MN = 12,5u
Ejemplos
2. Se tienen dos ángulos consecutivos AOB y BOC; tal que: m AOC = 128º. Calcular la medida del
ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y BOC.
Resolución:
O
P
A
B
xº
Q
αº
θº
θº
αº
C
• Se trazan las bisectrices OP y OQ, siendo el ángulo POQ el pedido en el ejercicio.
• Sumando ángulos consecutivos:
2θº + 2αº = m AOC
2θº + 2αº = 128º
θº + αº = 64º
• Finalmente: m POQ = xº y del gráfico:
xº = αº + θº
∴xº = 64º
Recuerda que...

45
3
10 x
5
50
1. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos
"A"; "B" y "C" tal que: AB = 32u y AC = 46u.
Calcular "AM", siendo "M" punto medio de BC.
2. Se tienen los puntos colineales "P"; "Q" y "R",
tal que: PQ = 56u y QR = 38u. Calcular "MQ",
siendo "M" el punto medio de PR.
3. AE y EF son segmentos colineales y consecutivos
tal que: AE=36u y AF=78u. Calcular "MN",
siendo "M" y "N" puntos medios de AE y EF
respectivamente.
4. PQ y QR son segmentos colineales y
consecutivos tal que: PQ = 84u y QR = 62u.
Calcular "EQ", siendo "E" el punto medio de
PR.
5. Sobreunarectaseubicanlospuntosconsecutivos
"A", "B", "C" y "D" tal que: AB=20u; BC=16u
y CD=34u. Calcular "MN", siendo "M" y "N"
puntos medios de AB y CD respectivamente.
6. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC,
tal que: m AOB = 76º y m BOC = 48º. Calcular
m BOM, siendo OM bisectriz del AOt C.
7. Se tienen los ángulos consecutivos POQ y QOR,
tal que: m POR=140º y m POQ=110º. Calcular
m POE, siendo OE bisectriz del QOR.
8. Dados los ángulos consecutivos AOB; BOC y
COD, tal que: m AOB=m BOC=m COD y
m AOD=144º. Calcular: m BOD.
9. Dados los ángulos consecutivos POQ y QOR,
tal que: m POQ=2 m QOR y m POR=126º.
Calcular: m QOR.
10. Dados los ángulos consecutivos MON y NOE,
tal que: m MON=3 m NOE y m MOE=128º.
Calcular: m NOE.
1. Completar las siguientes proposiciones, usando los términos del recuadro mostrado:
• Dos segmentos de ..................................... y dos ángulos se ..................................... congruentes
si tienen sus ..................................... iguales respectivamente.
• La menor ..................................... entre dos puntos en el espacio está representado por la ...........
.......................... del segmento de recta que ..................................... a dichos puntos.
distancia - medidas - recta - punto
une - plano - denominan - longitud
• El ángulo de una vuelta mide 360º....................................................................................... ( )
• El ángulo no convexo es mayor de 90º y menor que 180º.................................................... ( )
• Los ángulos opuestos por el vértice suman 180º................................................................... ( )
3. Trazar dos rectas perpendiculares y luego las rectas bisectrices de los ángulos rectos formados con el
transportador. ¿Qué observas?
4. Graficar un ángulo agudo cualquiera, luego con el uso del compás traza su bisectriz. Mide las distancias
de un punto cualquiera de la bisectriz hacia los lados del ángulo. ¿Qué observas?
5. Grafica un segmento de recta de cualquier longitud, luego ubica a su punto medio con el uso del compás. ¿Qué
se obtiene al dividir la longitud de uno de los segmentos obtenidos entre la longitud del segmento inicial?

46
Solo con enunciados
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6. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos "A", "B" y "C" tal que: AB = 86u
y BC =58u. Siendo "M" punto medio de AC,
calcular "BM".
7. Sobre una recta se ubican los puntos
consecutivos "P", "Q" y "R" tal que: PR=68u
y PQ=22u. Calcular la distancia entre "P" y el
punto medio de QR.
8. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C"
y "D" tal que: AB=18u, BC=24u y CD=30u.
Calcular la longitud del segmento que une los
puntos medios de AB y CD.
9. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y
"D" tal que: AC = 36u, BD = 48u y BC = 10u.
Calcular la longitud del segmento que une los
puntos medios de AB y CD.
10. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y
BOC tal que: m AOB=68º y m AOC=138º.
Calcular la medida del ángulo formado por OA
y la bisectriz del ángulo BOC.
11. Se tienen los ángulos consecutivos POQ y
QOR que miden 100º y 50º respectivamente.
Calcular el ángulo formado por OQ y la
bisectriz del ángulo POR.
12. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC
y COD que suman 180º. Si: m AOB=38º y
m COD=76º, calcular: m BOC.
13. En el ejercicio anterior, calcular la medida del
ángulo formado por las bisectrices de AOt B y
COt D.
• Alejandrita es aficionada a la carpintería ya que ayuda a su papá en la elaboración de un mueble para su
cuarto. El papá le dice a Alejandrita que corte con una sierra la madera mostrada de 2 metros de longitud
en tres partes, tal que la menor parte mida 40 cm y la mayor parte exceda a la parte intermedia en 20 cm.
1. Se tienen los puntos colineales "A", "B", "C" y "D" tal que: AC=42u; BD=78u y CD=3(AB).
Calcular "AB".
2. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R" y "S" tal que: PR + QS = 124u. Calcular: PS + QR.
3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC tal que: m BOC - m AOB = 48º. Calcular la medida
del ángulo formado por OB y la bisectriz del ángulo AOC
4. Dados los ángulos consecutivos AOB y BOC, tal que: m AOB = 90º. Calcular la medida del ángulo
formado por las bisectrices de los ángulos BOC y AOC.
5. Dados los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD que forman un ángulo llano. Calcular la medida
del ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD. Además: OB OC.
14. ¿Cuántos cortes realiza Alejandrita?
15. ¿Cuánto miden las otras dos partes?
2 metros

47
3
Conceptosbásicos Practica en casa
18:10:45
"D". Si: AC = 21u; BD = 28u y AD = 30u,
calcular "BC".

"D". Si: AC = 19u; BD = 24u y AD = 27u,
calcular "BC".
3. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R",
"S" y "T". Si: PQ = QR; RS = ST; PR = 12u y
RT = 20u, calcular "QS".
4. Calcular "PM", siendo "M" punto medio de QR.
P
18u
22u
30u
RQ S

5. Calcular "x", si: AM = MD; AC = 5m y AD = 16m.
A C M D
x

6. Sobre una recta se dan los puntos consecutivos
"P", "Q", "R" y "S" tal que "Q" es punto medio de
PR. Si: PR=30 m y RS=10 m, hallar "QS".

7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos
"P", "Q", "R" y "S", tal que: PR=10 m; QS=12 m
y QR=4 m. Calcular "MN", siendo "M" y "N"
puntos medios de PQ y RS.

"D". Si: AB=BC; AC=CD y AD=48u, calcular
"BC".
9. Del gráfico mostrado, calcular "MN", siendo
"M" y "N" puntos medios de AC y BD
respectivamente.

18u
12u 8u
A CB D

10. Calcular "xº".

2xº
40º

11. Calcular "xº".

3xº 2xº
12. Calcular "xº".

3xº + 5º 4xº - 10º

13. Calcular "xº".

2xº - 15º 2xº + 15º
60º
14. Calcular "xº".

2xº - 10º 3xº + 10º

15. Calcular "xº".
4xº
A
B
C
xº + 10º
O

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48
Complemento y suplemento de un ángulo
Complemento y suplemento de
un ángulo
• A comparar la medida de un ángulo con el ángulo recto y el ángulo llano.
• A relacionar gráficamente y algebraicamente el complemento y suplemento de un
ángulo.
• A identificar a dos ángulos complementarios y suplementarios.
Torre de Pisa
La torre de Pisa (Italia) se construyó verticalmente,
pero por lo débil de los cimientos de la torre
se produjo una ligera inclinación dejando
la torre en tres pisos. Después de 100 años
aproximadamente se reinició la construcción
de los cuatro pisos restantes con la finalidad de
corregir la inclinación pero la torre se inclinó
más.
Desde el 2001 se reabrió el acceso al público
ya que no existe riesgo alguno.
Actualmente se hacen edificaciones con
inclinaciones gracias a la tecnología, lo cual le
da un aspecto de modernidad.
• ¿Qué ángulo está inclinada la torre de
Pisa?
• ¿La inclinación de la torre de Pisa fue
adrede?
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CAPITULO
4

Geometría
Central: 619-8100
49
Unidad II
Conceptos básicos
Saberes previos
• El ángulo recto AOB mide ......................
O
A
B
• Una recta se grafica idénticamente a un ángulo
180º
• 5 – [12 + (8 - 2)] = ...........................................
16 – [24 – (12 – 5)] = ...........................................
2x – [6x + 10x – (6x – 3x)] = ...........................................
18a – [12a – 3(4a – a)] = ...........................................
.............................................
Definición de ángulos complementarios
Son aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 90º.
O
A
αº
B
E
H
F
θº
αº + θº = 90º

Los ángulos AOB y EFH son complementarios.
Definición de ángulos suplementarios
Son aquellos dos ángulos cuyas medidas suman 180º.
Φº + ωº = 180º
P
ωº
R
Q
Φº
N
M
O

Los ángulos MON y RPQ son suplementarios

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50
Complemento de un ángulo
Es el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 90º
Complemento de 30º = 90º - 30º
Complemento de 30º = 60º
C30º = 60º
30º
Complemento de 50º = 90º - 50º
Complemento de 50º = 40º
C50º = 40º
50º
qº
Cqº
Complemento de "qº":
Cqº = 90º – qº
Suplemento de un ángulo
Es el ángulo que le falta a un ángulo dado para que mida 180º.
Suplemento de 40º = 180º - 40º
Suplemento de 40º = 140º
S40º = 140º
40º
S60º = 120º
60º
S100º = 80º
100º
S130º = 50º
130º
Suplemento de ωº = Sωº = 180º - ωº
ωº
Sωº
Los ángulos de referencia son los de 90º y 180º de tal manera que al conocer un ángulo
agudo u obtuso se pueden relacionar con dichos ángulos.
Ten en cuenta

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51
4
Unidad II
10 x
5
50
Para combinar operaciones con el complemento y suplemento de un ángulo se usan términos
prácticos como por ejemplo:
1. Si nos piden:
• Calcular el complemento de 40º y luego el suplemento del resultado.
La solución es: C40º
= 90º - 40º = 50º
S50º
= 180º - 50º = 130º
Respuesta: 130º
• En forma práctica: Calcular el suplemento del complemento de 40º.
La solución es: SC40º
= 180º - (90º - 40º)
SC40º
= 180º - 50º
∴ SC40º
= 130º
2. Si nos piden:
• Calcular el complemento del resultado del suplemento de 110º.
La solución es: S110º
= 180º - 110º = 70º
C70º
= 90º - 70º = 20º
Respuesta: 20º
• En forma práctica:

CS110º
= 90º - (180º - 110º)
CS110º
= 90º - 70º
CS110º
= 20º
1. Calcular el complemento de 53º.
2. Calcular el suplemento de 81º.
3. Calcular la suma entre el complemento de 10º
y el suplemento de 100º.
4. Calcular la suma entre el complemento de 30º
y el suplemento de 70º.
5. Calcular la diferencia entre el suplemento de
70º y el complemento de 50º.
6. Calcular la diferencia entre el suplemento de
50º y el complemento de 50º.
7. Calcular la suma entre el suplemento y el
complemento de 60º.
8. Calcular la diferencia entre el suplemento y el
9. Calcular el complemento del suplemento de 125º.
10. Calcular el suplemento del complemento de 75º.
Ten en cuenta

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52
• Dos ángulos complementarios tienen que ser consecutivos..................................................( )
• Tres ángulos que miden 30º; 40º y 110º son suplementarios................................................( )
2. Completar correctamente las siguientes proposiciones, con los términos del recuadro mostrado:
• Para que un ángulo tenga ................................., tiene que ser menor o ................................. a 90º
y para que un ................................. tenga suplemento ................................. que ser ...................
.............. o igual a 180º.
• El complemento de un ángulo ................................. es cero y el ................................. de un
ángulo llano también es .................................
ángulo - recto - suplemento - complemento
consecutivos - cero - igual - tiene - mayor
menor - llano - centro
3. Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios.
4. Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios.
5. Completar los recuadros, según los gráficos:
θº
...... − ......
...... − ......
αº
6. Calcular el complemento del suplemento de
124º.
7. Calcular el suplemento del complemento de
72º.
8. Calcular la suma entre el suplemento y el
10. Calcular la diferencia entre el complemento de
14º y el suplemento de 158º.
11. Calcular el suplemento del suplemento de
131º.
12. Calcular la medida de un ángulo, si su
complemento es 35º.
13. Calcular la medida de un ángulo, si su
suplemento es 128º.
14. Si "xº" es la medida de un ángulo y el
complemento de "xº" es 39º, calcular "xº".
15. Si "θº" es la medida de un ángulo y el suplemento
de "θº" es 63º, calcular "θº".

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53
4
Unidad II
18:10:45
1. Si el complemento de "xº" es igual al doble de "xº", calcular "xº".
2. Si el suplemento de "θº" es el cuádruple de "θº", calcular "2θº".
3. Calcular la medida de un ángulo, si la suma de su complemento y su suplemento es 200º.
4. Si el suplemento de un ángulo es el cuádruple de su complemento, calcular la medida de dicho
ángulo.
2. Calcular el suplemento de 83º.
4. Calcular el suplemento de 100º más el
5. Calcular el suplemento de 80º menos el
6. Calcular el complemento de 70º más el
suplemento de 130º.
170º.
118º.
9. Calcular el complemento del complemento de
39º.
10. Calcular el suplemento del suplemento de 111º.
11. Calcular el complemento del complemento de
83º.
12. Calcular el suplemento del suplemento de 141º.

13. Calcular la suma del complemento y el
suplemento de 25º.
complemento de 45º

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Ordenamiento lineal y circular
10 x
5
50
Repaso bimestral
1. Si: BC = 3 (AB) y AC = 72u, calcular "AB".
A B C
2. Si: PQ = 5 (QR) y PR = 54u, calcular "QR".
P Q R
3. Si: AB=36u; BC=42u y CD=54u, calcular
"MN", siendo "M" y "N" puntos medios de AB
y CD.
A C DB
4. Calcular "αº"
42º
αº
2αº
5. Calcular "xº".
5xº - 26º 2xº + 19º
6. Calcular "2θº"
74º
3θº
θº
7. Si: m AOC = 104º; m BOD = 118º y
m BOC = 60º, calcular: m MON. (OM y ON
son bisectrices de los ángulos AOB y COD.)
O
D
C
B
A
8. Calcular el suplemento del complemento de
70º más el complemento de 60º.
160º más el suplemento de 95º.
115º menos el complemento de 85º.
• El complemento de 100º es -10º........................................................................................... ( )
• El suplemento de 200º es -20º............................................................................................... ( )
• El suplemento de 300º es 60º................................................................................................ ( )
• Los ángulos que miden 20º; 30º y 40º son consecutivos....................................................... ( )
5

Geometría
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55
Unidad II
6. Se tienen los puntos colineales "A", "B" y "C"
tal que: BC = AB + 12u y AC = 32u. Calcular
"AB".
7. Se tienen los puntos colineales "P", "Q", "R" y
"S" tal que: PQ = 6u; QR = 14u y RS = 36u.
Calcular "QM", si "M" es punto medio de PS.
8. Se tienen los ángulos consecutivos y
suplementarios AOB y BOC tal que:
m BOC=2 m AOB. Calcular: m AOB.
9. Se tienen los ángulos consecutivos y
complementarios AOB y BOC tal que:
m AOB = 4 m BOC. Calcular: m BOC.
10. Calcular la diferencia entre el suplemento del
complemento de 65º y el complemento de 55º.
11. Calcular la diferencia entre el complemento del
suplemento de 98º y el complemento de 86º.
12. Si el suplemento de un ángulo es igual a 116º,
calcular el complemento de dicho ángulo.
13. Calcular el máximo número de segmentos que
se determinan en una recta al ubicar 21 puntos.
2. Completar las siguientes relaciones gráficas:
x
y
A B C
BC = ...... − ...... m MOE = ....... − .......
αº
θº
N
E
M
m AOB = ........ − ........
2ωº
A
C
B
3. Graficar dos ángulos opuestos por el vértice agudos.
4. Graficar dos ángulos consecutivos y complementarios, tal que uno de ellos mida 50º.
5. Graficar dos ángulos consecutivos y suplementarios, tal que uno de ellos mida 105º.
O
O
• En un encuentro de fútbol el delantero Waldy lanza un balón de larga distancia al arquero Ronaldo;
pero antes de llegar al arco, el balón da un rebote de tal manera que el ángulo del trayecto del balón
antes del rebote con el campo es el triple del ángulo del trayecto de rebote con el campo y el ángulo
que forman estas trayectorias mide 105º.
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14. Calcular las medidas de los ángulos mencionados.
15. Calcular el complemento del menor de los ángulos
anteriores.

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Repaso bimestral
18:10:45
1. En AC se ubica el punto "B", tal que: AB - BC = 10u.
Calcular la distancia de "B" al punto medio de
AC. (AB>BC)
2. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos
"G", "M", "A" y "B". Calcular "GB", si: GA = 20u
y GB + AB = 50u.
3. Calcular "xº", si: βº = 20º.
xº
2βºβº
4. Si: m AOC + m BOD = 250º, calcular la
m BOC.
OA D
C
B
5. Si el suplemento del suplemento del suplemento
del complemento del complemento de un
ángulo es 80º, calcular la medida de dicho
ángulo.
1. Calcular "x", si: AB = 52.
EA F B
x 12 3x
2. Si: PM = 33; MN = 45 y PQ = 98, calcular
"NQ".
MP N Q
3. Calcular "x".
EA F D
17 x
78
49
4. Si: AB = 14; BC = 16 y CD = 26, calcular
"MN", si "M" y "N" son puntos medios de AB y
CD.
M B CA N D
5. Si: m AOC = 148º y m BOC = 82º, calcular
el complemento del ángulo AOB.
B
CO
A
6. Si: m AOB = 42º, m BOC = 104º y OM es
bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM.
M
B
CO
A
7. Calcular "xº".
xº
3xº
2xº
4xº

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57
5
Unidad II
8. Calcular el complemento de "αº".
C
B
DA
O
2αº 100º αº
139º
9. Calcular el complemento de 16º más el suple-
mento de 128º.

10. Si: AQ = 48 cm; NP = 72 cm y AP = 96 cm,
calcular "NQ".
N Q PA
11. Calcular "MN", si: AB=18; BC=40 y "M" y "N"
son puntos medios de AB y AC.
M B NA C
12. Calcular "BE", si: AC = 18.

B CA
x 2x 4x
E
13. Si: m AOB = 46º; m BOC = 72º y OM es
bisectriz del ángulo AOC, calcular: m BOM.
B
M
CO
A
14. Calcular el suplemento de "αº".
48º
2αº
αº
15. Si: m AOB = 44º; OM y ON son bisectrices
de los ángulos AOB y AOC, calcular: m MON.
C
N
O
B
M
A

UNIDAD 1
L
a base económica de Egipto fue la agricultura, que dependía estrechamente del Nilo. Para lograr que
los efectos de la inundación fueran favorables, se la debió encauzar y dirigir. Fue necesario buscar y
crear la forma de "medir la tierra" aplicando conocimientos matemáticos
Euclides es considerado el padre de la Geometría. Su obra maestra "Elementos" (que consta de 13 libros)
ha sido la base para la evolución de esta materia a través de los siglos.
¿Cuál es la etimología de Geometría?
¿Qué estudia la Geometría?
¿Qué es postulado?
Conociendoalageometría
UNIDAD 1
• Reconocer y relacionar figuras y elementos geométricos.
• Identificar el número máximo y mínimo de puntos de corte.
• Sumar y restar longitudes de segmentos de recta con valores y con variables.
• Ubicar a los puntos medios de los segmentos de recta con el uso del compás.
• Resolver ejercicios de segmentos con puntos medios usando variables.

Central: 619-8100
Geometría
59
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1
Ángulos determinados entre
dos rectas paralelas y una
secante
• A definir y graficar dos rectas paralelas.
• A reconocer los ángulos alternos internos entre dos rectas paralelas.
• A plantear las propiedades correspondientes a los ángulos alternos internos.
• A reconocer los ángulos correspondientes determinados entre dos rectas paralelas.
• A plantear las propiedades relacionadas a los ángulos correspondientes.
• A desarrollar diversos problemas.
El Partenón
El diseño del Partenón estuvo condicionado inicialmente para albergar la imagen de oro y marfil de Atenea
Parthenos, esculpida por Fidias. La colosal estatua de doce metros de altura precisaba de una inmensa cella
de más de 18 metros de anchura,
dividida en tres naves mediante
una doble columnata conformada
por dos órdenes superpuestos
de estilo dórico. La nave central
medía diez metros de anchura.
Dentro de la cella del lado este, la
columnata se dispuso en forma de
"U" y estaba compuesta por nueve
columnas con un entrepaño entre
cada una de ellas, en los lados
largos de la "U". Tres columnas
con dos entrepaños formaban el
lado corto.
En la zona oeste, al fondo del
interior de la columnata de cuatro
columnas, existía el basamento de
la estatua, para el culto a Atenea Parthenos con un amplio estanque, poco profundo, que producía un
efecto de brillo mediante el agua frente a ésta. Ambas cellas estaban cerradas por puertas de bronce.
La cella del este estaba dedicada a Atenea Polías (protectora de la ciudad), y la cella del oeste estaba
dedicada a Atenea Párthenos, "la virgen", por lo cual todo el edificio acabó siendo conocido como el
Partenón.
La decoración escultórica del Partenón es una combinación única de las metopas (esculpidas en altorrelieve
extendiéndose por los cuatro lados externos del templo), los tímpanos (rellenando los espacios triangulares
de cada frontón) y un friso (esculpido en bajorrelieve abarcando el perímetro exterior de la cella). En
ellos se representan varias escenas de la mitología griega. Además, las diversas partes del templo estaban
pintadas de colores vivos. El Partenón es, sin duda, el máximo exponente del orden dórico, como se puede
apreciar en el diseño del friso o sus columnas.
• Desde la antigüedad ya se conocía el concepto de paralelismo , ¿las columnas del Partenón son
paralelas?
http://oyukimacias.files.wordpress.com/2010/06/partenon.jpg
CAPITULO

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60
Ángulos determinados entre dos rectas paralelas y una secante
Conceptos básicos
Saberes previos
• Ángulos opuestos por el vértice • Ángulos suplementarios
aº
qº
aº + qº =180º
aºaº
L1 L2
• En la bisectriz:
qº
qº
A
O B
bisectriz del
BAOB
• En un triángulo:
aº
qº
bº
aº + qº + bº =180º
También:
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si están en un mismo plano y no tienen puntos en común, es decir no tienen
puntos de corte.
Se lee: "La recta L1 es paralela
a la recta L2".
L1
L2
Gráfico:
Notación:
!!
L1
//
!!
L2
aº
bº
L2
L3
L1
•
!!
L1
//
!!
L2
.
•
!!
L3
es la recta secante a
!!
L1
y
!!
L2
• "aº" y "bº" son las medidas de
los ángulos alternos internos.
aº = bº
Entonces:
fº
qº
L2
L3
L1
qº = fº
Entonces:
•
!!
L1
//
!!
L2
Ángulos alternos internos
Son los pares de ángulos que se encuentran entre dos rectas paralelas y en lados diferentes de la recta
secante.

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61
Unidad III
1
10 x
5
50
Ángulos correspondientes
Son los pares de ángulos que se encuentran a un mismo lado de la recta secante y a un mismo lado de cada
recta paralela.
aº = bº
Entonces:
L1
L2
L3
aº
bº
•
!!
L1
//
!!
L2
•
!!
L3
es la recta secante a
!!
L1
y
!!
L2
• "aº" y "bº" son las medidas
de los ángulos correspondientes.
También:
qº
fº
•
!!
L1
//
!!
L2 qº = fº
Entonces:
L1
L2
L3
1. Calcular "aº", si:
!!
L1
//
!!
L2
L1
L2
72º
aº+10º
2. Calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
62º
qº+5º
L1
L2
3. Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "qº"
L1
L2
qº+20º
142º
4. Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "qº"
L1
L2
135º
qº+40º
5. Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "aº"
L1
L2
48º
2aº+10º
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
140º
7qº

CEILTR
Colegios
www.trilce.edu.pe
62
1. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) las siguientes proposiciones.
• Las rectas paralelas son aquellas que al ser prolongadas no tienen ningún punto
en común ................................................................................................( )

• En el gráfico: (L1 // L2)
L1
L2
aº
qº
Se muestran dos ángulos alternos internos..................................................................( )
• Dos rectas paralelas
!!
L1
y
!!
L2
se denotan como:
!!
L1
//
!!
L2
............................................... ( )
2. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico:
aº=..........
L1
L2
aº
qº
• Si:
!!
L1
//
!!
L2
• Si:
!!
L1
//
!!
L2
L1
L2
aº
bº
aº=..........
7. Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "aº"
L1
L2
3aº
54º
8. Si:
!!
a //
!!
b, calcular "aº"
a
b
94º
4aº+10º
!!
L1
//
!!
L2
L1
L2
5qº
145º
10. Calcular "xº", si:
!!
L1
//
!!
L2
L1
L2
154º
xº+35º

Central: 619-8100
63
Unidad III
13. Grafica haciendo uso de la regla:
• Dos rectas horizontales paralelas
!!
L1
y
!!
L2
y una recta secante a ellas oblicua
!!
L3
.
4. Relaciona mediante flechas, si:
!!
L1
//
!!
L2
L1
L2
aº
qº
L1
L2
bº
wº
• Ángulos correspondientes
• Ángulos alternos internos
5. De acuerdo al gráfico, plantea la ecuación.
• Si:
!!
L1
//
!!
L2
L1
L2
qº
aº
Ecuación: aº+.......... = ...........
6. Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "qº"
L2
L1
145º
5qº+10º
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
3qº+10º
L2
76º
8. Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "xº"
L1
L2
xº+5º
78º
!!
L1
//
!!
L2
L1
L2
138º
xº+35º

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64
El sol
Los rayos solares del sol emiten haces de luz como lo muestra la figura.
El "haz 1" es paralelo al "haz 2" y forman los ángulos mostrados "aº"; "bº"
y "qº"
14. Si un alumno observa que: aº = 46º, calcular "bº".
15. Con las condiciones anteriores, calcular "qº".
1. Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "qº".

L1
L2
2qº
58º
!!
L1
//
!!
L2
.

L1
L2
xº
50º
65º
3. Si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
, calcular "xº"

L1
L2
L3
70º
45º xº
4. Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "xº".

L1
L2
72º
xº
60º
!!
L1
//
!!
L2
.
124º
2xº+10º
L2
L1
!!
m //
!!
n
m
n
3aº
70º–2aº
!!
L1 //
!!
L2.
L1
L2
4xº
132º
!!
L1 //
!!
L2.
L1
L2
135º 3qº
aº bº
qº
haz "1" haz "2"

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65
Unidad III
1
18:10:45
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
75º
xº
!!
L1
//
!!
L2
.
120º
3xº
L2
L1
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
3qº
72º
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
45º
3qº
!!
a //
!!
b .
150º
3xº
a
b
!!
L1
//
!!
L2
.
L1 L2
66º
6qº
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
5aº+30º
145º
8. Calcular "bº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1 L2
65º 5bº+20º
5. Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "qº".

L1
L2
120º
40º qº

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66
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
3qº+27º
162º
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
3aº+mº
171º+mº
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
nº+5bº
70º+nº
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
146º
xº
13. Calcular "yº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
108º
4yº
!!
m //
!!
n .
3xº–1º
n
m
71º
15. Si:
!!
a //
!!
b , calcular "qº".
2qº–1º
139º
a
b
...................................................... ( )

Central: 619-8100
Geometría
67
www.trilce.edu.pe
Geometría
67
Operaciones entre ángulos
determinados por rectas paralelas
• A aplicar las propiedades dadas a ángulos alternos internos.
• A aplicar las propiedades dadas a ángulos correspondientes.
• A desarrollar diversos problemas sobre ángulos determinados por rectas paralelas.
• En las vallas mostradas, ¿observarás objetos paralelos?
Postes paralelos
La valla es un elemento superficial vertical que se utiliza para delimitar terrenos y protegerlos contra
intrusos. Suelen ser de madera o metálicas.
Las vallas se colocan alrededor
de un terreno o jardín y tienen la
función de impedir la entrada al
mismo o de proteger la intimidad
de sus habitantes. Las vallas se
instalan en granjas, terrenos
agrícolas o en otros espacios
privados como, por ejemplo,
los jardines de las viviendas
unifamiliares.
Una valla clásica está formada por
una serie de tablones o estacas de
madera colocados en vertical y
terminados en punta o de forma
redondeada. Los tablones se
clavan al terreno y se unen por
medio de otras tablas horizontales
que se clavan a las anteriores.
Existen también vallas metálicas
que consisten en una malla de
alambre, denominada alambrada. También se encuentran vallas confeccionadas con materiales naturales
como cañas o brezo. En este caso, las piezas se trenzan con alambre conformando una superficie tupida.
CAPITULO 2

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68
Operaciones entre ángulos determinados por rectas paralelas
10 x
5
50
Saberes previos
• Ángulos opuestos por el vértice
aº aº
Si:
!!
a //
!!
b.
qº
qº
a
b
• Ángulos consecutivos y suplementarios
bº
aº
aº+bº= 180º
Si:
!!
m //
!!
n .
qº
qº
m
n
1. Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "qº".
144º
3qº
L1
L2
2. Si:
!!
L1
//
!!
L2
, calcular "xº".
L1
L2
126º
9xº
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
xº+40º
35º
4. Si:
!!
a //
!!
b , calcular "qº".
4qº
a
b
20º

Central: 619-8100
69
Unidad III
2
!!
L1
//
!!
L2
.

L1
L2
5aº 60º
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
xº
40º
65º
L1
L3
L2
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
xº
42º
L1
L3
L2
48º
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3
L2
xº
62º 58º
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3L2
xº35º
125º
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
qº
L1
L3
L2
135º
52º
1. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico:
aº+ ...... = .......
L1
L2
bº
aº
• Si:
!!
L1
//
!!
L2
. • Si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
xº= ..... + .....xº
bº
L1
L3
L2
aº

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70
!!
a //
!!
b.
3qº
126º
a
b
!!
L1
//
!!
L2
.
3qº+70º
5qº+40º
L1
L2
2. Plantea la ecuación correcta de acuerdo al gráfico, en términos de "aº"; "bº" y "qº" (
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
)
Ecuación: ......=.........+.........
L1
L3
L2
qº
aº bº
3. Graficar haciendo uso de la regla:
• Tres rectas paralelas verticales
!!
a ;
!!
b y
!!
c .
4. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

a
b
aº
qº
• En el gráfico, donde:
!!
a //
!!
b
Tenemos que: aº = qº ................. ( )
qº
yº
xº
a
b
c
• En el gráfico, donde:
!!
a //
!!
b //
!!
c
Tenemos que: qº = xº – yº ............... ( )
5. Completa el gráfico, de acuerdo al enunciado.

• Unir mediante segmentos los puntos "A"; "B" y "C".
L1
L3
L2
A
B
C

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71
Unidad III
2
La reja de la ventana
Por seguridad Julio coloca rejas en la ventana del frontis de su
casa como lo muestra la figura. Si todas las rejas horizontales son
paralelas entre sí y las rejas oblicuas también son paralelas entre sí.
Calcular:
14. ¿Cuál es la relación que cumple "aº" y "bº" de acuerdo a las
condiciones dadas?
15. ¿Qué relación cumple "aº" y "qº" de acuerdo a las condiciones brindadas?
aº qº
bº
!!
L1
//
!!
L2
.
L1 L2
6qº
2qº–20º
!!
a //
!!
b //
!!
c .
xº
53º
28º
a
b
c
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1 L3
L2
120ºxº
62º
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3
L2
xº
51º
38º
!!
a //
!!
b //
!!
c .
xº
a
c
b
134º
128º
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3
L2
xº
138º
62º

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72
18:10:45
1. Si:
!!
a //
!!
b , calcular "xº".
2qº 50º
xº qº
a
b
!!
L1
//
!!
L2
.
150º
120º
xº
L1
L2
!!
L1
//
!!
L2
.
70º
L1
L2
125º
xº
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
xº
23º
58º
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
bº
bº
aº
aº
xº
!!
L1
//
!!
L2
.
2xº
50º
L1
L2
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
50º
xº
!!
L1
//
!!
L2
.

L2
L1
62º
xº
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
126º
xº

Central: 619-8100
73
Unidad III
!!
a //
!!
b .
129º
a b
3aº
!!
a //
!!
b //
!!
c .
xº
a
c
b
43º
22º
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3L2
qº72º
141º
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3
L2
xº
120º
135º
9. Si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
, calcular "qº".
qº L1
L3
L2
64º
10. En la figura, calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1 2qº
34º
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L2
L3
L1
82º
aº
132º
!!
a //
!!
b //
!!
c .
a
c
b
25º
aº
93º
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
100º
aº
40º
L2
L3
L1
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3
L2
qº
62º
15. Calcular "xº + yº", si:
!!
a //
!!
b //
!!
c
a
c
b
yº
xº
130º
34º

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74
3
Aplicaciones de ángulos entre
rectas paralelas
• A reconocer los ángulos alternos internos dados entre dos rectas paralelas.
• A aplicar las propiedades dadas a los ángulos alternos internos.
• A reconocer los ángulos correspondientes entre dos rectas paralelas.
• A aplicar las propiedades dadas en los ángulos correspondientes.
• A conocer nuevas propiedades y desarrollar diversos problemas.
• ¿El concepto de paralelismo se usaba para la construcción de templos?
Los cuatro postes
El templo pudiera haber tenido origen en el Megaron, sala rectangular precedida por un pórtico de columnas
(stylos), existente en la casa Micénica y que era la habitación más importante de la casa griega y santuario
de los dioses familiares, tal como lo
describe Vitrubio.
En las invasiones y guerras, los
ganadores derruían el palacio del
rey vencido, pero respetaban el
Megaron puesto que era la casa del
dios de la región. Así, el templo
más antiguo era el In-antis, que
tiene todo el aspecto de ser una
habitación que ha perdido la casa
que tenía alrededor.
Son construcciones arquitrabadas
que se alzan sobre una plataforma
con gradas (krepis o krepidoma),
llamándose estilóbato al último
escalón. La planta definitiva del
templo griego constaba de un
local llamado cella, un espacio
interior, de forma rectangular,
que constituye el núcleo de la
construcción. Tiene una sola abertura, la puerta, sin ventanas. A veces el templo tiene dos cellas, con las
puertas en las fachadas principales, las más cortas, y en este caso cada cella suele estar dedicada a una
divinidad distinta.
3CAPITULO

Geometría
Central: 619-8100
75
Unidad III
Conceptos básicos
Saberes previos
L1
L2
d d
L1 // L2
• Rectas paralelas
qº
qº
• Ángulos opuestos por el vértice
bº
aº
aº + bº = 90º
• Ángulos complementarios
• Ángulos consecutivos y suplementarios
aº
bº
aº + bº = 180º
• Si:
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
, calcular "xº" en términos de "aº" y "bº".
L1
L3
L2
aº
bº
xº
Resolución:
L1
L3
L2
aº
aº
bº
bº
xº
xº = aº + bº
• Trasladamos los ángulos alternos internos
(ángulos de igual medida) "aº" y "bº"
• Por adición de ángulos:
Recuerda que...

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76
Aplicaciones de ángulos entre rectas paralelas
10 x
5
50
• En general:
xº
L1
L2
bº
aº
Si:
!!
L1
//
!!
L2
Entonces: xº = aº + bº
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
5qº+10º
4qº+60º
!!
L1
//
!!
L2
.

L1
L2
4qº+5º
65º
!!
a //
!!
b .
a
b
58º
2xº
4. En la figura , calcular "qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
9qº
72º
!!
a //
!!
b //
!!
m.
xº
30º
45º
a
m
b
!!
m //
!!
n .
m
n
63º
7aº
Recuerda que...

Central: 619-8100
77
Unidad III
3
!!
a //
!!
b .
5qº+20º
75º
a
b
!!
L1
//
!!
L2
.
xº
L1
L2
38º
45º
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
46º
aº
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
148º
xº
1. Completar las relaciones de acuerdo al gráfico.
aº +.....=......
bº
aº+qº
a
b
• Si:
!!
a //
!!
b . • Si:
!!
m //
!!
n .
zº
xº+yº m
n
zº =.....+......
2. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) según corresponda, en los siguientes enunciados.
• En el gráfico:
L1
L2
aº
bº
xº
Tenemos que: xº=aº+bº, si:
!!
L1
//
!!
L2
.............................................................................( )
• En los ángulos opuestos por el vértice, las medidas de los ángulos son diferentes ..........( )

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!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
5aº
65º
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
3xº+20º
xº+80º
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
80º
5qº+15º
!!
a //
!!
b .
5xº
xº
a
b
3. Completa el gráfico, según el enunciado:
• Une mediante segmentos de recta los puntos "A" con "B" y "A" con "C".
A
B C
4. Relaciona con flechas, si:
!!
a //
!!
b .
a
b
aº
aº
qº
qº
a b
5. Plantea la ecuación de acuerdo al gráfico, en términos de "xº"; "yº" y "zº"
Si:
!!
a //
!!
b
a
b
xº+zº
yº Ecuación: .........................=.........

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79
Unidad III
3
!!
m //
!!
n //
!!
r .
xº
70º
65º
m
n
r
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
4xº+5º
65º
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
xº
62º
65º
!!
a //
!!
b .
100º
48º
xº
a
b
El vaso de agua
Un vaso contiene agua hasta cierta medida. Un
alumno lo inclina 40º como muestra la figura y
se originan los ángulos "aº" y "bº".
14. Calcular la medida del ángulo "aº".
15. Calcular la medida del ángulo "bº".
40º
bº
aº
1. Si:
!!
a //
!!
b , calcular "xº".
xº
a
b
130º+mº
150º–mº
!!
L1
//
!!
L2
//
!!
L3
.
L1
L3
L2
2qº
xº
8qº

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80
18:10:45
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1 48º
6qº
!!
a //
!!
b .
55º
5aº
a
b
!!
a //
!!
b .
2qº
58º
a
b
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
5aº
60º
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L12aº
80º
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
5xº+20º
60º
!!
L1
//
!!
L2
.

L1
L2
qº qº
bº
60º
25º
4. Calcular "mº – nº", si:
!!
a //
!!
b

120º
nº
mº
a
b
5. Calcular "xº+yº", si: aº+bº=50º y además: !!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
yº
aº
aº
xº
bº
bº

Central: 619-8100
81
Unidad III
3
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
140º
7xº
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1 3xº
75º
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
3xº–10º
50º
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
75º
7qº+
5º
!!
a //
!!
b .
a
b65º
40º
xº
!!
L1
//
!!
L2
.
60º
L1
L2
33º
aº
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
aº
114º
150º
!!
L1
//
!!
L2
.
L2
L1
75º
80º
xº
15. Calcular "aº+qº", si:
!!
L1
//
!!
L2
.
L1
L2
130º
40º 60º
2aº
aº
qº

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