Introduction au lock-free programming avec std::atomics
Projet Stochastique - Hotline
1. Processus Stochastiques Classe 41-42 2012-2013
ESIEA – 74 Bis, avenue Maurice Thorez – 94200 Ivry-sur-Seine 1
Le groupe du projet est constitué de :
EN NAKDI Tarik
Projet informatique ESIEA
Sujet: Combien de personnes travaillent en moyenne au service
hotline d’un opérateur téléphonique
2. Processus Stochastiques Classe 41-42 2012-2013
ESIEA – 74 Bis, avenue Maurice Thorez – 94200 Ivry-sur-Seine 2
Sommaire
Problématique:........................................................................................................................................ 3
1ère Modélisation de la Chaîne de Markov d’une Hotline ..................................................................... 4
Partie 1: CALCUL AVEC MATHEMATICA .................................................................................................. 5
2ème Modélisation de la Chaîne de Markov d’une Hotline.................................................................... 6
Partie 2: CALCUL AVEC MATHEMATICA .................................................................................................. 7
Conclusion:.............................................................................................................................................. 8
Annexes:.................................................................................................................................................. 9
Génération d’une chaîne de Markov en language C++:...................................................................... 9
Génération d’une chaîne de Markov en language JAVA:.................................................................. 11
Webographie:........................................................................................................................................ 13
3. Processus Stochastiques Classe 41-42 2012-2013
ESIEA – 74 Bis, avenue Maurice Thorez – 94200 Ivry-sur-Seine 3
Problématique:
Expliquer le but du projet
Notre idée : Construire un modèle général en prenant en compte la capacité des agents à traiter le
nombre d’appels par minute et le temps passer en file d’attente.
Markov + Matrice = Modèle poussée et général du projet Réponse au cahier des charges
Donner les moyens qui vont être utilisés pour répondre au cahier des charges
(
Mathematica
Création et génération d’une chaîne de Markov en C++ et en JAVA
)
Avant de commencer absolument dire que les événements d’arrivé des clients suit une loi de Poisson
avec λ le paramètre désignant le nombre d’appels par minute, c’est un taux d’arrivé des clients par
rapport au temps. Dans notre cas, si on se place sur H notre λ sera ϒH (gamma H).
Dire aussi que notre chaîne de Markov est ergodique, voir cours ou simplement dire que l’intensité
du trafic est inférieure à 1. Dans notre cas que p = (ϒA/ ϒH) <1 , ϒH pour le service et ϒA pour la file
d’attente.
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ESIEA – 74 Bis, avenue Maurice Thorez – 94200 Ivry-sur-Seine 4
1ère Modélisation de la Chaîne de Markov d’une Hotline
Légende:
• M: Maison
• A: Attente
• H: Hotline
M A H
Nb/Nb = 1
(Nb – Na)/Nb
Na/Nb
0,3
0,7
Hypothèse 1: On prendra Na, le nombre d’agents tel qu’un 1 agent a la capacité de traiter 1 client par
minute. On fixera Nb à une valeur aléatoire de sorte que Na soit inférieur à Nb pour se rapprocher le plus
possible de la réalité tout en donnant un modèle complet.
5. Processus Stochastiques Classe 41-42 2012-2013
ESIEA – 74 Bis, avenue Maurice Thorez – 94200 Ivry-sur-Seine 5
Partie 1: CALCUL AVEC MATHEMATICA
Mettre un bout de code servant à expliciter notre raisonnement.
Les moyennes E
Les variances V
La matrice pour le modèle général
Enfin le calcul du nombre d’agents optimal
6. Processus Stochastiques Classe 41-42 2012-2013
ESIEA – 74 Bis, avenue Maurice Thorez – 94200 Ivry-sur-Seine 6
2ème Modélisation de la Chaîne de Markov d’une Hotline
Légende:
• M: Maison
• A: Attente
• H: Hotline
M A H
Nb/Nb = 1
Nb−(2Na+Na)/2
Nb
(Na + 2Na)/2Nb
0,3
0,7
Hypothèse 2: Il y aura 2 types d’agents dans la population Na. La moitié de Na sont les agents stagiaires
et ne sont capables de traiter qu’un client par minute, alors que l’autre moitié sont les agents qualifiés qui
eux peuvent traiter deux clients par minute. On garde toujours cette hypothèse raisonnable : Na < Nb.
7. Processus Stochastiques Classe 41-42 2012-2013
ESIEA – 74 Bis, avenue Maurice Thorez – 94200 Ivry-sur-Seine 7
Partie 2: CALCUL AVEC MATHEMATICA
Mettre un bout de code servant à expliciter notre raisonnement.
Les moyennes E
Les variances V
La matrice pour le modèle général
Enfin le calcul du nombre d’agents optimal
8. Processus Stochastiques Classe 41-42 2012-2013
ESIEA – 74 Bis, avenue Maurice Thorez – 94200 Ivry-sur-Seine 8
Conclusion:
Modélisation générale réussie grâce à la formule de Lalitte, car notre modèle est ergodique ainsi qu’à
notre matrice donnée par la chaîne de Markov.
Réponse à la dernière question ainsi qu’en mettant le coût total du service de hotline en prenant Na
= 16 comme étant le nombre d’agent optimal.
Mettre les agents compétents pendant les heures de pointes lorsque la probabilité que Nb clients
appellent est très forte. Et donc placer le reste du personnel sur les autres plages horaires.
9. Processus Stochastiques Classe 41-42 2012-2013
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Annexes:
Génération d’une chaîne de Markov en language C++:
#include <time.h>
#include <iostream>
#include <string>
#include <deque>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
const int NPREF = 2;
const char NONWORD[] = "n"; // cannot appear as real line: we remove
newlines
const int MAXGEN = 3; // maximum words generated which are our 3 steps M,
A and H
typedef deque<string> Prefix;
map<Prefix, vector<string> > statetab; // prefix -> suffixes
void build(Prefix&, istream&);
void generate(int nwords);
void add(Prefix&, const string&);
// markov main: markov-chain random text generation
int main(void)
{
int nwords = MAXGEN;
Prefix prefix; // current input prefix
srand(time(NULL));
for (int i = 0; i < NPREF; i++)
add(prefix, NONWORD);
build(prefix, cin);
add(prefix, NONWORD);
generate(nwords);
return 0;
}
// build: read input words, build state table
void build(Prefix& prefix, istream& in)
{
string buf;
while (in >> buf)
add(prefix, buf);
}
// add: add word to suffix deque, update prefix
void add(Prefix& prefix, const string& s)
{
if (prefix.size() == NPREF) {
statetab[prefix].push_back(s);
prefix.pop_front();
}
prefix.push_back(s);
10. Processus Stochastiques Classe 41-42 2012-2013
ESIEA – 74 Bis, avenue Maurice Thorez – 94200 Ivry-sur-Seine 10
}
// generate: produce output, one word per line
void generate(int nwords)
{
Prefix prefix;
int i;
for (i = 0; i < NPREF; i++)
add(prefix, NONWORD);
for (i = 0; i < nwords; i++) {
vector<string>& suf = statetab[prefix];
const string& w = suf[rand() % suf.size()];
if (w == NONWORD)
break;
cout << w << "n";
prefix.pop_front(); // advance
prefix.push_back(w);
}
}
11. Processus Stochastiques Classe 41-42 2012-2013
ESIEA – 74 Bis, avenue Maurice Thorez – 94200 Ivry-sur-Seine 11
Génération d’une chaîne de Markov en language JAVA:
/*Java classes of Markov chain algorithm
Class Prefix
Class Chain
Class Markov*/
import java.io.*;
import java.util.StringTokenizer;
import java.util.Vector;
import java.util.Hashtable;
import java.util.Random;
//Prefix Class
class Prefix {
public Vector pref;
// NPREF adjacent words from input
static final int MULTIPLIER = 31; // for hashCode() // Prefix
constructor: duplicate existing prefix
Prefix(Prefix p){
pref = (Vector) p.pref.clone();
} // Prefix constructor: n copies of str
Prefix(int n, String str){
pref = new Vector();
for (int i = 0; i < n; i++)
pref.addElement(str);
} // Prefix hashCode: generate hash from all prefix words
public int hashCode(){
int h = 0;
for (int i = 0; i < pref.size(); i++)
h = MULTIPLIER * h + pref.elementAt(i).hashCode();
return h;
} // Prefix equals: compare two prefixes for equal words
public boolean equals(Object o){
Prefix p = (Prefix) o;
for (int i = 0; i < pref.size(); i++)
if (!pref.elementAt(i).equals(p.pref.elementAt(i)))
return false;
return true;
}
}
//Chain Class
class Chain {
static final int NPREF = 2; // size of prefix
static final String NONWORD = "n"; // "word" that can't appear
Hashtable statetab = new Hashtable(); // key = Prefix, value = suffix
Vector
Prefix prefix = new Prefix(NPREF, NONWORD); // initial prefix
Random rand = new Random(); // Chain build: build State table from
input stream
12. Processus Stochastiques Classe 41-42 2012-2013
ESIEA – 74 Bis, avenue Maurice Thorez – 94200 Ivry-sur-Seine 12
void build(InputStream in) throws IOException{
StreamTokenizer st = new StreamTokenizer(in);
st.resetSyntax(); // remove default rules
st.wordChars(0, Character.MAX_VALUE); // turn on all chars
st.whitespaceChars(0, ' '); // except up to blank
while (st.nextToken() != st.TT_EOF)
add(st.sval);
add(NONWORD);
} // Chain add: add word to suffix list, update prefix
void add(String word){
Vector suf = (Vector) statetab.get(prefix);
if (suf == null) {
suf = new Vector();
statetab.put(new Prefix(prefix), suf);
}
suf.addElement(word);
prefix.pref.removeElementAt(0);
prefix.pref.addElement(word);
} // Chain generate: generate output words
void generate(int nwords){
prefix = new Prefix(NPREF, NONWORD);
for (int i = 0; i < nwords; i++) {
Vector s = (Vector) statetab.get(prefix);
if (s == null) {
System.err.println("Markov: internal error: no state");
System.exit(1);
}
int r = Math.abs(rand.nextInt()) % s.size();
String suf = (String) s.elementAt(r);
if (suf.equals(NONWORD))break;
System.out.println(suf);
prefix.pref.removeElementAt(0);
prefix.pref.addElement(suf);
}
}
}
//Markov Class
class Markov {
static final int MAXGEN = 3; // maximum words generated which are our
3 steps M, A and H
public static void main(String[] args) throws IOException{
Chain chain = new Chain();
int nwords = MAXGEN;
chain.build(System.in);
chain.generate(nwords);
}
}
