Se presenta la ecuación de planos y de rectas en el espacio

1. PLANOS Y RECTAS EN R3
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

2. 𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷 = 0
𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷 = 0
Ejemplo: Hallar el ángulo θ formado por las rectas Ab y CD siendo A(-3, 2, 4) ; B(2, 5, -2);
C(1, -2, 2) y D(4, 2, 3)
𝐴𝐵 = 5𝑖 + 3𝑗 − 6𝑘 𝑐𝑜𝑠𝛼1 =
5
70
𝑐𝑜𝑠𝛽1 =
3
70
𝑐𝑜𝑠𝛾1 = −
6
70
𝐶𝐷 = 3𝑖 + 4𝑗 + 𝑘 𝑐𝑜𝑠𝛼2 =
3
26
𝑐𝑜𝑠𝛽2 =
4
26
𝑐𝑜𝑠𝛾2 =
1
26
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑐𝑜𝑠𝛼2 + 𝑐𝑜𝑠𝛽1 𝑐𝑜𝑠𝛽2 + 𝑐𝑜𝑠𝛾1 𝑐𝑜𝑠𝛾2

3. “
”
𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝛼1 𝑐𝑜𝑠𝛼2 + 𝑐𝑜𝑠𝛽1 𝑐𝑜𝑠𝛽2 + 𝑐𝑜𝑠𝛾1 𝑐𝑜𝑠𝛾2
=
5
70
.
3
26
+
3
70
.
4
26
+
(−6)
70
.
1
26
= 0.49225
= 60°30,7’
2) Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices
son A(3, -1, 4) ; B(1, 2, -4) ; C(-3, 2, 1)
𝐴𝐵 = −2𝑖 + 3𝑗 − 8𝑘 𝐵𝐶 = −4𝑖 + 5𝐾
𝐴𝐶 = −6𝑖 + 3𝑗 − 3𝑘 𝐴𝐶 = −2𝑖 + 𝑗 − 𝑘
𝑐𝑜𝑠𝛼1 =
−2
77
𝑐𝑜𝑠𝛽1 =
3
77
𝑐𝑜𝑠𝛾1 = −
8
77
𝑐𝑜𝑠𝛼2 =
−4
41
𝑐𝑜𝑠𝛽2 =
5
41
𝑐𝑜𝑠𝛾2 =
5
41

4. 𝑐𝑜𝑠𝛼3 =
−6
54
=
−2
6
𝑐𝑜𝑠𝛽3 =
1
6
𝑐𝑜𝑠𝛾2 =
−1
6
cosA = =
−2
77
.
−2
6
+
3
77
.
1
6
+
(−8)
77
.
(−1)
6
=
15
462
= 45°44,7’
cosB = =
2
77
.
−4
41
+
−3
77
. 0 +
8
77
.
5
41
=
32
3157
= 55°16,9’
cosC = =
2
6
.
4
41
+ 0 +
1
6
.
−5
41
=
3
246
= 78°58,4’

5. RECTA PERPENDICULAR A UN
PLANO
Planos Paralelos y Perpendiculares
𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷 = 0
𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷 = 0
 Son paralelos si
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
=
𝐶1
𝐶2
 Son perpendiculares si 𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2
+ 𝐶1 𝐶2= 0
Forma Normal de un Plano
𝑥𝑐𝑜𝑠𝛼 + ycosβ + 𝑧𝑐𝑜𝑠𝛾 − 𝑝 = 0
Con p la distancia del origen al plano y
𝛼, 𝛽, 𝛾 los ángulos de la dirección de
perpendicular a plano en el origen.
𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶𝑧+𝐷
± 𝐴2+𝐵2+𝐶2
= 0 con el signo de radical
opuesto al de D para que la distancia p
sea siempre positiva.

𝑎
𝐴
=
𝑏
𝐵
=
𝑐
𝐶
donde a, b y c son las componentes
de la recta y Ax + By Cz + D=0
es la ecuación del plano.

6. ECUACIÓN DEL PLANO EN
FUNCIÓN DE LOS
SEGMENTOS QUE
INTERCEPTA EN LOS EJES
ÁNGULOS DE DOS PLANOS
𝐴1 𝑥 + 𝐵1 𝑦 + 𝐶1 𝑧 + 𝐷 = 0
𝐴2 𝑥 + 𝐵2 𝑦 + 𝐶2 𝑧 + 𝐷 = 0
𝐶𝑂𝑆𝜃 =
𝐴1 𝐴2 + 𝐵1 𝐵2 + 𝐶1 𝐶2
𝐴1
2
+ 𝐵1
2
+ 𝐶1
2
𝐴2
2
+ 𝐵2
2
+ 𝐶2
2
 Corta los ejes x, y, z en los
puntos a, b, c

𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
+
𝑧
𝑐
= 1
 𝑑 =
𝐴𝑥1+𝐵𝑦1+𝐶𝑧1
𝐴2+𝐵2+𝐶2
donde
P 𝑥1, 𝑦1, 𝑧1 es un punto y Ax + By +
Cz + D = 0 es la ec. del plano

7. CASOS PARTICULARES
 Las siguientes ecuaciones representan planos perpendiculares a los planos xy, yz,
xz.
 𝐴 𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐷 = 0
 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
 𝐴 𝑥 + 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0
 Las siguientes ecuaciones representan planos perpendiculares a los planos x, y z.
 𝐴 𝑥 + 𝐷 = 0
 𝐵𝑦 + 𝐷 = 0
 𝐶𝑧 + 𝐷 = 0

8. Hallar la ec. del plano perpendicular en el
pt. medio, al segmento definido por (-3, 2, 1)
y (9, 4, 3)
 𝑣 = 12𝑖 + 2𝑗 + 2𝑘 = 6𝑖 + 𝑗 + 𝑘
 Punto Medio 𝑥 =
−3+9
2
=
6
2
= 3 𝑦 =
2+4
2
=
6
2
= 3 𝑧 =
1+3
2
=
4
2
= 2
 P(3, 3, 2)
 6(x-3) + 1(y-3) + 1(z-2) = 0
6x – 18 + y – 3 + z – 2 = 0
6x + y + z – 23 = 0

9. Hallar la ecuación del plano que pasa
por P(1, -2, 3) y es paralela a x-3y+2z=0
 – 3y + 2z + k = 0
1 – 3(-2) + 2(3) + k = 0
1 + 6 + 6 + k = 0
k = -13
L acuación sería
x – 3y + 2z – 13 = 0