Limites et études de fonctions - 1BAC BIOF - Dr. Karam Ouharou

1. Limites
et
études
de
fonctions
–
Dr.
Karam
Ouharou
Série d’exercices N°3 – Limites et Etudes de fonctions
1BAC BIOF – Sciences expérimentales et sciences mathématiques
Dr. Karam Ouharou
1
Exercice 1 :
1. Démontrer que lim𝑥→0
√1+𝑥−√1−𝑥
𝑥
= 1.
2. Soient 𝑚, 𝑛 des entiers positifs. Étudier lim𝑥→0
√1+𝑥𝑚−√1−𝑥𝑚
𝑥𝑛
.
3. Démontrer que lim𝑥→0
1
𝑥
(√1 + 𝑥 + 𝑥2 − 1) =
1
2
.
Exercice 2 :
Calculer lorsqu'elles existent les limites suivantes
lim𝑥→0
𝑥2+2|𝑥|
𝑥
; lim𝑥→−∞
𝑥2+2|𝑥|
𝑥
; lim𝑥→2
𝑥2−4
𝑥2−3𝑥+2
; lim𝑥→𝜋
sin2⁡𝑥
1+cos⁡𝑥
; lim𝑥→0
√1+𝑥−√1+𝑥2
𝑥
;
lim𝑥→+∞ √𝑥 + 5 − √𝑥 − 3 lim𝑥→0
√1+𝑥2
3
−1
𝑥2
; lim𝑥→1
𝑥−1
𝑥𝑛−1
Calculer, lorsqu'elles existent, les limites suivantes :
lim
𝑥→𝛼
𝑥𝑛+1−𝛼𝑛+1
𝑥𝑛−𝛼𝑛 ; lim
𝑥→0
tan⁡𝑥−sin⁡𝑥
sin⁡𝑥(cos⁡2𝑥−cos⁡𝑥)
; lim
𝑥→+∞
√𝑥 + √𝑥 + √𝑥 − √𝑥
Exercice 3 :
Calculer la limite de la fonction 𝑓 quand 𝑥 tend vers 𝑥0, dans chacun des cas suivants :
𝑥0 = −1; 𝑓(𝑥) =
𝑥2−3𝑥−2
𝑥−2
; 𝑥0 = 2; 𝑓(𝑥) =
𝑥3−𝑥−6
5𝑥2−3𝑥−7
; x0 = 3; f(x) =
𝑥2−9
(𝑥−3)(7𝑥−11)
𝑥0 = −2; 𝑓(𝑥) =
3𝑥2+2𝑥−8
𝑥2+𝑥−2
; 𝑥0 = 1; 𝑓(𝑥) =
−4𝑥2+2𝑥+2
𝑥2+𝑥−2
; 𝑥0 = −3; 𝑓(𝑥) =
3𝑥2+𝑥−24
(𝑥+3)(7𝑥−2)
𝑥0 = 2; 𝑓(𝑥) =
𝑥3−3𝑥2−2𝑥+8
−7𝑥2+13𝑥+2
; 𝑥0 = −1; 𝑓(𝑥) =
7𝑥2−2𝑥−9
3𝑥3+8𝑥+11
; x0 = 1; f(x) =
𝑥3−1
𝑥2+𝑥−2
𝑥0 = −2; 𝑓(𝑥) =
𝑥2+𝑥−2
𝑥3+8
; 𝑥0 = −1; 𝑓(𝑥) =
1
𝑥(𝑥+1)
−
1
𝑥3(𝑥+1)
;⁡𝑓(𝑥) =
3𝑥2+2𝑥−8
−2𝑥2+𝑥+1
𝑥0 = 2; 𝑓(𝑥) =
1
4(𝑥−2)
−
1
𝑥2(𝑥−2)
; 𝑥0 = 2; 𝑓(𝑥) =
𝑥2−2𝑥−7
−2𝑥2+𝑥+6
;⁡𝑥0 = 1; 𝑓(𝑥) =
3𝑥2+2𝑥−8
−2𝑥2+𝑥+1
;
𝑥0 = 3; 𝑓(𝑥) =
−2𝑥+5
2𝑥2+𝑥−21
; 𝑥0 = −1; 𝑓(𝑥) =
√−3𝑥+1−8
5𝑥3+3𝑥2−4𝑥−2
; 𝑥0 = 2; 𝑓(𝑥) =
𝑥2+2𝑥−2
𝑥3−3𝑥2−𝑥+6
;
𝑥0 = −1;𝑓(𝑥) =
√5𝑥2 − 4𝑥 − 1
−3𝑥2 + 𝑥 + 4
Exercice 4 :
Calculer la limite de la fonction 𝑓 quand 𝑥 tend vers ±∞, dans chacun des cas suivants:
𝑓(𝑥) =
4𝑥5−3𝑥3−2𝑥+7
−3𝑥3−2𝑥+7
; 𝑓(𝑥) =
11𝑥2−2𝑥+7
−2𝑥5−3𝑥2−2𝑥+1
; 𝑓(𝑥) =
−5𝑥3−1
2𝑥3+5𝑥−2
;
𝑓(𝑥) =
−3𝑥5+𝑥−24
(𝑥3+3)(7𝑥2−2)
; 𝑓(𝑥) =
2𝑥2+2𝑥−3
3𝑥2+𝑥−2
; f(x) =
1
𝑥(𝑥+1)
−
1
𝑥

2. Limites
et
études
de
fonctions
–
Dr.
Karam
Ouharou
Série d’exercices N°3 – Limites et Etudes de fonctions
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Dr. Karam Ouharou
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Exercice 5 :
Calculer la limite de la fonction 𝑓 dans chacun des cas suivants :
𝑥 → −∞; 𝑓(𝑥) = √5𝑥2 + 3𝑥 + 1 −
3𝑥+4
2𝑥+3
; 𝑥 → +∞; 𝑓(𝑥) = 13𝑥 − 1 + √3𝑥2 + 3𝑥 − 2
𝑥 → −∞; 𝑓(𝑥) = √25𝑥2 + 2𝑥 + 1 − 5𝑥 + 2 ; 𝑥 → +∞; 𝑓(𝑥) =
1
3𝑥2+5
− √16𝑥2 + 5𝑥 − 7
𝑥 → −∞; 𝑓(𝑥) = 2√9𝑥2 + 𝑥 − 2 + √4𝑥2 + 3𝑥 − 2 ; 𝑥 → −∞; 𝑓(𝑥) = √5𝑥2 + 4𝑥 − 1 −
3
√4𝑥+1
𝑥 → +∞; 𝑓(𝑥) = √9𝑥2 + 𝑥 + 1 − 5𝑥 + 11 ; 𝑥 → +∞; 𝑓(𝑥) = 7𝑥 − 3 − √4𝑥2 + 3𝑥 − 2
𝑥 → −∞; 𝑓(𝑥) = 2√9𝑥2 + 𝑥 − 2 − 5√4𝑥2 + 3𝑥 − 2 ; 𝑥 → +∞; 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 − √16𝑥2 + 5𝑥 − 7
𝑥 → −∞; 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 4𝑥 − 1 − 3√𝑥2 + 4𝑥 + 1 ; ⁡𝑥 → −∞𝑓(𝑥) = √16𝑥2 + 𝑥 − 1 − √25𝑥2 + 3𝑥 + 2
𝑥 → +∞; 𝑓(𝑥) = 2√𝑥 + 3 + 3√𝑥 + 3 ; ⁡𝑥 → +∞;𝑓(𝑥) = 2√𝑥 + 3 + 3√𝑥 + 3
𝑥 → +∞; 𝑓⁡(𝑥) =
3𝑥2−3𝑥+121
2𝑥+√𝑥−√11
; ⁡𝑥 → +∞; 𝑓(𝑥) =
3𝑥−√2𝑥+1
𝑥−4
𝑥 → +∞; 𝑓(𝑥) =
2𝑥−3+2√𝑥+3
3𝑥−3−√𝑥+3
; 𝑥 → +∞; 𝑓(𝑥) =
2√𝑥+3+3√𝑥+3
7√𝑥+3−7√𝑥+3
Exercice 6 :
Calculer les limites suivantes :
lim𝑥→−2
3𝑥2+2𝑥−8
𝑥2+𝑥−2
; lim𝑥→−1
2𝑥3+𝑥2+3𝑥+4
3𝑥2+𝑥−2
; lim𝑥→2
𝑥3−3𝑥2+𝑥+2
−2𝑥2+𝑥+6
lim𝑥→1
𝑥2+2𝑥−6
2𝑥2+𝑥−3
; lim𝑥→1
2𝑥2+𝑥−5
2𝑥3+𝑥2+3𝑥−6
; lim𝑥→2
𝑥2+2𝑥−2
2𝑥2−𝑥−6
; lim𝑥→−∞
4𝑥5−3𝑥3−2𝑥+7
−3𝑥3−2𝑥+7
lim𝑥→+∞
−5𝑥3−1
2𝑥7+5𝑥−2
; lim𝑥→−∞
2𝑥2+2𝑥−3
3𝑥2+𝑥−2
; lim𝑥→+∞
−3𝑥5+𝑥−24
(𝑥3+3)(7𝑥2−2)
;
lim𝑥→1
√𝑥+3−1
5𝑥2−2
; lim𝑥→−1
√𝑥+5−3
𝑥2−2𝑥−3
; lim𝑥→3
𝑥2−2𝑥−3
√𝑥−√3
; lim𝑥→1
√3𝑥+1−√𝑥+3
2𝑥2+3𝑥−5
Bon courage