Dinamica unidad 1

S

Unidad 1 Dinamica Prof. Estrada Cinemtaica de particulas Movimiento rectilineo uniforme Pocicion(x) Velocidad (dx/dt) Aceleracion(dv/dt)

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               UNIDAD 1

      CINEMATICA DE PARTICULAS.




INTRODUCCION
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La dinámica forma parte de la mecánica que es una de las ramas en que se
divide la física para su estudio.

Podemos representar con el siguiente diagrama las subdivisiones de la
mecánica.




La estática estudia el equilibrio de los cuerpos en reposo.La dinámica
estudia los cuerpos en movimiento.

La cinemática es la parte de la dinámica que estudia la geometría del
movimiento de los cuerpos sin ocuparse de las causas que generan dicho
movimiento.

La cinética es la parte de la dinámica que estudia el movimiento de los
cuerpos, considerando lo que causa dicho movimiento, o sea hay que tomar
en cuenta las fuerzas que actúan sobre los cuerpos.

Tanto la cinemática como la cinética se rigen primordialmente por las leyes
de Newton:

1a Ley: Todo cuerpo conservará su estado de reposo o movimiento mientras
no actúe sobre él una fuerza que altere dicho estado.

2a Ley. La fuerza aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional al
producto de la masa del cuerpo por su aceleración.

3a Ley: A toda acción (fuerza) que actúa sobre un cuerpo se opone una
reacción igual y de sentido contrario

UNIDADES UTILIZADAS
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.

En dinámica se utiliza tanto el sistema internacional de medidas como el
sistema ingles.

    LONGITUD         METRO (m)                      PIE (ft)

      TIEMPO         SEGUNDO                        SEGUNDO

      FUERZA         NEWTON                         LIBRA


          MASA       KILOGRAMO                      SLUG




EN TODAS ESTAS UNIDADES PUEDEN UTILIZARSE SUS MULTIPLOS
Y SUBMULTIPLOS. CONFORME SE AVANCE EN EL ESTUDIO SE DARAN
LAS EQUIVALENCIAS DE CONVERSION.



MOVIMIENTO RECTILINEO

Comenzaremos estudiando cinemática, considerando el movimiento de los
cuerpos en línea recta, este se denomina movimiento rectilíneo y es el
movimiento más simple de un cuerpo o partícula.

Una partícula se define como una porción pequeña de materia tal que su
dimensión o tamaño no tiene consecuencias en el análisis de un problema
físico.

En la mayor parte de los problemas que se presenten consideraremos como
partículas a cuerpos de tamaño finito, como cohetes, proyectiles, y
vehículos.

En general la cinemática de una partícula se caracteriza especificando la
posición, la velocidad y la aceleración de la partícula.

La posición, es el lugar en donde se encuentra la partícula, la velocidad es la
rapidez con que se mueve y si la velocidad de la partícula aumenta o
disminuye entonces tiene aceleración.
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Para comenzar consideraremos el movimiento absoluto de una partícula, esto
es el movimiento medido con respecto a un sistema coordenado fijo.



POSICION (x).

Consideraremos la posición de una partícula con respecto al origen de un
sistema de ejes coordenado.




En un instante t la partícula se encuentra en el punto P, situado a una
distancia x del origen (la posición de la partícula es x); un instante t+Δt
después la partícula se movió hasta alcanzar la posición P’ (x+Δx).

Podemos hacerlas siguientes consideraciones:

1º.- La posición de una partícula queda determinada por su distancia al punto
de referencia, en este caso el origen del sistema coordenado.

2º.- Cuando la partícula P se desplaza lo hace con una velocidad v que es una
cantidad vectorial.

3º.- Si x es positiva la partícula está a la derecha del origen y si es negativa
la partícula está a la izquierda del origen.

DESPLAZAMIENTO (Δx)

Se define como el cambio de posición de la partícula. Cuando la posición final
P’ de la partícula está a la derecha de P, Δx es positivo. Cuando P’ queda a la
izquierda de P, Δx es negativo.

LA DISTANCIA RECORRIDA POR LA PARTÍCULA ES DIFERENTE DEL
DESPLAZAMIENTO.
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La distancia recorrida por la partícula es la longitud total de la trayectoria
de la partícula y siempre es positiva.

Todas estas consideraciones se hacen cuando la partícula se mueve a lo
largo de una trayectoria recta, por lo que a este tipo de movimiento se le
designa como MOVIMIENTO RECTILINEO.

VELOCIDAD (v).

Si consideramos que la partícula se mueve con un desplazamiento positivo
Δx desde P hasta P’ durante un intervalo Δt, entonces la velocidad media de
la partícula se define como:




Si tomamos valores mas y mas pequeños de Δt y por consecuencia de Δx,
obtendremos la velocidad instantánea, definida como:




Esto es:

Tanto la velocidad media como la velocidad instantánea pueden tener
valores positivos o negativos.

Sus unidades son:




ACELERACION. (a)

Se define aceleración media como:




Y la aceleración instantánea será:
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La aceleración también podemos expresarla considerando:


Si                entonces




También sabemos que:                  despejando dt tenemos:




Sustituyendo en la expresión de aceleración




Si a es positiva; indica que la velocidad aumenta.

Si a es negativa; indica que la velocidad disminuye.



Generalmente la posición de una partícula se puede representar en función
del tiempo



Ejemplo:



                    como        entonces

                                  y        –8

a las expresiones anteriores se les llama: ecuaciones del movimiento de
una partícula.
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Si tenemos a la posición x, la velocidad v, y la aceleración a como funciones
del tiempo se dice que el movimiento de la partícula está caracterizado, o
sea que es posible conocer su posición x, velocidad v, y aceleración a en
cualquier instante.

Ejemplo:

Una partícula se mueve en línea recta y su posición está dada por x = 2t3 –
4t2 + 3, donde x está en metros y t en segundos.

Calcular: a) Los tiempos en los cuales v = 0 y a = 0

              b) El desplazamiento neto entre t = 0 y t = 2s

              c) La distancia total recorrida en el mismo intervalo del inciso
anterior.



SOLUCION:

x = 2t3 – 4t2 + 3

v=        = 6t2- 8t   y     a=    = 12t – 8

     a) Si v = 0      tenemos 6t2 – 8t = 0


          factorizando           2t( 3t – 4) = 0
                                  t1 = 0
                                  t2 = 4/3
          Si a = 0
                                  12t – 8 = 0
                                           t = 8/12 = 2/3 s
     b)
          Si t = 0
                                  x = 2(0)3 – 4(0)2 +3
               x=3


          Si t = 2s              x = 2(2)3- 4(2)2 + 3
                                 x = 3m
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el desplazamiento neto en el intervalo t = 0, t = 2 será:



O sea la partícula está en el mismo lugar en donde se empezó a estudiar su
movimiento.

   c) La distancia total depende del sentido de los movimientos y éste
      cambia cuando v = 0, lo que sucede en t1 = 0 y t2 = 4/3 s


      Ya sabemos que si t = 0, x = 3
      Ahora si t = 4/3 s, tenemos:


                         x = 2(4/3)3 – 4(4/3)2 + 3
                x = 0.63 m

La distancia total recorrida será entonces:

                      D=         –       +

                           D=        –   +

                                  D = 4.74 m




PROBLEMAS:
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1.- La relación que define el movimiento de una partícula es x = 2t3- 8t2 + 5t
+ 15 con x expresada en pulgadas y t en segundos. Determínense la posición,
velocidad y aceleración en t = 3 seg.

Resp. x = 12 pulg.     V = 11 pulg./seg.        A = 20 pulg./seg.2

2.- El movimiento de una particular está definido por la relación x = 2t3 –
6t2 + 10, donde x esta expresada en pies y t en seg. Determínense el
tiempo, la posición y la aceleración cuando v = 0.

Resp.      T1 = 0     x = 10 pies         a = - 12 pies/seg.2

            t2 = 2 seg. X = 2 pies        a = 12 pies/seg.2



3.- El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 2t3 -15t2
+ 24t + 4, con x expresada en metros y t en seg. Determínense a) t para
que la velocidad sea cero y b) la posición y la distancia total recorrida
cuando la aceleración es cero

Resp.   t1 = 1 seg. T2 = 4 seg.      X = 1.5 mts.    D = 24.5 mts.




DETERMINACION DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA.
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En algunas ocasiones la aceleración de una partícula se expresa como
función de una de las variables: tiempo, posición o velocidad:

 a = f(t)               a = f(x)                  a = (v)

si tenemos las ecuaciones correspondientes, estas pueden integrarse para
obtener expresiones que relacionan al tiempo la posición y la velocidad.

En estos casos a     k y se tienen como variables independientes, el tiempo
(t), la posición (x) y la velocidad (v).

Si a = f (t) usamos la expresión             a=

De ahí tenemos                              dv = a dt




Si a = f (x) usamos la expresión           a=v

   De ahí                                  v dv = a dx




Si a = f (v) podemos utilizar




Utilizando                         tenemos                  integrando, se obtiene
una relación entre v y x.




Utilizando cualquiera de las anteriores con                  se obtiene una relación
entre x y t, que caracteriza el movimiento de la partícula.

EJEMPLOS:
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1.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación a = kt2. Si
sabemos que la velocidad de la partícula es v = -32 ft/s cuando t = 0 y v =
+32 cuando t = 4s. Determinar el valor de la constante k y escribir las
ecuaciones del movimiento, sabiendo que x = 0 cuando t = 4s.



SOLUCION:

                                   a = f (t)




                             32 – (-32) = k

                                  64 =



Determinación de las ecuaciones del movimiento.




                                 v + 32 = t3

                                 v = t3 – 32
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                               x–0=


                          x=                  –

                               x=   –




        Y por supuesto la última ecuación del movimiento es: a = 3t2



2.- La aceleración de una partícula se define por a = - kx-2. La partícula está
inicialmente en x = 800 mm, sin velocidad inicial y se observa que su
velocidad es 6 m/s cuando x = 500 mm.

Determinar: a) el valor de k y b) la velocidad de la partícula cuando x = 250
mm

SOLUCION:

 a) a = v   = -kx-2




                      Se sabe que x = 0.5 cuando v = 6 m/s

            Sustituyendo y despejando, encontramos que k = 24

b)Sustituyendo en la ecuación para v2 los valores de k = 24 y x = 0.25

Encontramos que v = 11.49 m/s
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3.- La relación que define la aceleración de una partícula es a = - 0.4v, en
donde a está en in/s2 y v en in/s. si sabemos que para t = 0 la v = 30 in/s.
Determinar:

a) La distancia que la partícula viajará antes de detenerse.
b) El tiempo necesario para que la partícula se detenga.
c) El tiempo necesario para que la partícula reduzca su velocidad al 1% de su
valor inicial.

SOLUCION.

 a) a = v

            Eliminando v y considerando que x = 0 cuando v = 30 in/s




                                V – 30 = -0.4 x

                 Cuando la partícula se detiene v = 0, entonces

                                0 – 30 = -0.4 x




  b)                            a=




                              ln v – ln 30 = -0.4 t

                               ln 30 – ln v = 0.4 t

                     Despejando t;

                              cuando v = 0 t =

   c)                    para que v = 0.01(30) = 0.3 in/s
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PROBLEMAS

1.- La relación que define a la aceleración de una partícula es a = 9 – 3t2. las
condiciones iniciales de la partícula son: t = 0, con v = 0 y x = 5 mts.
Determínense a) el tiempo para el cual la velocidad es otra vez cero, b) la
posición y la velocidad cuando t = 4 seg. y c) la distancia total recorrida por
la partícula desde t = 0 hasta t = 4 seg.

Resp.    t = 3 seg.        v = -28 mts./seg.      x = 13 mts.         D = 32.5 mts.



2.- La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -k / x.
Se ha encontrado experimentalmente que v = 5 mts./seg. Cuando x = 200
mm. Y que v = 3 mts./seg. Cuando x = 400 mm. Determinar a) la velocidad de
la partícula cuando x = 500 mm., b) la posición de la partícula cuando su
velocidad es cero.

Resp.    v = 1.962 mts./seg.          x = 0.591 mts.



3.- La relación que define la aceleración de una partícula es a = 25 -3x2,
donde a se expresa en pulg./seg.2 y x en pulgadas. La partícula parte de la
posición x = 0 desde el reposo. Determinar a) la velocidad cuando x = 2 pulg.
b) la posición donde la velocidad es de nuevo cero y c) la posición donde la
velocidad es máxima.
                 +
Resp.      v=   - 9.17   mts./seg.   x = 5 mts.       x = 2.89 mts.



4.-La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -kv2,
donde a se expresa en pies/seg.2 y v en pies/seg..La partícula parte de x = 0
con una velocidad de 25 pies/seg. y cuando x = 40 pies se encuentra que su
velocidad es de 20 pies/seg.

Determinar la distancia que la partícula viajará: a) antes que su velocidad
disminuya a 10 pies/seg. y b) antes de detenerse.

Resp.       x = 164.3 pies.            x=
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MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO



MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CON ACELERACION CONSTANTE.

Cuando la aceleración de una partícula no varía con respecto al tiempo se
dice que tiene aceleración constante, es decir su aceleración no varía
durante el movimiento.

Cuando esto sucede es posible obtener expresiones matemáticas para
aplicar directamente para resolver el problema sin necesidad de estar
recurriendo al cálculo.

A partir de la expresión       podemos deducir:



                                  ya que a = constante.

                                  v – vo= at

                                 v = vo + at




                                  También de a = v

                                 v dv = a dx
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A partir de         podemos obtener una expresión para la posición de la
partícula:




Sabemos que v = vo + at ; sustituyendo en la ecuación anterior




   ESTAS ECUACIONES SE UTILIZAN CUANDO a = CONSTANTE Y
                                CUANDO a = 0

EJEMPLOS.

1.- La aceleración de una partícula es a = - 4 ft/s2. Si sabemos que vo = 24
ft/s cuando x = 0 y t = 0.Calcular la velocidad, posición y distancia
recorrida por la partícula cuando t = 8s.

SOLUCION:                          v = vo + at

                                v = 24 + (-4)(8)

                                   v = -8 ft/s

                                x-xo= vot + ½ at2

                           x – 0 = 24(8) – ½ (4) (8)2

             x = 64 ft   Esta es la posición de la partícula a los 8s.

Para calcular la distancia recorrida necesitamos saber cuándo (tiempo) y
donde (posición) se detiene.
Se detiene cuando la velocidad se hace cero.
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                                v = 0 = 24 – 4t




                    Si t = 6s    -

                                  x = 72 ft.

                                         +

                                        +

   D = 80 ft.2.- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un
puente situado 40 m sobre el agua. Si la piedra golpea el agua 4s después de
soltarse, determinar: a) La velocidad con la cual se lanzó hacia arriba y b) La
                      velocidad con que golpeó el agua.




                       40m




SOLUCION:
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En este problema la aceleración es constante igual a – 9.81 m/s2 (aceleración
de la gravedad)



Utilizando la fórmula para diferencia de posiciones:




               y considerando que y final es cero cuando t = 4s




Para calcular la velocidad con que golpea el agua ( un instante antes de
hacerlo)

                                   v = vo + at

                            v = 9.62 + (- 9.81)(4)

                                v = - 29.62 m/s

3.- Un autobús tiene una aceleración de 0.75 m/s2 al moverse de A hasta B.
Sabiendo que su velocidad inicial era de 27 km/h al pasar por el punto A.
Determinar a) El tiempo requerido por el autobús para llegar al punto B y b)
La velocidad con la que pasa por B.



Vo = 27 km/h
                                                           a = 0.75 m/s2
           B                               A

                       150 m



                               x – xo = vot + ½ at2

                               x = xo + vot + ½ at2

                          150 = 0 + 7.5t + ½(0.75)t2
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               Resolviendo para t

                   t = 12.36s.

v = vo + at

              v = 7.5 + 0.75 (12.36)

                  v = 16.77 m/s




PROBLEMAS
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1.-Un automovilista recorre 1200 pies en 30 seg. con aceleración constante
de 1.8 pies/s2. Determinar a) su velocidad inicial, b) su velocidad final y c) la
distancia recorrida durante los primeros 10 seg.

Respuestas: vo = 13 pies/s             v = 67 pies/s       D = 220 pies.

2.- Una piedra se deja caer desde un ascensor que se mueve hacia arriba
con una velocidad de 15 pies/s, y alcanza el fondo del pozo en 3 s. a) ¿a qué
altura se encontraba el ascensor cuando se dejó caer la piedra? b) ¿con qué
velocidad cae la piedra al fondo del pozo?

Respuestas           yo = 99.9 pies.              v = 81.6 pies/s

3.- Dos automóviles A y B viajan en la misma dirección en líneas contiguas de
la carretera. El automóvil B se para cuando es rebasado por A, el cual va a
una velocidad constante de 15 mi./h. Si 2 s. después el automóvil B inicia su
movimiento con una aceleración de 3 pies/s2, determinar a) cuando y donde
B rebasará a A, y b) la velocidad de B en ese momento.

Respuestas:     t = 18.45 s.           xA = xB= 406 piesvB = 33.6 mi./h.

4.- Los automóviles A y B circulan en carriles adyacentes en una carretera,
y es t = 0 están separados una distancia de 75 pies y sus velocidades son
(vA)o = 24 mi./h y

(vb) = 36 mi./h. Sabiendo que el automóvil A tiene una aceleración constante
de 1.8 pies/s2 y que el B tiene una desaceleración constante de 1.2 pies/s2.
Determinar a) cuando y donde A rebasará a B, y b) la velocidad de cada
automóvil en ese instante.

Respuestas:            t = 15.05 s     xA = 734 piesvA= 42.5 mi./h    vB = 23.7
mi./h.




MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS.
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                XA           XB/A
                        XB

Sean A y B dos partículas que se mueven sobre la misma línea recta.

xA es la coordenada de posición de A
xBes la coordenada de posición de B
La coordenada de posición relativa de B con respecto a A se define como la
diferencia de xBcon xA :

                                 xB/A = xB - xA

                                 óxB = xB/A + xA

           Si xB/A es positivo, indica que B está a la derecha de A.

          Si xB/A es negativo, indica que B está a la izquierda de A.

 Esto es independiente de las posiciones de A y B con respecto al origen O.

La velocidad relativa de B con respecto a A se designa vB/A y se obtiene
derivando la fórmula anterior.
vB= vB/A + vA

 Si vB/A es positivo indica que B visto desde A se mueve en sentido positivo.

 Si vB/A es negativo entonces B visto desde A se mueve en sentido negativo.

La aceleración relativa de B con respecto a A se obtiene derivando la
expresión anterior.              aB/A = aB – aA

                                 óaB= aB/A + aA

  Para todas las consideraciones anteriores hay que tomar en cuenta que:

                                   xB/A = -xA/B

                                  vB/A = - vA/B

                                  aB/A = - aA/B
25


EJEMPLO: Dos autos A y B se aproximan uno al otro habiendo entre ellos
una distancia de 2 km cuando t = 0. El auto A acelera hacia la derecha a una
razón a = 0.2 m/s2 y en t =0 su v = 15 m/s. E l auto B acelera hacia la
izquierda a una razón    a = 0.5 m/s2 y en t = 0 su v = 20 m/s. Calcular: a) la
posición xm sobre la autopista donde se cruzan los vehículos. b) la velocidad
relativa de A con respecto a B en ese instante.

 A                                    B




O         2 km.

Para el auto A: aplicando la ecuación:        -




Para el auto B:                    xB– 2000 = -20t – ½(0.5)t2




                            0.35t2 + 35t – 2000 = 0

Resolviendo para t, encontramos:t1 = 40.63 st2 = -140.6 s

     el valor negativo se desecha, sustituyendo t1 en cualquier ecuación
                      encontramos que        xm = 774.53 m

Calculando las velocidades de cada auto con v = vo + at

                            vA= (vA)o + (0.2)(40.63)

                                   vA = 23.13 m/s

                            vB = -20 – (0.5)(40.63)

                                   vB = -40.32 m/s

                              entonces tenemos:

vA/B = vA – vB= 23.13 – (-40.32)

vA/B = 63.44 m/s .
26


MOVIMIENTOS DEPENDIENTES

En algunos casos, la posición de una partícula dependerá de la posición de
otra u otras partículas, se dice entonces que los movimientos son
dependientes. Observemos la siguiente figura:




Si el bloque B sube, entonces necesariamente el bloque A tiene que bajar.
Para analizar el movimiento de ambos bloques hay que escoger un sistema de
referencia y considerar la longitud de la cuerda que une a los bloques,
constante.
27


Expresando la longitud de la cuerda en términos de las posiciones de los
bloques:

XA + 2XB = L

Derivando esta expresión (Si X fuera función de t)

VA + 2VB = 0      y derivando de nuevo      A A + 2 AB = 0
28

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Dinamica unidad 1

  • 1. 4 UNIDAD 1 CINEMATICA DE PARTICULAS. INTRODUCCION
  • 2. 5 La dinámica forma parte de la mecánica que es una de las ramas en que se divide la física para su estudio. Podemos representar con el siguiente diagrama las subdivisiones de la mecánica. La estática estudia el equilibrio de los cuerpos en reposo.La dinámica estudia los cuerpos en movimiento. La cinemática es la parte de la dinámica que estudia la geometría del movimiento de los cuerpos sin ocuparse de las causas que generan dicho movimiento. La cinética es la parte de la dinámica que estudia el movimiento de los cuerpos, considerando lo que causa dicho movimiento, o sea hay que tomar en cuenta las fuerzas que actúan sobre los cuerpos. Tanto la cinemática como la cinética se rigen primordialmente por las leyes de Newton: 1a Ley: Todo cuerpo conservará su estado de reposo o movimiento mientras no actúe sobre él una fuerza que altere dicho estado. 2a Ley. La fuerza aplicada sobre un cuerpo es directamente proporcional al producto de la masa del cuerpo por su aceleración. 3a Ley: A toda acción (fuerza) que actúa sobre un cuerpo se opone una reacción igual y de sentido contrario UNIDADES UTILIZADAS
  • 3. 6 . En dinámica se utiliza tanto el sistema internacional de medidas como el sistema ingles. LONGITUD METRO (m) PIE (ft) TIEMPO SEGUNDO SEGUNDO FUERZA NEWTON LIBRA MASA KILOGRAMO SLUG EN TODAS ESTAS UNIDADES PUEDEN UTILIZARSE SUS MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS. CONFORME SE AVANCE EN EL ESTUDIO SE DARAN LAS EQUIVALENCIAS DE CONVERSION. MOVIMIENTO RECTILINEO Comenzaremos estudiando cinemática, considerando el movimiento de los cuerpos en línea recta, este se denomina movimiento rectilíneo y es el movimiento más simple de un cuerpo o partícula. Una partícula se define como una porción pequeña de materia tal que su dimensión o tamaño no tiene consecuencias en el análisis de un problema físico. En la mayor parte de los problemas que se presenten consideraremos como partículas a cuerpos de tamaño finito, como cohetes, proyectiles, y vehículos. En general la cinemática de una partícula se caracteriza especificando la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula. La posición, es el lugar en donde se encuentra la partícula, la velocidad es la rapidez con que se mueve y si la velocidad de la partícula aumenta o disminuye entonces tiene aceleración.
  • 4. 7 Para comenzar consideraremos el movimiento absoluto de una partícula, esto es el movimiento medido con respecto a un sistema coordenado fijo. POSICION (x). Consideraremos la posición de una partícula con respecto al origen de un sistema de ejes coordenado. En un instante t la partícula se encuentra en el punto P, situado a una distancia x del origen (la posición de la partícula es x); un instante t+Δt después la partícula se movió hasta alcanzar la posición P’ (x+Δx). Podemos hacerlas siguientes consideraciones: 1º.- La posición de una partícula queda determinada por su distancia al punto de referencia, en este caso el origen del sistema coordenado. 2º.- Cuando la partícula P se desplaza lo hace con una velocidad v que es una cantidad vectorial. 3º.- Si x es positiva la partícula está a la derecha del origen y si es negativa la partícula está a la izquierda del origen. DESPLAZAMIENTO (Δx) Se define como el cambio de posición de la partícula. Cuando la posición final P’ de la partícula está a la derecha de P, Δx es positivo. Cuando P’ queda a la izquierda de P, Δx es negativo. LA DISTANCIA RECORRIDA POR LA PARTÍCULA ES DIFERENTE DEL DESPLAZAMIENTO.
  • 5. 8 La distancia recorrida por la partícula es la longitud total de la trayectoria de la partícula y siempre es positiva. Todas estas consideraciones se hacen cuando la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria recta, por lo que a este tipo de movimiento se le designa como MOVIMIENTO RECTILINEO. VELOCIDAD (v). Si consideramos que la partícula se mueve con un desplazamiento positivo Δx desde P hasta P’ durante un intervalo Δt, entonces la velocidad media de la partícula se define como: Si tomamos valores mas y mas pequeños de Δt y por consecuencia de Δx, obtendremos la velocidad instantánea, definida como: Esto es: Tanto la velocidad media como la velocidad instantánea pueden tener valores positivos o negativos. Sus unidades son: ACELERACION. (a) Se define aceleración media como: Y la aceleración instantánea será:
  • 6. 9 La aceleración también podemos expresarla considerando: Si entonces También sabemos que: despejando dt tenemos: Sustituyendo en la expresión de aceleración Si a es positiva; indica que la velocidad aumenta. Si a es negativa; indica que la velocidad disminuye. Generalmente la posición de una partícula se puede representar en función del tiempo Ejemplo: como entonces y –8 a las expresiones anteriores se les llama: ecuaciones del movimiento de una partícula.
  • 7. 10 Si tenemos a la posición x, la velocidad v, y la aceleración a como funciones del tiempo se dice que el movimiento de la partícula está caracterizado, o sea que es posible conocer su posición x, velocidad v, y aceleración a en cualquier instante. Ejemplo: Una partícula se mueve en línea recta y su posición está dada por x = 2t3 – 4t2 + 3, donde x está en metros y t en segundos. Calcular: a) Los tiempos en los cuales v = 0 y a = 0 b) El desplazamiento neto entre t = 0 y t = 2s c) La distancia total recorrida en el mismo intervalo del inciso anterior. SOLUCION: x = 2t3 – 4t2 + 3 v= = 6t2- 8t y a= = 12t – 8 a) Si v = 0 tenemos 6t2 – 8t = 0 factorizando 2t( 3t – 4) = 0 t1 = 0 t2 = 4/3 Si a = 0 12t – 8 = 0 t = 8/12 = 2/3 s b) Si t = 0 x = 2(0)3 – 4(0)2 +3 x=3 Si t = 2s x = 2(2)3- 4(2)2 + 3 x = 3m
  • 8. 11 el desplazamiento neto en el intervalo t = 0, t = 2 será: O sea la partícula está en el mismo lugar en donde se empezó a estudiar su movimiento. c) La distancia total depende del sentido de los movimientos y éste cambia cuando v = 0, lo que sucede en t1 = 0 y t2 = 4/3 s Ya sabemos que si t = 0, x = 3 Ahora si t = 4/3 s, tenemos: x = 2(4/3)3 – 4(4/3)2 + 3 x = 0.63 m La distancia total recorrida será entonces: D= – + D= – + D = 4.74 m PROBLEMAS:
  • 9. 12 1.- La relación que define el movimiento de una partícula es x = 2t3- 8t2 + 5t + 15 con x expresada en pulgadas y t en segundos. Determínense la posición, velocidad y aceleración en t = 3 seg. Resp. x = 12 pulg. V = 11 pulg./seg. A = 20 pulg./seg.2 2.- El movimiento de una particular está definido por la relación x = 2t3 – 6t2 + 10, donde x esta expresada en pies y t en seg. Determínense el tiempo, la posición y la aceleración cuando v = 0. Resp. T1 = 0 x = 10 pies a = - 12 pies/seg.2 t2 = 2 seg. X = 2 pies a = 12 pies/seg.2 3.- El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 2t3 -15t2 + 24t + 4, con x expresada en metros y t en seg. Determínense a) t para que la velocidad sea cero y b) la posición y la distancia total recorrida cuando la aceleración es cero Resp. t1 = 1 seg. T2 = 4 seg. X = 1.5 mts. D = 24.5 mts. DETERMINACION DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA.
  • 10. 13 En algunas ocasiones la aceleración de una partícula se expresa como función de una de las variables: tiempo, posición o velocidad: a = f(t) a = f(x) a = (v) si tenemos las ecuaciones correspondientes, estas pueden integrarse para obtener expresiones que relacionan al tiempo la posición y la velocidad. En estos casos a k y se tienen como variables independientes, el tiempo (t), la posición (x) y la velocidad (v). Si a = f (t) usamos la expresión a= De ahí tenemos dv = a dt Si a = f (x) usamos la expresión a=v De ahí v dv = a dx Si a = f (v) podemos utilizar Utilizando tenemos integrando, se obtiene una relación entre v y x. Utilizando cualquiera de las anteriores con se obtiene una relación entre x y t, que caracteriza el movimiento de la partícula. EJEMPLOS:
  • 11. 14 1.- La aceleración de una partícula se define mediante la relación a = kt2. Si sabemos que la velocidad de la partícula es v = -32 ft/s cuando t = 0 y v = +32 cuando t = 4s. Determinar el valor de la constante k y escribir las ecuaciones del movimiento, sabiendo que x = 0 cuando t = 4s. SOLUCION: a = f (t) 32 – (-32) = k 64 = Determinación de las ecuaciones del movimiento. v + 32 = t3 v = t3 – 32
  • 12. 15 x–0= x= – x= – Y por supuesto la última ecuación del movimiento es: a = 3t2 2.- La aceleración de una partícula se define por a = - kx-2. La partícula está inicialmente en x = 800 mm, sin velocidad inicial y se observa que su velocidad es 6 m/s cuando x = 500 mm. Determinar: a) el valor de k y b) la velocidad de la partícula cuando x = 250 mm SOLUCION: a) a = v = -kx-2 Se sabe que x = 0.5 cuando v = 6 m/s Sustituyendo y despejando, encontramos que k = 24 b)Sustituyendo en la ecuación para v2 los valores de k = 24 y x = 0.25 Encontramos que v = 11.49 m/s
  • 13. 16 3.- La relación que define la aceleración de una partícula es a = - 0.4v, en donde a está en in/s2 y v en in/s. si sabemos que para t = 0 la v = 30 in/s. Determinar: a) La distancia que la partícula viajará antes de detenerse. b) El tiempo necesario para que la partícula se detenga. c) El tiempo necesario para que la partícula reduzca su velocidad al 1% de su valor inicial. SOLUCION. a) a = v Eliminando v y considerando que x = 0 cuando v = 30 in/s V – 30 = -0.4 x Cuando la partícula se detiene v = 0, entonces 0 – 30 = -0.4 x b) a= ln v – ln 30 = -0.4 t ln 30 – ln v = 0.4 t Despejando t; cuando v = 0 t = c) para que v = 0.01(30) = 0.3 in/s
  • 14. 17 PROBLEMAS 1.- La relación que define a la aceleración de una partícula es a = 9 – 3t2. las condiciones iniciales de la partícula son: t = 0, con v = 0 y x = 5 mts. Determínense a) el tiempo para el cual la velocidad es otra vez cero, b) la posición y la velocidad cuando t = 4 seg. y c) la distancia total recorrida por la partícula desde t = 0 hasta t = 4 seg. Resp. t = 3 seg. v = -28 mts./seg. x = 13 mts. D = 32.5 mts. 2.- La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -k / x. Se ha encontrado experimentalmente que v = 5 mts./seg. Cuando x = 200 mm. Y que v = 3 mts./seg. Cuando x = 400 mm. Determinar a) la velocidad de la partícula cuando x = 500 mm., b) la posición de la partícula cuando su velocidad es cero. Resp. v = 1.962 mts./seg. x = 0.591 mts. 3.- La relación que define la aceleración de una partícula es a = 25 -3x2, donde a se expresa en pulg./seg.2 y x en pulgadas. La partícula parte de la posición x = 0 desde el reposo. Determinar a) la velocidad cuando x = 2 pulg. b) la posición donde la velocidad es de nuevo cero y c) la posición donde la velocidad es máxima. + Resp. v= - 9.17 mts./seg. x = 5 mts. x = 2.89 mts. 4.-La aceleración de una partícula está definida por la relación a = -kv2, donde a se expresa en pies/seg.2 y v en pies/seg..La partícula parte de x = 0 con una velocidad de 25 pies/seg. y cuando x = 40 pies se encuentra que su velocidad es de 20 pies/seg. Determinar la distancia que la partícula viajará: a) antes que su velocidad disminuya a 10 pies/seg. y b) antes de detenerse. Resp. x = 164.3 pies. x=
  • 15. 18 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE ACELERADO MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CON ACELERACION CONSTANTE. Cuando la aceleración de una partícula no varía con respecto al tiempo se dice que tiene aceleración constante, es decir su aceleración no varía durante el movimiento. Cuando esto sucede es posible obtener expresiones matemáticas para aplicar directamente para resolver el problema sin necesidad de estar recurriendo al cálculo. A partir de la expresión podemos deducir: ya que a = constante. v – vo= at v = vo + at También de a = v v dv = a dx
  • 16. 19 A partir de podemos obtener una expresión para la posición de la partícula: Sabemos que v = vo + at ; sustituyendo en la ecuación anterior ESTAS ECUACIONES SE UTILIZAN CUANDO a = CONSTANTE Y CUANDO a = 0 EJEMPLOS. 1.- La aceleración de una partícula es a = - 4 ft/s2. Si sabemos que vo = 24 ft/s cuando x = 0 y t = 0.Calcular la velocidad, posición y distancia recorrida por la partícula cuando t = 8s. SOLUCION: v = vo + at v = 24 + (-4)(8) v = -8 ft/s x-xo= vot + ½ at2 x – 0 = 24(8) – ½ (4) (8)2 x = 64 ft Esta es la posición de la partícula a los 8s. Para calcular la distancia recorrida necesitamos saber cuándo (tiempo) y donde (posición) se detiene. Se detiene cuando la velocidad se hace cero.
  • 17. 20 v = 0 = 24 – 4t Si t = 6s - x = 72 ft. + + D = 80 ft.2.- Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde un puente situado 40 m sobre el agua. Si la piedra golpea el agua 4s después de soltarse, determinar: a) La velocidad con la cual se lanzó hacia arriba y b) La velocidad con que golpeó el agua. 40m SOLUCION:
  • 18. 21 En este problema la aceleración es constante igual a – 9.81 m/s2 (aceleración de la gravedad) Utilizando la fórmula para diferencia de posiciones: y considerando que y final es cero cuando t = 4s Para calcular la velocidad con que golpea el agua ( un instante antes de hacerlo) v = vo + at v = 9.62 + (- 9.81)(4) v = - 29.62 m/s 3.- Un autobús tiene una aceleración de 0.75 m/s2 al moverse de A hasta B. Sabiendo que su velocidad inicial era de 27 km/h al pasar por el punto A. Determinar a) El tiempo requerido por el autobús para llegar al punto B y b) La velocidad con la que pasa por B. Vo = 27 km/h a = 0.75 m/s2 B A 150 m x – xo = vot + ½ at2 x = xo + vot + ½ at2 150 = 0 + 7.5t + ½(0.75)t2
  • 19. 22 Resolviendo para t t = 12.36s. v = vo + at v = 7.5 + 0.75 (12.36) v = 16.77 m/s PROBLEMAS
  • 20. 23 1.-Un automovilista recorre 1200 pies en 30 seg. con aceleración constante de 1.8 pies/s2. Determinar a) su velocidad inicial, b) su velocidad final y c) la distancia recorrida durante los primeros 10 seg. Respuestas: vo = 13 pies/s v = 67 pies/s D = 220 pies. 2.- Una piedra se deja caer desde un ascensor que se mueve hacia arriba con una velocidad de 15 pies/s, y alcanza el fondo del pozo en 3 s. a) ¿a qué altura se encontraba el ascensor cuando se dejó caer la piedra? b) ¿con qué velocidad cae la piedra al fondo del pozo? Respuestas yo = 99.9 pies. v = 81.6 pies/s 3.- Dos automóviles A y B viajan en la misma dirección en líneas contiguas de la carretera. El automóvil B se para cuando es rebasado por A, el cual va a una velocidad constante de 15 mi./h. Si 2 s. después el automóvil B inicia su movimiento con una aceleración de 3 pies/s2, determinar a) cuando y donde B rebasará a A, y b) la velocidad de B en ese momento. Respuestas: t = 18.45 s. xA = xB= 406 piesvB = 33.6 mi./h. 4.- Los automóviles A y B circulan en carriles adyacentes en una carretera, y es t = 0 están separados una distancia de 75 pies y sus velocidades son (vA)o = 24 mi./h y (vb) = 36 mi./h. Sabiendo que el automóvil A tiene una aceleración constante de 1.8 pies/s2 y que el B tiene una desaceleración constante de 1.2 pies/s2. Determinar a) cuando y donde A rebasará a B, y b) la velocidad de cada automóvil en ese instante. Respuestas: t = 15.05 s xA = 734 piesvA= 42.5 mi./h vB = 23.7 mi./h. MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTICULAS.
  • 21. 24 XA XB/A XB Sean A y B dos partículas que se mueven sobre la misma línea recta. xA es la coordenada de posición de A xBes la coordenada de posición de B La coordenada de posición relativa de B con respecto a A se define como la diferencia de xBcon xA : xB/A = xB - xA óxB = xB/A + xA Si xB/A es positivo, indica que B está a la derecha de A. Si xB/A es negativo, indica que B está a la izquierda de A. Esto es independiente de las posiciones de A y B con respecto al origen O. La velocidad relativa de B con respecto a A se designa vB/A y se obtiene derivando la fórmula anterior. vB= vB/A + vA Si vB/A es positivo indica que B visto desde A se mueve en sentido positivo. Si vB/A es negativo entonces B visto desde A se mueve en sentido negativo. La aceleración relativa de B con respecto a A se obtiene derivando la expresión anterior. aB/A = aB – aA óaB= aB/A + aA Para todas las consideraciones anteriores hay que tomar en cuenta que: xB/A = -xA/B vB/A = - vA/B aB/A = - aA/B
  • 22. 25 EJEMPLO: Dos autos A y B se aproximan uno al otro habiendo entre ellos una distancia de 2 km cuando t = 0. El auto A acelera hacia la derecha a una razón a = 0.2 m/s2 y en t =0 su v = 15 m/s. E l auto B acelera hacia la izquierda a una razón a = 0.5 m/s2 y en t = 0 su v = 20 m/s. Calcular: a) la posición xm sobre la autopista donde se cruzan los vehículos. b) la velocidad relativa de A con respecto a B en ese instante. A B O 2 km. Para el auto A: aplicando la ecuación: - Para el auto B: xB– 2000 = -20t – ½(0.5)t2 0.35t2 + 35t – 2000 = 0 Resolviendo para t, encontramos:t1 = 40.63 st2 = -140.6 s el valor negativo se desecha, sustituyendo t1 en cualquier ecuación encontramos que xm = 774.53 m Calculando las velocidades de cada auto con v = vo + at vA= (vA)o + (0.2)(40.63) vA = 23.13 m/s vB = -20 – (0.5)(40.63) vB = -40.32 m/s entonces tenemos: vA/B = vA – vB= 23.13 – (-40.32) vA/B = 63.44 m/s .
  • 23. 26 MOVIMIENTOS DEPENDIENTES En algunos casos, la posición de una partícula dependerá de la posición de otra u otras partículas, se dice entonces que los movimientos son dependientes. Observemos la siguiente figura: Si el bloque B sube, entonces necesariamente el bloque A tiene que bajar. Para analizar el movimiento de ambos bloques hay que escoger un sistema de referencia y considerar la longitud de la cuerda que une a los bloques, constante.
  • 24. 27 Expresando la longitud de la cuerda en términos de las posiciones de los bloques: XA + 2XB = L Derivando esta expresión (Si X fuera función de t) VA + 2VB = 0 y derivando de nuevo A A + 2 AB = 0
  • 25. 28