Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Wir verwenden Ihre LinkedIn Profilangaben und Informationen zu Ihren Aktivitäten, um Anzeigen zu personalisieren und Ihnen relevantere Inhalte anzuzeigen. Sie können Ihre Anzeigeneinstellungen jederzeit ändern.
1 
ปริพันธ์ 
การหาปริพันธ์ (Integrate) เป็นการแบ่งเป็นส่วนย่อยแล้วหาผลคูณ จึงพิจารณาได้ว่าเป็น 
การพัฒนาขยายวิธีการคูณ (ใน...
2 
พิกัดแกน x ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทางซ้ายสุดเป็น 
x1= a+ x 
และความสูงจะเป็น 1 f(x ) เนื่องจากความกว้างให้เป็น x ดังนั้น...
3 
“การให้ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์” เขียนแสดงด้วย 
x 
lim ดังนั้นสมการที่ (2) จึงเขียนได้เป็น 
  n 
k 
k =1 
lim f(x ) ...
4 
สัญลักษณ์  เรียกว่า เครื่องหมายอินทิกรัล (Integral sign) 
F(x) เรียกว่า ตัวถูกอินทิกรัล (integrand) 
X เรียกว่า ตัวแปร...
5 
ตัวอย่างที่ 1  
x2dx 
วิธีทา  
x2dx = 
x2+1 +c 
2+1 
= 
x3 +c 
3 
ตัวอย่างที่ 2  2dx 
วิธีทา  2dx = 2x + c 
ตัวอย่า...
6 
ตัวอย่างที่ 7  
(4x3 +3x2 - 2x - 5)dx 
วิธีทา  
(4x3 +3x2 - 2x - 5)dx =     
4x3dx + 3x2dx - 2xdx - 5dx 
=    ...
7 
ตัวอย่างที่ 10  
(2x - 3)9dx 
วิธีทา ให้ u = 2x – 3 จะได้ du = 2dx และ dx = du 
2 
 
(2x - 3)9dx =  
u9 du 
2 
=  
...
8 
ตัวอย่างที่ 12  2 
x +1 dx 
x +2x - 5 
วิธีทา ให้ u= x2 +2x -5 จะได้ du = (2x + 2)dx และ dx = du 
2x +2 
 2 
x +1 dx ...
9 
= 2 ln x -8x+3 +c 
การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปรให้อยู่ในรูป u นั้น ไม่สามารถใช้ได้กับทุกๆ ฟังก์ชัน 
เช่น  2 
dx 
1-...
10 
ตัวอย่างที่ 15  
x3 +2x2 - 3dx 
x +1 
วิธีทา เนื่องจากกาลังสูงสุดของเศษมากกว่ากาลังสูงสุดของส่วน 
จึงนา x + 1 ไปหาร x...
11 
แบบฝึกหัดที่ 1.1 
1.  
(3x2 +2x - 5)dx 2.  
4 3 
3 
x +3x -5x 
dx 
x 
3.  
2 x 
( + - x)dx 
x 2 
4.  (1- x) xdx 
5...
12 
=  
1 10udu 
2 
= 
u 1 10 +c 
2 ln10 
= 
2x 1 10 +c 
2 ln10 
ตัวอย่างที่ 18  
exdx 
วิธีทา  
exdx = ex +c 
ตัวอย่าง...
13 
= 
3x 2 
+c 
2ln2 
ตัวอย่างที่ 21  
x.5x2+3dx 
วิธีทา ให้ u = x2 +3 , du = 2xdx 
 
x.5x2+3dx =  
u du 
x.5 
2x 
= ...
14 
=   
x 
x dx 
2e 
- dx+ 
e +1 
=   
x 
x dx 
e 
- dx+2 
e +1 
ให้ u=ex +1 
=  
x 
x 
e du 
-x +2 
u e 
=  
1 
-x...
15 
2.2 การอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Integration of Trigonometric 
Functions) มีสูตรดังนี้ 
1.  sinudu= -cosu+c 
2.  ...
16 
ตัวอย่างที่ 24  
cos x dx 
x 
วิธีทา ให้ u= x , 
1 
2 1 
du = x dx 
2 
, 
1 
2 
dx = 2 
du 
x 
 
cos x dx 
x 
=  
c...
17 
=   1 
ln sin 5x +c 
5 
ตัวอย่างที่ 27  sec(2x +5)dx 
วิธีทา ให้ u = 2x + 5 , du = 2dx 
 sec(2x +5)dx =  
du 
sec...
18 
=    
sec2 u du 
= tanu+c 
= tansinx +c 
ตัวอย่างที่ 30    
cosec2 4x dx 
วิธีทา ให้ u = 4x , du = 4dx 
  ...
19 
ตัวอย่างที่ 32  cosec(2x) cot(2x)dx 
วิธีทา ให้ u = 2x , du =2dx 
 cosec(2x) cot(2x)dx =  
du 
cosec(u) cot(u) 
2 
...
20 
   
12 
sin x 4+cos x dx =    
12 
du 
sin x u 
-sin x 
=    
12 
- u du 
= 
32 
- u +c 32 
= 
3 
2 2 
- (4 +...
21 
2. n เป็นจานวนคี่ จัดรูป cosnx = cosn-1x.cos x 
และใช้ u = sin x 
cos2x =1- sin2x 
3. m เป็นจานวนคู่ 
ใช้เอกลักษณ์ที่ล...
22 
= sin x - 2 sin3x + 1 sin5x +c 
3 5 
ตัวอย่างที่ 37  
sin2xdx 
วิธีทา  
sin2xdx =    
1 1- cos 2x dx 
2 
= 
  
...
23 
2.3.2 อินทิเกรตในรูป  
sinmxcos nxdx เมื่อ m และ n เป็นจานวนเต็มบวก จะสามารถ 
อินทิเกรตได้ดังนี้ 
 
sinmxcos nxdx วิ...
24 
ตัวอย่างที่ 40  
sin3xcos2xdx 
วิธีทา เนื่องจาก m = 3 เป็นจานวนคี่ ใช้ u = cos x จะได้ 
 
sin3xcos2xdx =  
sin2xcos...
25 
=    
1 dx - 1 dx - 1 cos 4x dx 
4 8 8 
ให้ u = 4x , du =4 dx 
=  
1 x - 1 x - 1 cos u du 
4 8 8 4 
=  
1 x - 1 x...
26 
2.3.3 อินทิเกรตในรูป  sinmx cosnx dx ,  sinmx sinnx dx และ  cosmx cosnx dx 
อินทิเกรตของผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติไ...
27 
ตัวอย่างที่ 44  sin5x sin 2x dx 
วิธีทา จาก sin 5x sin 2x = 1 (cos 3x - cos 7x) 
2 
จะได้ 
 sin5x sin 2x dx =  
1 
...
28 
2.3.4 อินทิเกรตในรูป  
tanmx dx และ  
cotnx dx เมื่อ m และ n เป็นจานวนเต็มบวก 
จะสามารถหาอินทิเกรตได้ดังนี้ 
 
tanm...
29 
ให้ u = tan 2x , du = 2sec22x dx 
=    
2 2 2 
2 
du 
sec 2x u - sec 2x dx + dx 
2sec 2x 
ให้ u = 2x , du = 2dx 
= ...
30 
2.3.5 อินทิเกรตในรูป  
secmx dx และ  
cosecnx dx เมื่อ m และ n เป็นจานวนเต็มบวก 
จะสามารถอินทิเกรตได้ดังนี้ 
 
secm...
31 
ให้ u = cot x , du = -cosec2x dx 
=  
2 4 2 
2 
du 
(1+2u +u ) cosec x 
cosec x 
=  
- (1+2u2 +u4 )du 
=    
- du...
32 
3. m เป็นจานวนคู่ 
และ n เป็นจานวนคี่ 
ทาให้อยู่ในรูปกาลังต่างๆ ของ cosec x 
และใช้เทคนิคของการอินทิเกรตทีละส่วน 
cot2...
33 
=  
6 4 du 
(u -u )(sec x tan x) 
sec x tan x 
=  
6 4 (u -u )du 
=   
6 4 u du- u du 
= 
7 5 u u 
- +c 
7 5 
= se...
34 
ตัวอย่างที่ 54     
3 3 cot cosec d 
วิธีทา เนื่องจาก m = 3 เป็นจานวนคี่ ใช้ u = cosec x จะได้ 
    
3 3 cot c...
35 
9.  sin5x sin x dx 10.  cos 3x cos 2x dx 
11.  
5 tan 3x dx 12.  
4 cot x dx 
13.  
4 sec 2x dx 14.    
4 cose...
36 
8.  
2 
2 2 u 2 2 a u 
du = a -u + arcsin +c 
2 2 a 
a -u 
9.  
2 
2 2 u 2 2 a 2 2 
du = u -a + ln u+ u +a +c 
2 2 
...
37 
= (x +3)2 +( 5)2 
จัดในรูป u2 - a2 โดยที่ u = x – 3 และ a = 5 
20+8x - x2 = -(x2 - 8x - 20) 
= -(x2 - 8x +16) +36 
= (...
38 
=  
2 2 
1 d(2y) 
2 (2y) +(3) 
= 
1 2y 
arctan +c 
2 3 
ตัวอย่างที่ 57  
2 
dx 
x 4x -9 
วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้...
39 
= 
1 1 3x-4 
. ln +c 
3 2(4) 3x+4 
= 
1 3x-4 
ln +c 
24 3x+4 
ตัวอย่างที่ 59  2 
dy 
25-16y 
วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้...
40 
=  2 2 
1 d(2x) 
2 (2x) +(3) 
= 1 2 2 
ln 2x+ (2x) +(3) +c 
2 
= 1 2 
ln 2x+ 4x +9 +c 
2 
ตัวอย่างที่ 61  2 
dz 
9z ...
41 
=  
1 2 2 
(4) -(3x) d(3) 
3 
= 
  
  
  
2 
1 3x 2 2 4 3x 
(4) -(3x) + arcsin +c 
3 2 2 4 
= x 2 8 3x 
16-9x...
42 
x2 - 4x =   2 x -4x+4 - 4 
=  2 2 x+2 - (2) 
 
2 x -4xdx =    
2 2 x+2 -(2) dx (u = x + 2 , a = 2) 
=    
2...
43 
2.5 การอินทิเกรตฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก 
โดยใช้สูตรต่อไปนี้ 
1.  sinhu du=coshu+c 
2.  coshu du=sinhu+c 
3.  tanhu du=...
44 
=  
4 4 cos h (x )d(x 
1 ) 
4 
= 1 4 
sinh (x ) +c 
4 
ตัวอย่างที่ 67  
x x e cot h (e )dx 
วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้...
45 
เทคนิคการอินทิเกรต 
1. การอินทิเกรตทีละส่วน (Intergration by parts) 
ถ้า u = f(x) และ v = g(x) เป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชัน...
46 
หลักการเลือก u และ dv 
1) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณฟังก์ชันพหุนามกับฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เลือก u 
เป็นฟังก์ชัน พหุ...
47 
6. ให้ใส่ค่าคงตัว c ที่คาตอบสุดท้ายของการหาค่าอินทิเกรต 
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ  
x ex dx 
วิธีทา ให้ u = x และ dv ...
48 
ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ  arctan x dx 
วิธีทา ให้ u = arctan x และ dv = dx 
du = 21 dx x +1 
และ v = x 
แทนค่าในสูตร ...
49 
แทนค่าใน (1) จะได้ 
  
 
  
 
 
excosxdx = exsinx - (-excoss+ excosxdx) 
= exsinx +excosx - excosxdx 
excosxdx ...
50 
3) เปลี่ยนตัวอินทิเกรตให้อยู่ในรูปฟังก์ชันของตัวแปร คือ  โดยการแทนค่า ซึ่งจะได้ใน 
รูปฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มี  เป็นต...
51 
และจะได้  
2 4-x 
cot = 
x 
ดังนั้น  
2 
2 2 
4x 1 4-x 
= - 
x 4-x 4 x 
+c 
ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ  2 
dx 
9-4x 
...
52 
=  
2 
9(1+tan ) =  
2 
9sec 
= 3sec 
หา dx ;  
3 
dx = d( tan ) 
2 
= 2  3 
dx = sec d 
2 
แทนค่า  2 
dx 
9-4x...
53 
ดังนั้น  2 
dx 
9-4x 
= 
2 
1 
1 9+4x 2x 
ln + +c 
2 3 3 
= 2 
1 
1 1 
ln 9+4x +2x - ln3+c 
2 2 
= 1 2 
ln 9+4x +2x +...
54 
=    
2 3 (sec -1)d 
= 3tan - 3 +c 
เปลี่ยนตัวแปรกลับให้อยู่ในเทอมของ x ดังนี้ 
จาก x =3 sec หรือ  
x 
sec = 
2...
55 
3. การอินทิเกรตโดยการแยกเป็นเศษส่วนย่อย (Integration by Partial Fractions) 
ถ้าอินทิเกรตมีเทอมที่อยู่ในรูปของฟังก์ชันต...
56 
กรณี 1 ถ้าตัวประกอบของตัวส่วนเป็นตัวประกอบเชิงเส้นที่แตกต่างกัน (Distinct Linear 
Factors) 
สมมติ (a1x +b1)(a2x +b2)(a...
57 
กรณี 4 ถ้าตัวประกอบของตัวส่วนเป็นตัวประกอบกาลังสองที่ซ้ากัน (Repeated 
Quadratic Factors) ซึ่งตัวประกอบกาลังสองนี้ไม่ส...
58 
5x -10 = 5x -10 x2 - 3x - 4 (x - 4)(x +1) 
= A + B 
x - 4 x +1 
= A(x +1) +B(x - 4) 
(x - 4)(x +1) 
= Ax + A +Bx - 4B ...
59 
คูณตลอดด้วย (x -2)(x +2) จะได้ 
X + 1 = A(x+2) B(x-2) 
แทนค่า x = -2 ได้ -2 + 1 = B (-2 -2 ) 
B = 1 
4 
แทนค่า x = 2 ไ...
60 
1= A(x+2)+B(x -5) 
แทน x = -2 ได้ 1 = -7B นั้นคือ B = - 1 
7 
แทน x = 5 ได้ 1 = 7A นั้นคือ A = 1 
7 
ดังนั้น 
2 
1 1 1...
61 
ตัวอย่างที่ 10 จงหาค่า  
4 3 2 
2 
3x -3x -5x +x-1 
dx 
x +x-2 
วิธีทา จะเห็นว่าตัวถูกอินทิเกรตเป็นฟังก์ชันตรรกยะไม่แ...
62 
แทน x = -2 ได้ 1 = -3B นั้นคือ B = - 1 
3 
ดังนั้น 
1 1 1 
2 = - x +x-2 3(x-1) 3(x+2) 
และ   
  
  
1 1 1 
2 d...
63 
ตัวอย่างที่ 11 จงหาค่าของ  
x3 +x2 +x+2 
4 2 dx x +3x +2 
วิธีทา จะเห็นว่าตัวถูกอินทิเกรตเป็นฟังก์ชันตรรกยะแท้ จึงนาไ...
64 
4. การอินทิเกรตโดยการแทนค่าตัวแปรใหม่ (Integration by Substitution of a new 
Variales) 
อินทิเกรตบางกรณีไม่สามารถหาได้...
65 
ตัวอย่างที่ 13 จงหาค่าของ  
x2 x +1 
วิธีทา จะเห็นว่าตัวถูกอินทิเกรตมี x +1 อยู่ในรูป ax + b ยกกาลังเศษ 
โดยที่ ax + ...
66 
อินทิเกรตจากัดเขต (Definite Integral) 
อินทิเกรตจากัดเขตเป็นแนวคิดหนึ่ง ที่มีประโยชน์มากมายในด้านคณิตศาสตร์และ 
วิทยาศ...
67 
ถ้าเราแบ่งช่วงย่อยมีจานนมากขึ้น โดยที่ maxxk0 แล้วรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้ 
จะเติมบริเวณระหว่างเส้นโค้ง y = f(x) ...
68 
สมบัติของอินทิเกรตจากัดเขต 
1. ถ้า a อยู่ในโดเมนของ f แล้วจะได้ว่า 0 
a 
a 
 f(x)dx  
2. ถ้า b < a และ f อินทิเกรตได...
69 
การคานวณหาค่าอินทิเกรตจากัดเขตของ 
b 
a  
f(x)dx 
จากทฤษฎีบทหลักมูลที่หนึ่งของแคลคูลัส 
b 
a 
  
ba 
f(x)dx F(x)] =...
70 
 
 
 
 
  
  
5 -1 du = x (u) 2 
2 2x 
1 5 -1= (u) 2 du 
2 2 
1 
1 5 (u) 2 = 1 du 2 2 
2 
5 1 = (x2 - 4)2 du...
Nächste SlideShare
Wird geladen in …5
×

ปริพันธ์

53.601 Aufrufe

Veröffentlicht am

  • The Bulimia Recovery Program, We Recovered, You CAN TOO! ▲▲▲ http://t.cn/A6Pq6OB6
       Antworten 
    Sind Sie sicher, dass Sie …  Ja  Nein
    Ihre Nachricht erscheint hier
  • Dating direct: ❶❶❶ http://bit.ly/2Q98JRS ❶❶❶
       Antworten 
    Sind Sie sicher, dass Sie …  Ja  Nein
    Ihre Nachricht erscheint hier

ปริพันธ์

  1. 1. 1 ปริพันธ์ การหาปริพันธ์ (Integrate) เป็นการแบ่งเป็นส่วนย่อยแล้วหาผลคูณ จึงพิจารณาได้ว่าเป็น การพัฒนาขยายวิธีการคูณ (ในทางตรงกันข้าม การหาอนุพันธ์ (differential) จะเป็นการแบ่งเป็น ส่วนย่อยแล้วหาผลหาร) สัญลักษณ์ “ ” (Integral) ที่ใช้แทนการอินทิเกรตนั้นมีที่มาจากคาว่า “Summation” ในภาษาเยอรมัน ซึ่งหมายถึง “ผลรวม” โดยนาตัวอักษรตัวแรกคือ “S” มายืดออกในแนวตั้ง เดิมทีการอินทิเกรตก็เหมือนกับการหาผลรวมโดยการแบ่งส่วน ซึ่งแบ่งรูปที่ซับซ้อนออกเป็น รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหลายๆรูป แล้วหาพื้นที่ของแต่ละรูป จากนั้นนามาบวกรวมกัน สัญลักษณ์ของการอินทิเกรตจึงแสดงถึง “การแบ่งเป็นส่วนย่อยหาผลคูณ แล้วนามาบวก กัน” ซึ่งสื่อถึงความหมายที่แท้จริงตามที่มาของการอินทิเกรตนั่นเอง การหาพื้นที่หรือปริมาตรโดยแบ่งช่วงที่พิจารณาออกเป็นส่วนๆ แล้วหาขีดจากัด (ลิมิต) ของผลบวกรวม เรียกว่าวิธีการหาผลรวมแบบแบ่งส่วน หลักการของการหาผลรวมแบบแบ่งส่วนนั้น ไม่ยากและถูกค้นพบมาตั้งแต่สมัยโบราณ แต่ในความเป็นจริงแล้วคานวณได้ยากลาบาก สาหรับช่วง [ a , b ] ที่กาหนด S ซึ่งเป็นพื้นที่ของบริเวณที่ถูกล้อมรอบด้วยฟังก์ชัน ต่อเนื่อง y = f(x) กับแกน x จะเขียนแสดงและคานวณได้ด้วยสมการต่อไปนี้ S =  b f(x)dx a ………(1) เพื่อให้พิจารณาสมการนี้ได้ง่าย จึงแบ่งช่วง { a , b ] ออกเป็น n ส่วนเท่าๆ กัน แล้ว พิจารณาผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ต่อเนื่องกัน n รูป ความกว้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 รูป คือ (b - a) n เขียนแสดงด้วย x 
  2. 2. 2 พิกัดแกน x ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทางซ้ายสุดเป็น x1= a+ x และความสูงจะเป็น 1 f(x ) เนื่องจากความกว้างให้เป็น x ดังนั้นพื้นที่ของรูป สี่เหลี่ยมผืนผ้า 1 (s ) จึงเป็น 1 1 (s ) = f(x ) . x ทานองเดียวกัน พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปที่ 2 , 3 และต่อไปเรื่อยๆ สามารถเขียน แสดงให้เป็น f(x2) . x , 3 f(x ) . x , ... เมื่อนาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า n รูปมาบวก รวมกัน จะได้เป็น    n 1 2 3 n k k = 1 f(x ) . x f(x ) . x f(x ) . x +... + f(x ) . x = f(x ) . x ………(2) ค่าของผลรวมที่ได้นี้จะมากกว่าพื้นที่จริงเนื่องมาจากพื้นที่ส่วนที่ระบายสีดา ดังนั้นต่อไปจึง จะแบ่งช่วงระหว่าง a ,b ให้ย่อยลงไปอีก ทาให้ความกว้างของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแคบลง จะเห็นได้ว่าเมื่อแบ่งส่วนย่อยให้ละเอียดเป็นเท่าตัวไปเรื่อยๆ แล้ว ส่วนที่ใหญ่กว่าพื้นที่จริงก็ จะเล็กลงไปเรื่อยๆ ด้วยเช่นกัน และถ้าหากว่าแบ่ง [ a , b ] ให้ย่อยลงไปถึงที่สุดแล้ว (จานวน n ที่ใช้แบ่งออกเป็น n ส่วน มีค่าเข้าใกล้อนันต์ (Infinity) ) ส่วนที่ใหญ่กว่าพื้นที่จริงจะเล็กลงไปเรื่อยๆ จนเข้าใกล้พื้นที่จริง ที่สุด
  3. 3. 3 “การให้ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์” เขียนแสดงด้วย x lim ดังนั้นสมการที่ (2) จึงเขียนได้เป็น   n k k =1 lim f(x ) . x x …………………(3) และนี่คือวิธีการหาหาผลรวมแบบแบ่งส่วน ซึ่งในกรณีที่ n เข้าใกล้อนันต์ตามสมการที่ (3) นี้ สามารถเขียนเป็นสมการอินทิเกรตที่เราคุ้นเคยกัน ได้เป็น  b f(x)dx a ………(1) วิธีการคานวณหา  b f(x)dx a = … นั้นจะหาได้อย่างเช่น        b b n n+1 n+1 n+1 a a x dx = 1 x = 1 b - 1 a n+1 n+1 n+1 1. การอินทิเกรตชั้นเดียว อินทิเกรตไม่จากัดเขต (Indefinite Integral) นิยาม 1.1 ปฏิยานุพันธ์ (Antiderivative) กาหนดให้ F(x) เป็นฟังก์ชัน เราเรียกฟังก์ชัน F(x) ว่าเป็นปฏิยานุพันธ์ของ ฟังก์ชัน F(x) ก็ต่อเมื่อ F’(x) = F(x) สาหรับทุกๆ x ในโดเมนของ F(x) เช่น ฟังก์ชัน 1 x3 , 1 x3 - 2 , 1 x3 + 5 , 1 x3 + c 3 3 3 3 (เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆ ) ต่างก็เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f(x) = x2 เพราะอนุพันธ์ของแต่ละฟงัก์ชัน เท่ากับ x2 เราเรียกวิธีการหรือขบวนการในการปฏิยานุพันธ์ว่า การหาปฏิยานุพันธ์ (Antidifferentiation) หรือการอินทิเกรต (Integration) โดยใช้สัญลักษณ์แทนดังต่อไปนี้ ถ้ามีฟังก์ชัน F(x) ที่ทาให้ d (F(x)) = f(x) dx แล้วฟังก์ชันที่เขียนในรูป F(x) + c เป็นปฏิ ยานุพันธ์ของ f(x) โดยเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  f(x)dx =F(x) +c ซึ่งอ่านว่า อินทิกรัลไม่จากัดเขต ของ f(x) เท่ากับ F(x) บวก c เพราะ F(x) + c ไม่ใช่ฟังก์ชันที่ กาหนดแน่นอน แต่เป็นเซตของฟังก์ชันที่เป็นไปได้ทั้งหมด
  4. 4. 4 สัญลักษณ์  เรียกว่า เครื่องหมายอินทิกรัล (Integral sign) F(x) เรียกว่า ตัวถูกอินทิกรัล (integrand) X เรียกว่า ตัวแปรของการอินทิเกรต (variable of integration)  f(x)dx เรียกว่า อินทิกรัลไม่จากัดเขตของฟังก์ชัน f(x) เทียบกับตัวแปร x C เรียกว่า ค่าคงตัวของการอินทิเกรต (constant of integration) การอินทิเกรตฟังก์ชันสามารถแบ่งได้ 2 กรณีดังนี้ 1. การอินทิเกรตฟังก์ชันพีชคณิต (Integration of Algebraic Functions) ฟังก์ชันพีชคณิต (Algebraic Function) คือฟังก์ชันพหุนาม ฟังก์ชันตรรกยะและรวมถึง ฟังก์ชันที่ได้จากการ บวก ลบ คูณ หาร และการถอดรากของพหุนาม 2. การอินทิเกรตฟังก์ชันอดิศัย (Integration of Transcendental Functions) ฟังก์ชันอดิศัย (Transcendental Function) คือฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันพีชคณิต เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล และฟังก์ชันลอการิทึม 1. การอินทิเกรตฟังก์ชันพีชคณิต สูตรการอินทิเกรตฟังก์ชันพีชคณิต ให้ U และ V เป็นฟังก์ชันของ X และ a , c ,n เป็นค่าคงตัวใดๆ แล้วจะได้ 1.  f(x)dx = f(x)+c 2. du = u+c 3.  audx = audx 4.  n+1 undx = u +c n+1 เมื่อ n ≠ -1 5.  = ln du n +c u 6.  (u± v)dx = udx± vdx
  5. 5. 5 ตัวอย่างที่ 1  x2dx วิธีทา  x2dx = x2+1 +c 2+1 = x3 +c 3 ตัวอย่างที่ 2  2dx วิธีทา  2dx = 2x + c ตัวอย่างที่ 3  5dx วิธีทา  5dx = 5x + c ตัวอย่างที่ 4  5xdx วิธีทา  5xdx = 5 xdx = x1+1 5 1+1 = 2 2 5 x ตัวอย่างที่ 5  1 dx 3x วิธีทา  1 dx 3x = 1 ln x +c 3 ตัวอย่างที่ 6  (2+5)dx วิธีทา  (2+5)dx =  2dx + 5dx = 2dx + 5dx = 2x + 5x + c
  6. 6. 6 ตัวอย่างที่ 7  (4x3 +3x2 - 2x - 5)dx วิธีทา  (4x3 +3x2 - 2x - 5)dx =     4x3dx + 3x2dx - 2xdx - 5dx =     4 x3dx +3 x2dx - 2 xdx - 5 dx = 3+1 2+1 1+1 x x x 4( ) +3( ) - 2( ) - 5x +c 3+1 2+1 1+1 = 4 3 2 x x x 4( ) +3( ) - 2( ) - 5x +c 4 3 2 = x4 + x3 - x2 -5x +c ตัวอย่างที่ 8  10 3 (x - 1 )dx x วิธีทา  10 3 (x - 1 )dx x =   x10dx - x-3dx = x10+1 x-3+1 - +c 10+1 -3+1 = x11 x-2 - +c 11 -2 = 11 2 x 1 - +c 11 2x ตัวอย่างที่ 9  (3 - 2x) xdx วิธีทา  (3 - 2x) xdx =   1 3 3x2dx - 2x 2dx =   1 3 3 x2dx - 2 x 2dx = 3 5 3x2 2x2 3 - 5 +c 2 2 = 3 5 2x2 - 4 x2 +c 5
  7. 7. 7 ตัวอย่างที่ 10  (2x - 3)9dx วิธีทา ให้ u = 2x – 3 จะได้ du = 2dx และ dx = du 2  (2x - 3)9dx =  u9 du 2 =  1 9 u du 2 = 10 1 u +c 2 10 = 10 u +c 20 = 10 (2x-3) +c 20 ตัวอย่างที่ 11  1 dx 3x - 4 วิธีทา ให้ u = 3x - 4 จะได้ du = 3dx และ dx = du 3  1 dx 3x - 4 =  1 du u 3 =  1 1du 3 u = 1 ln u +c 3 = 1 ln 3x-4 +c 3 จากตัวอย่างที่ 10 และ 11 เป็นการอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปร (Integration by substitution) มักจะใช้ช่วยในการอินทิเกรตที่อยู่ในรูปซับซ้อนให้อยู่ในรูปที่ง่ายขึ้น ในการอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปรให้อยู่ในรูปของตัวแปร u เราสามารถอาศัยดิฟเฟอ เรนเชียลฟังก์ชัน u ที่เลือกไว้ เขียนแทนลงใน du ได้เลย โดยไม่ต้องเขียนตัวแปร u ทุกครั้ง
  8. 8. 8 ตัวอย่างที่ 12  2 x +1 dx x +2x - 5 วิธีทา ให้ u= x2 +2x -5 จะได้ du = (2x + 2)dx และ dx = du 2x +2  2 x +1 dx x +2x - 5 =  1 2 2 - (x +1)(x +2x - 5) dx =  1 2 2 2 - x +2x-5 (x +1)(x +2x - 5) d 2x+2 =  1 2 2 2 - x +2x-5 (x +1)(x +2x - 5) d 2(x+1) =  1 2 2 2 1 - (x +2x - 5) d(x +2x - 5) 2 = 1 1 (x2 +2x - 5)2 1 +c 2 2 = 1 (x2 +2x - 5)2 +c = 2 (x +2x-5) +c ตัวอย่างที่ 13  2 x - 4 dx x - 8x +3 วิธีทา ให้ u= x2 - 8x +3 จะได้ du = (2x - 8)dx  2 x - 4 dx x - 8x +3 =  2 2 x - 4 d (x - 8x +3) x - 8x +3 2x - 8 =  2 2 x - 4 d (x - 8x +3) x - 8x +3 2(x - 4) =  2 2 (x - 8x +3) x - 8x +3 1 2 = 1 2 ln x -8x+3 +c 2
  9. 9. 9 = 2 ln x -8x+3 +c การอินทิเกรตโดยการเปลี่ยนตัวแปรให้อยู่ในรูป u นั้น ไม่สามารถใช้ได้กับทุกๆ ฟังก์ชัน เช่น  2 dx 1- x และตัวอินทิเกรตใดๆ ก็ตามที่มีตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปเศษส่วนและทั้งเศษและ ส่วนเป็นฟังก์ชันพหุนาม โดยที่เศษมีกาลังมากกว่าหรือเท่ากับกาลังสูงสุดของส่วน ให้นาส่วนไปหาร จนกระทั่งเศษมีกาลังสูงสุดน้อยกว่าส่วน แล้วจึงนาไปอินทิเกรต ตัวอย่างที่ 14  2 2 x +2x +6dx x +2x +1 วิธีทา เนื่องจากกาลังสูงสุดของเศษเท่ากับกาลังสูงสุดของส่วน จึงนา x2 +2x +1 ไปหาร x2 +2x +6 ได้ดังนี้ x2 +2x +1 ) x2 +2x +6 ( 1 x2 +2x +1 5 ดังนั้น 2 2 x +2x +6 x +2x +1 = 2 1+ 5 x +2x +1 จะได้  2 2 x +2x +6dx x +2x +1 =  2 1+ 5 x +2x +1 dx =   2 dx + 5 x +2x +1 dx =   2 dx + 5 (x +1) dx ให้ u = x + 1 จะได้ =  x + 5(x +1)-2dx =  x +5 u-2du = -1 x + 5u +c -1 = x -5(x +1)-1 +c = 5 x - +c (x+1)
  10. 10. 10 ตัวอย่างที่ 15  x3 +2x2 - 3dx x +1 วิธีทา เนื่องจากกาลังสูงสุดของเศษมากกว่ากาลังสูงสุดของส่วน จึงนา x + 1 ไปหาร x3 +2x2 - 3 ได้ดังนี้ x + 1 ) x3 +2x2 - 3 ( x2 + x -1 x3 + x2 x2 - 3 x2 + x -x – 3 -x – 1 -2 ดังนั้น x3 +2x2 - 3 x -1 = x2 + x -1- 2 x +1 จะได้  x3 +2x2 - 3dx x +1 =  (x2 + x -1- 2 )dx x +1 =     x2 + - - 2 dx x +1 dx xdx dx =  x3 x2 dx + - x - 2 3 2 x +1 ให้ u = x + 1 =  x3 x2 du + - x - 2 3 2 u = x3 x2 + - x - 2 n u +c 3 2 = x3 x2 + - x - 2 n x+1 +c 3 2
  11. 11. 11 แบบฝึกหัดที่ 1.1 1.  (3x2 +2x - 5)dx 2.  4 3 3 x +3x -5x dx x 3.  2 x ( + - x)dx x 2 4.  (1- x) xdx 5.  (3t - 4)2dt 6.  2x+3dx 7.  (x2 +5)63x2dx 8.  2 3 3 8x dx (x +2) 9.  2 3 x dx x +2 10.  5x6 +10x +9dx 2. การอินทิเกรตฟังก์ชันอดิศัย 2.1) การอินทิเกรตฟังก์ชันเอกซ์โปแนนเชียล (Integration of Exponential Functions) ฟังก์ชันเอกซ์โปแนนเชียล จะอยู่ในรูป f(x) = ax ซึ่ง a > 0 และ a ≠ 1 ที่ใช้มากเป็น ฟังก์ชันที่ a = 10 หรือ a = e ( e แทนจานวนอตรรกยะมีค่าประมาณ 2.71828…) สูตรการอินทิเกรตฟังก์ชันเอกซ์โปแนนเชียล 1.  u audu = a +c ln a , a > 0 , a ≠ 1 2.  eudu = eu +c ตัวอย่างที่ 16  7xdx วิธีทา  7xdx = 7x +c ln7 ตัวอย่างที่ 17  102xdx วิธีทา ให้ u = 2x จะได้ du = 2dx  102xdx =  u du 10 2
  12. 12. 12 =  1 10udu 2 = u 1 10 +c 2 ln10 = 2x 1 10 +c 2 ln10 ตัวอย่างที่ 18  exdx วิธีทา  exdx = ex +c ตัวอย่างที่ 19  e2xdx วิธีทา ให้ u = 2x จะได้ du = 2dx  e2xdx =  u du e 2 =  1 u e du 2 = u 1 e +c 2 = 2x 1 e +c 2 ตัวอย่างที่ 20  23xdx วิธีทา ให้ u = 3x , du = 3dx  23xdx =  2u du 3 =  2u 1 du 3 =       u 1 2 +c 3 ln2
  13. 13. 13 = 3x 2 +c 2ln2 ตัวอย่างที่ 21  x.5x2+3dx วิธีทา ให้ u = x2 +3 , du = 2xdx  x.5x2+3dx =  u du x.5 2x =  x.5udu 1 2 =       1 5u +c 2 ln5 =         x2 +3 1 5 +c 2 ln5 = 5x2+3 +c 2ln5 ตัวอย่างที่ 22  x x e -1dx e +1 วิธีทา เนื่องจากกาลังสูงสุดของเศษเท่ากับกาลังสูงสุดของส่วน จึงนา 1+ex หาร -1+ex ได้ดังนี้ 1+ex ) -1+ex ( -1 -1- ex 2ex ดังนั้น x x e -1 e +1 = x x -1+ 2e e +1  x x e -1dx e +1 =  x x 2e -1+ dx e +1
  14. 14. 14 =   x x dx 2e - dx+ e +1 =   x x dx e - dx+2 e +1 ให้ u=ex +1 =  x x e du -x +2 u e =  1 -x +2 du u = -x +2ln u +c = -x +2ln ex +1 +c =  x 2 -x +2ln e +1 +c แบบฝึกหัด 1.2 จงหาค่าอินทิเกรตต่อไปนี้ 1.  34xdx 2.  2 x3 x e dx 3.  1 ex 2 dx 4.    ex +1 2dx 5.  xex2+5dx 6.    xe - ex dx 7.  2x+1 e dx 2x+1 8.  ex x 2 e dx 9.   x 8 x e +5 e dx 10.  2x 2x e .9 dx
  15. 15. 15 2.2 การอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Integration of Trigonometric Functions) มีสูตรดังนี้ 1.  sinudu= -cosu+c 2.  cosudu= sinu+c 3.  tanudu = -ln cosu +c =ln secu +c 4.  cotudu =ln sinu +c 5.  secudu =ln secu+tanu +c 6.  cosecudu =ln cosecu-cotu +c 7.  sec2udu= tanu+c 8.  cosec2udu= -cotu+c 9.  secu tanudu= secu+c 10.  cosecu cotudu= -cosecu+c ตัวอย่างที่ 23  sin5x +2dx วิธีทา ให้ u = 5x+2 ,du = 5dx  sin5x +2dx =  du sinu 5 =  1 sinu du 5 =   1 -cosu +c 5 =   1 - cos 5x+2 +c 5
  16. 16. 16 ตัวอย่างที่ 24  cos x dx x วิธีทา ให้ u= x , 1 2 1 du = x dx 2 , 1 2 dx = 2 du x  cos x dx x =  cosu du 2 u 1 u = 2 cosu du = 2sinu+c = 2sin x +c ตัวอย่างที่ 25  tan(3x +1)dx วิธีทา ให้ u = 3x + 1 , du = 3dx  tan(3x +1)dx =  du tan(u) 3 =  1 tan(u)du 3 =   1 ln sec 3x+1 +c 3 ตัวอย่างที่ 26  cot(5x)dx วิธีทา ให้ u =5x , du = 5dx  cot(5x)dx =  du cot(u) 5 =  1 cot(u)du 5 =   1 ln sin u +c 5
  17. 17. 17 =   1 ln sin 5x +c 5 ตัวอย่างที่ 27  sec(2x +5)dx วิธีทา ให้ u = 2x + 5 , du = 2dx  sec(2x +5)dx =  du sec(u) 2 =  1 sec(u)du 2 = 1 ln sec(u)+tan(u) +c 2 = 1 ln sec(2x+5)+tan(2x+5) +c 2 ตัวอย่างที่ 28  cosec(5x)dx วิธีทา ให้ u = 5x , du = 5dx  cosec(5x)dx =  du cosec(u) 5 =  1 cosec(u)du 5 = 1 ln cosec(u)-cot(u) +c 5 = 1 ln cosec(5x)-cot(5x) +c 5 ตัวอย่างที่ 29    cosxsec2 sinx dx วิธีทา ให้ u = sinx , du = cosxdx    cosxsec2 sinx dx =    2 du cosxsec u cosx
  18. 18. 18 =    sec2 u du = tanu+c = tansinx +c ตัวอย่างที่ 30    cosec2 4x dx วิธีทา ให้ u = 4x , du = 4dx    cosec2 4x dx =    2 du cosec u 4 =    1 2 cosec u du 4 =   1 - cot(u) +c 4 =   1 - cot(4x) +c 4 ตัวอย่างที่ 31  sec(5x) tan(5x)dx วิธีทา ให้ u = 5x , du = 5dx  sec(5x) tan(5x)dx =  du sec(u) tan(u) 5 =  1 sec(u) tan(u)du 5 = 1 sec(u) +c 5 = 1 sec(5x) +c 5
  19. 19. 19 ตัวอย่างที่ 32  cosec(2x) cot(2x)dx วิธีทา ให้ u = 2x , du =2dx  cosec(2x) cot(2x)dx =  du cosec(u) cot(u) 2 =  1 cosec(u) cot(u)du 2 = 1 - cosec(u) +c 2 = 1 - cosec(2x) +c 2 ตัวอย่างที่ 33  e3xtan(e3x )dx วิธีทา ให้ u = e3x , du= 3e3xdx  e3xtan(e3x )dx =  du u tan(u) 3u =  1 tan(u)du 3 = 1 ln sec u +c 3 = 1 3x ln sec 3e +c 3 ตัวอย่างที่ 34  4 +cos x dx cosec x วิธีทา  4 +cos x dx cosec x =    12 sin x 4+cos x dx ให้ u = 4 + cos x , du = sin x dx
  20. 20. 20    12 sin x 4+cos x dx =    12 du sin x u -sin x =    12 - u du = 32 - u +c 32 = 3 2 2 - (4 +cos x) +c 3 แบบฝึกหัด 1.3 จงหาค่าอินทิเกรตต่อไปนี้ 1.  x cos x2dx 2.  sec x dx x 3.   cot d 2 4.  sin(7x +2)dx 5.  sec22x dx 1+ tan2x 6.  x2sec2 (x3 )dx 7.     sin d cos 8.     sin d 2 - cos 9.       sec2(cos3 ) sin3 d 10.  sec(3x)dx 2.3 การอินทิเกรตฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่ยกกาลังเป็นจานวนเต็มบวก (Integration Positive Integer power of Trigonometric Functions) 2.3.1 อินทิเกรตในรูป  sinmxdx และ  cosnxdx เมื่อ m และ n เป็นจานวนเต็ม บวก แล้วจะสามารถหาอินทิเกรตได้  sinmxdx และ  cosnxdx วิธีการ เอกลักษณ์ที่ใช้ 1. m เป็นจานวนคี่ จัดรูป sinmx = sinm-1x.sin x และใช้ u = cos x sin2x =1- cos2x
  21. 21. 21 2. n เป็นจานวนคี่ จัดรูป cosnx = cosn-1x.cos x และใช้ u = sin x cos2x =1- sin2x 3. m เป็นจานวนคู่ ใช้เอกลักษณ์ที่ลดกาลังลง 2   1 sin x = 1-cos 2x 2 4. n เป็นจานวนคู่ ใช้เอกลักษณ์ที่ลดกาลังลง 2   1 cos x = 1+cos 2x 2 ตัวอย่างที่ 35  sin3xdx วิธีทา  sin3xdx =  sin2x.sin xdx =  (1- cos2x)sin xdx ให้ u = cos x , du = -sin x dx =  2 du (1-u )sin x -sin x =   - du+ u2du = u3 -u+ +c 3 = -cos x + 1 cos3 +c 3 x ตัวอย่างที่ 36  cos5xdx วิธีทา  cos5xdx =  cos4x cos xdx ให้ u = sin x , du = cos x dx =  2 2 du (1- sin x) cos x cos x =  (1-u2 )2du =  (1- 2u2 +u4 )du =    du - 2 u2du+ u4du = 2u3 u5 u - + +c 3 5
  22. 22. 22 = sin x - 2 sin3x + 1 sin5x +c 3 5 ตัวอย่างที่ 37  sin2xdx วิธีทา  sin2xdx =    1 1- cos 2x dx 2 =          1 1 - cos 2x dx 2 2 =   1 1 dx- cos 2xdx 2 2 ให้ u = 2x , du = 2dx =   1 1 du dx- cos (u) 2 2 2 = 1 1 x - sin(u) +c 2 4 = 1 1 x - sin(2x) +c 2 4 ตัวอย่างที่ 38  cos25xdx วิธีทา  cos25xdx =    1 1+cos10x dx 2 =   1 1 dx + cos10xdx 2 2 ให้ u = 10x , du = 10dx =   1 1 du dx + cos (u) 2 2 10 = 1 x + 1 sin(u) +c 2 20 = 1 x + 1 sin10x +c 2 20
  23. 23. 23 2.3.2 อินทิเกรตในรูป  sinmxcos nxdx เมื่อ m และ n เป็นจานวนเต็มบวก จะสามารถ อินทิเกรตได้ดังนี้  sinmxcos nxdx วิธีการ เอกลักษณ์ที่ใช้ 1. n เป็นจานวนคี่ จัดรูป cosnx = cosn-1x cos x ใช้ u = sin x cos2x =1- sin2x 2. m เป็นจานวนคี่ จัดรูป sinmx = sinm-1x sin x ใช้ u = cos x sin2x =1- cos2x 3. m และ n เป็นจานวนคู่ ใช้เอกลักษณ์ที่ลดกาลังของ sin x และ cos x 2 1 sin x = (1- cos2x) 2 2 1 cos x = (1+cos2x) 2 ตัวอย่างที่ 39  sin4x cos5xdx วิธีทา เนื่องจาก n = 5 เป็นจานวนคี่ ใช้ u = sin x จะได้  sin4x cos5xdx =  sin4x cos4x cos xdx ให้ u = sin x , du = cos xdx =  4 4 du u cos x cos x cos x =  u4 cos4xdu =  u4 (1- sin2x)2du =  u4 (1-u2 )2du =  u4 (1- 2u2 +u4 )du =  (u4 - 2u6 +u8 )du =    u4du - 2 u6du+ u8du = u5 2u7 u9 - + +c 5 7 9 = 1 sin5 - 2 sin7 + 1 sin9 +c 5 7 9 x x x
  24. 24. 24 ตัวอย่างที่ 40  sin3xcos2xdx วิธีทา เนื่องจาก m = 3 เป็นจานวนคี่ ใช้ u = cos x จะได้  sin3xcos2xdx =  sin2xcos2xsin xdx ให้ u = cos x , du = -sin x dx =    1- cos2x cos2x sin x du -sin x =    - cos2x - cos4x du =    - u2 -u4 du =   2 4 - u du+ u du = u3 u5 - + +c 3 5 = - 1 cos3 + 1 cos5 +c 3 5 x x ตัวอย่างที่ 41  sin2x cos2x dx วิธีทา เนื่องจาก m และ n เป็นจานวนคู่ใช้ 2   1 sin x = 1-cos 2x 2 , 2 1   cos x = 1+cos 2x 2 จะได้  sin2x cos2x dx =      1 1- cos 2x 1 1+cos 2x dx 2 2 =    1 1+cos 2x - cos 2x - cos22x dx 4 =    1 1- cos22x dx 4 =    1 1- cos22x dx 4 =   1 1 2 dx 4 4 dx - cos 2x =   1 1 1 dx - (1+cos 4x) dx 4 4 2
  25. 25. 25 =    1 dx - 1 dx - 1 cos 4x dx 4 8 8 ให้ u = 4x , du =4 dx =  1 x - 1 x - 1 cos u du 4 8 8 4 =  1 x - 1 x - 1 cos u du 4 8 32 = 1 x - 1 x - 1 sinu+c 4 8 32 = 2 x - 1 x - 1 sin 4x +c 8 8 32 = 1 - 1 sin 4x +c 8 32 ตัวอย่างที่ 42  sin3x cos5x dx วิธีทา เนื่องจาก m = 3 , n = 5 เป็นจานวนคี่ทั้งคู่ จะใช้แทน U = cos x หรือ u = sin x ในที่นี้ใช้ u = cos x จะได้  sin3x cos5x dx =  sin2x cos5x sin x dx =  (1- cos2x) cos5x sin x dx =  (cos5x - cos7x)sin x dx ให้ u = cos x , du = -sin x dx =  5 7 du (u - u )sin x -sin x =  - (u5 - u7 )du =   - u5du+ u7du = u6 u8 - + +c 6 8 = - 1 cos6 + 1 cos8 +c 6 8 x x
  26. 26. 26 2.3.3 อินทิเกรตในรูป  sinmx cosnx dx ,  sinmx sinnx dx และ  cosmx cosnx dx อินทิเกรตของผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติไซน์ และโคไซน์จะสามารถหาค่าอินทิเกรตได้ โดยการเปลี่ยนรูปผลคูณให้เป็นผลบวกหรือผลต่างโดยใช้สูตรดังนี้ ผลคูณของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ สูตร 1. sin A cos B   1 sin(A -B) +sin(A +B) 2 2. sin A sin B   1 cos(A -B) - cos(A +B) 2 3. cos A cosB   1 cos(A -B) +cos(A +B) 2 ตัวอย่างที่ 43  sin7x cos 5x dx วิธีทา จาก sin 7x cos 5x = sin 2x sin12x ) 1 ( 2 จะได้  sin7x cos 5x dx =  sin 2x sin12x )dx 1 ( 2 =   1 1 sin 2x dx + sin12x dx 2 2 ให้ u = 2x , du = 2dx และ ให้ u = 12x , du = 12dx =   1 du 1 du sinu + sinu 2 2 2 12 =   1 1 sinu du+ sinu du 4 24 = - 1 cos u - 1 cos u+c 4 24 = - 1 cos 2x - 1 cos12x +c 4 24
  27. 27. 27 ตัวอย่างที่ 44  sin5x sin 2x dx วิธีทา จาก sin 5x sin 2x = 1 (cos 3x - cos 7x) 2 จะได้  sin5x sin 2x dx =  1 (cos 3x-cos 7x)dx 2 =   1 1 cos 3x dx- cos 7x dx 2 2 ให้ u = 3x , du = 3dx และ ให้ u = 7x , du = 7dx =   1 du 1 du cos u - cos u 2 3 2 7 = 1 sinu - 1 sinu+c 6 14 = 1 sin 3x - 1 sin 7x +c 6 14 ตัวอย่างที่ 45  cos 5 cos d วิธีทา จาก cos 5 cos =     1 cos4 +cos6 2  cos 5 cos d =       1 cos4 +cos6 d 2 =        1 cos4 d 1 cos6 d 2 2 ให้ u = 4 , du = 4d และ ให้ u = 6 , du = 6d =   1 cos u du + 1 cos u du 2 4 2 6 =   1 cos u du+ 1 cos u du 8 12 = 1 sinu+ 1 sinu+c 8 12 =   1 sin4 + 1 sin6 +c 8 12
  28. 28. 28 2.3.4 อินทิเกรตในรูป  tanmx dx และ  cotnx dx เมื่อ m และ n เป็นจานวนเต็มบวก จะสามารถหาอินทิเกรตได้ดังนี้  tanmx dx และ  cotnx dx วิธีการ เอกลักษณ์ที่ใช้ 1. m เป็นจานวนคู่หรือคี่ (m ≥ 2) จัดรูป tanmx = tanm-2x tan2x ใช้ u = tan x tan2x = sec2x -1 2. n เป็นจานวนคู่หรือคี่ (n ≥ 2) จัดรูป cotnx = cotn-2x cot2x ใช้ u = cot x cot2x = cosec2x -1 ตัวอย่างที่ 46  tan3x dx วิธีทา  tan3x dx =  tan2x tan x dx =  (sec2x -1) tan x dx =  (sec2x tan x - tan x)dx =   sec2x tan x dx - tan x dx ให้ u = tan x , du = sec2x dx =  2 2 du sec x u -ln sec x sec x =  u du -ln sec x = u2 -ln sec x +c 2 = tan2x -ln sec x +c 2 ตัวอย่างที่ 47  tan42x dx วิธีทา  tan42x dx =  tan22x.tan22x dx =  (sec22x -1)tan22x dx =  (sec22x tan22x - tan22x) dx =   sec22x tan22x dx - tan22x dx =   sec22x tan22x dx - (sec22x -1) dx
  29. 29. 29 ให้ u = tan 2x , du = 2sec22x dx =    2 2 2 2 du sec 2x u - sec 2x dx + dx 2sec 2x ให้ u = 2x , du = 2dx =    1 2 2 u du - sec 2x dx + dx 2 =  3 1 u 1 2 - sec u du+x 2 3 2 = 3 1 1 u - tanu+ x +c 6 2 = 3 1 1 tan x - tan 2x + x +c 6 2 ตัวอย่างที่ 48  cot33x dx วิธีทา  cot33x dx =  cot23x.cot 3x dx =  (cosec23x-1)cot 3x dx =   cosec23x cot 3x dx- cot 3x dx ให้ u = cot 3x , du = -3cosec23x dx และ ให้ u = 3x , du = 3dx =   2 2 du du cosec 3x.u - cot u -3cosec 3x 3 =   1 1 u du- cot u du -3 3 = 2 1 u 1 - - ln sinu +c 3 2 3 = 2 1 1 - cot 3x - ln sin 3x +c 6 3
  30. 30. 30 2.3.5 อินทิเกรตในรูป  secmx dx และ  cosecnx dx เมื่อ m และ n เป็นจานวนเต็มบวก จะสามารถอินทิเกรตได้ดังนี้  secmx dx และ  cosecnx dx วิธีการ เอกลักษณ์ที่ใช้ 1. m เป็นจานวนคู่ จัดรูป secmx = secm-2x sec2x ใช้ u = tan x sec2x =1+ tan2x 2. n เป็นจานวนคู่ จัดรูป cosecnx = cosecn-2x cosec2x ใช้ u = cot x cosec2x =1+cot2x 3. m , n เป็นจานวนคี่ ใช้เทคนิคของการอินทิเกรตทีละส่วน - ตัวอย่างที่ 49    sec4 d วิธีทา    sec4 d =     sec2 sec2 d =     (1+ tan2 ) sec2 d =        sec2 d + tan2 sec2 d ให้ u = tan x , du = sec2 d =     2 2 2 tan + u sec du sec =   tan + u2du =  3 u tan + +c 3 = tan + tan3 +c 3 1 ตัวอย่างที่ 50  cosec6x dx วิธีทา  cosec6x dx =  cosec4x cosec2x dx =  (1+cot2x)2 cosec2x dx =  (1+2cot2x +cot4x) cosec2x dx
  31. 31. 31 ให้ u = cot x , du = -cosec2x dx =  2 4 2 2 du (1+2u +u ) cosec x cosec x =  - (1+2u2 +u4 )du =    - du+2 u2du+ u4du = 2u3 u5 -u - - +c 3 5 = -cot x - 2 cot3x - 1 cot5x +c 3 5 2.3.6 อินทิเกรตในรูป  m n tan x sec x dx และ  m n cot x cosec x dx เมื่อ m และ n เป็น จานวนเต็มบวก จะสามารถหาอินทิเกรตได้ดังนี้  m n tan x sec x dx วิธีการ เอกลักษณ์ที่ใช้ 1. n เป็นจานวนคู่ จัดรูป secnx = secn-2x sec2x ใช้ u = tan x sec2x =1+ tan2x 2. m เป็นจานวนคี่ จัดรูป tanmx = tann-1x tan x และ secnx = secn-1x sec x ใช้ u = sec x tan2x = sec2x -1 3. m เป็นจานวนคู่ และ n เป็นจานวนคี่ ทาให้อยู่ในรูปกาลังต่างๆ ของ sec x และใช้เทคนิคของการอินทิเกรตทีละส่วน tan2x = sec2x -1  m n cot x cosec x dx วิธีการ เอกลักษณ์ที่ใช้ 1. n เป็นจานวนคู่ จัดรูป cosecnx = cosecn-2x cosec2x ใช้ u = cot x cosec2x =1+cot2x 2. m เป็นจานวนคี่ จัดรูป cotmx = cotm-1x cot x และ cosecnx = cosecn-1x cosec x ใช้ u = cosec x cot2x = cosec2x -1
  32. 32. 32 3. m เป็นจานวนคู่ และ n เป็นจานวนคี่ ทาให้อยู่ในรูปกาลังต่างๆ ของ cosec x และใช้เทคนิคของการอินทิเกรตทีละส่วน cot2x = cosec2x -1 ตัวอย่างที่ 51  6 4 tan x sec x dx วิธีทา เนื่องจาก n = 4 เป็นจานวนคู่ ใช้ u = tan x จะได้  6 4 tan x sec x dx =  6 2 2 tan x sec x sec xdx =  6 2 2 tan x (1+tan x) sec xdx =  6 8 2 (tan x+tan x) sec xdx =  6 8 2 2 du (u +u ) sec x sec x =  6 8 (u +u ) du =   6 8 u du+ u du = 7 9 u u + +c 7 9 = tan7 + tan9 +c 7 9 1 x 1 x ตัวอย่างที่ 52  3 5 tan x sec x dx วิธีทา เนื่องจาก m = 3 เป็นจานวนคี่ ใช้ u = sec x จะได้  3 5 tan x sec x dx =  2 4 (tan x tan x)( sec x sec x) dx =  2 4 (tan x sec x)(sec x tan x) dx =  2 4 (sec x-1)sec x(sec x tan x) dx =  6 4 (sec x-sec x)(sec x tan x) dx
  33. 33. 33 =  6 4 du (u -u )(sec x tan x) sec x tan x =  6 4 (u -u )du =   6 4 u du- u du = 7 5 u u - +c 7 5 = sec7 x - sec5 +c 7 5 1 1 x ตัวอย่างที่ 53  2 4 cot x cosec x dx วิธีทา เนื่องจาก n = 4 เป็นจานวนคู่ ใช้ u = cot x จะได้  2 4 cot x cosec x dx =  2 2 2 cot x cosec x cosec x dx =  2 2 2 cot x (1+cot x)cosec x dx =  2 4 2 (cot x+cot x)cosec x dx =  2 4 2 2 du (u +u )cosec x -cosec x =  2 4 - (u +u )du =   2 4 - u du- u du = 3 5 u u - - +c 3 5 = - cot3x - cot5x +c 3 5 1 1
  34. 34. 34 ตัวอย่างที่ 54     3 3 cot cosec d วิธีทา เนื่องจาก m = 3 เป็นจานวนคี่ ใช้ u = cosec x จะได้     3 3 cot cosec d =       2 2 (cot cot )(cosec cosec ) d =       2 2 (cosec -1).cot (cosec cosec ) d =       2 2 (cosec -1)cosec (cosec cot ) d =       4 2 (cosec - cosec ) (cosec cot ) d =      4 2 du (u - u ) (cosec cot ) -cosec cot =  4 2 (u - u )du =   4 2 u du- u du =   4 2 u du- u du = 5 3 u u - +c 5 3 = cosec5x - cosec3x +c 5 3 1 1 แบบฝึกหัด จงหาค่าอินทิเกรตต่อไปนี้ 1.  5 sin x dx 2.    5 cos d 3.    2 sin 5 d 4.  4 x cos dx 2 5.  2 4 sin 2x cos 2xdx 6.  5 4 sin x cos xdx 7.  4 4 sin x cos xdx 8.  sin2x cos 4x dx
  35. 35. 35 9.  sin5x sin x dx 10.  cos 3x cos 2x dx 11.  5 tan 3x dx 12.  4 cot x dx 13.  4 sec 2x dx 14.    4 cosec d 15.     2 2 tan sec d 16.  3 3 tan 2x sec 2x dx 17.  3 3 cot x cosec x dx 18.     4 cot3 cosec 3 d 19.  3 cot x cosec x dx 20.  2 cot 3x sec 3x dx 2.4 การอินทิเกรตฟังก์ชันพีชคณิตในรูปกาลังสอง เป็นการอินทิเกรตฟังก์ชันที่อยู่ในรูป u2 +a2 , u2 - a2 หรือ a2 -u2 ได้ โดยใช้สูตร ดังนี้ 1.  2 2 du u = arcsin +c a -u a 2.  2 2 du u = arctan +c a u a 1 + a 3.   2 2 du u = arcsec +c u a 1 u a a 4.   2 2 du 1 u-a = ln +c u a 2a u+a 5.  2 2 du 1 a+u = ln +c a -u 2a a-u 6.  2 2 2 2 du = ln u+ u +a +c u +a 7.  2 2 2 2 du = ln u+ u -a +c u -a
  36. 36. 36 8.  2 2 2 u 2 2 a u du = a -u + arcsin +c 2 2 a a -u 9.  2 2 2 u 2 2 a 2 2 du = u -a + ln u+ u +a +c 2 2 u +a 10.  2 2 2 u 2 2 a 2 2 du = u -a + ln u+ u -a +c 2 2 u -a วิธีการใช้สูตร 1. จากทุกสูตรจะเห็นว่ามีลักษณะรูปแบบของนิพจน์ใหญ่ๆ 3 รูปแบบ คือ u2 +a2 , u2 - a2 หรือ a2 -u2 2. ให้พิจารณาอินทิเกรตว่าควรจะต้องใช้สูตรใด โดยพิจารณานิพจน์ของอินทิเกรตที่ สามารถจัดให้อยู่ในรูป u2 +a2 , u2 - a2 หรือ a2 -u2 รูปใดรูปหนึ่ง มี 2 ประการคือ 2.1 นิพจน์ที่ประกอบด้วย 2 พจน์ คือ พจน์ที่เป็นตัวแปรและค่าคงตัว ซึ่งอยู่ในรูป ax2 +c เมื่อ x เป็นตัวแปร a และ c เป็นค่าคงตัว สามารถจัดในรูป u2 +a2 , u2 - a2 หรือ a2 -u2 ได้ง่าย เช่น ax2 +16= (3x)2 +(4)2 จัดในรูป u2 +a2 โดยที่ u = 3x และ a = 4 2 - 4x2 = ( 2)2 +(2x)2 จัดในรูป a2 -u2 โดยที่ u = 2 และ a = 2x x6 - 5= (x3 )2 +( 5)2 จัดในรูป u2 - a2 โดยที่ u = x3 และ a = 5 2.2 ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป ax2 +bx +c ซึ่งสามารถจัดในรูป u2 +a2 , u2 - a2 หรือ a2 -u2 ได้โดยใช้วิธีทาให้เป็นกาลังสองสมบูรณ์ เช่น x2 +10x +29 = (x2 +10x +25)+4 = (x +5)2 +(2)2 จัดในรูป u2 +a2 โดยที่ u = x + 5 และ a = 2 x2 -6x +4 = (x2 -6x +9) - 5
  37. 37. 37 = (x +3)2 +( 5)2 จัดในรูป u2 - a2 โดยที่ u = x – 3 และ a = 5 20+8x - x2 = -(x2 - 8x - 20) = -(x2 - 8x +16) +36 = (6)2 +(x - 4)2 จัดในรูป a2 -u2 โดยที่ u = x – 4 และ a = 6 3. เมื่อจัดให้อยู่ในรูปตามต้องการแล้ว เขียนตัวถูกอินทิเกรตให้อยู่ในรูปสูตรที่จะใช้ ตัวอย่างที่ 55  2 dx 25-16x วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร  2 2 du u = arcsin +c a -u a  2 dx 25-16x =  2 2 dx (5) -(4x) (u = 4x , a = 5) =  2 2 1 d(4x) 4 (5) -(4x) = 1 4x arcsin +c 4 5 ตัวอย่างที่ 56  2 dy 4y +9 วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร  2 2 du u = arctan +c a u a 1 + a  2 dy 4y +9 =  2 2 dy (2y) +(3) (u = 2x , a = 3)
  38. 38. 38 =  2 2 1 d(2y) 2 (2y) +(3) = 1 2y arctan +c 2 3 ตัวอย่างที่ 57  2 dx x 4x -9 วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร   2 2 du u = arcsec +c u a 1 u a a  2 dx x 4x -9 =  2 2 dx x (2x) -(3) (u = 2x , a = 3) =  2 2 d(2x) (2x) (2x) -(3) = 1 2x arcsec +c 3 3 ตัวอย่างที่ 58  2 dx 9x -16 วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร   2 2 du 1 u-a = ln +c u a 2a u+a  2 dx 9x -16 =  2 2 dx (3x) -(4) (u = 3x , a = 4) =  2 2 1 d(3x) 3 (3x) -(4)
  39. 39. 39 = 1 1 3x-4 . ln +c 3 2(4) 3x+4 = 1 3x-4 ln +c 24 3x+4 ตัวอย่างที่ 59  2 dy 25-16y วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร  2 2 du 1 a+u = ln +c a -u 2a a-u  2 dy 25-16y =  5 2 dy (5) -(4y) (u = 4y , a = 5) =  5 2 1 d(4y) 4 (5) -(4y) = 1 1 5+4y ln +c 4 2(5) 5-4y = 1 5+4y ln +c 40 5-4y ตัวอย่างที่ 60  2 dx 4x +9 วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร  2 2 2 2 du = ln u+ u +a +c u +a  2 dx 4x +9 =  2 2 dx (2x) +(3) (u = 2x , a = 3)
  40. 40. 40 =  2 2 1 d(2x) 2 (2x) +(3) = 1 2 2 ln 2x+ (2x) +(3) +c 2 = 1 2 ln 2x+ 4x +9 +c 2 ตัวอย่างที่ 61  2 dz 9z -25 วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร  2 2 2 2 du = ln u+ u -a +c u -a  2 dz 9z -25 =  2 2 dz (3z) -(5) (u m= 3z , a = 5) =  2 2 1 d(3z) 3 (3z) -(5) = 1 2 2 ln 3z+ (3z) -(5) +c 3 = 1 2 ln 3z+ 9z -25 +c 3 ตัวอย่างที่ 62  2 16-9x dx วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร  2 2 2 u 2 2 a u du = a -u + arcsin +c 2 2 a a -u  2 16-9x dx =  2 2 (4) -(3x) dx (u = 3x , a = 4)
  41. 41. 41 =  1 2 2 (4) -(3x) d(3) 3 =       2 1 3x 2 2 4 3x (4) -(3x) + arcsin +c 3 2 2 4 = x 2 8 3x 16-9x + arcsin +c 2 3 4 ตัวอย่างที่ 63  2 3x +5dx วิธีทา การอินทิเกรตนี้ใช้สูตร  2 2 2 u 2 2 a 2 2 du = u -a + ln u+ u +a +c 2 2 u +a  2 3x +5dx =  2 2 ( 3x) +( 5) dx (u = 3x , a = 5 ) =  1 2 2 ( 3x) 5) d( 3x) 3 +( =       2 1 3x 2 2 ( 5) 2 ( 3x) +( 5) + ln 3x+ 3x +5 +c 3 2 2 = x 2 5 3 2 3x + + ln 3x+ 3x +5 +c 2 5 6 ตัวอย่างที่ 64  2 x -4xdx วิธีทา จัด x2 - 4x โดยทาให้เป็นรูปกาลังสองสมบูรณ์ก่อน แล้วใช้สูตร  2 2 2 u 2 2 a 2 2 du = u -a + ln u+ u -a +c 2 2 u -a
  42. 42. 42 x2 - 4x =   2 x -4x+4 - 4 =  2 2 x+2 - (2)  2 x -4xdx =    2 2 x+2 -(2) dx (u = x + 2 , a = 2) =    2 2 x+2 -(2) d(x+2) =     2 x+2 2 2 (2) 2 2 x+2 -(2) - ln (x+2)+ x+2 -(2) +c 2 2 = x+2 2 2 -4x - 2ln (x+2)+ -4x +c 2 x x แบบฝึกหัด จงหาค่าอินทิเกรตต่อไปนี้ 1.  x x e dx 1-e 2.  dx x (1+x) 3.  2 dx 4x-x 4.  2 x -36dx 5.  2 3-4x dx 6.  2 dx x +4 7.  2 dx 4-(x+2) 8.  2 dx 4x -9 9.  2 dx 4x -25 10.  2 4x +9dx
  43. 43. 43 2.5 การอินทิเกรตฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก โดยใช้สูตรต่อไปนี้ 1.  sinhu du=coshu+c 2.  coshu du=sinhu+c 3.  tanhu du=ln cos hu +c 4.  cot hu du=ln sinhu +c 5.  2 sec h u du= tanhu+c 6.  2 cosec h u du= -cot hu+c 7.  sec hu tanhu du= -sec hu+c 8.  cosec hu cot hu du= -cosec hu+c ตัวอย่างที่ 65  sinh (6x)dx วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร  sinhu du=coshu+c  sinh (6x)dx =  d(6x) sinh (6x) 6 =  1 sinh (6x)d(6x) 6 = 1 cos h (6x) +c 6 ตัวอย่างที่ 66  3 4 x cos h (x )dx วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร  coshu du=sinhu+c  3 4 x cos h (x )dx =  4 3 4 3 d(x x cos h (x ) 4x )
  44. 44. 44 =  4 4 cos h (x )d(x 1 ) 4 = 1 4 sinh (x ) +c 4 ตัวอย่างที่ 67  x x e cot h (e )dx วิธีทา การหาอินทิเกรตนี้ใช้สูตร  cot hu du=ln sinhu +c  x x e cot h (e )dx =  x x x x d(e ) e cot h (e ) e =  x cot h (e )d(ex) = x ln sinh (e ) +c แบบฝึกหัด 1.        x cos h dx 4 2.  sinh x dx x 3.  cosec h5x cot h 5x dx 4.  sec h2(3x+5) dx 5.  cot h (6x) dx
  45. 45. 45 เทคนิคการอินทิเกรต 1. การอินทิเกรตทีละส่วน (Intergration by parts) ถ้า u = f(x) และ v = g(x) เป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันใด ๆ ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ แล้ว จากหลักการดิฟเฟอร์เรนเชียลของผลคูณ d(uv) = udv + vdu เมื่อทาการอินทิเกรตทั้งสองข้างจะได้      d(uv) = udv + vdu uv +c = udv + vdu หรือ udv =uv vdu+c เนื่องจากทางด้านขวามือ ยังคงอินทิเกรตอยู่อีก ซึ่งเมื่ออินทิเกรตแล้วจะมีค่าคงตัวของ การอินทิเกรตเกิดขึ้นอีกตัว ดังนั้นในขั้นตอนนี้จึงยังไม่จาเป็นต้องบวกด้วย ค่าคงตัว จะได้ udv =uv vdu เรียกสูตรการอินทิเกรตทีละส่วน ลักษณะของตัวอินทิกรตที่ใช้เทคนิคการอินทิเกรตที ละส่วน มีลักษณะดังนี้ 1) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณทั่วไป เช่น    x cos x dx , xex dx , e2x sin x dx 2) ตัวอินทิเกรตที่มีฟังก์ชันลอการิทึมประกอบอยู่ เช่น   x3ln x dx , ln x dx 3) ตัวอินทิเกรตที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันประกอบอยู่ เช่น arctan x dx ,  x arcsin x dx 4) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณของ tanm x secn x หรือ tanm x cosecn x เมื่อ m เป็นจานวนคู่บวก และ n เป็นจานวนตี่บวก เช่น   tan2 x sec3 x dx , cot4 x cosec3 x dx 5) ตัวถูกอินทิเกรตที่มีฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีเลขยกกาลังเป็นจานวนเต็มบวก เช่น   sin2 x dx , sec3 x dx
  46. 46. 46 หลักการเลือก u และ dv 1) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณฟังก์ชันพหุนามกับฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เลือก u เป็นฟังก์ชัน พหุนาม และที่เหลือเป็น dv เช่น  xn sin x dx เลือก u= xn และ dv = sin x dx  xncos 3x dx เลือก u= xn และ dv = cos 3x dx 2) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณฟังก์ชันพหุนามกับฟังก์ชันเอกซ์โพแนนเซียล ให้ เลือก u เป็นฟังก์ชันพหุนาม และที่เหลือเป็น dv เช่น  xn ex dx เลือก u= xn และ dv = exdx 3) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณฟังก์ชันพหุนามกับฟังก์ชันลอการิทึม หรือตัวถูก อินทิเกรตเป็นฟังก์ชันลอการิทึมอย่างเดียว ให้เลือก u เป็นฟังก์ชันลอกาทึม และที่เหลือเป็น dv เช่น  xn lnx dx เลือก u = ln x และ dv = xndx 4) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณฟังก์ชันพหุนามกับฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันหรือตัวถูก อินทิเกรตเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันอย่างเดียวให้เลือก u เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน และที่ เหลือเป็น dv เช่น  arctan x dx เลือก u = arctan x และ dv = dx 5) ตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปผลคูณฟังก์ชันเอกซ์โพแนนเซียลกับฟังก์ชันตรีโกณมิติ จะ เลือก u เป็นฟังก์ชันเอกซ์โพแนนเซียลหรือฟังก์ชันตรีตรีโกณมิติก็ได้ และที่เหลือเป็น dv เช่น  ex cos x dx เลือก u = ex และ dv = cos x dx หรือ  ex cos x dx เลือก u = cos x และ dv = ex dx การหาค่าอินทิเกรตของการอินทิเกรตทีละส่วน มีขั้นตอนดังนี้ 1. เลือก u และ dv 2. หา du โดยนา u มาหาอนุพันธ์ และหา v โดยนา dv มาทาการอินทิเกรต 3. แทนค่า u , du, v และ dv ที่ได้จากข้อ 1 และ สูตรสาหรับการอินทิเกรตทีละ ส่วน คือ udv =uv vdu 4. หาค่าอินทิเกรตของ  vdu หรือบางกรณี  vdu นั้น อาจจะใช้เทคนิคของการ อินทิเกรตทีละส่วนอีก ก็ให้ทาการอินทิเกรตไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะได้ค่าอินทิเกรต 5. ในการอินทิเกรตทีละส่วน ถ้ามีค่าอินทิเกรต udv เกิดขึ้นทางด้านขวาให้นามารวม กับ udv ที่มีอยู่ทางด้านซ้ายทุกครั้ง
  47. 47. 47 6. ให้ใส่ค่าคงตัว c ที่คาตอบสุดท้ายของการหาค่าอินทิเกรต ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ  x ex dx วิธีทา ให้ u = x และ dv = ex dx จะได้ du = dx และ v = ex แทนค่าในสูตร udv =uv vdu ดังนั้น  x ex dx =  x ex - ex dx = x ex - ex +c ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ  x sin3x dx วิธีทา ให้ u = x และ dv = sin3x dx du = dx และ v = - 1 cos 3x 3 แทนค่าในสูตร udv =uv vdu ดังนั้น         x sin3x dx = (x) - 1 cos 3x - - 1 cos 3x dx 3 3   = - 1 xcos3x + 1 cos3x dx 3 3 = - 1 xcos3x + 1 cos3xd(3x) 3 9 = - 1 xcos3x + 1 sin3x +c 3 9 ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ  lnxdx วิธีทา ให้ u = ln x และ dv = dx จะได้ว่า du = 1 dx x และ v = x แทนค่าในสูตร udv =uv vdu ดังนั้น   1 lnx dx = (lnx)x - (x) dx x = (lnx)x - dx = xlnx - x +c
  48. 48. 48 ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ  arctan x dx วิธีทา ให้ u = arctan x และ dv = dx du = 21 dx x +1 และ v = x แทนค่าในสูตร udv =uv vdu ดังนั้น         1 arctan x dx = arctanx(x) - x 2 dx x +1    = x arctanx - x dx x2 +1 = x arctanx - x du u 2x = x arctanx - 1 1 du 2 u = x arctanx - 1 ln | u | +c 21 = x arctanx - ln | x2 +1| +c 2 ตัวอย่างที่ 5  excosxdx วิธีทา ให้ u= ex และ dv = cos x dx du= exdx และ v = sin x แทนค่าในสูตร udv =uv vdu ดังนั้น   excosxdx = exsinx - sinx exdx  = exsinx - exsinxdx ทาอินทิเกรตทีละส่วนอีกครั้ง ให้ u= ex และ dx = sin x dx du= exdx และ v = -cos x แทนค่าในสูตร udv =uv vdu ดังนั้น   exsinxdx = ex(-cosx) - (-cosx)exdx  = -excosx + excosxdx
  49. 49. 49 แทนค่าใน (1) จะได้        excosxdx = exsinx - (-excoss+ excosxdx) = exsinx +excosx - excosxdx excosxdx + excosxdx = exsinx +excosx 2 excosxdx = ex (sinx +excosx) excosxdx = 1 ex (sinx +excosx) +c 2 2. การอินทิเกรตโดยการแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Integration by Trigonometric Substitutions) ถ้าอินทิเกรตที่มีเทอมอยู่ในรูป a2 -b2u2 , a2 +b2u2 หรือ b2u2 - a2 หรือ อยู่ในรูปของ a2 -b2u2 , a2 +b2u2 หรือ b2u2 - a2 ที่ยกกาลังบางค่า เช่น    dx dx x2 - 9 , , x2 4 - x2 x2 +9 x หรือ  dx (9+ x2)2 ในการหาค่าอินทิเกรตทาได้โดย การแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ เพื่อทาให้รากหายไปหรืออยู่ในรูปของการหาค่าอินทิเกรตที่ง่ายขึ้น ดังนี้ 1) จัดอินทิเกรตมีเทอมที่อยู่ในรูปของ a2 -b2u2 , a2 +b2u2 หรือ b2u2 - a2 หรืออยู่ในรูปของ a2 -b2u2 , a2 +b2u2 หรือ b2u2 - a2 แต่ถ้าอินทิเกรตที่มี เทอมอยู่ในรูปของ ax2 +bx +c เมื่อ a ≠ 0 และ b ≠ 0 จะใช้วิธีทาให้เป็นกาลังสอง สมบูรณ์ก่อน แล้วจึงใช้การแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหมาะสมในข้อ 2 2) การแทนค่าด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติสาหรับอินทิเกรต ที่มีเทอมอยู่ในรูปข้างต้นดังตาราง ต่อไปนี้ เทอมของตัวถูกอินทิเกรต การแทนค่า เอกลักษณ์ที่ใช้ a2 -b2u2 หรือ a2 -b2u2  u = a sin b 1- sin2 = cos2 a2 +b2u2 หรือ a2 +b2u2  u = a tan b 1+ tan2 = sec2 b2u2 - a2 หรือ b2u2 - a2  u = a sec b sec2 -1= tan2
  50. 50. 50 3) เปลี่ยนตัวอินทิเกรตให้อยู่ในรูปฟังก์ชันของตัวแปร คือ  โดยการแทนค่า ซึ่งจะได้ใน รูปฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มี  เป็นตัวแปร และสามารถหาอินทิเกรตได้ในรูปตรีโกณมิติ 4) ค่าอินทิเกรตที่ได้ในข้อ 3 จะอยู่ในรูปฟังก์ชันของตัวแปรใหม่คือ  ให้เปลี่ยนตัวแปร กลับเป็นตัวแปรเดิม โดยใช้หลักตรีโกณมิติและทฤษฎีพีธากอรัส จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่างที่ 6 จงหาค่าของ  dx x2 4 - x2 วิธีทา จะเห็นได้ว่าเทอมของตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูป a2 -b2u2 ซึ่งแทนค่าโดย  u = a sin b นั้นคือ 4 - x2 = 22 -12x2 จะได้ว่า u = x , a= 2 , b=1 ดังนั้นแทนค่าโดย x = sin หา 4 - x2 ; 4 - x2 = 4 - 4sin2 = 4(1- sin2 ) = 4cos2 = 2cos หา x2 ; x2 = 4sin2 หา dx ; dx = d(2sin ) = 2cos d แทนค่า       dx 2cos d = 2 x2 4 - x2 (4sin )(2cos )        = 1 1 d 4 sin2 1 2 = cosec d 4 1 = - cot +c 4 เปลี่ยนตัวแปรกลับให้อยู่ในเทอมของ x ดังนี้ จาก x = 2sin หรือ  sin = x 2 สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและจากนิยาม sin = ด้านตรงช้ามมุม  ด้านตรงข้ามมุมฉาก จะได้ว่า ด้านตรงข้ามมุม  ยาว x หน่วย ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 2 หน่วย และ ด้านประชิดมุม  ยาว 4 - x2 หน่วย ดังรูป
  51. 51. 51 และจะได้  2 4-x cot = x ดังนั้น  2 2 2 4x 1 4-x = - x 4-x 4 x +c ตัวอย่างที่ 7 จงหาค่าของ  2 dx 9-4x วิธีทา จะเห็นได้ว่าเทอมของตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูป 2 2 2 a +b u ซึ่งแทนค่าโดย  a u= tan b นั่นคือ 2 2 2 2 9+4x = 3 +2 x จะได้ว่า u = x , a = 3 , b = 2 ดังนั้น แทนค่าโดย  3 x = tan 2 หา 2 9+4x ; 2 9+4x =  9 2 9+4( tan 4 ) =  2 9+9tan  2 x 4 - x2
  52. 52. 52 =  2 9(1+tan ) =  2 9sec = 3sec หา dx ;  3 dx = d( tan ) 2 = 2  3 dx = sec d 2 แทนค่า  2 dx 9-4x =    3 2 sec d 2 3 sec =    1 sec d 2 =   1 ln sec +tan +c 2 เปลี่ยนตัวแปรกลับให้อยู่ในเทอมของ x ดังนี้ จาก  3 x = tan 2 หรือ  2x tan = 3 สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและใช้นิยามของตรีโกณมิติ จะได้ดังรูป แล้วจะได้  2 9+4x sec = 3  2 2 x 4 - x2 9+4x2 2x 3
  53. 53. 53 ดังนั้น  2 dx 9-4x = 2 1 1 9+4x 2x ln + +c 2 3 3 = 2 1 1 1 ln 9+4x +2x - ln3+c 2 2 = 1 2 ln 9+4x +2x +c 2 , (c = 1 c = ln3 1 2 ) ตัวอย่างที่ 8 จงหาค่าของ  2 x -9 dx x วิธีทา จะเห็นได้ว่าเทอมของตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูป 2 2 2 b u -a ซึ่งแทนค่าโดย  a u= sec b นั่นคือ 2 x -9 = 2 2 2 1 x -3 จะได้ว่า u = x , a = 3 , b = 1 ดังนั้นแทนค่าโดย x =3 sec หา 2 x -9 ; 2 x -9 =  2 9 sec -9 =  2 9 (sec -1) =  2 9 tan = 3 tan2 หา dx ;       (3tan )(3sec tan d ) dx = 3sec =    2 3 tan d
  54. 54. 54 =    2 3 (sec -1)d = 3tan - 3 +c เปลี่ยนตัวแปรกลับให้อยู่ในเทอมของ x ดังนี้ จาก x =3 sec หรือ  x sec = 2 สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากและใช้นิยามของตรีโกณมิติ จะได้ดังรูป และจะได้  2 x -9 tan = 3 ดังนั้น  2 x -9 dx x =         2 x -9 x 3 - 3arcsec +c 3 3 = 2 x x -9 3arcsec +c 3 -  2 x 4 - x2 x x2 -9 3
  55. 55. 55 3. การอินทิเกรตโดยการแยกเป็นเศษส่วนย่อย (Integration by Partial Fractions) ถ้าอินทิเกรตมีเทอมที่อยู่ในรูปของฟังก์ชันตรรกยะ (Rational Function) โดยที่ ฟังก์ชันตรรกยะ คือ ผลหารของฟังก์ชันพหุนาม (Polynomial) สองฟังก์ชัน ซึ่งเขียนในรูป P (x) Q (x) และ P(x) เรียกว่า ตัวเศษ (Numerator) ส่วน Q(x) เรียกว่า ตัวส่วน (Denominator) เช่น 2 5x -10 x -3x -4 โดยทั่วไปแล้วการอินทิเกรตฟังก์ชันตรรกยะมักจะทาได้ยาก แต่มีวิธีการที่ สามารถกระจายฟังก์ชันตรรกยะที่ค่อนข้างยาก ให้อยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันตรรกยะที่ง่ายขึ้น ทา ให้สามารถอินทิเกรตได้ เรียกว่า วิธีแยกเป็นเศษส่วนย่อย (Method of Partial Fraction) การแยกเศษส่วนย่อยของฟังก์ชันตรรกยะ P (x) Q (x) จะต้องพิจารณาให้กาลังของ P(x) (ตัวเศษ) น้อยกว่ากาลังสองของ Q(X) (ตัวส่วน) ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันตรรกยะแท้ (Proper Rational Function) เช่น 2 5x -10 x -3x -4 แต่ถ้ากาลังสองของ P(x) (ตัวเศษ) มากว่าหรือเท่ากับ กาลังสองของ Q(X) (ตัวส่วน) ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันไม่แท้ (Improper Rational Function) เช่น 2 2 3x -10 x -4x +4 จะต้องทาให้ฟังก์ชันตรรกยะแท้ก่อน แล้วนาฟังก์ชันตรรกยะแท้มาแยกเป็นผลบวก ของเศษส่วนย่อย และสามารถอินทิเกรตทีและเทอมได้ วิธีการแยกเศษส่วนย่อย มีขั้นตอนดังนี้ 1) พิจารณาตัวถูกอินทิเกรตเป็นฟังก์ชันตรรกยะแท้ ที่มีกาลังเป็นเศษส่วนน้อยกว่ากาลัง ของส่วน ถ้ายังไม่เป็นก็ต้องทาให้เป็นฟังก์ชันแท้ก่อน โดยนาตัวส่วนไปหารตัวเศษ แล้วนาเฉพาะ เศษส่วนที่เป็นฟังก์ชันตรรกยะแท้เท่านั้น ไปทาในขั้นตอนที่ 2 2) นาตัวเศษที่ถูกอินทิเกรตจากข้อ 1 [Q (x) ] มาแยกตัวประกอบ ให้อยู่ในรูปตัว ประกอบเชิงเส้น และตัวประกอบกาลังสองที่ลดรูปต่อไปอีกไม่ได้ นั้นคือ 2.1 ตัวประกอบเชิงเส้น (Linear Factors) เป็นตัวประกอบที่มีกาลังสูงสุดของตัวแปร เท่ากับ 1 โดยเขียนในรูปทั่วไปคือ ax + b เมื่อ a , b เป็นค่าคงตัวใด ๆ และ a ≠ 0 เช่น 3x – 2 , x + 4 , x 2.2 ตัวประกอบกาลังสอง (Quadratic Factors) เป็นตัวประกอบที่มีกาลังสูงสุดของ ตัวแปรเท่ากับ 2 โดยเขียนในรูปทั่วไป คือ x2 + x +1 , 4x2 +1 , x2 +1 3) นาตัวถูกอินทิเกรตที่อยู่ในรูปฟังก์ชันตรรกยะแท้ แล้วได้แยกตัวประกอบของตัวส่วนไว้ เรียบร้อยแล้ว มาเขียนในรูปผลบวกของเศษส่วนย่อย ซึ่งแยกเป็นกรณีต่าง ๆ กัน ตามตัวประกอบ ของตัวส่วน 4 กรณี ดังนี้
  56. 56. 56 กรณี 1 ถ้าตัวประกอบของตัวส่วนเป็นตัวประกอบเชิงเส้นที่แตกต่างกัน (Distinct Linear Factors) สมมติ (a1x +b1)(a2x +b2)(a3x +b3)+...+(anx +bn) ทั้งหมด n ตัวประกอบเรา สามารถเขียนในรูปผลบวกของเศษส่วนย่อย n เศษส่วนได้ดังนี้ A1 A2 A3 An + + +...+ a1x +b1 a2x +b2 a3x +b3 anx +bn เมื่อ A1 , A2 , A3 , ... , An เป็นค่าคงตัวที่ต้องการหาค่า (หรือเพื่อความสะดวก อาจเป็น A, B, C, ... ก็ได้ ) เช่น x - 3 = A + B (x - 2)(2x +1) x - 2 2x +1 กรณี 2 ถ้าตัวประกอบของตัวส่วนเป็นตัวประกอบเชิงเส้นที่ซ้ากัน (Repeated Linear Factors) สมมติ (ax+b)(ax+b)(ax+b)+...+(ax+b) ทั้งหมด n ตัวแระกอบ คือ (ax +b)n เราสามารถเขียนในรูปผลบวกของเศษส่วนย่อย n เศษส่วนได้ดังนี้ 2 3 n A1 A2 A3 An + + +...+ ax +b (ax +b) (ax +b) (ax +b) เมื่อ A1 , A2 , A3 , ... , An เป็น ค่าคงตัวที่ต้องการหาค่า เช่น 2 2 2x +3 = A + B (2x +1) 2x +1 (2x +1) 2 3 2 2 3 x +5 = A + B + C + D + E (x -1) (x +2) x -1 (x -1) (x - 2) (x +2) (x +2) กรณี 3 ถ้าตัวประกอบของตัวส่วนเป็นตัวประกอบกาลังสองที่แตกต่างกัน (Distinct Quadratic Factors) ซึ่งตัวประกอบกาลังสองนี้ไม่สามารถลดกาลังได้อีกแล้ว สมมติเป็น 2 2 2 2 1 2 3 (a1x +b1x+c )(a2x +b2x+c )(a3x +b3x+c ) +...+(anx +bnx+cn) ทั้งหมด n ตัวประกอบ เราสามารถเขียนในรูปผลบวกของเศษส่วนย่อย n เศษส่วน ได้ดังนี้ A1x +B1 A2x +B2 A3x +B3 Anx +Bn 2 + 2 + 2 +...+ 2 a1x +b1x +c1 a2x +b2x +c2 a3x +b3x +c3 anx +bnx +cn เมื่อ A1 , A2 , A3 , ... , An และ B1 , B2 , B3 , ... , Bn เป็นค่าคงตัวที่ต้องการหาค่า เช่น 2 2x2- 3 = A2x +B + 2Cx +D (x +1)(x +3x +1) x +1 x +3x +1
  57. 57. 57 กรณี 4 ถ้าตัวประกอบของตัวส่วนเป็นตัวประกอบกาลังสองที่ซ้ากัน (Repeated Quadratic Factors) ซึ่งตัวประกอบกาลังสองนี้ไม่สามารถลดกาลังได้อีกแล้ว สมมติเป็น ax2 +bx +C ทั้งหมด n ตัวประกอบ เรามารถเขียนในรูปผลบวกของ เศษส่วนย่อย n เศษส่วนได้ดังนี้ 2 3 n A1x +B1 A2x +B2 A3x +B3 Anx +Bn 2 + 2 + 2 +...+ 2 ax +bx +c (ax +bx +c) (ax +bx +c) (ax +bx +c) เมื่อ A1 , A2 , A3 , ... , An และ B1 , B2 , B3 , ... , Bn เป็นค่าคงตัวที่ต้องการหาค่า เช่น 2 2 2 x 2x +2 = Ax +B + Cx +D (x2 +2x +3) x2 +2x +3 (x2 +2x +3) + ข้อสังเกต (1) จานวนเศษส่วนย่อยที่นามาแยกต้องเท่ากับจานวนตัวประกอบของตัวส่วน (2) ถ้าตัวส่วนมีตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งที่สามารถแยกตัวประกอบต่อไปได้อีกก็ต้องแยกตัว ประกอบให้หมด และถ้ามีตัวประกอบที่ซ้ากันก็รวมกัน เพื่อจะให้อยู่ในรูปของตัวประกอบที่แตกต่าง กัน (3) ถ้าตัวประกอบอยู่ในรูปหลาย ๆ กรณีรวมกัน ก็พิจารณาตัวประกอบแต่ละตัวให้เป็นไป ตามหลักการของแต่ละกรณีไป แล้วเอาผลที่ได้มารวมกัน เช่น 2 2 2x +1 = A + B + C (x +4)(x - 2) x +4 x - 2 (x - 2) 4) เมื่อได้แยกตัวส่วนเป็นเศษส่วนย่อยเรียบร้อยแล้ว เราจะต้องคานวณหาค่าคงตัว A , B , C , … ต่อไป ซึ่งทาได้ง่าย ๆ 2 วิธี 4.1 วิธีการเทียบสัมประสิทธิ์ (Uudetermind Coefficient) โดยนาเศษส่วนย่อยที่ สมมติมาหา ค.ร.น. และกระจายพร้อมจัดรูปให้เรียบร้อยก่อน แล้วนา ค.ร.น. คูณทั้งสองข้างของ สมาการ แล้วจึงเทียบสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ที่มีกาลังเท่ากัน ระหว่างทางด้านซ้ายมือกับ ขวามือของสมการ จากนั้นก็สามารถแก้สมการคานวณหาค่าคงตัวได้ แล้วแทนค่า n ลงไปใน สมการที่แยกเป็นเศษส่วนย่อย เช่น
  58. 58. 58 5x -10 = 5x -10 x2 - 3x - 4 (x - 4)(x +1) = A + B x - 4 x +1 = A(x +1) +B(x - 4) (x - 4)(x +1) = Ax + A +Bx - 4B (x - 4)(x +1) = (A +B)x + (A - 4B) (x - 4)(x +1) คูณตลอดด้วย (x -4)(x +1) จะได้ 5x -10 = (A +B)x + (A - 4B) x2 - 3x - 4 x -1 = x -1 x2 - 4 (x - 2)(x +2) = A + B x - 4 x +1 = A(x +1) +B(x - 4) (x - 4)(x +1) ดังนั้น A + B = 5 ……………………(1) A – 4B = 5 …………………….(2) แก้สมการ (1) และ (2) ได้ A = 2 , B = 3 นั้นคือ 25x -10 = 2 + 3 x - 3x - 4 x - 4 x +1 4.2 วิธีแทนค่า x ที่เหมาะสม โดยการนาเศษส่วนย่อยที่สมมติมาหา ค.ร.น. และ กระจายพร้อมจัดรูปให้เรียบร้อยก่อน และนา ค.ร.น. คูณทั้งสองข้างของสมการ แล้วเราสมารถหา ค่าของ A , B , C , … ได้โดยการแทนค่า x ที่เหมาะสมลงไป เพื่อให้เหลือตัวที่ไม่ทราบค่าน้อยที่สุด แล้วคานวณหาค่าของตัวที่ไม่ทราบค่าเหล่านั้นได้ แล้วแทนค่ากลับลงไปในสมการที่แยกเป็นเศษส่วน ย่อย เช่น x +1 = x +1 x2 - 4 (x - 2)(x +2) = A + B x - 2 x +2 = A(x - 2) +B(x +2) (x - 2)(x +2)
  59. 59. 59 คูณตลอดด้วย (x -2)(x +2) จะได้ X + 1 = A(x+2) B(x-2) แทนค่า x = -2 ได้ -2 + 1 = B (-2 -2 ) B = 1 4 แทนค่า x = 2 ได้ 2 + 1 = A (2 + 2) A = 3 4 ดังนั้น x2+1 = 3 + 1 x - 4 4(x - 2) 4(x +2) 5) .ให้นาสมาการที่แยกเป็นเศษส่วนย่อย และแทนค่าคงตัวเรียบร้อยแล้ว ใส่เครื่องหมาย อินทิเกรตทั้งสองข้างของสมการ แล้วหาค่าอินทิเกรต ก็จะได้คาตอบตามต้องการ เช่น จาก 2 2 2x +4 = - 2 - 2 + 2 x3 - 2x x x x - 2 จะได้         2x+4 2 2 2 3 2 dx = - - 2 + dx x -2x x x x-2   2  = - 2 dx - 2 dx +2 dx x x x - 2 = - 2 ln | x | + 2 +2ln | x - 2 | +c x = 2ln | x = 2 | + 2 +c x x ตัวอย่างที่ 9 จงหาค่า  2 dx x -3x-10 วิธีทา จะเห็นได้ว่าตัวถูกอินทิเกรตเป็นฟังก์ชันตรรกยะแท้ จึงนาไปแยกเศษส่วนย่อยได้ดังนี้ 2 1 1 = x -3x-10 (x - 5)(x +2) = A + B x - 5 x +2 = A(x +2) +B(x - 5) (x - 5)(x +2) คูณตลอดด้วย (x -5) (x+2) จะได้
  60. 60. 60 1= A(x+2)+B(x -5) แทน x = -2 ได้ 1 = -7B นั้นคือ B = - 1 7 แทน x = 5 ได้ 1 = 7A นั้นคือ A = 1 7 ดังนั้น 2 1 1 1 = - x -3x-10 7(x - 5) 7(x +2) และ       2 dx 1 1 = - dx x -3x-10 7(x-5) 7(x+2) แทน u = x-5 และ u = x+2 du = dx และ du = dx       1 1 = dx- dx 7(x-5) 7(x+2) 1 dx 1 dx = - 7 (x-5) 7 (x+2) 1 du 1 du = - 7 u 7 u = 1 ln | x - 5 | - 1 ln | x +2 | +c 7 7 = 1 ln | x - 5 | +c 7 x +2
  61. 61. 61 ตัวอย่างที่ 10 จงหาค่า  4 3 2 2 3x -3x -5x +x-1 dx x +x-2 วิธีทา จะเห็นว่าตัวถูกอินทิเกรตเป็นฟังก์ชันตรรกยะไม่แท้ (เนื่องจากกาลังสูงสุดของเศษ (เท่ากับ 4) มากกว่ากาลังสูงสุดของส่วน (เท่ากับ 2 ) ต้องทาให้เป็นฟังก์ชันตรรกยะแท้ โดยการ หาร ดังนี้ x2 + x - 2 ) 3x4 +3x3 - 5x2 + x -1 ( 3x2 +1 3x4 +3x3 - 6x2 x2 + x -1 x2 + x - 2 -1 ดังนั้น 3x4 -3x3 -5x2 +x-1 1 = 3x2 +1+ x2 +x-2 x2 +x-2 และ       3x4 -3x3 -5x2 +x-1 1 dx = 3x2 +1+ dx x2 +x-2 x2 +x-2     2 dx = 3x dx + dx + 2 x +x-2 3 dx = x + x + 2 x +x-2 ซึ่งตัวถูกอินทิเกรตในด้านขวามืออยู่ในฟังก์ชันตรรกยะแท้จึงนาไปแยกเศษส่วนได้ดังนี้ 1 1 2 = x +x-2 (x-1)(x+2) A B = + x-1 x+2 A(x+2)+B(x-1) = (x-1)(x+2) คูณตลอดด้วย (x -1)(x +2) จะได้ 1 = A(x+2) + B(x-1) แทน x = 1 ได้ 1 = 3A นั้นคือ A = 1 3
  62. 62. 62 แทน x = -2 ได้ 1 = -3B นั้นคือ B = - 1 3 ดังนั้น 1 1 1 2 = - x +x-2 3(x-1) 3(x+2) และ       1 1 1 2 dx = - dx x +x-2 3(x-1) 3(x+2) แทน u = x-1 และ u = x+2 du = dx และ du = dx       1 1 = dx - dx 3(x-1) 3(x+2) 1 dx 1 dx = - 3 (x-1) 3 (x+2) 1 du 1 du = - 3 u 3 u 1 1 = ln | x -1| - | x +2 | +c 3 3 1 x-1 = ln | | +c 3 x+2 นั้นคือ  3x4 -3x3 -5x2 +x-1 3 1 x-1 2 dx = x + x + ln| | +c x +x-2 3 x+2
  63. 63. 63 ตัวอย่างที่ 11 จงหาค่าของ  x3 +x2 +x+2 4 2 dx x +3x +2 วิธีทา จะเห็นว่าตัวถูกอินทิเกรตเป็นฟังก์ชันตรรกยะแท้ จึงนาไปแยกเศษส่วนย่อยได้ ดังนี้ x3 +x2 +x+2 3 2 = x + x + x +2 4 2 (x2 +1)(x2 +2) x +3x +2 = Ax +B + Cx +D x2 +1 x2 +2 Ax +B(x2 +1) + Cx +D(x2 +1) = 2 2 (x +1)(x +2) คูณตลอดด้วย (x2 +1)(x2 +2) จะได้ x3 + x2 + x +2 = (Ax +B)(x2 +2) + (Cx +D)(x2 +1) = Ax3 +Bx2 +2Ax +2B+ Cx3 +Dx2 + Cx +D = (A +c)x3 + (B+D)x2 + (2A + C)x + (2B+D) เทียบสัมประสิทธิ์ของ x ยกกาลังต่าง ๆ ได้ดังนี้ A + C = 1 , B + D = 1 , 2A + C = 1 , 2B + D = 2 แก้สมการหาค่า A, B, C, D ได้ A = 0 , B = 1 , C = 4 , D = 0 ดังนั้น x3 +x2 +x+2 = 1 + 1 4 2 x2 +1 x2 +2 x +3x +2 และ          x3 +x2 +x+2 1 1 4 2 dx = 2 + 2 dx x +3x +2 x +1 x +2 1 1 = 2 dx+ 2 dx x +1 x +2 d(x2 +2) 1 = arctan x + 2 2 x +2 1 2 = arctan x + ln | x +2 | +c 2
  64. 64. 64 4. การอินทิเกรตโดยการแทนค่าตัวแปรใหม่ (Integration by Substitution of a new Variales) อินทิเกรตบางกรณีไม่สามารถหาได้โดยการใช้เทคนิคการอินทิเกรตที่ได้กล่าวมาในหัวข้อก่อน ๆ ได้ เนื่องจากตัวอินทิเกรตอยู่ในรูปที่ซับซ้อน ซึ่งเป็นรูปฟังก์ชันที่มีตัวแปร x หรือ ตัวแปร ax + b ที่มีกาลังเป็นจานวนตรรกยะหรือเศษส่วน ซึ่งจะต้องทาให้กาลังที่เป็นเศษส่วนนั้นเป็นจานวน เต็ม แล้วตัวถูกอินทิเกรตก็จะอยู่ในรูปง่าย ที่สามารถหาค่าอินทิเกรตได้ ดังนี้ 1) ถ้าตัวอินทิเกรตอยู่ในรูปตัวแปร x ยกกาลังเศษส่วนให้ใช้การแทนค่า x =un เมื่อ x เป็นตัวแปรเดิม u เป็นตัวแปรใหม่ และ n เป็น ค.ร.น. ของเลขชี้กาลังที่เป็นกาลังของ x ทุกตัว 2) ถ้าตัวถูกอินทิเกรตอยู่ในรูปตัวแปร ax + b ยกกาลังเศษส่วนให้ใช้การแทนค่า ax + b =un เมื่อ ax + เป็นตัวแปรเดิม u เป็นตัวแปรใหม่ และ n เป็น ค.ร.น. ของเศษส่วน ของเลขชี้กาลังที่เป็นกาลังของ ax + b ทุกตัว ตัวอย่างที่ 12 จงหาค่าของ  x dx 1+ 3 x วิธีทา จะเห็นว่าตัวถูกอินทิเกรตมี x ยกกาลังเศษส่วน คือ 12 และ 13 จึงแทนค่าโดยให้ x =un เมื่อ n เป็น ค.ร.น. ของ 2 และ 3 ซึ่งเท่ากับ 6 ดังนั้น x =u6 และ dx = 6u5dx แทนค่า   1 (u6 ) 2 (6u5du) x dx = 1+ 3 x 1 1+(u6 ) 3  u8 = 6 2 du 1+u โดยการหารจะได้ u8 1 = u6 -u4 +u2 -1+ 1+u2 1+u2 นั้นคือ         x 6 4 2 1 3 dx = u -u +u -1+ 2 du 1+ x 1+u = 6 u7 - 6 u5 +2u3 - 6u+6arctanu+c 7 5 6 7 6 5 1 1 1 = x6 - x6 +2x2 - 6x6 +6arctan x6 +c 7 5
  65. 65. 65 ตัวอย่างที่ 13 จงหาค่าของ  x2 x +1 วิธีทา จะเห็นว่าตัวถูกอินทิเกรตมี x +1 อยู่ในรูป ax + b ยกกาลังเศษ โดยที่ ax + b คือ x + 1 และกาลังเศษส่วน คือ 12 จึงแทนค่าโดยให้ ax +b=un เมื่อ n เป็น ค.ร.น. ของ 2 ซึ่งเท่ากับ 2 ดังนั้น x +1=u2 จะได้ x =u2 -1 และ dx = 2udu แทนค่า   1 x2 x +1dx = (u2 -1)2(u2 ) 2 (2udu)      = (u4 - 2u2 +1)(2u2)du = (2u6 - 4u4 +2u2)du = 2u6du - 4u4du+ 2u2du = 2 u7 - 4 u5 + 2 u3 +c 7 5 3 2 7 4 5 2 3 = (x +1)2 - (x +1)2 + (x +1)3 +c 7 5 3
  66. 66. 66 อินทิเกรตจากัดเขต (Definite Integral) อินทิเกรตจากัดเขตเป็นแนวคิดหนึ่ง ที่มีประโยชน์มากมายในด้านคณิตศาสตร์และ วิทยาศาสตร์ โดยนาไปประยุกต์ทางเรขาคณิต เช่น การหาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง พื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง ปริมาตร ความยาวเส้นโค้ง และการหาพื้นที่ผิวที่เกิดจากการหมุนเส้นโค้ง และการประยุกต์ทาง ฟิสิกส์ เช่น การหาโมเมนต์ การหาจุดรวมมวล งาน และความดันของของเหลว ความหมายทางเรขาคณิตของอินทิเกรตจากัดเขต พิจารณาได้จากผลบวกรีมันน์ ดังรูป บนช่วงต่าง ๆ ที่ *k f (x ) เป็นค่าบวก ผลคูณ *  k k f (x ) x คือพื้นที่ Ak ของรูป สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสูง *k f (x ) และความกว้าง  k x และบนช่วงที่ *k f (x ) เป็นค่าลบ ผล คูณ *  k k f (x ) x เป็นค่าลบของพื้นที่ดังกล่าว ซึ่งเป็น - Ak จากรูปผลบวกรีมันน์ จะมีค่าเป็น 5 1 ( ... k             * * * * k k 1 1 2 2 6 6 f (x ) x f (x ) x f (x ) x A1 + A2 - A3 - A4 + A5 + A6 A1 + A2 + A5 + A6) - (A3 + A4) f (x ) x จะเห็นว่าผลบวกรีมันน์ก็คือ ผลต่างของพื้นที่นวมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดเหนือแกน x และพื้นที่รวมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งหมดใต้แกน x
  67. 67. 67 ถ้าเราแบ่งช่วงย่อยมีจานนมากขึ้น โดยที่ maxxk0 แล้วรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเหล่านี้ จะเติมบริเวณระหว่างเส้นโค้ง y = f(x) และช่วงปิด [a,b] จนเต็ม ทาให้เกิดค่าผิดพลาดน้อยลง ๆ ดังรูป และจะได้ว่าสาหรับฟังก์ชันดังกล่าว ลิมิตผลบวกของรีมันน์จะเป็นผลต่างของพื้นที่สองพื้นที่ ดังรูป กล่าวคือ 1 b a   III II f(x)dx (A + A ) - A = พื้นที่ที่อยู่เหนือช่วงปิด [a,b] - พื้นที่ที่อยู่ใต้ช่วงปิด [a,b] ถ้าให้ A1 แทนพื้นที่ใต้เส้นโค้ง y = f(x) เหนือช่วงปิด [a,b] และ A2 แทนพื้นที่ใต้เส้นโค้ง y= f(x) ใต้ช่วงปิด [a,b] แล้ว A1 – A2 เรียกว่า พื้นที่รวมเครื่องหมายระหว่าง y = f(x) และช่วงปิด [a,b]
  68. 68. 68 สมบัติของอินทิเกรตจากัดเขต 1. ถ้า a อยู่ในโดเมนของ f แล้วจะได้ว่า 0 a a  f(x)dx  2. ถ้า b < a และ f อินทิเกรตได้บนช่วงปิด [a,b] แล้วจะได้ว่า b a a b  f(x)dx    f(x)dx 3. ถ้า f และ g สามารถอินทิเกรตได้บนช่วงปิด [a,b] และ C เป็นค่าคงตัวใด ๆ จะได้ว่า 3.1 b b a a  Cf(x)dx  C f(x)dx 3.2 b b b a a a [f(x) +g(x)]dx   f(x)dx +  g(x)dx สมบัติข้อ 3.2 นี้สามารถขยายฟังก์ชันมากกว่า 2 ฟังก์ชันได้นั้นคือ     b b [f1(x) + f2(x) +...+ fn(x)]dx = f1(x)dx + f2(x)dx +...+ fn(x)dx a a b b a a 3.3 b b b a a a [f(x) - g(x)]dx   f(x)dx -  g(x)dx 4. ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว และ f(x)  0 สาหรับทุกค่า x ในช่วงปิด [a,b] แล้ว 0 b a  f(x)dx  5. ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว และ f(x)  g(x) สาหรับทุกค่า x ในช่วงปิด [a,b] แล้ว b b a a  f(x)dx   f(g)dx 6. ถ้า f สามารถอินทิเกรตได้บนช่วงปิด [a,b] และ c € (a, b) แล้ว b c b a a c  f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx 7. ถ้า f สามารถอินทิเกรตได้บนช่วงปิด [a,b] และจะมี c € (a, b) ซึ่งทาให้ b a  f(x)dx  f(c)(b - a) (ข้อ 7 เป็น สมบัติค่าเฉลี่ยของอินทิกรัลจากัดเขต)
  69. 69. 69 การคานวณหาค่าอินทิเกรตจากัดเขตของ b a  f(x)dx จากทฤษฎีบทหลักมูลที่หนึ่งของแคลคูลัส b a   ba f(x)dx F(x)] = F(b) -F(a) มีขั้นตอนใน การคานวณหาค่าดังนี้ 1. หาค่าของ b a  f(x)dx ตามวิธีการที่ผ่านมาแล้วจะบวกค่าคงตัว C หรือไม่บวกค่าคงตัว C ก็ได้ เพราะจะได้ผลลัพธ์ที่เท่ากัน 2. หาค่า F(b) โดยการแทนค่า x = b ใน F(x) 3. หาค่า F(a) โดยการแทนค่า x = a ใน F(x) 4. หาค่า F(b) - F(a) จะได้คาตอบตามต้องการ ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่า 3 3 0  (x - 4x +2)dx วิธีทา 3 3 0  (x - 4x +2)dx = 3 3 3 3 0 0 0  x dx - 4 x dx +2 dx 3 3 3 0 0 0 3 3 3 0 0 0 4                                   4 2 4 4 2 4 = x 4 x 2 x 4 2 = 3 0 3 0 2 3 - 0 4 4 2 2 = 81 -18+6 4 = 33 4 ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่า 5 2  x dx x2 - 4 แทน u = x2 - 4 du = 2x dx dx = du 2x วิธีทา 5 2  x dx x2 - 4 = 5 2  -1x (u) 2 dx
  70. 70. 70         5 -1 du = x (u) 2 2 2x 1 5 -1= (u) 2 du 2 2 1 1 5 (u) 2 = 1 du 2 2 2 5 1 = (x2 - 4)2 du 2 5 = x2 -4 2 = 52 - 4 - 22 - 4 = 21

×