Pratique de d'eurocode 2

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DALLE SUR POUTRE
Sovanvichet LIM, Dr., P.E.

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1. DIFFÉRENTS TYPES DU PLANCHER
(a) Dalle porté dans deux sens appuyé sur les poutres (b) Plancher dalle
(c) Plancher dalle avec chapiteau (d) Dalle nervuré

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Voided slab

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Voided biaxial slab

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Dans ce chapitre, on va parler seulement de la dalle portée sur poutre.
2. ESTIMATION DE L’ÉPAISSEUR DE LA DALLE
Epaisseur courant de la dalle :
 Dalle de bâtiment d’habitation : 10 cm, 12 cm, 15 cm, …
 Dalle du Parking : 20 cm pour éviter des problèmes de vibration

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3. METHODE D’ANALYSE DES STRUCTURES
 Lower bound method/Analyse Linéaire Elastique :
o Méthode des différences finis,
o Utiliser le tableau de calcul,
o Méthode des éléments finis.
o Méthode de portique équivalente pour le plancher-dalle (flat slab)
 Upper bound method/Analyse plastique :
o Méthode de la ligne de rupture Johansen (Johansen Yield Line Method)

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3.1 Analyse Linéaire Elastique
 Théorème des plaques minces : la déformation de cisaillement est négligée.
 Il y aussi le théorème de plaque épaisse qui considère la déformation de cisaillement.

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Les efforts internes dans une plaque :

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3.1.1 Résolution des équations basées sur les tableaux
 Référence : Henry Thonier, Tome 6
 Méthode basée sur l’hypothèse utilisant la méthode de différence finis

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Exemple :
SOLUTION
Poids propre de la dalle pp = (0.15 m) *(25 kN/m3
) = 3.75 kN/m2
;
Charge répartie à l’ELU pu = 1.35 (3.75+4) + 1.5 (2) = 13.5 kN/m2
;
o Côté AB et AD est considérés comme appui simple
o Côté BC et CD est considérés comme appui encastré
6 m6 m
4 m
4 m
Epaisseur de la dalle = 15 cm
Surcharge permanente = 4 kN/m2
Surcharge variable = 2 kN/m2
Calculer le moment pour le panel 1
[1]
A B
CD

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a=6 m
b=4 m
L= min (a,b) = 4 m
a/b = 6/4 = 1.5
Tableau 3. On lire sur la ligne a/b = 1/0.7
ka =20; kb =46.619; ka’ = -73.74; kb’= -98.065

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4.32
15.9
21.2
10
Moment [kNm/m]

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3.1.2 Méthode des éléments finis
 Deux types d’élément coque :
o Coque mince (Thin shell)
o Coque épaisse (Thick shell)
 Choix entre coque Mince et coque Epaisse
o Thin-plate formulation follows a Kirchhoff application, which neglects transverse
shear deformation, whereas thick-plate formulation follows Mindlin/Reissner, which
does account for shear behavior.
o Shear deformation tends to be important when shell thickness is greater than
approximately 1
/5 to 1
/10 of the span of plate-bending curvature. Shearing may also
become significant in locations of bending-stress concentrations, which occur near
sudden changes in thickness or support conditions, and near openings or re-entrant
corners. Thick-plate formulation is best for such applications.
o Thick-plate formulation is also recommended in general because it tends to be more
accurate.
o However, the accuracy of thick-plate formulation is sensitive to mesh distortion and
large aspect ratios, and therefore should not be used in such cases when shear
deformation is known to be small.

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Element with mesh
distorsion

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Verres vs Béton Armé à l’État Limite Ultime
b
Pour le dimensionnement des
verres en B-3, on prendra le
moment maximal qui est concentré
autour du poteau.
Pour obtenir un résultat plus précis,
il faut raffiner le maillage autour du
poteau.
Par contre, pour le
dimensionnement des éléments en
béton armé, on peut prend le
moment total sur la largeur b ; c’est
due à la redistribution transversale
des efforts internes dans les
éléments en béton armé (et donc
fissuration).

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b
Le moment total sur la largeur b =
une poutre de largeur b sur la ligne
3 de porté A-B-C-D.
Il faut prendre = ?
Valeur de n’est pas spécifiée dans
l’Eurocode.
Personnellement, je prends
- égale à la bande de poteau de
plancher-dalle.
- ou égale à la largeur du chapiteau
Ly
Lx
a/2
a/2

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Moment pour le calcul des armatures- Méthode Wood-Armer
 En pratique, le plus part des ingénieurs prend le moment Mxx et Myy pour le
dimensionnement des armatures suivant l’axe X et Y. Le moment Mxy est négligé.
 La méthode de Wood-Armer nous permet de prendre en compte le moment Mxy et donc
augmente la quantité des armatures.
Considérons un élément limité par une fissure diagonale.
: Moment autour de l’axe de la fissure

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Soit
: Moment résistante positif donné par des armatures suivant l’axe X
: Moment résistante positif donné par des armatures suivant l’axe Y
Moment résistant positif autour l’axe de fissure est
Il faut vérifier

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 Pour le calcul du moment positif:
En pratique, on choisit .
Mais, si par exemple, , On prend et et
 Pour le calcul du moment négatif:
En pratique, on choisit .
Mais, si par exemple, , On prend et et

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Exemple : Un calcul par la méthode des éléments finis donne des moments dans un élément
et . Calculer le moment pour les
armatures.
SOLUTION
 Armature inférieur :
 Armature supérieur :
On prend pour les armatures supérieures et

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3.2 Méthode de la ligne de rupture Johansen
 On charge une dalle jusqu’à la rupture.
 On observe des lignes de rupture qui se développent. Au droit des lignes de rupture sont
des rotules plastiques qui se forment.
 Les sections entre les lignes de rupture soumis à des rotations des corps rigide, ce qui
permet à Johansen de postuler le concept de mécanisme de rupture.
 La méthode de Johansen nous permet de trouver les moments fléchissant à appliquer sur
les lignes de rupture vérifiant l’équilibre.
Ligne de
rupture
En rotation de
corps rigid
A B
C
D Contour ABCD est
simplement appuyé
Axe de rotation

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 La distribution des moments obtenue est la distribution des moments à l’état limite
ultime, c’est-à-dire, la distribution juste avant l’effondrement de la dalle.
 Cette méthode est le plus idéale parce qu’elle base sur les moments à l’Etat Limite Ultime
pour dimensionner la section à l’État Limite Ultime.
 Mais cette méthode ne nous permet pas de calculer l’effort tranchant et les efforts pour
l’Etat Limite de Service.

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Concept de la méthode
On impose un déplacement virtuel vertical unitaire sur la ligne de rupture soumise au
déplacement le plus grand. On obtient un champ de déplacement virtuel des corps rigide et
des rotations autour des axes de rotation.
« Travail virtuel des moments le long de la ligne de rupture + travail virtuel des forces
extérieures = 0»
Moment et rotation sur
la ligne de rupture

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Travail virtuel par des forces extérieures
: charge ponctuelle
: charge surfacique sur la dalle
: déplacement virtuel

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Travail virtuel par des moments fléchissant
 Bloque (1) est en mécanisme de corps rigide et en rotation autour de A’B’
 Angle de rotation
 Moment résistant par mètre des armatures horizontales traversant AB est
 Le travail virtuel du moment associé avec la rotation est
1
Axe de
rotation
A’
B’ B
A

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Exemple 1. Dalle carrée simplement appuyé sur 4 côtés.
On postule le mécanisme de rupture : OA-OB-OC-OD
On impose un déplacement virtuel unitaire en O. La dalle forme une pyramide O’ABCD.
Travail virtuel par des forces extérieures :
On suppose que le moment résistant de la dalle dans le sens X et Y est .
1 1
Section 1-1

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Le bloc AOD est en rotation de corps rigide autour de AD avec l’angle de rotation .
On a :
Le travail du moment suivant l’axe X appliqué sur la ligne de rupture AO est :
De même façon, le travail du moment suivant l’axe Y appliqué sur la ligne de rupture AO pour
la rotation du bloc AOB autour de AB est :
Par symétrie, le travail total des moments est .
On a donc

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Exemple 2. Dalle carrée encastré sur 4 côtés.
On postule le mécanisme de rupture : OA-OB-OC-OD
On impose un déplacement virtuel unitaire en O. La dalle forme une pyramide O’ABCD.
Travail virtuel par des forces extérieures :
1 1
Section 1-1

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On considère le cas :
 Le moment résistant par armature inférieure de la dalle dans le sens X et Y est .
 Le moment résistant par armature supérieure sur appui de la dalle dans le sens X et Y est
.
Le bloc AOD est en rotation de corps rigide autour de AD avec l’angle de rotation .
On a :
 Le travail du moment suivant l’axe X appliqué sur la ligne de rupture AO est :
 De même façon, le travail du moment suivant l’axe Y appliqué sur la ligne de rupture AO
pour la rotation du bloc AOB autour de AB est :

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 Le travail du moment sur appui AD suivant l’axe X est :
Par symétrie, le travail total des moments est .
On a donc

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Exemple 3- Dalle rectangulaire simplement appuyé sur 4 côtés.
On suppose que la dalle est dimensionnée avec le moment résistant suivant l’axe Y égale à m
et suivant l’axe X égale à .
On postule le mécanisme de rupture ABCDEF avec la valeur de n’est pas encore connue.
Travail virtuel par des forces extérieures :
A
B
CD
E F
E1
E2
F1
F2

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Le bloc AED est en rotation autour de AD de l’angle
Le bloc AEFB est en rotation autour de AB de l’angle
Le travail des moments :
 Ligne de rupture AE, axe de rotation AD et moment :
 Ligne de rupture AE, axe de rotation AB et moment :
 Ligne de rupture EF, axe de rotation AB et moment :
 Par symétrie de travail total des moments est :

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On obtient
On choisit la valeur de d’une façon dont la variation de un peut ne donne pas beaucoup de
changement sur . Ce qui correspond au point extrémum de .

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Par exemple pour i=0.7, on a et
Règle de Johansen pour dessiner la ligne de rupture et l’axe de
rotation
(i) La Ligne de rupture est droite et forme des axes de rotation.
(ii) La Ligne de rupture se termine au bord excepte elle est parallèle à l’appui.
(iii) L’axe de rotation superpose avec le bord simplement appuyé, coupe le bord libre et passe
par les poteaux d’appui.
(iv) Les axes de rotation des blocs adjacents doivent se rencontrer en un point ou sinon doivent
être parallèle.
(v) La ligne de rupture des moments sur appuis encastré est superpose avec l’appui.

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50. Page 50/62

51. Page 51/62

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4. Calculer la section pour le moment de flexion
4.1 Limite sur la hauteur comprimée
 Calcul linéaire élastique sans redistribution: valeur maximale de x/d:
 Pour le béton MPa:
 Pour le béton MPa:
(MPa) 55 60 65 70 75 80 85 90
3.13 2.88 2.74 2.66 2.62 2.60 2.60 2.60
k3 0.54 0.54 0.54 0.54 0.54 0.54 0.54 0.54
k4 1.31 1.36 1.39 1.41 1.42 1.42 1.42 1.42
xu/d 0.35 0.34 0.33 0.33 0.32 0.32 0.32 0.32
 Calcul plastique/Méthode de la ligne de rupture : la vérification de la capacité de rotation
n’est pas requis si
 0.25 pour le béton ≤ C50
 0.15 pour le béton > C50.

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4.2 Armatures dans une dalle pleine appuyée sur les poutres
 Dalle portée dans une direction/ One-way slab- Armatures supérieures
Armature principale
Armature secondaire/
armature de répartition
 Cet armature n’est pas
nécessaire s’il n’y a pas de
moment transversal
[9.3.1.1(2)]
Armature secondaire
Armature principale
A
A
SECTION A-A
NOTE : Position des armatures secondaires par rapport aux armatures principales ?
 Maximiser le pour les armatures principales

54. Page 54/62
 Dalle portée dans une direction/ One-way slab- Armatures inférieures
Armature
principale
Armature
secondaire/
armature de
répartition

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 Dalle portée dans deux directions/ Two-way slab- Armatures supérieures
Règle de couture : décalage du diagramme de moment . [9.3.1.1.(4)]
Armature
principale
Armature
secondaire/
armature de
répartition

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 Dalle portée dans deux directions/ Two-way slab- Armatures inférieures
Armature principale (1)
Armature principale (2)
(1)
(2)
(2)
(1)
Question : il faut installer (1) sur ou sous (2) ?

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4.3 Armature principale minimum
Valeur recommandée, [UK], [NF] : [9.2.1.1(1)]
,
4.4 Armature principale maximal
Valeur recommandée, [UK], [NF]: [9.2.1.1(3)]
,
Ou si le bétonnage est possible, norme [NF] permet:
,

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4.5 Armature secondaire
 Pour la dalle portée dans une direction, armature secondaire  20% Armature principale.
 Au voisinage des appuis, des armatures transversales aux barres principales supérieures
ne sont pas nécessaires lorsqu'il n'existe aucun moment fléchissant transversal.
[9.3.1.1(2)]
4.6 Espacement Maximum des Bars
Valeurs recommandées [9.3.1.1(3)]
 Armatures principales : , où h est l’épaisseur totale de la dalle ;
 Armatures secondaires : , .
Dans les zones sollicitées par des charges concentrées ou dans les zones de moment maximal,
ces dispositions deviennent respectivement :
— pour les armatures principales, ,
— pour les armatures secondaires, ,

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4.7 Armatures de bords libres
 Le long du bord libre (non appuyé) d'une dalle, il convient normalement de prévoir des
armatures longitudinales et transversales, généralement disposées comme représenté sur
la Figure 9.8. [9.3.1.4(1)]
 Eurocode n’a pas précisé la quantité des armatures à utiliser.

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4.8 Armatures au voisinage des appuis
(1) Dans les dalles sur appuis simples, il convient de prolonger jusqu'à l'appui la moitié des
armatures calculées en travée, et de les y ancrer conformément à 8.4.4.
At0.5At
en [8.4.4]

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(2) Lorsqu'un encastrement partiel se produit le long du bord d'une dalle mais n'est pas pris en
compte dans l'analyse, il convient que les armatures supérieures soient capables de résister à
au moins 25 % du moment maximal de la travée adjacente. Il convient que ces armatures se
prolongent sur une longueur d’au moins 0.2 fois la longueur de la travée adjacente, mesurée à
partir du nu de l'appui, qu’elles soient continues au droit des appuis intermédiaires et qu'elles
soient ancrées aux appuis d'extrémité. Sur un appui d'extrémité, le moment à équilibrer peut
être réduit jusqu’à 15 % du moment maximal de la travée adjacente.

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5. Armatures d’effort tranchant
 Lorsque des armatures d’effort tranchant sont prévues dans une dalle, il convient que
l’épaisseur de la dalle soit au moins égale à 200 mm. [9.3.2(1)]
 L'espacement longitudinal maximal des cadres, étriers ou épingles est donné par :
où est l’inclinaison des armatures d’effort tranchant. [9.3.2(4)]
 Il convient de limiter à 1.5d l'espacement transversal maximal des armatures d’effort
tranchant. [9.3.2(5)]