15c neve

Neve: equazioni della massa e
dell’energia
F Carmichael, Snow CLouds, 1938

Riccardo Rigon, Matteo Dall’Amico

Wednesday, May 30, 12

Neve

Sì, ancora la neve

...
ma che sarà della neve dei pini
di quello che non sta e sta là, in fondo?

....

Andrea Zanzotto (La beltà, 1968)

2

R. Rigon, M. Dall’Amico


Neve

Massa, Energia ed Entropia della neve
Contiene più layer

Neve

Suolo non saturo

Falda

3



Snow Budgets

Un modello della neve
Ha in entrata di precipitazione e dati meteorologici (temperatura, umidità
relativa, pressione e velocità del vento al suolo)

Queste sono usualmente condizioni al contorno parametrizzate

4



Snow Budgets

Un modello della neve

Parametrizza anche la radiazione atmosferica e le sue componenti e la
turbolenza

5



Snow Budgets

La dinamica reale è il trasferimento di calore
all’interno del manto nevoso e del suolo

6



Snow Budgets

Un modello di neve
L’evoluzione dell’equivalente in acqua della neve si ricava dalla risoluzione
dell’equazione del bilancio di massa: la precipitazione liquida e solida meno il
flusso d’acqua dovuto allo scioglimento e alla sublimazione è uguale alla variazione
dell’equivalente in acqua della neve

massa della neve

7



Snow Budgets

Un modello di neve

massa del ghiaccio
massa della neve

8



Snow Budgets

Un modello di neve

massa del ghiaccio
massa della neve

massa dell’acqua liquida

9



Snow Budgets

Un modello di neve

massa dell’aria
massa del ghiaccio
massa della neve

massa dell’acqua liquida

10



Snow Budgets

Un modello di neve

flux of liquid water
phase transition

11



Snow Budgets

Un modello di neve

flux of liquid water
phase transition
variazioni di massa per unità di
volume 11



Snow Budgets

Un modello di neve

phase transition
variazione della massa per unità di
tempo
12



Snow Budgets

Un modello di neve

flusso dell’acqua liquida
phase transition
variazione della massa per unità di
tempo
12



Snow Budgets

Un modello di neve

flusso di acqua

variazione di massa per unità di
tempo
13



Snow Budgets

Un modello di neve

flusso di acqua
transizione di fase
tempo
13



Snow Budgets

Il bilancio di massa

Come in ogni bilancio, si deve implementare un livello dove si possano assegnare
le condizioni al contorno e dei livelli interni dove avviene il trasferimento di acqua
e ghiaccio all’interno della neve.

Livello esterno

Livelli interni alla neve

14



Snow Budgets

Condizioni al contorno
livello di superficie

L’evoluzione dell’equivalente in acqua della neve, è ottenuto, dal bilancio di massa:
la precipitazione solida e liquida meno i flussi dovuti alla fusione e alla
sublimazione è uguale alla variazione dell’equivalente in acqua della neve.

Neve strato superficiale

Conservazione della massa di neve
15



Snow Budgets




tempo 16



Snow Budgets




Precipitazione totale
tempo 16



Snow Budgets



sublimazione

tempo 16



Snow Budgets



sublimazione

Percolazione

tempo 16



Snow Budgets

Un modello
All’interno della neve

può essere considerato trascurabile. Allora

17



Snow Budgets

Un modello


La massa è qui separata in massa
dell’acqua e del ghiaccio

17



Snow Budgets

Un modello


Flusso (d’acqua)
considerando il flusso di ghiaccio
trascurabile
La massa è qui separata in massa
dell’acqua e del ghiaccio

17



Snow Budgets

Un modello


Flusso (d’acqua)
considerando il flusso di ghiaccio
trascurabile
La massa è qui separata in massa Transizioni di fase/evaporazione-
dell’acqua e del ghiaccio sublimazione

17



Snow Budgets

Un modello


O, dopo aver diviso per la densità dell’acqua e il volume di riferimento

18



Darcian flow

Un modello

Il flusso si può esprimere come:

dove kw e μw sono la permeabilità intrinseca dell’acqua nella neve e la
viscosità dinamica dell’acqua (kg m−1 s−1)

Di solito, le forze capillari nella neve sono due o tre ordini di magnitudine
inferiori alla forza di gravità e possono essere ignorate

19



Darcian flow

Un modello

Colbeck (1972) correlò kl e ks alla saturazione effettiva per mezzo
di una espressione alla Brooks and Corey (1964):

dove S è definito da:

Cosicchè:

20



Darcian flow

Un modello

La permeabilità intrinseca della neve a saturazione è una funzione di varie
proprietà fisiche della neve: la densità, le dimensioni dei grani e la loro
distribuzione, continuità forma, etc (Male and Gray, 1981). Shimizu (1970)
propose la seguente relazione:

dove d è il diametro dei grani (m), che è normalmente nell’intervallo
0.04-0.2 mm per la neve fresca, 0.2-0.6 mm per la neve vecchia fine e
2.0-3.0 mm per la neve vecchia (Jordan, 1991) ).

21



Energy budgets

Il bilancio di energia

22



Energy budgets

Il bilancio di energia

Variazione di energia
interna

22



Energy budgets

Il bilancio di energia della neve

dU⇤
= Rn lw + Rn sw H s E v + G + Pe
dt

23



Energy budgets


dU⇤
dt

Bilancio di radiazione

23



Energy budgets

The energy balance of snow

dU⇤
dt

24



Energy budgets


dU⇤
dt

Flussi turbolenti

24



Energy budgets


25



Energy budgets


Conduzione/ avvezione
di calore verso il basso

25



Energy budgets


Conduzione/ avvezione
di calore verso il basso

Energia fornita dalla
precipitazione 25



Energy budgets


L’energia interna dovrà ovviamente essere decomposta nelle sue parti
costituenti

26



Energy budgets


H
Il flusso di calore sensibile dipende dalla temperatura superficiale essendo
proporzionale al gradiente di temperatura tra la superficie e la quota di misura del
sensore che misura la temperatura dell’aria^1.

Il coefficiente di proporzionalità è maggiore quando la turbolenza è elevata, ed
è, pertanto, ridotto in presenza di stratificazione termica e più elevato in
condizione di destratificazione.

Esso viene calcolato utilizzando la teoria della similarità di Monin-Obukhov, che
tuttavia è valida solo in terreni pianeggianti e in condizioni quasi-stazionarie.

^1 - Si vedano a questo proposito le slides sull’evapotraspirazione 27



Energy budgets


ET

Analogamente il flusso di calore latente dipende dall’umidità
specifica in corrispondenza dell’interfaccia tra neve e atmosfera (si
suppone che si verifichino condizioni di saturazione e, pertanto,
l’umidità specifica dipende solamente dalla temperatura della
superficie) in quanto è proporzionale al gradiente di umidità tra
superficie e la quota di misura del sensore che misura l’umidità
dell’aria^1.

^1 - Si vedano a questo proposito le slides sull’evapotraspirazione 28



Energy budgets

Il bilancio di energia interno

Variazione di energia della neve

energy fluxes
at the boundary
phase transition

29



Energy budgets



Flussi di energia al contorno

phase transition

30



Energy budgets



Flussi di energia

Transizioni di fase

31



Energy budgets


raffreddamento/riscadamento per
conduzione

raffreddamento/riscaldamento per
avvezione (principalmente di
acqua liquida)

32



Energy budgets

Dove il termine di flusso
è dato dal termine riscaldamento/raffreddamento per
conduzione:

raffreddamento
/riscaldamento:
il flusso di
calore

33



Energy budgets

conduzione:

gradiente di
temperatura

raffreddamento
/riscaldamento:
il flusso di
calore

34



Energy budgets

conduzione:

gradiente di
temperatura

Questa è la teoria di
Osanger che porta
raffreddamento alla legge di Fourier
/riscaldamento:
il flusso di
calore

conducibilità
termica
35



Energy budgets

L’energia interna della neve

variazione dell’energia interna
della neve

36



Energy budgets

L’energia interna della neve nelle sue parti

variazione dell’energia interna
della neve

Una parte dipende dalla
temperatura

37



Energy budgets

L’energia interna della neve nelle sue parti

variazione dell’energia interna Una parte dipende dalla
della neve quantità della sostanza

Una parte dipende dalla
temperatura

38



Energy budgets

Potete credermi sulla parola

O provare da soli che l’espressione
dell’energia sia quella ;-)

39



Energy budgets

Potete credermi sulla parola

O provare da soli che l’espressione
dell’energia sia quella ;-)

In quest’ultimo caso potreste avere qualche difficoltà

39



Energy budgets basics

Come si correla all’espressione nota del
primo principio della termodinamica:

all’equazione della precedente slide?

40




In effetti, la dimostrazione prende una
strada diversa:

attraverso la definizione di entalpia^1

che è un equivalente dell’energia (per dettagli, Dall’Amico, 2010), si
ottiene:

^1 - Si noti anche il cambio di variabile
41




Le cose si complicano un po’

se si prende la variazione dell’energia interna

perchè vale l’identità di Gibbs-Duhem

42




Finalmente

Si può scoprire che l’entalpia può essere approssimata da una funzione
della pressione e della temperatura:

dove la derivata dell’entalpia rispetto alla temperatura, poichè è usata
spesso, ha anche un nome: capacità terminca (a pressione costante)

43



Energy budgets

Osserviamo ora i diversi stati
attraverso cui passa la neve

44




Durante la fase di accumulo

45



Energy budgets

Lo scioglimento del manto nevoso
Nel caso dell’acqua a pressione di ~ 105 Pa, l’uguglianza dei potenziali
chimici di acqua e ghiaccio avviene per T = 0 0C (per definizione della scala
termometrica!).

ergo

secondo questo schema interpretativo si hanno due situazioni ben definite:

•per T < 0 dovrebbe essere presente solo ghiaccio

•(per T > dovrebbe essere presente solo acqua liquida)

46



Energy budgets

Il periodo di accumulo

Tradotto in termini di bilancio energetico. T < 0 ºC.
Per lo strato superficiale:

Variazione
dell’energia
interna

47



Energy budgets

Il periodo di accumulo

Tradotto in termini di bilancio energetico. T < 0 ºC. Per lo strato superficiale:

all’interno della neve:

48



Snow budgets


Le due equazioni di conservazione della massa e dell’energia vengono risolte
congiuntamente per la massa di neve

dM⇤ in superficie
=P Ev Gp
dt
all’interno della neve

in superficie

all’interno della neve
49



Snow budgets


Ovviamente le due equazioni non bastano a risolvere il proble che annovera
tra le sue variabili:

Quindi sono necessarie alcune equazioni di stato aggiuntive

50



Snow budgets


Alla fase di accumulo segue lo scioglimento della neve.

All'inizio della fase di scioglimento nivale, il manto nevoso si compone
generalmente di strati di densità diversa. Il fenomeno della fusione è
ovviamente legato all'aumentare dell'input radiativo.
Tuttavia a causa dell'elevato albedo della neve, l'importanza diretta della
radiazione può anche essere di piccola entità.

Durante la fusione, la densità della neve continua a salire (il suo volume
a diminuire) e l'eterogeneità verticale tende a scomparire. Durante la
fusione la densità può fluttuare su base oraria e giornaliera.

51



Snow budgets


Quale delle due fasi esista è una sola funzione di pressione e temperatura, e
dipende dal potenziale chimico dell’acqua e del ghiaccio.

La fase presente è (con altissima probabilità) quella con il potenziale
chimico inferiore: è una conseguenza della prima e della seconda legge
della termodinamica.

52



Snow budgets

La temperatura cambia
secondo la freccia ocra

k 2 |u|(qr q0 ) 1
ET = w⇥ q = 2 = (qr q0 )
ln (z d/z0 ) r
2
|u| k
r 1
= 2
ln (z/z0 )
Roth, K., 2007

208
ra =
u2

53



Snow budgets

L’uguaglianza dei potenziali chimici

µi (T, p) = µw (T, p)

individua, nel piano (T,p) la curva di separazione tra le fasi (solida e liquida) che e’
data da una relazione di Clausius-Clapeyron

54



Snow budgets


Inoltre rimane il caso, non ben definito dalla termodinamica dell’equilibrio
per cui:

a questa temperatura (p ~ 105 Pa), secondo lo schema scolastico, avviene la
transizione di fase il che significa che possono coesistere in proporzioni
arbitrarie le due fasi.

55



Snow budgets


Supponiamo però che la temperatura del sistema con cui la neve è a contatto
un po’ maggiore di zero. La neve quindi:

• viene riscaldata leggermente

•si trasforma in acqua

l’energia termica fornita dal sistema viene in questo immagazzinata sotto
forma di energia potenziale interna dell’acqua e la temperatura della neve
rimanente rimane

•T = 0

sino allo scioglimento di tutta la neve. Solo in seguito può aumentare. 56



Snow budgets


Si distinguono schematicamente tre fasi del periodo di fusione:

•riscaldamento
•maturazione
•produzione del deflusso

57



Snow budgets

Snowpack dynamics at mid and higher
latitudes

Snow water equivalent

Temperature

58



Snow budgets


Il manto nevoso non progredisce linearmente attraverso le tre fasi: piuttosto
segue l'andamento giornaliero della temperatura e la fusione avviene
generalmente in strati superficiali a contatto con l'aria calda.

L'acqua in seguito percola verso il basso e si ricondensa, rilasciando quindi
calore latente e contribuendo ad innalzare la temperatura media del manto
nevoso.

Durante la notte la neve fusa si può ricongelare e il processo ripetersi per
diversi giorni di seguito.

59



Energy budget basics

La fusione dal punto di vista
dell’energia

Se si assume, in prima approssimazione, che l’energia sia costante:

60




E

Ma T=0 durante la transizione di fase. Allora:

61




Che si può comprendere meglio se si suddivide nelle
sue parti

e perciò

62




Inoltre

la differenza tra le entalpie dell’acqua e del ghiaccio è definita essere l’entalpia
di fusione del ghiaccio:

Di solito, l’entalpia di fusione del ghiaccio è presa come valore di riferimento ed
uguale a zero. Cosicchè:

E perciò:

63




Quindi

Dove si è in grado, a questo punto, di esprimere il flusso di energia scambiata
per avvezione in funzione dell’entalpia (cioè dell’energia interna a pressione
costante) dell’acqua che si muove nel processo.

64




Le equazioni da risolvere sono allora

65



Snow budget

La fase di riscaldamento (T<0)
Modificato da Dingman, 1994

66



Snow budget

La fase di maturazione (T = 0-)

La fase di maturazione della fusione della neve avviene quando il manto
nevoso diviene isotermo a T=0 gradi centigradi.

A partire da questo punto ulteriori aumenti di energia producono acqua di
fusione che è inizialmente trattenuta negli spazi dei pori da forze di
tensione superficiale.

67



Snow budget


68



Snow budget


✓ ◆ ✓ ◆2
⇢⇤ ⇢⇤
✓ret = 0.0735 + 0.267
⇢w ⇢w
Eagleson, 1970

69



Snow budget


✓ ◆ ✓ ◆2
⇢⇤ ⇢⇤
✓ret = 0.0735 + 0.267
⇢w ⇢w
Eagleson, 1970

acqua capillare
che può essere trattenuta nella neve

L’ordine di grandezza dell’acqua capillare è dell’ordine del 10%
69



Snow budget


L’ordine di grandezza dell’energia richiesta per completare la fase di maturazione,
si pùo calcolare in funzione dell’acqua capillare trattenibile:

U⇤ = ✓ret ⇢w f V⇤

70



Snow budget

La fase di fusione (T = 0)

71



Snow budget simplified


Quando il manto nevoso è maturo, ulteriori afflussi energetici producono
acqua di fusione che non può essere trattenuta nei pori e quindi percola
verso il basso divenendo alla fine deflusso.

L’energia richiesta da questa fase può essere stimata in prima approssimazione
come:

U⇤ = (Vi m Vw ret )⇢w f

72






come:

U⇤ = (Vi m Vw ret )⇢w f

Volume di ghiaccio presente alla fine
della fase di maturazione 72






come:

U⇤ = (Vi m Vw ret )⇢w f Vw ret := ✓ret V⇤

Volume di ghiaccio presente alla fine
della fase di maturazione 72



Phase transitions complexities

Abbiamo dimenticato qualcosa ?

Le forze capillari nella neve sono trascurabili da un punto di vista
energetico. Tuttavia, a causa di esse, una frazione dell’acqua liquida
pu`ø essere trattenuta all’interno del manto nevoso. Colbeck (1972)
definì la saturazione irriducibile come il minimo livello liquido
(espresso come una frazione della porosità) al quale la neve è
drenata a pressione atmosferica. Kattelmann (1986) mostrò che tale
livello di contenuto d’acqua è molto variabile, tra 0 a 0.4, che
corrisponde ad una saturazione relativa variabile tra 0.014 e 0.069
per una densità della neve di 250 kg m−3.

73




Acqua capillare ?
Va osservato che, una volta presente come acqua capillare, l’acqua liquida
si ri-congela con difficoltà, a causa della depressione del punto di
congelamento dovuta alle forze capillari (tensioni superficiali) che
alterano i valori del bilancio energetico che conducono alla stima del
potenziale chimico.

free water

capillary water

74




Soluti
Un effetto simile si ha quando mell’acqua siano, per qualche motivo,
presenti soluti.

free water

capillary water

75




Depressione del punto di congelamento
Può essere calcolata generalizzando l’equazione di Clausius-Clapeyron.

T vi ()(pi + piw ) vw ()pw
log(1 + )=
T0 hi () hw ()

76





Depressione della
temperatura di
congelamento

log(1 + )=
T0 hi () hw ()

76





Depressione della
temperatura di
congelamento

log(1 + )=
T0 hi () hw ()

Temperatura di
congelamento
dell’acqua 76





Depressione della volume specifico e
temperatura di pressione
congelamento del ghiaccio

log(1 + )=
T0 hi () hw ()

Temperatura di
congelamento
dell’acqua 76





Depressione della volume specifico e volume specifico e
temperatura di pressione pressione
congelamento del ghiaccio dell’acqua

log(1 + )=
T0 hi () hw ()

Temperatura di
congelamento
dell’acqua 76






log(1 + )=
T0 hi () hw ()

Temperatura di Entalpia
congelamento del ghiaccio
dell’acqua 76






log(1 + )=
T0 hi () hw ()

Temperatura di Entalpia Entalpia
dell’acqua 76



Snow budgets parameters

Parametri del bilancio di neve

- la temperatura dell’aria sopra la quale tutta la precipitazione è liquida (2 °C)

-la temperatura dell’aria sotto la quale tutta la precipitazione è nevosa (0 °C)

- l’emissività radiativa della neve, che è prossima ad 1 (0.98)

- il contenuto d’acqua che la neve può ritenere per capillarità, espresso come
frazione della porosità della neve (0.05)

77





- la conducibilità idraulica della neve a saturazione (~ 5.55 kg/(m2*s))

- la conduttività termica superficiale della neve (~ 5.55*10^-5 m/s)

- la profondità di estinzione dell’albedo (50 mm equivalente in acqua): l’albedo è
calcolato con un algoritmo in funzione dell’età della neve, ma quando l’altezza
della neve è inferiore a questo parametro si assume che la copertura nevosa non
sia continua, ma a zone, e pertanto l’albedo che viene utilizzato nel calcolo è la
media tra l’albedo ricavato in base all’età della neve e l’albedo del suolo nudo,
considerato come altro parametro

78





- la “roughness length” della temperatura (0.05 m): il profilo verticale della
temperatura in atmosfera, in condizioni di turbolenza, è logaritmico; pertanto è
necessario definire una quota definita “roughness length” tale che si può
considerare valido il profilo logaritmico per quote maggiori di questa quota. La
“roughness length” è funzione della scabrezza della superficie. Si può
dimostrare che si diminuisce il valore di questo parametro, aumenta il
coefficiente di proporzionalità tra flussi di calore sensibile e latente e i rispettivi
gradienti

79





- la “roughness length” della velocità del vento (0.5 m*): lo stesso di cui si è detto
per la temperatura vale anche per la velocità del vento. Le due “roughness
length” sono correlate: normalmente la “roughness length” della velocità del
vento è tra 7 e 10 volte la “roughness length” della temperatura

* La roughness è effettivamente molto alta rispetto alle condizioni fisiche reali. In realta’ dovrebbe essere
0.0001 m ma il valore serve per tener conto del fatto che esiste un sottostrato piccolo ma importante di
atmosfera in cui la dinamica è laminare.
80





- la densità del suolo (1600 kg/m3)

- lo spessore del suolo termicamente attivo (0.4 m), cioè lo spessore di suolo
che, in assenza di neve, subisce un’apprezzabile escursione termica giornaliera

- la capacità termica del suolo (890 J/(kg * K)), considerata costante, ma in realtà
è molto variabile a seconda delle proprietà del suolo

- l’albedo del suolo scoperto di neve (0.2), variabile a seconda dell’uso del suolo

81



Neve: La generazione del deflusso
Cezanne, Snow thaw in L’Estaue, 1870

Riccardo Rigon, Stefano Endrizzi, Matteo Dall’Amico


Snow melting

Il flusso d’acqua attraverso la neve

Manifesta un variazione di velocità tra

2 - 60 cm/min

Dipende da vari fattori:

•la struttura interna del manto nevoso
•le condizioni del manto nevoso prima della generazione del
deflusso
•la quantità d’acqua disponibile sulla superficie della neve

83

D. Cline


Snow melting

Il flusso d’acqua attraverso neve
omogenea

•Capillare: <1% di acqua libera
•l’acqua non drena a causa delle forze capillari

•Insaturo: 1-14%% di acqua libera
•l’acqua drena a causa della gravità ma l’aria occupa i pori con continuità
•regime pendulare

•Saturo: > 14%% di acqua libera
•l’acqua drena a causa della gravità e l’aria occupa i pori in modo discontinuo
•regime funicolare

84

D. Cline


Snow melting

Il flusso d’acqua attraverso neve
eterogenea

•Si manifestano vie preferenziali di flusso
•studi con traccianti rivelano vie preferenziali verticali o macropori
nella maggior parte dei casi

•Strati e lenti di ghiaccio
•Si sviluppano in genere in seguito a fenomeni di scioglimento e
ricongelamento
•Sono relativamente impermeabili
•Forzano la formazione di flussi laterali o di zone di saturazione

85

D. Cline


Snow melting

Il deflusso
L’acqua di fusione e
la pioggia sono
ritardate e
attenuate nel
m o v i m e n t o
attraverso la neve,
in funzione della
profondità del
manto nevoso,
della densità della
neve, delle lenti di
ghiaccio, della
dimensione dei
grani e dei
fenomeni di
ricongelamento. 86

D. Cline


Snow melting

Il deflusso

Dipende dalla pendenza, dalla neve e dalle Scioglimento
condizioni del suolo superficiale

L’acqua di fusione, incontrando suolo
scongelato e permeabile, alla base del
manto nevoso, si infiltrerà nelle
condizioni rese possibili dalla
temperatura.

L’acqua di fusione si comporta in questo Suolo scongelato
caso come la pioggia

87

D. Cline


Snow melting

Il deflusso

Scioglimento
superficiale
L’acqua di fusione, incontrando
suolo congelato e impermeabile,
alla base del manto nevoso,
formerà una “falda soprasuolo”
all’interno del manto nevoso
medesimo. falda

Suolo Congelato

88

D. Cline


Snow melting

Il deflusso

Nel caso di pendenze basse,
l’acqua di fusione può
ricongelarsi, alla base del
manto nevoso e formare
degli strati di ghiaccio che
impediscono ulteriormente
l’infiltrazione

89

D. Cline


Snow melting

Deflusso sotterraneo attraverso la neve

Se c’è sufficiente pendenza
può instaurarsi un flusso Surface Melt
laterale d’acqua all’interno
della neve.

La presenza di acqua alla base
dello snow-pack causa un
rapido degrado dei grani più
piccoli di neve, con la
conseguenza di un aumento
del flusso.

90

D. Cline


Snow melting

Figure 7.10: Effects of subsurface water ﬂow induced by topography on thaw depth map (lateral subsurface
ﬂow, variable peat thickness)

91

M. Dall’Amico, S. Endrizzi


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