Il gradiente adiabatico di temperatura.

1. Riccardo Rigon
Un po’ di Fisica dell’atmosfera
Il gradiente adiabatico
Giorgione-Latempesta,1507-1508

2. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
!2
L’equilibrio idrostatico dell’atmosfera

3. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
!3
L’equilibrio idrostatico dell’atmosfera
dp = g(z) (z)dz
Variazione di
pressione
Accelerazione di gravità
Densità dell’aria
Spessore dello
strato d’aria

4. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
!4
L’equilibrio idrostatico dell’atmosfera
dp = g(z) (z)dz
Legge dei gas perfetti
(z) =
p(z)
R T(z)

5. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
!5
L’equilibrio idrostatico dell’atmosfera
dp = g(z) (z)dz
C o s t a n t e
dell’aria
Temperatura
Densità dell’aria
Pressione
(z) =
p(z)
R T(z)

6. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
!6
L’equilibrio idrostatico dell’atmosfera
dp(z) = g(z)
p(z)
R T(z)
dz
dp
p
= g(z)
p(z)
R T(z)
dz
p(z)
p(0)
dp
p
=
z
0
g(z)
p(z)
R T(z)
dz

7. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
!7
L’equilibrio idrostatico dell’atmosfera
log
p(z)
p(0)
=
z
0
g(z)
R T(z)
dz
log
p(z)
p(0)
g
R
z
0
1
T(z)
dz

8. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
La prima legge della termodinamica
con l’ausilio della seconda
U = U(S, V )
La termodinamica dell’equilibrio dice che l’energia interna di un sistema è
una funzione di Entropia e Volume:
Conseguentemente ogni variazione dell’energia interna è data da:
⇥U()
⇥S
:= T(S, V )
Temperatura pressione
dU() = T()dS pU ()dV
⇥U()
⇥V
:= pU (S, V )

9. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
La prima legge della termodinamica
con l’ausilio della seconda
U = U(S, V )
La termodinamica dell’equilibrio dice che l’energia interna di un sistema è
una funzione di Entropia e Volume:
Conseguentemente ogni variazione dell’energia interna è data da:
dU() = T()dS pU ()dV
La parentesi indica che temperatura e pressione sono funzioni
Entropia e Volume sono invece variabili indipendenti

10. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
La prima legge della termodinamica
con l’ausilio della seconda
U = U(S, V )
La termodinamica dell’equilibrio dice che l’energia interna di un sistema è
una funzione di Entropia e Volume:
Conseguentemente ogni variazione dell’energia interna è data da:
Variazione di
e n e r g i a
interna
c a l o r e
s c a m b i a t o
dal sistema
lavoro fatto dal
sistema
dU() = T()dS pU ()dV

11. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
La prima legge della termodinamica
con l’ausilio della seconda
UT := U(S(T, V ), V )
Tuttavia, mentre la temperatura è misurabile in forma diretta, come
conseguenza del secondo principio della termodinamica, non lo è l’entropia,
Ragione per cui, si preferisce, con un cambiamento di variabili, esprimere
l’entropia come funzione della temperatura. In questo caso, si osserva che
l’entropia non e’ esprimibile come sola funzione della temperatura, ma anche
del volume:
Capacità termica a volume
costante
dUT = CV ()dT + (pS() pU ())dV

12. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
La prima legge della termodinamica
con l’ausilio della seconda
UT := U(S(T, V ), V )
Tuttavia, mentre la temperatura è misurabile in forma diretta, come
conseguenza del secondo principio della termodinamica, non lo è l’entropia,
Ragione per cui, si preferisce, con un cambiamento di variabili, esprimere
l’entropia come funzione della temperatura. In questo caso, si osserva che
l’entropia non e’ esprimibile come sola funzione della temperatura, ma anche
del volume:
P r e s s i o n e
EntropicapS() :=
U()
S
S()
V
dUT = CV ()dT + (pS() pU ())dV

13. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
La prima legge della termodinamica
con l’ausilio della seconda
La somma delle due pressioni, entropica ed energetica, se così si possono
definire, è la la normale pressione:
p() := pS() pU ()

14. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
La prima legge della termodinamica
con l’ausilio della seconda
Per definizione (!) l’energia interna di un gas perfetto NON dipende
esplicitamente dal volume. Allora:
Conseguentemente ogni variazione dell’energia interna è data da:
Variazione di
e n e r g i a
interna
c a l o r e
s c a m b i a t o
dal sistema
U = U(S)
dU() = T()dS !!!!!!! = dQ() = dU()

15. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
La prima legge della termodinamica
con l’ausilio della seconda
Dunque, per un gas perfetto:
CV () :=
UT
T
o:
dividendo l’espressione per la massa d’aria presente nel volume :
C a l o r e
specifico a
v o l u m e
costante
dUT = dQ() = CV ()dT + ps()dV
dUT = CV ()dT + d(ps() V ) V dps()

16. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
La prima legge della termodinamica
con l’ausilio della seconda
dividendo l’espressione per la massa d’aria presente nel volume :
v :=
1 v o l u m e
specifico
duT = cV ()dT + d(ps() v) v dps()
calore specifico a volume
costante

17. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
La prima legge della termodinamica
con l’ausilio della seconda
ed usando contemporaneamente la legge dei gas perfetti per unità
di massa:
ps() v = R T
Si ottiene:
duT = cV ()dT + d(R T) v dps()
duT = cV ()dT d(ps() v) + v dps()

18. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
La prima legge della termodinamica
con l’ausilio della seconda
Che può essere riscritta come (in questo caso du = dq):
Per trasformazioni isobare dp() = 0, per definizione è
dq|p = (cV () + R) dT = cpdT
cp() := cv() + R
cp è nota col nome calore specifico a pressione costante
dq = (cV () + R) dT v dp()

19. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
Il gradiente adiabatico di temperatura
adiabatic lapse rate
L’informazione contenuta nella prima legge della termodinamica
può essere combinata con quella ottenuta dalla legge idrostatica.
Infatti, assumendo che una parcella di aria che sale sia soggetta ad
un processo adiabatico, allora:
⌅⌅⌅⌅⇤
⌅⌅⌅⌅⇥
v dps() = g dz
dq() = cp() dT + v dps()
dq() = 0

20. Un pò di Fisica dell’Atmosfera
Riccardo Rigon
Il gradiente adiabatico di temperatura
adiabatic lapse rate
La risoluzione del precedente sistema comporta:
dT
dz
= d
d :=
g
cp
9.8⇥
K Km 1