Completísima presentación de funciones exponencial

1. Introducción
Una hora mas tarde a su
vez sus tres amigos cuentan
la noticia a otros tres
A la mañana un alumno
cuenta una noticia a sus
tres amigos
Una hora
después estos
también
contaron la
noticia a tres
personas
Y así
sucesivamente
Este creciente es EXPONENCIAL
𝑓 𝑥 = 3 𝑥
es la función
que a cada x Tiempo le
asigna la cantidad de
persona que se entera de
la noticia en ese momento

2. TEMARIO
• Definición
• Características de la gráfica de una función
exponencial de base 𝑏 > 1
• Características de la gráfica de una función
exponencial de base 𝑏 < 1
• Pasos para la obtención de la Gráfica sin tabla
• Características de la gráfica al modificar el coeficiente
principal
• Características de la gráfica al modificar el término
independiente
• Material de consulta sugerido

3. Funciones exponenciales
• Se llaman así a todas aquellas funciones de la
forma f(x) = bx, en donde la base b, es una
constante y el exponente, la variable
independiente. Estas funciones tienen gran
aplicación en campos muy diversos como la
biología, sociología, administración, economía,
química, física e ingeniería.
• La definición de función exponencial exige que
la base sea siempre positiva y diferente de
uno(a>0 y a≠1).
TEMARIO

4. FUNCIÓN EXPONENCIAL
La función exponencial es del tipo 𝑓 𝑥 = 𝑏 𝑥
Siendo a un número real positivo en este ejemplo 𝑏 > 1
𝑥 𝑓 𝑥 = 2 𝑥
EJEMPLO
Función 𝑓 𝑥 = 2 𝑥
Dominio = R
(el exponente de una
Potencia puede tomar
cualquier valor Real)
Para 𝑥
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
+ ∞
y
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
+ ∞
Pero para
𝑥
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
− ∞
𝑦
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
0
En consecuencia
• 𝒇 tiene asíntota
horizontal en 𝒚 = 𝟎
• 𝑓 es creciente
• Imagen (0 , +∞)Dominio = R
Para 𝑥
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
+ ∞
y
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
+ ∞
Para
𝑥
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
− ∞
𝑦
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
0
𝐴𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑦 = 0
Imagen =(0, +∞)
TEMARIO

5. EJEMPLO
𝑥 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
Función 𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
Dominio = R
(el exponente de una
Potencia puede tomar
cualquier valor Real)
Para 𝑥
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
− ∞
y
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
+ ∞
Pero para
𝑥
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
+ ∞
𝑦
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
0
En consecuencia
• 𝒇 tiene asíntota
horizontal en 𝒚 = 𝟎
• 𝑓 es decreciente
• Imagen = ( 0, + ∞)
Dominio = R
Para 𝑥
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
+ ∞
y
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
0
Para
𝑥
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
− ∞
𝑦
𝑡𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜
+ ∞
𝐴𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑦 = 0
Imagen =(0, +∞)
FUNCIÓN
EXPONENCIAL
Con 0 < 𝑏 < 1
TEMARIO

6. FUNCIÓN EXPONECIAL Y SUS PARÁMETROS 𝑓 𝑥 = . 𝑏 𝑐𝑥+𝑑
+ 𝑒
• Dados los siguientes gráfica desígnale la fórmula que le corresponde
• El valor del parámetro modifica la concavidad
• Para valores de + la concavidad es hacia arriba
• Para valores de - la concavidad es hacia abajo
𝒇 𝒙 = 3 𝒙
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝟐
𝟑 𝒙
𝒇 𝒙 = −
𝟏
𝟐
𝟑 𝒙
TEMARIO

7. FUNCIÓN EXPONECIAL Y SUS PARÁMETROS𝑓 𝑥 = 𝑎. 𝑏 𝑐𝑥+𝑑
+
• Elije la gráfica que le corresponde a cada una de las funciones
• El valor del parámetro traslada la gráfica ↑↓
• Determina la ecuación de la asintota hotizontal
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝟐
𝒙
− 𝟏
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝟐
𝒙
+ 𝟏
𝒇 𝒙 = 𝟐 𝒙 − 𝟏
𝑦 =
TEMARIO

8. Graficar sin tabla
Ejemplo1 𝑓 𝑥 = 2 𝑥−1 - 4
•Dominio:
•Asíntota horizontal
•Ordenada al origen
•Raíces
R
𝑠𝑖 𝑥 → −∞ 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 2 𝑥−1 → 0
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 → −4 𝐴𝐻
𝑦 = −4
𝑓 0 = −
7
2
𝑥 ⋰ 𝑓 𝑥 = 0
2 𝑥−1 − 4 = 0
2 𝑥−1 = 4
2 𝑥−1 = 22
𝑥 − 1 = 2
𝑥 = 3
TEMARIOhttp://www.geogebra.org/m/2510049

9. Crecimiento de poblaciones.
El crecimiento vegetativo
de una población viene
dado por la diferencia
entre nacimientos y
defunciones.
Si inicialmente partimos de
una población P0, que
tiene un índice de
crecimiento i (considerado
en tanto por 1), al cabo de
t años se habrá convertido
en :
P(t) = P0 · (1+i)
t
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Ejemplo.
Un pueblo tiene 600
habitantes y su
población crece anualmente
un 3%.
• ¿Cuántos habitantes habrá
al cabo
de 8 años?
Datos:
P0 = 600
i = 3 / 100
t = 8 años
P = 600 . ( 1 + 3/100)
8
P = 600 . 1,266 ≈ 760
Luego de 8 años la población
será de 760 habitantes.
http://www.geogebra.org/m/2509969

10. Interés compuesto
En el interés compuesto los intereses producidos
por un capital, C0
se van acumulando a éste, de tiempo en
tiempo, para producir nuevos intereses.
Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los
intereses se acumulan al capital,
se llaman periodos de capitalización o de
acumulación. Si son t años, r es el rédito
anual (interés anual en %), el capital final
obtenido viene dado por la fórmula:
CF = CO . ( 1 + r/100 )
t
Si se consideran n periodos de tiempo, (n=12
meses , n = 4 trimestres, n=365 días,...)
la fórmula anterior queda:
https://www.geogebra.org/apps/?id=2505953
Ejemplo
Se colocan 5000 $ al 6% anual.
¿En cuánto se convertirán al cabo
de 5 años?
• Si los intereses se acumulan
anualmente
CF = 5000 . 1,065 = 6691,13 $
• Si los intereses se acumulan
mensualmente
CF = 5000 . ( 1 + 6/1200)12.5 =
CF = 5000 . 1,00560 =
CF = 6744,25 $
• Si los intereses se acumulan
trimestralmente
CF = 5000 . ( 1 + 6/400)4.5 =
CF = 5000 . 1,01520 =
CF = 6734,27 $
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11. Desintegración radiactiva
Las sustancias radiactivas se desintegran con el
paso del tiempo. La
cantidad de una cierta sustancia que va
quedando a lo largo del tiempo viene dada por:
M = M0·a
t
M0 masa inicial
0 < a < 1 es una constante que depende de la
sustancia y de la unidad de tiempo que
tomemos.
La rapidez de desintegración de las sustancias
radiactivas se mide por el “periodo de
desintegración” que es el tiempo en que tarda
en reducirse a la mitad.
Ejemplo
Un gramo de estroncio-90 se
reduce a la mitad en 28 años, si en
el año 2000 teníamos 18gr y
tomamos como origen de tiempo el
año 2000.
• La función es:
M(x) = 18 ⋅ 0,5
x/28
= 18⋅ 0,9755
x
• En el año 2053 quedará:
M = 18 ⋅ 0,9755
53
= 4,85 gr
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12. MATERIAL sobre la función exponencial
• http://www.geogebra.org/m/2342901
• https://sites.google.com/site/674matematica
674/funcion-e
• https://sites.google.com/site/674matematica
674/funcion-exponencial-2
• http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_ex
p_log_app/fn_app.html
TEMARIO