Estadística, Azar, Combinatoria, Resumen teórico

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RESUMEN DE ESTADÍSTICA, AZAR Y COMBINATORIA
La probabilidad es la parte de la matemática que trata de
manejar con números el azar, la incertidumbre, es decir, el grado
de inseguridad con que nos encontramos ante la realización o no
de un cierto suceso (pág. 28).
Por ejemplo:
 Si tiramos 600 veces un dado, sería lógico esperar que más o
menos, salga cada número 100 veces, es decir, 1/6 de las
veces sale el 1, 1/6 de las veces sale el 2, 1/6 el 3, 1/6 el 4, 1/6
el 5 y 1/6 el 6. Se dice también que la probabilidad de que
salga un 4 es 1/6. Esto es equivalente a decir que hay un
100/6 = 16.66 por ciento de probabilidad de que salga el 4.
 Al lanzar una moneda, la probabilidad de obtener una cara es
de ½ o, lo que es lo mismo, hay un 50% de probabilidades
de que salga cara. Evidentemente, también hay un 50% de
obtener una seca (o cruz).
Cuando vayas a realizar una experiencia aleatoria (al azar) de
este tipo (lanzar un dado, tirar una moneda, sacar un carta de
una baraja, un número de una ruleta, una bola de una bolsa con
100 bolas numeradas,...) en que los posibles resultados son
igualmente probables (equiprobables), la probabilidad de cada
uno de ellos es uno dividido entre el número de resultados
posibles.
Por ejemplo:
 La probabilidad de que obtener un 3 al lanzar un dado es 1/6
(es decir, uno dividido entre el número de resultados
posibles, que son 6).

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En general, en una experiencia en la que hay m resultados
posibles igualmente probables, la posibilidad de que ocurra uno
cualquiera de los n que nos interesan (y que forman parte de los
m posibles) será n/m. Es decir, la probabilidad es el número de
resultados favorables, n, dividido por el de resultados posibles,
m, suponiendo que estos son equiprobables.
Por ejemplo:
 Si al lanzar un dado, lo que te interesa es que salga par (el 2,
o el 4, o el 6), es claro que de los 6 resultados posibles, te
sales con la tuya en 3 de ellos. Así, la probabilidad de que
salga un número par será 3/6.
Un ingrediente fundamental del estudio sobre el azar, es el
experimentar reiteradamente y acumular muchas observaciones.
Los sucesos cuya realización depende del azar se llaman
sucesos aleatorios.
La teoría de la probabilidad se ocupa de medir hasta qué punto
se puede esperar que ocurra un suceso. A esa medida se la llama
su probabilidad.
La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre
cero y uno. A un suceso imposible se le asigna la probabilidad
cero. Un suceso de probabilidad muy próxima a cero es un
suceso raro, poco probable. Un suceso de probabilidad muy
próxima a uno es un suceso casi seguro; y si la probabilidad es
uno, se llama suceso seguro.

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Cuando un instrumento aleatorio presenta ciertas condiciones
de regularidad, se puede estimar la probabilidad de cada suceso
antes de realizar la experiencia.
Cuando el instrumento aleatorio es irregular, solo se puede
valorar la probabilidad de los distintos sucesos experimentando
reiteradamente.
Se llama frecuencia absoluta, o simplemente, frecuencia de un
suceso S al número de veces que ocurre ese suceso. La
frecuencia se designa por f(S).
Por ejemplo:
 Si al tirar un dado 50 veces, el "6" aparece 12 veces, entonces
f(S) = 12.
 Si al tirar una moneda 15 veces, he obtenido seca (o cruz) 9
veces, entonces f(S) = 9.
La frecuencia relativa de un suceso, S, es la proporción de
veces que ocurre ese suceso. Dicha frecuencia relativa se
designa fr(S).
frecuencia absoluta de S ( es decir, f(S) )
fr(S) = ____________________________________
nº de veces que se ha hecho la experiencia
Por ejemplo:
 Si al tirar un dado 50 veces, el "6" aparece 12 veces, entonces
f(S) = 12; y la fr(S) = 12/50.
 Si al tirar una moneda 15 veces, he obtenido seca (o cruz) 9
veces, entonces f(S) = 9; y la fr(S) = 9/15.

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Vamos a lanzar un dado cierto número de veces. Al hacerlo
razonamos así: el dado tiene seis caras y no hay motivo para
pensar que alguna de ellas deba salir más veces que las demás;
lo esperado es que cada cara salga la sexta parte del total de
lanzamientos. Ésta será pues, la distribución esperada o
teórica.
Una vez efectuados los lanzamientos, obtenemos unos
resultados que dan lugar a la correspondiente distribución
empírica, es decir, la que se obtiene por medio de una
experiencia.
(ver los gráficos de la página 36)
Al aumentar el número de lanzamientos, la distribución empírica
se parece cada vez más a la teórica.
Ley de los grandes números:
Cuando el número de observaciones de un fenómeno aleatorio
crece mucho, la frecuencia relativa de un suceso asociado se va
acercando más y más a un valor.
Esto se llama probabilidad del suceso.
Ley de Laplace:
Esta ley, es la forma de calcular las probabilidades, pero es muy
importante recordar que sólo es válida para los casos en que los
sucesos elementales son equiprobables.
número de casos favorables a S
P(S) = _______________________________
número de casos posibles

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COMBINATORIA
La combinatoria se ocupa de contar los diferentes modos en que
se pueden agrupar ciertos objetos siguiendo algunas reglas; o
los diferentes caminos por los que se puede ir de un sitio a otro
pasando, o no, por lugares intermedios.
Para resolver estos problemas existen estrategias de
pensamiento que ayudan a reflexionar sobre ellos.
Existen diferentes estrategias, por ejemplo, una de éstas
estrategias, es la que se basa en el producto y se denomina
estrategia del casillero:
Por ejemplo, si tenemos un botellero con cinco filas y 8
columnas, el botellero tendrá 5 * 8 = 40 botellas. Si además
hay 3 botelleros apilados, habrá 5 * 8 * 3 = 120 botellas.
En cualquier caso similar a estos ejemplos, para obtener el
número total de probabilidades, multiplicamos el número de
opciones que se dan en cada uno de los componentes.
Otra de las estrategias de pensamiento utilizadas, es el diagrama
de árbol; que tiene la ventaja de que permite pensar paso a paso
las distintas posibilidades que se van multiplicando.(ver
ejemplo en las páginas 46 y 47).