1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS
DE LA EDUCACION
CARRERA DE PEDAGOGIA EN CIENCIAS EXPERIMENTALES,
MATEMÁTICA Y FÍSICA
SISTEMAS DE ECUACIONES

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistema de ecuaciones. – Es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o
más variables.
Sistemas de ecuaciones lineales 2x2. – Es un conjunto formado por dos ecuaciones con dos
variables. El sistema se llama lineal porque es formado por ecuaciones de primer grado.
Resolución de ecuaciones lineales 2x2
MÉTODOS:
 Método gráfico. – Para este método primero despejamos cualquiera de las variables
para poder reemplazar con valores numéricos y por consiguiente creamos la tabla de
valores tanto para X como para Y, con los valores obtenidos graficamos un plano
cartesiano y ubicamos las coordenadas. Para conocer la solución del sistema dado
tomamos el punto donde se cruzan las dos gráficas.
Podemos tener varios casos como, por ejemplo: existe una única solución, existen
soluciones infinitas y también existen sistemas que no tienen solución.
Ejemplos:
1) 1. 7x + 4y = 3
2. 9x + 4y = 5
1. y = (3 – 7x) /4
2. y = (5 – 9x) /4

3. En este sistema la solución es en x = 1 y
en y = 1
2) 1. -2x – 2y = 12
2. 9x + 6y= -48
1. Y = (-2x – 12) /2
2. Y = (-48 – 9x) /6
En este sistema la solución es en
x = -4 y en y = -2

4.  Eliminación (adición o sustracción). – Para este método debemos eliminar una de las
variables,en casode que seanecesario hay que multiplicar con números convenientes
que nos ayuden, luego de haber eliminado una variable despejamos la variable que
nos sobró en la suma, una vez obtenido este valor reemplazamos en cualquiera de las
ecuaciones originales para lograr encontrar el valor de la otra variable. Y para finalizar
comprobamos reemplazando.
Ejemplos:
1) Resolver el sistema eliminando la variable x:
1. 8x – 5y = 13
2. - x + y = -5
Proposiciones
1) 1.- 8x – 5y = 13
2.- - x + y = -5
2) 1.- 8x – 5y = 13 (1)
2.- - x + y = -5 (8)
3) 1.- 8x – 5y = 13
2.- -8 x +8 y = -40
________________
3y= -27
4) Y = -9
5) 8x – 5(-9) = 13 8x +45 = 13
x = -4
Razones
Dato
Multiplicación por números
convenientes
Para eliminar x
a=b y c=d a+c =
b+d
Despeje de y en 3
Sustitución de 4 en (1) de 1
Comprobación: Sustituyendo los valores encontrados en la ecuación (2) se tiene:
-(-4) + (-9) = -5 -5 = -5

5. 2) Resolver el sistema eliminando la variable x:
1. 8x + 5y = 33
2. - 2x - 4y = -44
Proposiciones
1) 1.- 8x + 5y = 33
2.- -2 x - 4y = -44
2) 1.- 8x + 5y = 33 (2)
2.- - 2x - 4y = -44 (8)
3) 1.- 16x + 10y = 66
2.- -16 x - 32y = -352
________________
-22y= -286
4) Y = 13
5) 8x + 5(13) = 33 8x +65 = 33
x = -4
Razones
Dato
Multiplicación por números
convenientes
Para eliminar x
a=b y c=d a+c =
b+d
Despeje de y en 3
Sustitución de 4 en (1) de 1
Comprobación: Sustituyendo los valores encontrados en la ecuación (2) se tiene:
-2(-4) - 4(13) = -44 -44 = -44
 Método de igualación. – Para poder resolver un sistema de ecuaciones con este
método debemos despejar la misma variable en las dos ecuaciones, luego igualar
ambos despejes y despejar la variable que nos quedó, una vez encontrado el valor de
una de las variables reemplazar en una de las ecuaciones originales para encontrar el
valor de la otra variable.

6. Ejemplos:
1) Resolver el siguiente sistema por igualación:
1. -2x + 8y = -20
2. 2x + 6y = 6
Proposiciones
1) Y = (-20 + 2x) /8
2) Y = (6 – 2x) /6
3) (-20 + 2x) /8 = (6 – 2x) /6
4) -120 + 12x = 48 – 16x
5) 12x + 16x = 48 + 120
6) 28x = 168
7) X = 6
8) 2(6) + 6y = 6
9) 12 + 6y = 6
10) 6y = -6
11) y = -1
Razones
Despejando y en la ecuación (1)
Despejando Y en la ecuación (2)
Axi. Transitivo (=) 1 y 2
T: a/c = b/c ---- a = b: c =/ 0, en 3
Transposición de términos
Términos semejantes
Despeje / Simplificación
Sustitución 7 en 1.
Def. (x)
Transposición de términos
Despeje / Simplificación
2) Resolver el siguiente sistema por igualación:
1. 2x + 8y = -10
2. -3x - 5y = -20

7. Proposiciones
1) Y = (-10 - 2x) /8
2) Y = (-20 + 3x) / -5
3) (-10 - 2x) /8 = (-20 + 3x) / -5
4) 50 + 10x = -160 + 24x
5) 10x - 24x = -160 - 50
6) -14x = -210
7) X = 15
8) -3(15) - 5y = -20
9) -45 - 5y = -20
10) -5y = 25
11) y = -5
Razones
Despejando y en la ecuación (1)
Despejando Y en la ecuación (2)
Axi. Transitivo (=) 1 y 2
T: a/c = b/c ---- a = b: c =/ 0, en 3
Transposición de términos
Términos semejantes
Despeje / Simplificación
Sustitución 7 en 1.
Def. (x)
Transposición de términos
Despeje / Simplificación
 Método de sustitución. - Este método consiste en despejar una de las variables en
una de las dos ecuaciones dadas, y luego sustituir en la otra ecuación.
1) Resolver el sistema:
1. 3x + 4y = -13
2. -x + 10y = 27
Proposiciones
1) Y = (-13 – 3x) /4
2) -x + 10((-13 -3x) /4) = 27
3) -x + ( -130 – 30x) / 4 = 27
4) -4x -130 – 30x = 108
5) -34x = 238
6) X = -7
7) 3(-7) + 4y = -13
8) -21 +4y = -13
9) 4y = 8
10) Y = 2
Razones
Despejando y en la ecuación 1
Sustituyendo en valor de y en ecuación 2
Axi. Distributivo
Suma de fracciones
Términos semejantes
Despeje / simplificación
Sustitución de 6 en ecuación 1
Def. (x)
Términos semejantes
Despeje / simplificación

8. 2) Resolver el sistema:
1. -x - y = -16
2. 3x + y = 32
Proposiciones
1) Y = 16 - x
2) 3x + (16 - x) = 32
3) 3x + 16 - x = 32
4) 2x = 32 -16
5) 2x = 16
6) X = 8
7) -(8) - y = -16
8) -8 - y = -16
9) -y = -8
10) Y = 8
Razones
Despejando y en la ecuación 1
Sustituyendo en valor de y en ecuación 2
Axi. Distributivo
Transposición de términos
Términos semejantes
Despeje / simplificación
Sustitución de 6 en ecuación 1
Def. (x)
Términos semejantes
Despeje / simplificación
 Método de determinantes. – Se llama determinantes a la expresión numérica de un
conjunto de números, escritos entre barreras en forma de cuadrado. Se representa
por: det (A) o /A/: siendo A el conjunto de números.
Ejemplo:
1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante determinantes.
1. 4x + 5y = 3
2. 6x – 10y = 1

9. Solución: x = (1/2); y = (1/5)
2) Resolver el siguiente sistema por determinantes:
1. x + 8y = 23
2. x + y = 9
Solución: x = 7 ; y = 2
 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Bastidas, P & otros. (16 de agosto de 2018). Teoría de ecuaciones. Ediciones Ecuafuturo.
Quito-Ecuador
Soy tu profe. (2016). Sistemas de ecuaciones teoría y ejercicios. Recuperado de:
yosoytuprofe.20minutos.es