1. x
Calculul unor sume in gimnaziu
Exercitii in care se cere calcularea unei sume de mai multi termeni sunt intalnite
chiar in manualele de clasa a-IV-a sau a-V-a.Am considerat necesara demonstrarea
unor formule de calcul pentru acestea ,altele decat cele ce folosesc inductia
matematica sau o pseudo-inductie matematica,in ideea de a le folosi in rezolvarea
unor probleme propuse pentru diferite concursuri.
Calculul unor sume de numere
1. S= 1 +2 +3 + …+(n-2) +(n-1) +n
S=n +(n-1)+(n-2)+… + 3 +2 +1
2S=n+1+n+1+n+1+…+n+1+n+1+n+1
2S=n(n+1)
n( n +1)
S=
2
2. S=1 + 3 + 5 +…..+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1)
S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+…+ 5 + 3 + 1
2S=2n + 2n +2n +…+ 2n + 2n + 2n
2S=2n.n
2
S= n
2 n −2 x n −1 n
3. S=1 + x + x +…+ x + x + x
x + x2 + x
3 n −1 n
Sx= + ... + . x +x
n +1
Sx-S = x −1
n +1
S(x-1) = x −1
n +1
S=( x -1)/( x -1)
2 2 2 2
4. S=
1 2 + 3 +…+ n
+
Folosind suma primelor n numere naturale impare putem scrie:
2
1 =1
1
2. 2
2 =1+3
2
3 =1+3+5
…………………………….
2
k =1+3+5+…+(2k-1)
…………;…………………..
2
n =1+3+5+…+(2k-1)+…+(2n-1)
Adunand membru cu membru obtinem:
S=n.1+(n-1).3+(n-2).5+…+(n-k+1).(2k-1)+…+2.(2n-3)+(2n-1)
Termenul general are forma:(2k-1).(n-k+1) si poate fi scris:
2
k +k,atunci:
(2k-1).(n-k+1)=(n+1).(2k-1)-2
2 2 2 2
S=(n+1).(1+3+5+…+2n-1)-2(
1 + 2 + 3 +…+ n )+(1+2+3+…+n)
2
3S=(n+1). n +n(n+1)/2
2
6S=2.(n+1). n +n.(n+1)
6S=n(n+1)(2n+1)
n(n +1)(2n +1)
S=
6
1 1 1 1
5. S= + + +…+ n( n +1)
1.2 2.3 3.4
1 1 1
Se demonstreaza usor ca: n( n +1) = - ⇒
n n +1
1 1 1 1 1 1 1 1 n
S= - + - +…+ - = - =
1 2 2 3 n n +1 1 n +1 n +1
k 1 1
Generalizare: n(n + k ) = -
n n +k
Aplicatii:
a) Calculati suma cifrelor numarului:
x=9+99+999+…+99..99,unde ultimul termen are 2008 cifre.
Numarul x se mai poate scrie:
2 3 2008 2 3 2008
x=10-1+10 -1+10 -1+…+10 -1=(10+10 +10 +…+10 -1=
2 3 2008 2 2007
=(10+10 +10 +…+10 )-2008=10(1+10+10 +…+10 )-2008=
2008
=10. 10
−1 999..99
-2008=10. -2008=10.111…11-2008=111…1109102.In
9
10 − 1
rezultat apare de 2004 ori,deci suma cifrelor va fi :2016.
Generalizare:
Pentru a calcula: S=a+ aa + aaa +…+ aa...aa se calculeaza:
2
3. a
(9+99+999+…+99…9)
9
3 5 7 85
b)Calculati: S= + + +…+
1.4 4.9 9.16 1764.1849
k 1 1
Se foloseste relatia: n(n + k ) = - si avem:
n n +k
1 1 1 1 1 1 1 1 1848
S= - + - + - +…+ - =
1 4 4 9 9 16 1764 1849 1849
c)Sa se calculeze:
1 1 1 1
S= 1.( k +1) + ( k +1)(2k +1) + (2k +1)(3k +1) +…+ [(n −)k +1](nk +1)
Se observa ca diferenta dintre factorii de la numitor este k,deci vom inmulti cu k si
obtinem:
k k k k
Sk= 1.( k +1) + (k +1)(2k +1) + (2k +1)(3k +1) +…+ [(n −1) k +1](nk +1) =
1 1 1 1 1 1 1 1
= - + - + - +…+ ( n −1) k +1 - =
1 k +1 k +1 2k +1 2k +1 3k +1 nk +1
1 1 nk +1 −1 nk n
= - = = ,de unde:S= .
1 nk +1 nk +1 nk +1 nk +1
d)Aratati ca numarul :
2 3 2006
N=1+2+
2 +2 2 nu este patrat perfect.
+…+
2007
Calculand N obtinem: N=
2 -1
2007 2007
U(
2 -1)=U(U( 2 )-1)=7.Cum nici un patrat perfect nu se termina in 2,3,7,8
rezulta N nu este patrat perfect.
e)Sa se calculeze suma:
(2n − )
2 2 2
1
2
S=
1 3 5 + + +…+
Se porneste de la (2n − ) =4. n -4.n+1 avem:
2 2
1
2 2
1 =4.1 -4.1+1
2 2
3 =4. 2 -4.2+1
2 2
5 =4. 3 -4.3+1
…………………….
(2n − )
2 2
1 =4. n -4n+1
Adunand membru cu membru obtinem:
2 2 2 2
S=4(
1 + 2 +3 +…+ n )-4(1+2+3+…+n)+n=
n( n + 1)(2n + 1) n( n +1) 2n( n +1)(2n + 1)
= 4. -4. +n= -2n(n+1)+n=
6 2 3
3